七年级数学下学期第三次学情自测·培优卷（新教材浙教版，举一反三，测试范围：第1章 相交线与平行线～第5章 分式）

七年级数学下学期第三次学情自测·培优卷 【新教材浙教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·河南周口·月考） 有意义，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分母不为0列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴有意义，x的取值范围是． 2．（25-26八年级上·云南怒江·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算和单项式乘多项式，掌握运算法则是关键；利用这些法则对各选项计算即可． 【详解】解：A，，正确， B，，错误， C，，错误， D，，错误． 故选：A． 3．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 已知方程组的解满足两个方程，先利用第一个方程求出未知数的值，再将解代入各选项验证是否成立． 【详解】解：将解，代入第一个方程， 得：， 解得：， ∴方程组的解为， 将解代入各选项验证： A．，，，不成立，故该选项不符合题意； B．，，，成立，故该选项符合题意； C． ，，，不成立，故该选项不符合题意； D．，，，不成立，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的应用，将视作整体是解题的关键． 通过设，将原式按平方差公式进行化简，然后解方程求解即可． 【详解】解：∵， 设， ∴， ， ， 得， 即， 故选D． 5．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，正确进行计算是解题关键．分式方程无解需考虑整式方程无解或产生增根，本题整式方程恒有解，故仅需分析增根情况． 【详解】解：∵原分式方程为， ∴将方程变形为， ∵方程两边同乘最简公分母（），得， 整理得， ∵分式方程无解， ∴是原方程的增根， 将代入，得， 解得， ∴m的值为6． 故选：C． 6．（25-26七年级上·河北邢台·月考）如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角相等，平角的定义，角的和差， 先标注，再根据对顶角相等得，然后根据平角定义得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 7．（25-26七年级上·广西桂林·月考）对于任意整数，多项式都能被（   ）整除． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将多项式进行因式分解，再根据整除的性质即可得出答案． 【详解】解： ， ∵为整数， ∴也为整数， ∴能被整除， ∴多项式都能被整除． 8．（25-26八年级上·陕西西安·月考）小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”，“我”，“爱”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．最美铁曲 B．我爱最美 C．我爱美曲 D．我爱铁曲 【答案】A 【分析】先对原式因式分解，再根据因式与汉字的对应关系得到密码信息，即可选出正确选项． 【详解】解： ∵ ，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”， ∴结果呈现的密码信息可能是最美铁曲． 9．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为，宽又是75厘米，故，矩形的长可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽． 【详解】解：根据图示可得， 故选：B． 10．（25-26七年级上·江苏·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， ∴不可能的值为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·上海闵行·月考）关于的方程的解是非负数，那么的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先求出分式方程的解，再根据解为非负数列不等式求解，最后根据增根的约束条件得到不等式，即可求解． 【详解】解： ， 解得， ∵关于的方程的解是非负数 ∴， 解得， ∵是增根， ∴ ∴， ∴的取值范围是且． 12．（25-26八年级上·山西太原·月考）若是二元一次方程的一个解，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解和代数式求值，运用整体代入的思想方法是解本题的关键. 先将方程的解代入方程，求出，再整体代入求值即可. 【详解】解：把代入得：． 则． 故答案为：． 13．（25-26七年级上·四川达州·月考）若规定，则当时，的值为__________． 【答案】 【分析】先根据新定义将所求式子转化为常规的代数式，再结合已知条件，通过变形或整体代入的方法求出该代数式的值．本题主要考查了新定义运算以及整式的混合运算，同时涉及整体代入的思想，熟练掌握新定义运算规则，以及根据已知条件对代数式进行灵活变形和整体代入是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， 当时，原式 故答案为：． 14．（25-26八年级上·山东·课后作业）一项工程，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，则两人一起完成这项工程需要____小时． 【答案】 【分析】该题考查了分式除法的应用，甲单独做一小时可完成工程总量的，乙单独做一小时可完成工程总量的，二人合作一小时可完成工程总量的．工程总量除以二人合作一小时可完成工程量即可得出二人合作完成该工程所需时间． 【详解】解：设该工程总量为1，二人合作完成该工程所需小时． 故答案为：． 15．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 【答案】11 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）2026年春晚<<武>>机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，先理解题意，过点作，结合平行线的性质得，代入数值得，再运算角的和差以及根据列式计算，即可作答． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级上·湖北孝感·期末）解下列方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组． （1）用加减消元法求解即可； （2）消去y，与②组成关于x，z的二元一次方程组求解x，z的值，再求出y的值即可． 【详解】（1） ，得 ∴ 把代入①，得 ∴ ∴ （2） ，得 联立②和④，得 ， 解得 把代入①，得 ∴ 18．（6分）（25-26八年级上·江苏常州·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式后利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 19．（8分）（25-26八年级上·广东东莞·期末）已知． (1)化简； (2)当满足方程时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，解分式方程，掌握分式的加减运算法则，是解题的关键． （1）根据异分母分式的加减法则，进行计算即可； （2）先解分式方程，然后再把的值代入（1）的结论进行计算即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 则． 20．（8分）（25-26七年级上·吉林·月考）如图，E点为上的点，B为上的点，，．试说明：． 解：（已知）， （___________①___________）， （等量代换）． ___________②___________（同位角相等，两直线平行）． （___________③___________）． 又（已知）， （___________④___________）． （___________⑤___________）． 【答案】①对顶角相等；②；③两直线平行，同位角相等；④等量代换；⑤内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行的性质和平行的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据平行的性质和判定进行解答即可． 【详解】解：（已知）， （对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 21．（10分）（25-26八年级上·广西河池·期末）在创建全国文明城市活动中，某市城投公司对文化广场的地砖进行改造升级，在铺设的地砖后，采用新的铺设模式，每天的工作效率比原来提高，共用天完成了全部改造任务． (1)求原来每天铺设地砖多少； (2)若该公司原来每天支付民工工资为元，提高工作效率后每天支付的工资增加了，求完成全部任务后共支付民工工资多少元． 【答案】(1)原来每天铺设地砖； (2)元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数运算的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设原来每天铺设地砖，则采用新模式后每天铺设地砖，由题意得，然后解方程并检验即可； （）由（）可知原来铺设地砖天，采用新模式后铺设了天，然后列出算出即可求解． 【详解】（1）解：设原来每天铺设地砖，则采用新模式后每天铺设地砖， 由题意得：， 解方程得：， 经检验是原方程的解且符合题意， 答：原来每天铺设地砖； （2）解：由（）可知原来铺设地砖（天），则采用新模式后铺设了（天）， ∴该公司支付给民工的工资总额为： （元）． 22．（10分）（25-26七年级上·广东深圳·期中）在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，认真观察图形，解答下列问题： (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：________． (2)若图1中、满足，求的值； (3)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，求图中阴影部分面积． (4)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，且，则以（）为边长的正方形面积为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）阴影部分的面积可表示为两个小正方形的面积之和，也可表示成大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即可得到等量关系； （2）由（1）得到的等量关系：，代入数值求解即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，可得 ，根据（1），求出的值，即可得出答案； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，根据完全平方公式得出，进而得到，答案即可求得. 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以表示为两个边长分别为，的小正方形的面积之和， 即， 也可表示为边长是的大正方形的面积减去两个长、宽分别为的小长方形的面积， 即， ∴等量关系为； （2）解∶由（1）得， ∵， ∴ ； （3）解∶设正方形的边长为，正方形的边长为， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． （4）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：以（）为边长的正方形面积为． 23．（12分）（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)若，求a、b的值； (3)当a为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，式有最小值，最小值为1； 【分析】（1）该式变形为，再利用平方差公式分解可得； （2）先化为，根据可得答案； （3）先化为，进而可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：∵ ∴当时，式有最小值，最小值为1． 24．（12分）（25-26七年级上·浙江·期中）如图1，E点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于H点，若比大，请直接写出的度数． (3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分 平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的度数不变，理由见解析 【分析】（1）先根据同角的补角相等得再根据“内错角相等，两直线平行”得，然后根据平行线的性质说明，最后根据“同旁内角互补，两直线平行”得出答案； （2）作，根据平行线的性质得,再结合角平分线的定义和平行线的性质说明，然后推导出，接下来设 ，再结合题意可得最后联立求出答案即可； （3）作设直线和直线相交于点G，先根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质得，然后由（2）可知，即可得出，接下来根据平行线的性质得，最后根据 得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：作， ∵， ∴， ∴, ∴平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 设 ． ∵比大， ∴ ∴， 解得， 所以的度数是； （3）解：的度数不变，理由如下： 如图，过点E作设直线和直线相交于点G， ∵平分，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 由（2）可知， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期第三次学情自测·培优卷 【新教材浙教版】 考试时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 相交线与平行线~第5章 分式 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·河南周口·月考） 有意义，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·云南怒江·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（25-26七年级上·河北邢台·月考）如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·广西桂林·月考）对于任意整数，多项式都能被（   ）整除． A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·陕西西安·月考）小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”，“我”，“爱”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．最美铁曲 B．我爱最美 C．我爱美曲 D．我爱铁曲 9．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·江苏·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·上海闵行·月考）关于的方程的解是非负数，那么的取值范围是___________． 12．（25-26八年级上·山西太原·月考）若是二元一次方程的一个解，则的值为________． 13．（25-26七年级上·四川达州·月考）若规定，则当时，的值为__________． 14．（25-26八年级上·山东·课后作业）一项工程，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，则两人一起完成这项工程需要____小时． 15．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 16．（25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）2026年春晚<<武>>机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，则______度． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级上·湖北孝感·期末）解下列方程组． (1) (2) 18．（6分）（25-26八年级上·江苏常州·期中）因式分解： (1)； (2)． 19．（8分）（25-26八年级上·广东东莞·期末）已知． (1)化简； (2)当满足方程时，求的值． 20．（8分）（25-26七年级上·吉林·月考）如图，E点为上的点，B为上的点，，．试说明：． 解：（已知）， （___________①___________）， （等量代换）． ___________②___________（同位角相等，两直线平行）． （___________③___________）． 又（已知）， （___________④___________）． （___________⑤___________）． 21．（10分）（25-26八年级上·广西河池·期末）在创建全国文明城市活动中，某市城投公司对文化广场的地砖进行改造升级，在铺设的地砖后，采用新的铺设模式，每天的工作效率比原来提高，共用天完成了全部改造任务． (1)求原来每天铺设地砖多少； (2)若该公司原来每天支付民工工资为元，提高工作效率后每天支付的工资增加了，求完成全部任务后共支付民工工资多少元． 22．（10分）（25-26七年级上·广东深圳·期中）在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，认真观察图形，解答下列问题： (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：________． (2)若图1中、满足，求的值； (3)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，求图中阴影部分面积． (4)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，且，则以（）为边长的正方形面积为________． 23．（12分）（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)若，求a、b的值； (3)当a为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ 24．（12分）（25-26七年级上·浙江·期中）如图1，E点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于H点，若比大，请直接写出的度数． (3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分 平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $