专题07 圆（题型专练）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题07圆 内●容●导●航 第一部分题型破译微观解剖，精细教学 定典明领 写方法透视 自变式演练 题型01圆的基本性质 题型02圆切线综合 第二部分题型训练整合应用，模拟实战 题●型●破●译 ◆题型01圆的基本性质 ◆典例领◆ 【典例01】(2026·北京西城区·一模)如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，点A,B,C都在格 点上，以AB为直径的圆经过点C,D,则tanZADC的值为 【答案105 【分析】连接AC、BC,根据圆周角定理可知∠ADC=∠ABC,根据直径所对的圆周角是直角，可知 ∠ACB=90°，根据正切的定义即可求出结果. 【详解】解：如下图所示，连接AC、BC, AC=Ac .∠ADC=∠ABC, ·AB是直径， .∠ACB=90°， 1/42 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.tan∠ADC=tan∠ABC= AC BC 由网格可知AC=2,BC=4, an∠ADC=AC-21 BC 42 B 【典例02】(2026·北京海淀区·一模)如图，AB为⊙0的直径，点A为CD的中点.若∠A=65°，则 ∠B的大小为 B 【答案】25 【分析】由圆周角定理可得∠ACB=90°，由点A为CD的中点结合已知条件可得∠BAC=∠OAD=65°，再 根据直角三角形两锐角互余即可解答， 【详解】解：：AB为O0的直径， ∠ACB=90°， :∠0AD=65°，点A为CD的中点， ∠BAC=∠0AD=65°， .∠B=90°-∠BAC=25°. 《◇方法透视 考向 1.判断圆的基本概念，区分弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、圆心角、圆周角，辨析概念异同， 解读 是中考基础常考题型。 2.辨别直径与普通弦的关系，直径是圆中最长的弦，直径属于特殊弦，弦不一定是直径。 3.区分等弧、同弧、等圆、同心圆，能够完全重合的弧是等弧，同圆或等圆中才具备弧、弦、圆心 角等量转化关系。 4.理解圆中各类角的性质，圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上；直径所对圆周角为直角，90°圆 2/42 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 周角所对弦是直径。 5.易错点判断，半圆是弧不含直径，圆内最长弦为直径；同弦所对圆周角有两种，易遗漏多解情况。 方法 圆心角对同段弧，圆周角度一半足； 技能 直径对角必为直，等圆等弧弦相等： 垂径平分弦与弧，同弦两角双解出。 ◆变式演练 【变式01】(2026·北京平谷区·一模)如图，ABC内接于00，∠A=45°，若BC=22,则BC的长 为一· C B 【答案】π 【分析】连接OB,OC,根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据勾股定理求出圆的半径，最后利用弧长 公式计算即可。 【详解】解：连接OB,OC, O ∠A=45°， B ∴∠B0C=2∠A=90°， :0B=0C, :△OBC是等腰直角三角形， 由勾股定理得OB2+OC2=BC2, 设00的半径为R,则2R2=(2V2=8, 解得R=2(舍负)， 3/42 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BC的长为90n×2 180 兀· 【变式02】(2026·北京通州区·一模)如图，△ABC内接于00，∠BAC=40°，分别以点A和点B为圆心， 大于B的长为半径作五，两弧交于卫、Q两点，作直线PQ交4C于点D,连接BD并延张交00于点E, 连接OA、OE,则∠AOE的度数是() A.40° B.60° C.80 D.90° 【答案】c 【分析】根据题意可得PQ垂直平分AB,则DA=DB,即可得∠ABE=∠BAC=40°，再根据圆周角定理即 可解答。 【详解】解：根据题意可得PQ垂直平分AB, .DA=DB, ∠ABE=∠BAC=40°， :AE=AE, .∠AOE=2∠ABE=80°. 【变式03】(2026·北京昌平区第二中学·零模)如图，A,B,C,D是O0上的四个点，AB=BC,若 ∠A0B=68°，则LBDC= D 【答案】34 【分析】连接0C,证明LA0B=∠B0C=68°，可得结论， 【详解】解：连接0C. 4/42 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D AB=BC, B ∠A0B=∠B0C=68°， ∠BDC=∠B0C=349, 故答案为：34. 【点晴】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理， 属于中考常考题型. 题型02 圆切线综合 ◆典例领◆ 【典例01】(2026·北京西城区·一模)如图，AB,CD均为O0的直径，作弦AE⊥CD于点F,连接 AC.过点B作⊙0的切线交AE的延长线于点G. B 求证：∠C=A0C: 2)连接DE,若DE=46,cos∠CAE=Y6,求EG的长. 3 【答案】(1)见解析 (2)EG=√2 【分析】(1)连接CE,由垂径定理可得∠4EC=∠CAE,由圆周角定理可知∠AEC=】∠AOC,等量代换 可证结论成立； (2)根据直径所对的圆周角是直角，可知∠CED=90°，根据余弦定义可知cos∠CDE=46-6 可以求 CD3 5/42 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 出AB=CD=I2,由垂径定理可知AE=2EF,利用∠CDE的余弦求出DF,利用勾股定理求出EF,从而 可得AF=4V2,AE=8N2,可以求出cos∠0AF=2y ,利用三角函数求出4G=9√2，根据 3 EG=AG-AE求出结果即可. 【详解】(1)证明：如下图所示，连接CE, 弦AE⊥直径CD, B :4C=CE, .∠AEC=LCAE, :∠4EC=1∠A0C, 2 ∠CAE=∠A0C; 2 (2)解：：CD是00的直径， .∠CED=90°， ∠CDE=∠CAE,cos∠CAE= 3 C B cos∠CDE=6 :在RtACED中，DE=4√6， cos∠CDE DE46-6,解得CD=12, CD CD 3 CD=AB=12,0A=6, :弦AE⊥直径CD, :AF EF,AE =2EF, :在RtaEFD中，∠EFD=90°， 6/42 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .DF=DECOSZCDE-46x6-8.EF-DE-DF-45)-4 3 ..AF=42,AE =82, 在Rt△0AF中，cos∠0AF=4F_22 BG为⊙O切线，OB是半径， BG⊥OB, ∠ABG=90°， :在Rt△ABG中，cos∠BAG=AB 4G' cos∠BAG=c0s∠0AF=2 3 AG=9√2， ∴EG=AG-AE=2. 【典例02】(2026·北京海淀区·一模)如图，以线段AB为直径作半圆，圆心为点O,C是半圆外一点， CA⊥AB,D为半圆上异于A的一点，且CD=CA. B (1)求证：CD是半圆O的切线； 连接OH,并延长交D于点E,连接E,交BD于点F,若snB, 长 【答案】(1)见解析 (2）)4 【分析】(1)由题意可得∠CA0=90°，连接0D、0C,证明a0AC≌a0DC(SSS),得出 ∠0DC=∠CA0=90°，即可得证； (2)连接AD,由(1)可得△OAC≌△ODC(SSS),则∠A0C=∠D0C,证明∠A0C=∠0BD,得出 sin∠A0C=sin∠OBD=3, 求出0-空0E=01-9.B-201 3,再解直角三角形得出AD=8, 0H-4,从而可得政-号，求出D-Bn-5,证明40F,EHF,由相似三角形的性质求解耳可。 【详解】(1)证明：：CA1AB, 7/42 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠CA0=90°， 如图，连接0D、0C, D B 在a0AC和a0DC中， OA=OD CA=CD OC=OC .aOAC≌aODC(SSS, .∠0DC=LCA0=90°， :0D为半圆O的半径， CD是半圆O的切线： (2)解：如图：连接AD, D E H B 由(1)可得a0AC≌△ODC(SSS), .∠AOC=∠D0C, 0B=0D, ∠0BD=∠0DB, :∠AOD=∠OBD+∠ODB,LA0D=LAOC+LD0C, ∴.∠A0C=∠0BD, sin∠0BD=y sin∠A0C=sin∠0BD=3 CA =3 0C51 CA=5, 8/42 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0c=2 ÷01=v0c2-40=20 ∴.OE=OA= 20 3， AB=20A=40 :H为BD的中点，OD=OB, .OH⊥BD, :sin∠08D= 3 :4D-30H3 AB-3'OB5' AD=8,OH=4, .EH=OE-OH =8 DH=BH=JOB2 -OH =16 , :AB为半圆O的直径， .∠ADB=90°=∠EHF, :∠AFD=∠EFH, .△ADF∽△EHF, DF_AD-8-3 FH EH8 3 :DF=3DH=4. 4 【点晴】本题考查了证明直线是圆的切线，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角 三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用， 添加适当的辅助线是解此题的关键. )方法透视 狗 1.判断直线与圆的位置关系，区分相离、相切、相交三种情况，切线判定与性质应用，是中考几何 解读 高频题型。 2.辨别切线核心条件，经过半径外端且垂直于半径的直线为切线，缺一不可，二者同时满足才可判 定。 9/42 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.区分切线长、半径、圆心距相关概念，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，夹角被圆心连 线平分。 4.理解切线常见组合模型，切线垂直半径、弦切角定理、切线与圆周角、直角三角形综合转化，常 结合勾股计算。 5.易错点判断，切线只有一个公共点；垂直于半径的直线不一定是切线，必须过半径外端，避免概 念混淆 方法 切线垂直半径边，证切两法记心间； 技能 连半径，证垂直，作垂直，证半径； 外点双切长相等，弦切等弧角同源。 ◆变式演练◆ 【变式01】(2026·北京通州区·一模)如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆0上一点，连接AC, BC,过点O作OD⊥AC于点D,过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E,连接EC. (1)求证：EC为圆O的切线： (2)连接BD并延长交AE于F,若半圆0的直径为10，an∠CAB=3, 求AF的长 【答案】(1)见解析 ②AF=60 17 【分析】(1)如图1，连接0C,垂径定理得出AD=CD,垂直平分线的性质得EA=EC，则 ∠EAC=∠ECA,根据OC=OA,得∠CA0=∠AC0,根据AE是半圆O的切线，得出∠EA0=90°，则 ∠EAC+∠CA0=∠ECA+∠AC0=90°，即OC⊥EC,即可证明EC为圆O的切线： 2作DM上AB于山，殖图2，很据垂径定理和an∠CAB=,求出BC=6,AC8,根据0BL4C 得出CD=AD=4C=4,则OD=BC=3,则sin∠0AD0=,求出DM,AM,证 2 2 △BDM∽△BFA,根据相似三角形的性质即可求解； 10/42 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：如图1，连接0C, D 图1 :OE⊥AC, :AD=CD, .OE垂直平分AC, .EA EC, .∠EAC=LECA, :0C=0A, ∴.∠CA0=∠AC0, :AE是半圆O的切线， ∴.∠EA0=90°， .∠EAC+∠CA0=∠ECA+∠AC0=90°， ..OC L EC, :0C为半径， .EC为圆O的切线. (2)解：作DM1AB于M,如图2， D MO 图2 :半圆O的直径为10，AB为半圆O的直径，tan∠CAB=3 ∴∠ACB=90°，AB=10, BC 3 .tan∠CAB= 11/42 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .设BC=3x,AC=4x, 102=(3x)2+(4x)2, 解得：x=2, BC=6,AC=8, :OE⊥AC, .AD=CD=-AC=4, :A0=B0, OD=-BC- sin 204D=OD3 A05 Fsin∠OAD=sin∠MAD=DM AD -12 C DM-SAD-S AM =AD2-DM2= 34 ∴BM=AB-AM= 5 :DM∥AE, .△BDM∽△BFA, 1234 ·2=，即55 AF 10 AF=60 17 【变式02】(2026·北京平谷区·一模)如图，AB为⊙0直径，CB是00的切线，连接AC交⊙0于点 D,E为AD上一点，连接EO并延长交OO于点G,交切线CB于点F,若∠A=∠F, G B (1)求证：E为AD中点 12/42 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)连接GD交AB于点H,若GH:HD=5:6,BF=6,求BC的值. 【答案】(1)见解析 吗 【分析】(1)连接0D,证明OE⊥AD,再由0A=0D,即可证明结论； (2连接BD,证明DB∥EF,可得&DHB,GH0,则DB-G0,设0B=G0=r,则DB-? , AB=20B=2r,证明a0 BFABDA,可得DA=6×5_36 在Rt△ADB中，利用勾股定理列方程可得 55 S,可得4B=9,DB三5，再证明AADB”aABC,可得A、D以 ,即可求解。 AB BC 【详解】(1)证明：如图，连接0D, E F B :AB为OO直径，CB是O0的切线， ∠0BF=90°， :∠A0E=∠FOB,∠A=∠F, .180°-∠A0E-∠A=180°-∠F0B-∠F, .∠AE0=∠0BF=90°， OE⊥AD, 0A=0D, AE=DE,即E为AD中点. (2)解：如图，连接BD, A G H 0 B :AB为O0直径， ∠ADB=90°， 13/42 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由(1)可知，∠AE0=90°， ·DB∥EF, △DHB∽△GHO, DB DH 6 GOGH-5 :DB=6G0, 5 设0B=G0=r则DB-F,AB=20B=2D :∠A=∠F,L0BF=LADB=90°， △OBFn△BDA, OB BF r6 = BDDA,即6，DA, 636 ∴DA=6×2= 55 在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2, - 解得r=2 .9 AB=2r=2x7=9,DB=tr=9x=27 5525 :AB为OO直径，CB是O0的切线， ÷∠ABC=90°， .ZABC ZADB, :∠BAD=∠CAB, .△ADB∽△ABC, B即 :AD、DB 3627 9 BC BC=27 4 【变式03】(2026·北京昌平区第二中学·零模)如图，P4,PB分别与⊙0相切于A,B两点，AC是⊙0 的直径. 14/42 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D H B 求证：∠BAC=2∠APB, 2连接P0交00于点D,若AC=6,cos∠B4C=号，求PD的长. 【答案】(1)证明见解析： (2)2. 【分析】(1)连接OB,由切线的性质和切线长定理可得PA=PB,OA⊥PA,OB⊥PB,进而由 0A=08可得PO平分∠APB,得到∠4P0=∠4PB,P01AB,再由 ∠OAH+∠PAH=∠APH+∠PAH=90°即可求证： (2由(1)可得eos∠AP0=c0s∠BAC=号，即得6-等4P=4x,P0=5x,可得A0=3,由 AC=2A0=6可得x=1,得到P0=5x=5,A0=0D=3x=3,进而即可求解. 【详解】(1)证明：连接OB, A D H B :PA,PB分别与OO相切于A,B两点， PA=PB,OA⊥PA,OB⊥PB, 0A=0B, PO平分∠APB, :∠AP0=∠APB,P01AB, 2 :∠OAH+∠PAH=∠APH+∠PAH=90°， 15/42 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :.∠BAC=∠APH= 4PB: 1 (2)解：：∠AP0=∠BAC, cos∠AP0=cos∠BAC=4, :、4 P03 设AP=4x,P0=5x, :∠PA0=90°， A0=VP02-Ap2=V5x2-(4x=3x, :AC=2A0=6, .3x=3, x=1, P0=5x=5,A0=0D=3x=3, PD=P0-0D=5-3=2. 【点晴】本题考查了切线的性质，切线长定理，角平分线的判定和性质，余角性质，三角函数，勾股定理， 正确作出辅助线是解题的关键. 题●型●训●练 1.(2026·北京三帆中学·零模)如图，已知O0的两弦AB、CD相交于E,且点A为CD的中点，若 ∠OBA=32°，则∠CEA的度数为 【答案】58°/58度 【分析】本题主要考查运用垂径定理求值，连接OA交CD于点F,则由垂径定理得OA⊥CD,由OA=OB得 ∠OAB=∠OBA=32°，再根据直角三角形两锐角互余可求值. 【详解】解：连接OA交CD于点F,如图， 16/42 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :点A为CD的中点， .OA⊥CD, ∠FAE+∠AEF=90°， 0A=0B, ∠0AB=∠0BA=32°， ∠AEF=90°-∠FAE=90°-32°=58°， 即∠CEA=58°， 故答案为：58°. 2.(25-26九北京文汇中学.零模)如图，在⊙0中，弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC.若∠A= 60°，∠ABC=20°，则∠C的度数为 D 【答案】40° 【分析】根据三角形的内角和定理和得到∠ODC的度数，再利用同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，可得 到结果。 【详解】解：：∠A=60°，∠ABC=20°， ∴∠ODC=180°-20°-60°=100°，∠ABC=20°， ∴.∠AOC=2∠ABC=40°， ∠C=180°-100°-40°=40° 故答案为40° 【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键 3.(25-26九下北京昌平区第二中学零模)如图，AB为00的直径，AC与⊙0相切于点A,弦BD110C·若 ∠C=36°，则∠D0C=· 17/42 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 【答案】54 【分析】利用切线的性质得∠OAC=90,利用直角三角形两锐角互余可得∠AOC=54,再根据平行线的性 质得到∠OBD=∠AOC=54,LD=∠DOC，然后根据等腰三角形的性质求出∠D的度数即可. 【详解】：AC与⊙0相切于点A, ∴.AC⊥AB, .∠OAC=90, ∴∠A0C=90-∠C=90-36=54, :BD/10C, .∠OBD=∠AOC=54,∠D=LD0C, :0B=0D, ∴∠D=∠OBD=54, .∠D0C=54. 故答案为54. 【点晴】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径， 构造定理图，得出垂直关系 4.(25-26九下北京十一学校月考)如图，AB为⊙0的直径，点C,D在00上，且AC=CD.若 ∠ABC=34°，则∠DAB的大小为 B 【答案】22 【详解】解：：AB为⊙0的直径， ∴∠ACB=90°， 18/42 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又∠ABC=34°， ·∠CAB=90°-∠ABC=56°， AC=CD, AC=CD, ·∠CAD=∠ABC=34°， ,∠DAB=∠CAB-∠CAD=22°. 5.(25-26下.北京顺义牛栏山第一中学实验学校：零模)如图所示，⊙0的半径OA=4,∠AOB=120°，则弦AB 长为 A B 【答案】45 【详解】 如图，作OC垂直弦AB于点C, ∴AC=BC, :∠AOB=120°， ∠AOC=60°，即∠OAC=30°， 又：OA=4, oc42 AB=24C=2√0A2-0C2=2V16-4=4V3 故答案为4√5 6.(25-26九下.北京西城区北京师范大学附属中学零模)如图，AB是00的直径，点C,D在00上， OD⊥AC,若∠B=50°，则∠D= 19/42 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】65 【分析】本题考查了圆和三角形.熟练掌握圆周角定理推论，等腰三角形性质，是解答该题的关键， 利用直径所对的圆周角是直角可得OD∥AC,由等腰三角形的性质推知D=65°. 【详解】解：：AB是⊙0的直径， .∠ACB=90°， .BC⊥AC: 又：OD⊥AC, ∴OD∥AC: ∠B=50°， ∠A0D=∠B=50°， 0A=0D, D-080-∠40D0)=65. 故答案为：65. 7.(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学.零模)如图，⊙0的外切四边形ABCD中相邻的三条边 AB:BC:CD=3:4:5,周长为32，则AD= 【答案】8 【分析】本题主要考查了四边形的内切圆的性质、比例的应用等知识点，掌握圆的外切四边形的对边之和 相等是解题的关键 利用圆的外切四边形的性质得到AB+CD=BC+AD,设AB=3x、BC=4x、CD=5x,则 20/42 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3x+5x=4x+AD,即AD=4x,接着利用四边形的周长为32列方程求解即可. 【详解】解：如图， B :⊙O的外切四边形ABCD, .AE=AH,BE=BF,CF=CG,DH DG, .AB+CD BC+AD, AB:BC:CD=3:4:5, 设AB=3x、BC=4x、CD=5x,则3x+5x=4x+AD,即AD=4x, :四边形ABCD的周长为32， 3x+5x+4x+4x=32,解得：x=2, AD=4x=8. 故答案为：8. 8.(25-26九下北京第四中学.零模)如图，PA,PB是⊙0的切线，A,B为切点，AC是00的直径， ∠BAC=35°，则∠P= B 【答案】70°/70度 【分析】根据PA是O0的切线，得出∠PAC=90°，根据∠BAC=35°，得出∠PAB=55°，根据切线长定理 得出PA=PB,则∠PBA=∠PAB=55°，根据三角形内角和定理求解即可 【详解】解：：PA是⊙0的切线， PA⊥AC,即∠PAC=90°， :LBAC=35°， .∠PAB=∠PAC-∠BAC=90°-35°=55°， 21/42 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :PA,PB是⊙O的切线， PA=PB, ∠PBA=∠PAB=55°， 在△PAB中，∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-55°-55°=70°. 9.(25-26九北京第二中教育集团零模)如图，点A,B,C,D,E在⊙0上，LB+LE=154°，则CD所 对的圆周角度数为。. B O● 【答案】26 【分析】本题主要考查圆内接四边形，合理作图是关键 根据题意，由圆内接四边形得到∠CBD=26°，结合图形即可求解. 【详解】解：如图所示，连接OC,OD,BC, .四边形ABCE是圆内接四边形， .∠ABC+∠AEC=180°，即∠ABD+∠CBD+∠AEC=180°， :∠ABD+∠AEC=154°， .∠CBD=180°-154°=26°， ∴CD所对的圆周角度数为LCBD=26°， 故答案为：26. 10.(2026·北京三帆中学·零模)如图，ABC中，AB=BC,⊙0是ABC的外接圆，过点B作O0的 切线BM. 22/42 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证：∠ABM=LACB; ②连接C0并延长.交AB于点H,交00于点E,交M于点F.若BF=15,m∠BCF=背，求半径和 CH的长 【答案】(1)证明见解析 2)半径的长为20，CH的长为360 13 【分析】(1)连接BO并延长，交AC于点D,易得BD垂直平分AC,结合切线的性质可证BM∥AC,故 可得∠ABM=∠BAC=∠ACB,即可证出结果： (2)连接BE,令BE=r,则BC=3r,得CE表达式，证明ABC∽ADCB,得DC=30x,BD=9 10 10 ，0D=210x 再证aBEC∽sDCB,得BE-EC-BC, 5 DC BC BD 可解出x的值，得半径的长，再证明 △ACHn△BFH,求得 BH= 60W10 进而迁期：EH8C,爬 ,即可求出CH的长 13 【详解】(1)解：连接BO并延长，交AC于点D,如下图所示： M 0 B AB=BC, 由垂径定理得BD垂直平分AC,LACB=∠BAC, ∠BDC=90°， :BM为O0的切线， ∴.∠MBD=90°=∠BDC, BM∥AC, ∠ABM=LBAC, 23/42 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABM=∠ACB. (2)解：连接BE,作图如下： M E H D :CE为⊙0的直径， tan∠BCF=tan∠BCE BE 1 BC3,0B=0C, 令BE=x,则BC=3x, .CE=√BE2+BC2=V10x, .0B=0E=OC= 10x 2 :0B=0C, .ZBCE ZDBC 又：∠EBC=LBDC=90°， aBEC∽△DCB, BE EC BC DC BC BD 故x=0x。3x DC 3x BD DC=3V10x 10 BD=910x 10 OD=BD-0B=910x0x2v10x 10 2 5 :BM∥AC, .△COD△FOB, DC OD BFOB 3√10x2V10x 10= 5 15V10x 2 解得x=4V10, 24/42 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :0B=0x-1x40=20,BE=x=40,AC=2DC=2×30x-24, 2 10 CE=10x=10×4V10=40,BC=AB=12V10, :BM∥AC, ∴△ACH∽△BFH, AC AH BF BH' 24AH8 15BH5' .BH=- AB= 13 3×12⑩=60V10 13 :∠EHB=∠CHA,∠EBH=∠HCA, .△EHB∽△AHC, HB BE HC-AC' 60W10 13 =410, HC 24 HC=360 13 11.(25-26九北京文汇中学.零模)如图，ABC中AB是⊙0的弦，AC过点O交00于点P,BC是00的 切线. B P (1)写出∠A与∠C的数量关系，并证明： (2)射线0D⊥AB于G,交⊙0于D,交CB延长线于点E,补全图形，若0G:GD=3:2,CP=6,求ED的 值 【答案】(1)2∠A+∠C=90°，证明见解析 a号 【分析】(1)连接OB,利用切线的性质得到LC+∠C0B=90°，证明LA=∠0BA,再根据三角形外角的 性质即可得到结论： 25/42 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)利用垂径定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质求出BC=8,进一步得到 40-0c-0-子再证明8C04C,求出0 15 =),根据ED=B0-D0即可求出答案， 【详解】(1)解：2LA+∠C=90 证明：连接OB, B D :BC是⊙O的切线. OB⊥BC, ∠C+∠C0B=90°， 0A=0B, .∠A=∠OBA, ∴∠C0B=∠A+∠OBA=2LA, ∴.2∠A+∠C=90 (2)解：补全图形，连接BP, E G D :OD⊥AB, :AG=BG, 0G:GD=3:2, .可设OG=3x,GD=2x, ∴A0=B0=D0=5x AG=BG=0B2-0G2=4x .AB =8x, AP=A0+0P=10x, 26/42 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BP=AP2-AB2=6x, :∠0BC=90°， ∴∠0BP+∠CBP=90°， 由(1)可知，∠C0B=2LA, :0B=0P, ÷∠0PB=∠0BP=180°-∠B0C=90-∠A, 2 ∴.∠A=90°-∠0BP ∴∠CBP=90°-∠0BP=∠A, :∠C=LC, .△BCP∽△ACB, BCCp,即8r、6r :B、BP BC=8, OB2+BC2=OC2,0C=0P+CP=6+5x (5x)2+82=(6+5x2 7 解得x= 15 ,0c25 :AB= 56 :AO=OB,OG⊥AB, ∠BOE=∠AOE :∠E+∠BOE=∠A+∠AOE=90°， 、∠E=∠A, :∠C=LC, .△ECO∽△ACB, 56 AB EO 即5E0 BC CO 8-25， 3 解得B0=3 5ED=E0-D0=35714 939 27/42 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12.(2026·北京燕山区·一模)如图，过⊙0外一点P作⊙0的两条切线PA,PB,切点分别为A,B, AC是OO的直径，连接CB并延长交直线AP于点D. D B ○ (1)求证：PD=PA; 2延长BP交CA的延长线于点E.若o0的半径为2，smE=号求BC的长。 【答案】(1)见解析 2,4v5 3 【分析】(1)连接OB,利用切线的性质和切线长定理得到LOAP=∠OBP=90°，PA=PB,利用等腰三 角形性质和等量代换得到PD=PB,利用等量代换即可证明PD=PA; (2)连接OB,B,在RaP4E中，利用snE=行符到设PA=,PE=,则PD=P8=PA=, MB=2N2x.在Rta0BE中，利用sinE=0A-建立等式算出x的值，进而得到4C,利用勾股定理得到 OE 3 CD,证明aCBA∽aCAD,利用相似三角形的性质即可求出BC. 【详解】(1)证明：连接OB,如图1. D PA,PB是O0的切线，OA,OB是⊙O的半径， 图1 .PA=PB,∠OAP=∠0BP=90°， .∠D+∠C=90°，∠1+∠2=90°. 0B=OC, LC=∠2， 28/42 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠1=∠D, :PD PB. 又：PA=PB, :PD =PA. (2)解：连接OB,AB,如图2. D 2, E 图2 在RP4E中，mE-是- 设PA=x,PE=3x.则PD=PB=PA=x,AE=2V2x 在RtOBE中，SimE28E=,即222T3,解将r1 :AD=2,CD=AC2+AD2=23. :AC是⊙0的直径， ∠CBA=90° ∠CBA=∠CAD=90°，∠C=∠C, △CBA∽△CAD. BC AC AC DC :BC=22x2245 2W3 3 【点晴】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定 和性质、解直角三角形、熟练掌握切线的性质，能够正确作出辅助线是解答问题的关键 13.(25-26九下北京昌平区第二中学.零模)如图，AB是00的弦，半径0E⊥AB,P为AB延长线上一点， PC与OO相切于点C,CE与AB交于点F. 29/42 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求证：PC=PF; 2连接OB,若0B∥PC,00的半径为3.amP=子，求FB的长。 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】(1)连接0C.由切线的性质可得∠0CP=90°，由等腰三角形的性质可得LE=L0CE,可得 ∠CFP=∠FCP,可得PC=PF; (2)过点B作BH⊥PC于点H,由题意可证四边形OCHB是正方形，在Rt△BHP中，解直角三角形，可 求PH,BP的长，即可求BF的长 【详解】(1)解：连接0C. B P OE⊥AB, .∠EGF=90°. PC与⊙C相切于点C, :∠0CP=90°， .∠E+∠EFG=LOCF+LPCF=90°. :0E=0C, ∠E=∠OCF, ∠EFG=∠PCF. :∠EFG=∠PFC, ∠PCF=∠PFC, :PC=PF; (2)解：过点B作BH⊥PC于点H. 30/42 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :0B∥PC,∠0CP=90°， ∠B0C=90°. :四边形OCHB是矩形， :0B=0C, .四边形OCHB是正方形， .BH=CH =0B=OC=3, 在R△BHP中，PH=BH=4, tan P :PF PC =3+4=7,BP=PH2+BH2=5, FB=7-5=2. 【点晴】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，平行线的 性质，以及锐角三角函数等知识，需要学生灵活运用所学知识. 14.(25-26九下北京十一学校月考)如图，AB为00的直径，AC、CD为O0的弦，AB与CD交于点E, CF⊥DB的延长线于点F,∠ABD=2LBAC· (1)求证：CF为00的切线： (2)若AC=45,DF=2CF,求EB的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)BE=30 1 【分析】(1)连接OC、BC,由角度关系可证得∠OCE=∠EDB,结合CF⊥DB进行等量代换，可求得 ∠OCF=90°，即OC⊥CF,即可得证： (2)证明△ACBn△DFC,可得CB=2V5,AB=10,OC=5,再证明△ACB∽△CFB,可得CF=4, 31/42 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BF=2,DF=8,DB=6,再证明△OCE∽△BDE,由线段比例关系即可求出EB的长. 【详解】(1)解：连接0C、BC,如下图所示： ZCOB=2ZBAC ZABD =22BAC. ∴∠COB=∠ABD, 又：∠DEB=∠CE0, .LOCE=180°-∠COB-∠CE0=180°-∠ABD-∠DEB=∠EDB, ∠OCE=LEDB, CF⊥DB, .∠CFD=90°，∠DCF+∠CDB=90°， :∠CDB=LOCE, ∴.∠DCF+∠0CE=90°， .∠OCF=90°，即0C⊥CF, CF为O0的切线： (2)解：：∠CAB=∠CDF,LACB=∠CFD=90°， ∴.△ACB∽aDFC, CB AC CF DE 即DF4AC CF-CB' AC=45,DF=2CF, CB= 4C=2V5, AB=VAC2+CB2=10,0C=0A=0B=5, :LACB=∠AC0+∠0CB=90°=∠0CF=L0CB+∠BCF, ∠ACO=∠BCF, :0A=0C, 32/42 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AC0=∠CA0, ·LCAB=∠BCF, 又：∠ACB=∠CFB=90°， △ACBACFB, CB AC AB BF CF BC 即2545.10 BF CF25 解得CF=4,BF=2, .DF=2CF=8, DB=6, :∠CEO=∠BED,∠COB=LDBE, ∴△OCE∽aBDE, .0C0E BD BE 5_5-BE 6 BE 解得BE=30 1 15.(25-26下.北京顺义牛栏山第一中学实验学校零模)如图，AB为00的直径，点C在00上， ∠EAC=∠CAB,直线CD⊥AE于点D,交AB的延长线于点F. E D (1)求证：直线CD为00的切线： .1 2当anF=2CD=2时，求aF的长， 【答案】(1)见解析 (2)5-5 【分析】(1)连接0C,根据等腰三角形的性质得到LCA0=∠AC0,则可得到LDAC=LAC0,推出 OC‖AD,进而可证明OC⊥DF,根据切线的判定定理得到结论： 33/42 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)设OC=x,则CF=2x,A0=0OB=x,根据勾股定理得到OF=V5x,证明△AFD∽△OFC,根据相 似三角形的性质建立方程求解即可。 【详解】(1)证明：如图所示，连接0C, E D :0A=0C, B ∠CA0=∠AC0, :∠EAC=∠CAB, ∠DAC=LACO, .OC Il AD, :CD⊥AD, OC⊥DF, :0C是00的半径， :直线CD为O0的切线； (2)解：由(1)得0C∥AD,0C⊥DF,即∠0CF=90°， tanF=2 1 0C1 CF2' 设0C=x,则CF=2x,A0=0B=x, ..OF=OC2+CF2=5x OC‖AD, △AFD∽aOFC, CF OF DF AF' 2x 5x 2x+2 5x+x x=√5（已检验）， .BF=0F-OB=5x-x=5-√5 34/42 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 16.(25-26九下北京西城区北京师范大学附属中学.零模)如图，ABC是00的内接三角形，∠ACB=45°， 点P在BC的延长线上，PA∥OB. ○ (1)求证：PA是00的切线： 2若OB、1 AP2'PB=0,求00半径的长. 【答案】(1)PA是⊙0的切线 (2)1 【分析】(1)先利用圆周角定理证得∠A0B=90°，再根据平行线的性质，求得∠PA0=90°，然后利用切 线的判定得出结论： (2)先证明△OBD∽△APD,再根据相似三角形的性质，列出比例式，设OD=k,接着用k表示出OB, 然后利用勾股定理求得BD,代入比例式中，求得PD,再利用线段的和求得BP,得到关于k的方程，求出 k,最后求出OB. 【详解】(1)证明：如图，连接OA. B ∠ACB=45°， A ∠A0B=2LACB=90°. :PA∥0B, LPA0=LA0B=90°. :A0是半径， .PA是⊙0的切线， (2)设OA与BP相交于点D, :PA∥OB, .∠OBP=∠P 35/42 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠BDO=∠ADP, △OBD∽△APD. OD BD OB AD PD AP' OB 1 AP-2' OD BD OB 1 AD PD AP2 :0B=0A, ODOD 1 OB OA 3 设OD=k,则0B=3k. 在Rt△OBD中，BD=VOB2+0D2=V10k: ..BD 1 ·PD2 .PD=2V10k. ..PB PD+BD =3v10k. PB=√10， 310k=√10， k=! 3 0B=3k=1. 【点晴】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用平行线的性质求角度，解题 的关键是证明三角形相似，列出比例式求出待求线段的长 17.(25-26九下.北京师范大学实验华夏女子中学.零模)如图，矩形ABCD内接于⊙0，E是AD上一点，连 接EB,EC分别交AD于点F,G,EG=FG=3. 0 (1)求证：AD=EC; (2)若AF=1,求00的直径. 36/42 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)见详解 (2)214 【分析】(1)根据题意得AD=BC·AD∥BC,证出△EFG∽△EBC,由EG=FG得BC=EC即可求证 AD=EC. (2)根据题意证出△EFG~AEBC,得到FG-EG-EF ,设DG=x,则AD=BC=4+x,表示出 BC EC EB GC=x+1,DC=√2x+1,连接AE，在Rt△AEG中，求出AE=√万，在Rt△AEC和RtAADC中， 表示出AC=√AE2+EC2，AC=√AD2+DC2，列式计算出x=3，再利用勾股定理计算直径即可. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是矩形， AD=BC·AD∥BC, .∠EGF=∠ECB,∠EFG=LEBC, .△EFG∽△EBC, EG=FG, BC=EC· ·AD=EC. (2)解：ABCD为矩形，AF=1, .AD∥BC,∠D=90° .FG∥BC, ∴.△EFGn△EBC, BC EC EB 设DG=x,则AD=BC=4+x, EG=FG=3, 3 3 4+x3+GC .GC=x+1, 在RtAGDC中，DC=VGC2-DG2=√2x+1=AB， 连接AE, 37/42 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G :AC为直径， .∠AEC=90°， 在RIA AEG中，AE=VAG2-EG=V42-32=V万， 在Rt△AEC中，AC=VAE2+EC2, 在RtaADC中，AC=√AD2+DC2, AD2 DC2 AE2+EC2, :AD=4+x,DC=V2x+1,EC=x+4,AE=V万， (4+x)2+(W2x+1)2=(V7)2+(x+4)2, 解得：x=3, AC=AE2+EC2= 万列++4=24， 00的直径为214 18.(25-26九下.北京第四中学.零模)如图，AC是⊙0的直径，PA与⊙0相切于点A,过点A作OP的垂线， 交00于B,连PB. B (1)求证：PB是00切线： 2连接PC,交B于E,若n∠4P0=,0D=3,求CE的长。 【答案】(1)证明见详解 (2)210 【分析】(1)连接OB,根据已知条件利用垂径定理得出AD=BD,再由等腰三角形三线合一的性质推出 38/42 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠PAB=∠PBA,利用等腰三角形的性质，角度的和差关系结合已知条件即可证明结论； (2)结合已知条件和直角三角形两锐角互余得出am乙4P0=am∠04D,利用正切的定义求得相关线段的 长度，再证明△OAD∽△CAB和△DEP∽△BEC,得到相关线段的长度，最后利用勾股定理即可求得结果， 【详解】(1)证明：如图，连接OB, B :OP⊥AB于点D, :AD BD :PA=PB, ∠PAB=∠PBA, :0A=0B, ∴∠OBA=LOAB, :PA为00的切线， .PA LOA, .∠PA0=90°， .∠PBO=∠PBA+∠OBA=∠PAB+∠OAB=∠PAO=90°， :OB是O0的半径，且PB⊥OB, PB为OO的切线. (2)解：如图，连接BC, D :∠PA0=∠AD0=90°， ∴∠AP0+∠P0A=∠POA+∠0AD=90°， ∴.∠APO=∠OAD, 39/42 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :amL4P0=ian∠0AD=2 在R△OAD中，amZ0AD=A2,即31 DA2' DA=6, :OP⊥AB于点D, .AD=DB=6, 在Rt△PAD中，tan∠APO= 品即0 DP2' .DP=12, :∠ABC=90°，AB⊥OP, OP∥BC, .△OADn△CAB, 0D=0A1 BC AC2' 31 8c=2' BC=6, 又：∠DEP=∠BEC,∠CBE=LPDE=90° △DEPn△BEC, .DP DE 12 =2, BC BE 6 :DE =2BE, .DE BE =2BE +BE=BD=6, 即BE=2,DE=4, 在Rt△CEB中，CE=VCB2+BE2=V62+22=210: 19.(25-26九北京第二中教育集团零模)如图，AB为00直径，AC为弦，且DC为⊙0的切线，过D作 DE⊥OA于点E,延长DC交AB的延长线于点H. F H D (1)求证：DC=DF; 40/42 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 (2)若E为OA的中点，DH=10,sinD= 5’ 求此时圆的半径的长度， 【答案】(1)见解析 24 【分析】(1)利用切线的性质得到∠OCD=90°，利用等角的余角相等即可证明LDCF=∠CFD,再利用等 腰三角形的判定定理即可证明DC=DF; (2)设OE=x,则OA=2x,利用三角函数的定义求出HE,根据勾股定理得出的DE长，然后利用 △HCO∽aHED,可得半径的长. 【详解】(1)证明：如图，连接0C, D :DC为⊙0的切线， .DC LOC, .∠0CD=90°， .∠0CA+∠DCF=90°， DE⊥OA, .∠AED=90°， .L0AC+∠AFE=90°， :0A=0C, .ZOAC Z0CA, ∠DCF=∠AFE, ∠AFE=∠CFD, ∴.∠DCF=∠CFD, .DC=DF; (2)解：设0E=x, :E为OA的中点， ∴0A=20E=2x, 41/42 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :0A=0C, 0C=2x, EH 3 '.sin D= DH5’DH=10, .HE=6, 由勾股定理得，DE=√DH2-HE2=8, :∠HC0=∠DEH=90,∠H=LH, .△HCO∽△HED, OC OH ED DH 2x6-x 8=10 都得x号 2半径为2=号 【点晴】本题考查了圆的切线的性质，三角函数的定义，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质等知识， 熟练掌握各性质是解题的关键。 42/42 专题07 圆 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 圆的基本性质 题型02 圆切线综合 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 圆的基本性质 典例引领 【典例01】（2026·北京西城区·一模）如图，在边长为的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为________． 【典例02】（2026·北京海淀区·一模）如图，为的直径，点A为的中点．若，则的大小为______°． 方法透视 考向解读 1. 判断圆的基本概念，区分弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、圆心角、圆周角，辨析概念异同，是中考基础常考题型。 2. 辨别直径与普通弦的关系，直径是圆中最长的弦，直径属于特殊弦，弦不一定是直径。 3. 区分等弧、同弧、等圆、同心圆，能够完全重合的弧是等弧，同圆或等圆中才具备弧、弦、圆心角等量转化关系。 4. 理解圆中各类角的性质，圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上；直径所对圆周角为直角，90° 圆周角所对弦是直径。 5. 易错点判断，半圆是弧不含直径，圆内最长弦为直径；同弦所对圆周角有两种，易遗漏多解情况。 方法技能 圆心角对同段弧，圆周角度一半足； 直径对角必为直，等圆等弧弦相等； 垂径平分弦与弧，同弦两角双解出。 变式演练 【变式01】（2026·北京平谷区·一模）如图，内接于，，若，则的长为___． 【变式02】（2026·北京通州区·一模）如图，内接于，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于P、Q两点，作直线交于点D，连接并延长交于点E，连接、，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式03】（2026·北京昌平区第二中学·零模）如图，，B，，是上的四个点，，若，则__________°． 题型02 圆切线综合 典例引领 【典例01】（2026·北京西城区·一模）如图，，均为的直径，作弦于点，连接．过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 【典例02】（2026·北京海淀区·一模）如图，以线段为直径作半圆，圆心为点O，C是半圆外一点，，D为半圆上异于A的一点，且． (1)求证：是半圆O的切线； (2)取中点H，连接，并延长交于点E，连接，交于点F．若，，求的长． 方法透视 考向解读 1. 判断直线与圆的位置关系，区分相离、相切、相交三种情况，切线判定与性质应用，是中考几何高频题型。 2. 辨别切线核心条件，经过半径外端且垂直于半径的直线为切线，缺一不可，二者同时满足才可判定。 3. 区分切线长、半径、圆心距相关概念，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，夹角被圆心连线平分。 4. 理解切线常见组合模型，切线垂直半径、弦切角定理、切线与圆周角、直角三角形综合转化，常结合勾股计算。 5. 易错点判断，切线只有一个公共点；垂直于半径的直线不一定是切线，必须过半径外端，避免概念混淆。 方法技能 切线垂直半径边，证切两法记心间； 连半径，证垂直，作垂直，证半径； 外点双切长相等，弦切等弧角同源。 变式演练 【变式01】（2026·北京通州区·一模）如图，已知为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接，，过点O作于点D，过点A作半圆O的切线交的延长线于点E，连接． (1)求证：为圆O的切线； (2)连接并延长交于F，若半圆O的直径为10，，求的长． 【变式02】（2026·北京平谷区·一模）如图，为直径，是的切线，连接交于点为上一点，连接并延长交于点，交切线于点，若． (1)求证：为中点 (2)连接交于点，若，，求的值． 【变式03】（2026·北京昌平区第二中学·零模）如图，分别与相切于两点，是的直径． (1)求证：； (2)连接交于点，若，，求的长． 题●型●训●练 1．（2026·北京三帆中学·零模）如图，已知的两弦相交于，且点为的中点，若，则的度数为______． 2．(25-26九·北京文汇中学·零模)如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ABC＝20°，则∠C的度数为__． 3．(25-26九下·北京昌平区第二中学·零模)如图，为的直径，与相切于点，弦．若，则______. 4．(25-26九下·北京十一学校·月考)如图，为的直径，点C，D在上，且．若，则的大小为_________． 5．(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·零模)如图所示，⊙O的半径OA=4，∠AOB=120°，则弦AB长为____________. 6．(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属中学·零模)如图，是的直径，点C，D在上，，若，则___________°． 7．(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学·零模)如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则__________． 8．(25-26九下·北京第四中学·零模)如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则_________． 9．(25-26九·北京第二中教育集团·零模)如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为______． 10．（2026·北京三帆中学·零模）如图，中，，是的外接圆，过点作的切线． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点，交于点，交于点．若，，求半径和的长． 11．(25-26九·北京文汇中学·零模)如图，中是的弦，过点O交于点P，是的切线． (1)写出与的数量关系，并证明； (2)射线于G，交于D，交延长线于点E，补全图形，若，，求的值． 12．（2026·北京燕山区·一模）如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，是的直径，连接并延长交直线于点D． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点E．若的半径为，，求的长． 13．(25-26九下·北京昌平区第二中学·零模)如图，是的弦，半径，为延长线上一点，与相切于点与交于点． (1)求证：； (2)连接，若，的半径为3，，求的长． 14．(25-26九下·北京十一学校·月考)如图，为的直径，、为的弦，与交于点，的延长线于点，． (1)求证：为的切线： (2)若，，求的长． 15．(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·)如图，为的直径，点C在上，，直线于点D，交的延长线于点F． (1)求证：直线为的切线； (2)当，时，求的长． 16．(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属中学·)如图，是的内接三角形，，点P在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长． 17．(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学·)如图，矩形内接于，E是上一点，连接，分别交于点F，G，． (1)求证：； (2)若，求的直径． 18．(25-26九下·北京第四中学·)如图，是的直径，与相切于点A，过点A作的垂线，交于B，连． (1)求证：是切线； (2)连接，交AB于E，若，，求的长． 19．(25-26九·北京第二中教育集团·)如图，为直径，为弦，且为的切线，过D作于点E，延长交的延长线于点H．    (1)求证：； (2)若E为的中点，，，求此时圆的半径的长度． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $