七年级数学下学期第三次学情自测·培优卷（新教材华东师大版，举一反三，测试范围：第5章 一元一次方程～第8章 三角形）

七年级数学下学期第一次学情自测·培优卷 【新教材华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．根据不等式的性质，逐一判断选项即可得． 【详解】解：A、不等式两边同时减去3，不等号方向不改变，即，选项说法正确，符合题意； B、不等式两边同时加3，不等号方向不改变，即，选项说法错误，不符合题意； C、不等式两边同时乘，不等号方向不改变，即，选项说法错误，不符合题意； D、当，时，满足，此时，，，故选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 已知方程组的解满足两个方程，先利用第一个方程求出未知数的值，再将解代入各选项验证是否成立． 【详解】解：将解，代入第一个方程， 得：， 解得：， ∴方程组的解为， 将解代入各选项验证： A．，，，不成立，故该选项不符合题意； B．，，，成立，故该选项符合题意； C． ，，，不成立，故该选项不符合题意； D．，，，不成立，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（25-26七年级上·吉林长春·期末）已知某三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围，再对应选项判断即可． 【详解】解：三角形三边长为，，， 根据三角形三边关系得， 即， 选项中只有满足该范围， ∴答案选C． 4．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·月考）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形外角性质，灵活运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．根据三角板的角度特征得到，进而求出式子的值． 【详解】解：如图， ， ． 故选：． 5．（25-26七年级上·山西长治·期末）解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将关于的方程整理可得，根据与无关求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不论为何值，的解都相同， ∴， ∴，． 6．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键，将方程组的两个方程相加，求得，再根据列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围． 【详解】解：， 由得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴ 的取值范围是 ， 故选：B 7．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为，宽又是75厘米，故，矩形的长可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽． 【详解】解：根据图示可得， 故选：B． 8．（25-26七年级上·湖南·期末）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么这个多边形的一个外角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形内角和和外角和定理，设这个多边形的边数为n，根据n边形的内角和为得到方程，解方程求出，再根据多边形外角和为360度即可求出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的一个外角等于， 故选：B． 9．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，，，分别是，，的中线，若，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线与面积，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 故选：B． 10．（25-26八年级上·广西南宁·期末）已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解“不等式组有且只有3个整数解”是解本题的关键． 先解不等式组得到解集为，由有且只有3个整数解，确定整数解为，从而推导出的取值范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有3个整数解， ∴整数解为， ∴的取值范围为， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·山西太原·月考）若是二元一次方程的一个解，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解和代数式求值，运用整体代入的思想方法是解本题的关键. 先将方程的解代入方程，求出，再整体代入求值即可. 【详解】解：把代入得：． 则． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知关于x的不等式组有解、则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 由于不等式组有解， 则． 故答案为：． 13．（25-26七年级上·山西长治·期末）小明同学为留守儿童捐赠了一个书包．已知这个书包标价元，现在打折出售，支付时还可以再减免元，小明实际支付了元，则打了______折． 【答案】七 【分析】设打了折，利用实际支付的金额标价折扣率可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设打了折， 根据题意得， 解得， 打了七折． 14．（25-26七年级上·江西吉安·期末）若某个多边形从一个顶点出发可以分出7个三角形，则这个多边形是_____________边形． 【答案】九 【分析】本题考查了多边形．根据多边形从一个顶点出发可引出对角线将多边形分割成个三角形的性质，直接列方程求解． 【详解】解：设多边形边数为n，从一个顶点出发可分出的三角形个数为， 已知分出7个三角形，故， 解得，因此这个多边形是九边形． 故答案为：九． 15．（25-26九年级上·四川广元·期末）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．关于的方程是“立信方程”，则符合要求的正整数为________． 【答案】4、6或 【分析】本题考查一元一次方程的整数解问题，关键是将方程整理为用含的式子表示的形式，根据为整数、为正整数确定的取值．先通过移项合并同类项得到关于的表达式，再根据是整数，分析为7的整数约数，结合为正整数筛选出符合条件的值． 【详解】解：原方程，移项得，合并同类项得，即． ∵方程是“立信方程”，即方程的解为整数，且为正整数， ∴是7的整数约数，7的整数约数为，． 分情况讨论： 当时，，此时，是整数，符合要求； 当时，，此时，是整数，符合要求； 当时，，此时，是整数，符合要求； 当时，，不是正整数，舍去； ∴符合要求的正整数为4、6或． 故答案为：4、6或． 16．（25-26八年级上·湖南·期末）如图，边延长线上有一点，平分的外角，，，则的度数是_______ 度． 【答案】75 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质及角平分线的定义，熟知三角形的外角性质及角平分线的定义是解题的关键． 先求出的度数，再结合三角形外角的性质进行计算即可． 【详解】解：平分，， ． ， ． 故答案为：75． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级上·山西长治·期末）解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得 系数化为得； （2）解：原方程组整理得， 得，解得， 将代入得，解得， 故原方程组的解为 18．（6分）（25-26七年级上·吉林松原·期末）解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 【分析】（1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1求解不等式，并在数轴上表示即可． （2）先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可． 本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 不等式的解集在数轴上为： （2）解：， 解不等式①得 解不等式②得， 故不等式组的解集为． 在数轴上表示为： 19．（8分）（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)5 (2)或或 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为是解决问题的关键． （1）根据多边形的内角和公式、外角和是列方程求解即可； （2）由题意分情况讨论，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数是， 由题意得：， 解得， 答：这个多边形的边数是； （2）解：截去一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了． 截完后所形成的新多边形的边数可能是或或， ①当多边形为四边形时，其内角和为； ②当多边形为五边形时，其内角和为； ③当多边形为六边形时，其内角和为； 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 20．（8分）（25-26八年级上·陕西西安·期末）我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； (2)共有3种购买方案：方案1：购买10本笔记本，27支钢笔；方案2：购买20本笔记本，18支钢笔；方案3：购买30本笔记本，9支钢笔 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元，根据“买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；买5本笔记本和1支钢笔，需要110元”，可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m本笔记本，n支钢笔，利用总价单价数量，可列出关于m、n的二元一次方程，结合m、n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； （2）解：设购买m本笔记本，n支钢笔， 根据题意得：， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买10本笔记本，27支钢笔； 方案2：购买20本笔记本，18支钢笔； 方案3：购买30本笔记本，9支钢笔． 21．（10分）（25-26八年级上·浙江·期末）如图，在中，和的平分线，相交于点． (1)若，则的度数为　　　． (2)若，求（用含的代数式表示）． 【答案】(1)110 (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和得出的值，再根据角平分线的定义易得出的值，然后再根据三角形内角和即可得出答案； （2）根据三角形内角和得出的值，再根据角平分线的定义易得出的值，然后再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ， 故答案为：； （2）解： ， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ． 22．（10分）（25-26六年级上·上海·月考）已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，正确理解的意义是解题的关键． （1）根据符号表示大于或等于的最小正整数求解即可； （2）以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），结合的意义列式即可； （3）把代入求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：表示大于或等于的最小正整数， ，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，当（单位：千米）时，， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 得， 故， 即， 故该乘客所行的路程的取值范围：． 23．（12分）（25-26八年级上·山东聊城·期末）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：_____（直接填写序号； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】（1）先解方程，再求出各个不等式（组）的解集，然后根据其解集进行判断即可； （2）解方程组求出，，再代入不等式，求出的取值范围； （3）解方程组，用含有的代数式表示，，再根据已知条件列出不等式组，解不等式组求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：， 解得：， ①， 解得：， ∴不是此不等式的解； ②， 解得：， ∴是此不等式的解； ③， 解得：， ∴是此不等式组的解； ∴方程的解是此方程与②③的“理想解”， 故答案为：②③； （2）解：∵是方程组与不等式的“理想解”， ∴，， 解方程组，得：， ∴， ∴， 即的取值范围为； （3）解：解方程组，得：， ∵关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数）， ∴， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 解不等式③，得：， ∴不等式组的解集为， 即的取值范围． 【点睛】本题考查解一元一次方程、二元一次方程组和解一元一次不等式（组），解题关键是熟练掌握解一元一次方程、二元一次方程组和解一元一次不等式（组）的一般步骤． 24．（12分）（25-26七年级上·山西长治·期末）综合与探究． 问题背景：已知如图1，凹四边形． 初探： (1)试探究与，，之间的数量关系，并说明理由； 应用 (2)请你直接利用以上结论，解决下面问题． 如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 拓展 (3)如图，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)． 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线，掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线的定义是正确解答的关键． （1）连接并延长至点，由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果； （2）由（1）得，结合，，计算即可得出结果； （3）根据角平分线的定义以及（1）、（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：连接并延长至点， 则，， ∵，， ∴ （2）解：由（1）得：， ∵，， ∴； （3）解：由（1）可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期第三次学情自测·培优卷 【新教材华东师大版】 考试时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第5章 一元一次方程~第8章 三角形 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·吉林长春·期末）已知某三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·月考）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·山西长治·期末）解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·湖南·期末）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么这个多边形的一个外角等于（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，，，分别是，，的中线，若，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 10．（25-26八年级上·广西南宁·期末）已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·山西太原·月考）若是二元一次方程的一个解，则的值为________． 12．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知关于x的不等式组有解、则a的取值范围是______． 13．（25-26七年级上·山西长治·期末）小明同学为留守儿童捐赠了一个书包．已知这个书包标价元，现在打折出售，支付时还可以再减免元，小明实际支付了元，则打了______折． 14．（25-26七年级上·江西吉安·期末）若某个多边形从一个顶点出发可以分出7个三角形，则这个多边形是_____________边形． 15．（25-26九年级上·四川广元·期末）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．关于的方程是“立信方程”，则符合要求的正整数为________． 16．（25-26八年级上·湖南·期末）如图，边延长线上有一点，平分的外角，，，则的度数是_______ 度． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级上·山西长治·期末）解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程组：． 18．（6分）（25-26七年级上·吉林松原·期末）解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 19．（8分）（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 20．（8分）（25-26八年级上·陕西西安·期末）我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？ 21．（10分）（25-26八年级上·浙江·期末）如图，在中，和的平分线，相交于点． (1)若，则的度数为　　　． (2)若，求（用含的代数式表示）． 22．（10分）（25-26六年级上·上海·月考）已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 23．（12分）（25-26八年级上·山东聊城·期末）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：_____（直接填写序号； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围． 24．（12分）（25-26七年级上·山西长治·期末）综合与探究． 问题背景：已知如图1，凹四边形． 初探： (1)试探究与，，之间的数量关系，并说明理由； 应用 (2)请你直接利用以上结论，解决下面问题． 如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 拓展 (3)如图，平分，平分，若，，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $