八年级数学下学期第三次学情自测·培优卷（新教材北师大版，举一反三,测试范围：第1章 三角形的证明及其应用～第5章 分式与分式方程）

八年级数学下学期第三次学情自测·培优卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 三角形的证明及其应用~第5章 分式与分式方程 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 2．下列图形既是正方体展开图，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）下列各组数中，是勾股数的为（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．6，8，9 5．（25-26八年级上·广西南宁·期末）已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·广西桂林·月考）对于任意整数，多项式都能被（   ）整除． A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（25-26八年级上·天津·月考）如图，每个小正方形的边长为1，若、、是小正方形的顶点，则度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 9．（25-26八年级上·陕西西安·月考）小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”，“我”，“爱”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．最美铁曲 B．我爱最美 C．我爱美曲 D．我爱铁曲 10．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知关于x的不等式组有解、则a的取值范围是______． 12．（25-26七年级上·上海闵行·月考）关于的方程的解是非负数，那么的取值范围是___________． 13．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 14．（25-26八年级上·山东·课后作业）一项工程，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，则两人一起完成这项工程需要____小时． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）设，是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为24，斜边长为10，则的值为________． 16．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（25-26八年级上·江苏常州·期中）因式分解： (1)； (2)． 18．（6分）（25-26七年级上·吉林松原·期末）解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 19．（8分）（25-26八年级上·广东东莞·期末）已知． (1)化简； (2)当满足方程时，求的值． 20．（8分）（25-26七年级上·贵州遵义·月考）已知：四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 21．（10分）（25-26八年级上·广西河池·期末）在创建全国文明城市活动中，某市城投公司对文化广场的地砖进行改造升级，在铺设的地砖后，采用新的铺设模式，每天的工作效率比原来提高，共用天完成了全部改造任务． (1)求原来每天铺设地砖多少； (2)若该公司原来每天支付民工工资为元，提高工作效率后每天支付的工资增加了，求完成全部任务后共支付民工工资多少元． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出向左平移4个单位后得到的对应； (2)画出绕原点旋转后得到的对应； (3)观察发现，与关于某点成中心对称，写出对称中心的坐标． 23．（12分）（25-26八年级上·山东临沂·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．例如：，． 解决下列问题： 【理解知识】 （1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】 （2）将下列假分式化为带分式： ①；②； 【运用知识】 （3）如果分式的值为整数，求x的整数值． 24．（12分）（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，点是等边内一点，是外一点，，，，，连接． (1)当时，试判断的形状，并说明理由； (2)当是等腰三角形时，直接写出的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期第三次学情自测·培优卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】设，，然后代入求解． 【详解】解： ∴设，，， ∴． 2．下列图形既是正方体展开图，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、它是正方体展开图，但不是中心对称图形； B、它是正方体展开图，但不是中心对称图形； C、它是正方体展开图，也是中心对称图形； D、它是中心对称图形，但不是正方体展开图． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．根据不等式的性质，逐一判断选项即可得． 【详解】解：A、不等式两边同时减去3，不等号方向不改变，即，选项说法正确，符合题意； B、不等式两边同时加3，不等号方向不改变，即，选项说法错误，不符合题意； C、不等式两边同时乘，不等号方向不改变，即，选项说法错误，不符合题意； D、当，时，满足，此时，，，故选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 4．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）下列各组数中，是勾股数的为（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．6，8，9 【答案】C 【分析】若三个正整数满足较小的两个数的平方之和等于最大数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴1，2，3不是勾股数，不符合题意； B、∵， ∴4，5，6不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴3，4，5是勾股数，符合题意； D、∵， ∴6，8，9不是勾股数，不符合题意． 5．（25-26八年级上·广西南宁·期末）已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解“不等式组有且只有3个整数解”是解本题的关键． 先解不等式组得到解集为，由有且只有3个整数解，确定整数解为，从而推导出的取值范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有3个整数解， ∴整数解为， ∴的取值范围为， 故选：A． 6．（25-26七年级上·广西桂林·月考）对于任意整数，多项式都能被（   ）整除． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将多项式进行因式分解，再根据整除的性质即可得出答案． 【详解】解： ， ∵为整数， ∴也为整数， ∴能被整除， ∴多项式都能被整除． 7．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，正确进行计算是解题关键．分式方程无解需考虑整式方程无解或产生增根，本题整式方程恒有解，故仅需分析增根情况． 【详解】解：∵原分式方程为， ∴将方程变形为， ∵方程两边同乘最简公分母（），得， 整理得， ∵分式方程无解， ∴是原方程的增根， 将代入，得， 解得， ∴m的值为6． 故选：C． 8．（25-26八年级上·天津·月考）如图，每个小正方形的边长为1，若、、是小正方形的顶点，则度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据网格结构利用勾股定理分别求出、、的长度，再利用勾股定理逆定理判断的形状，最后根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ∵，且， ∴是等腰直角三角形， ∴． 9．（25-26八年级上·陕西西安·月考）小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”，“我”，“爱”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．最美铁曲 B．我爱最美 C．我爱美曲 D．我爱铁曲 【答案】A 【分析】先对原式因式分解，再根据因式与汉字的对应关系得到密码信息，即可选出正确选项． 【详解】解： ∵ ，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”， ∴结果呈现的密码信息可能是最美铁曲． 10．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】过点A作于M，再过点D作边上的高，证明，可得，再用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于M，再过点D作边上的高， 在中，，， ∴，， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知关于x的不等式组有解、则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 由于不等式组有解， 则． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·上海闵行·月考）关于的方程的解是非负数，那么的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先求出分式方程的解，再根据解为非负数列不等式求解，最后根据增根的约束条件得到不等式，即可求解． 【详解】解： ， 解得， ∵关于的方程的解是非负数 ∴， 解得， ∵是增根， ∴ ∴， ∴的取值范围是且． 13．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 【答案】11 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·山东·课后作业）一项工程，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，则两人一起完成这项工程需要____小时． 【答案】 【分析】该题考查了分式除法的应用，甲单独做一小时可完成工程总量的，乙单独做一小时可完成工程总量的，二人合作一小时可完成工程总量的．工程总量除以二人合作一小时可完成工程量即可得出二人合作完成该工程所需时间． 【详解】解：设该工程总量为1，二人合作完成该工程所需小时． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）设，是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为24，斜边长为10，则的值为________． 【答案】48 【分析】由该三角形的周长为24，斜边长为10可知a＋b＋10＝24，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值． 【详解】解：∵三角形的周长为24，斜边长为10， ∴a＋b＋10＝24， ∴a＋b＝14， ∵a、b是直角三角形的两条直角边， ∴a2＋b2＝102， 则a2＋b2＝（a＋b）2−2ab＝102， 即142−2ab＝102， ∴ab＝48． 故答案为：48． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，掌握利用勾股定理证明线段的平方关系及完全平方公式的变形求值是解题的关键． 16．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】连接，根据等腰三角形性质求出，根据线段垂直平分线性质求出，根据等边对等角即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（25-26八年级上·江苏常州·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式后利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 18．（6分）（25-26七年级上·吉林松原·期末）解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 【分析】（1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1求解不等式，并在数轴上表示即可． （2）先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可． 本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 不等式的解集在数轴上为： （2）解：， 解不等式①得 解不等式②得， 故不等式组的解集为． 在数轴上表示为： 19．（8分）（25-26八年级上·广东东莞·期末）已知． (1)化简； (2)当满足方程时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，解分式方程，掌握分式的加减运算法则，是解题的关键． （1）根据异分母分式的加减法则，进行计算即可； （2）先解分式方程，然后再把的值代入（1）的结论进行计算即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 则． 20．（8分）（25-26七年级上·贵州遵义·月考）已知：四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理可知的长度； （2）根据勾股定理的逆定理可知，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）在中，，，， 根据勾股定理得，； （2）在中，，，， ， ∴为直角三角形，且， ． 21．（10分）（25-26八年级上·广西河池·期末）在创建全国文明城市活动中，某市城投公司对文化广场的地砖进行改造升级，在铺设的地砖后，采用新的铺设模式，每天的工作效率比原来提高，共用天完成了全部改造任务． (1)求原来每天铺设地砖多少； (2)若该公司原来每天支付民工工资为元，提高工作效率后每天支付的工资增加了，求完成全部任务后共支付民工工资多少元． 【答案】(1)原来每天铺设地砖； (2)元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数运算的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设原来每天铺设地砖，则采用新模式后每天铺设地砖，由题意得，然后解方程并检验即可； （）由（）可知原来铺设地砖天，采用新模式后铺设了天，然后列出算出即可求解． 【详解】（1）解：设原来每天铺设地砖，则采用新模式后每天铺设地砖， 由题意得：， 解方程得：， 经检验是原方程的解且符合题意， 答：原来每天铺设地砖； （2）解：由（）可知原来铺设地砖（天），则采用新模式后铺设了（天）， ∴该公司支付给民工的工资总额为： （元）． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出向左平移4个单位后得到的对应； (2)画出绕原点旋转后得到的对应； (3)观察发现，与关于某点成中心对称，写出对称中心的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的； （2）依据绕原点旋转，即可画出旋转后的； （3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，分别确定，，平移后的对应点，，，得到即为所求； （2）解：如图所示，分别确定，，旋转后的对应点，，，得到即为所求； （3）解：由图可得，与关于点成中心对称． 23．（12分）（25-26八年级上·山东临沂·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．例如：，． 解决下列问题： 【理解知识】 （1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】 （2）将下列假分式化为带分式： ①；②； 【运用知识】 （3）如果分式的值为整数，求x的整数值． 【答案】（1）真；（2）①，②；（3） 【分析】（1）根据“真分式”和“假分式”定义即可判断； （2）①将分子写成，然后进行变形即可解答；②将分子写成，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据x为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】解：（1）∵分子2026的次数为0，分母的次数为1， ∴是真分式． （2）①； ②． （3）原式 ， ∵的值为整数，x为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∵在化简过程中，各分母均不能为0， ∴，，，， 解得，，，， ∴在中，应舍去， ∴． ∴x的整数值为． 【点睛】注意分式有意义的条件，分母不能为0． 24．（12分）（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，点是等边内一点，是外一点，，，，，连接． (1)当时，试判断的形状，并说明理由； (2)当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)或或 【分析】（1）先由全等三角形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，进而求出三个内角的度数，即可判断的形状； （2）先由全等三角形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，据此分别求出三个内角的度数，再根据等腰三角形的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：， ∴，， ∵ ∴是等边三角形， ． ， ∴， ∵， ， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：． 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $