七年级数学下学期第三次学情自测·培优卷（新教材沪科版，举一反三，测试范围：第6章 实数～第9章 分式）

七年级数学下学期第三次学情自测·培优卷 【新教材沪科版】 考试时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第6章 实数~第9章 分式 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）下列各数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．1的平方根是1 B．的算术平方根是 C．0没有立方根 D．的平方根是 3．（25-26八年级上·云南怒江·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·广西桂林·月考）对于任意整数，多项式都能被（   ）整除． A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）若的结果中不含x项，则a的值为（ ） A．0 B．2 C． D． 7．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）如图是一个数值转换器，当输入x的值为25时，则输出y的值是（    ） A．5 B． C． D． 8．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（25-26八年级上·陕西西安·月考）小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”，“我”，“爱”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．最美铁曲 B．我爱最美 C．我爱美曲 D．我爱铁曲 10．（25-26八年级上·广西南宁·期末）已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·上海闵行·月考）关于的方程的解是非负数，那么的取值范围是___________． 12．（25-26七年级上·四川达州·月考）若规定，则当时，的值为__________． 13．（25-26八年级上·山东·课后作业）一项工程，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，则两人一起完成这项工程需要____小时． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知关于x的不等式组有解、则a的取值范围是______． 15．（25-26八年级上·广东揭阳·月考），分别表示的整数部分和小数部分，则的值为__________ 16．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·江苏常州·期中）因式分解： (1)； (2)． 18．（6分）（25-26七年级上·云南昆明·月考）计算： (1) (2) 19．（8分）（25-26七年级上·吉林松原·期末）解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 20．（8分）（25-26八年级上·广东东莞·期末）已知． (1)化简； (2)当满足方程时，求的值． 21．（10分）（25-26八年级上·广西河池·期末）在创建全国文明城市活动中，某市城投公司对文化广场的地砖进行改造升级，在铺设的地砖后，采用新的铺设模式，每天的工作效率比原来提高，共用天完成了全部改造任务． (1)求原来每天铺设地砖多少； (2)若该公司原来每天支付民工工资为元，提高工作效率后每天支付的工资增加了，求完成全部任务后共支付民工工资多少元． 22．（10分）（25-26六年级上·上海·月考）已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 23．（12分）（25-26八年级上·山东临沂·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．例如：，． 解决下列问题： 【理解知识】 （1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】 （2）将下列假分式化为带分式： ①；②； 【运用知识】 （3）如果分式的值为整数，求x的整数值． 24．（12分）（25-26七年级上·广东深圳·期中）在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，认真观察图形，解答下列问题： (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：________． (2)若图1中、满足，求的值； (3)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，求图中阴影部分面积． (4)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，且，则以（）为边长的正方形面积为________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期第三次学情自测·培优卷 【新教材沪科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）下列各数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐一判断各选项即可得出结果． 【详解】解：选项A中是分数，属于有理数； 选项B中，是整数，属于有理数； 选项C中是无限不循环小数，因此仍是无限不循环小数，属于无理数； 选项D中是无限循环小数，属于有理数． 2．（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．1的平方根是1 B．的算术平方根是 C．0没有立方根 D．的平方根是 【答案】D 【详解】解：A：∵，∴1的平方根是±1，A错误； B：∵负数没有算术平方根，是负数，∴不存在算术平方根，B错误； C：∵，∴0的立方根是0，C错误； D：先计算，∵，∴4的平方根是，即的平方根是，D正确． 3．（25-26八年级上·云南怒江·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算和单项式乘多项式，掌握运算法则是关键；利用这些法则对各选项计算即可． 【详解】解：A，，正确， B，，错误， C，，错误， D，，错误． 故选：A． 4．（25-26七年级上·广西桂林·月考）对于任意整数，多项式都能被（   ）整除． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将多项式进行因式分解，再根据整除的性质即可得出答案． 【详解】解： ， ∵为整数， ∴也为整数， ∴能被整除， ∴多项式都能被整除． 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键，将方程组的两个方程相加，求得，再根据列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围． 【详解】解：， 由得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴ 的取值范围是 ， 故选：B 6．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）若的结果中不含x项，则a的值为（ ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先展开原式合并同类项，再令x项的系数为0，即可求解a的值． 【详解】解： ∵ 结果中不含x项， ∴ x项的系数为，即， 解得∶． 7．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）如图是一个数值转换器，当输入x的值为25时，则输出y的值是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数值转换器进行代值求解即可． 【详解】 解：由题意可知，， 则的算术平方根为， ∴的值是：． 8．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，正确进行计算是解题关键．分式方程无解需考虑整式方程无解或产生增根，本题整式方程恒有解，故仅需分析增根情况． 【详解】解：∵原分式方程为， ∴将方程变形为， ∵方程两边同乘最简公分母（），得， 整理得， ∵分式方程无解， ∴是原方程的增根， 将代入，得， 解得， ∴m的值为6． 故选：C． 9．（25-26八年级上·陕西西安·月考）小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”，“我”，“爱”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．最美铁曲 B．我爱最美 C．我爱美曲 D．我爱铁曲 【答案】A 【分析】先对原式因式分解，再根据因式与汉字的对应关系得到密码信息，即可选出正确选项． 【详解】解： ∵ ，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”， ∴结果呈现的密码信息可能是最美铁曲． 10．（25-26八年级上·广西南宁·期末）已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解“不等式组有且只有3个整数解”是解本题的关键． 先解不等式组得到解集为，由有且只有3个整数解，确定整数解为，从而推导出的取值范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有3个整数解， ∴整数解为， ∴的取值范围为， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·上海闵行·月考）关于的方程的解是非负数，那么的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先求出分式方程的解，再根据解为非负数列不等式求解，最后根据增根的约束条件得到不等式，即可求解． 【详解】解： ， 解得， ∵关于的方程的解是非负数 ∴， 解得， ∵是增根， ∴ ∴， ∴的取值范围是且． 12．（25-26七年级上·四川达州·月考）若规定，则当时，的值为__________． 【答案】 【分析】先根据新定义将所求式子转化为常规的代数式，再结合已知条件，通过变形或整体代入的方法求出该代数式的值．本题主要考查了新定义运算以及整式的混合运算，同时涉及整体代入的思想，熟练掌握新定义运算规则，以及根据已知条件对代数式进行灵活变形和整体代入是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， 当时，原式 故答案为：． 13．（25-26八年级上·山东·课后作业）一项工程，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，则两人一起完成这项工程需要____小时． 【答案】 【分析】该题考查了分式除法的应用，甲单独做一小时可完成工程总量的，乙单独做一小时可完成工程总量的，二人合作一小时可完成工程总量的．工程总量除以二人合作一小时可完成工程量即可得出二人合作完成该工程所需时间． 【详解】解：设该工程总量为1，二人合作完成该工程所需小时． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知关于x的不等式组有解、则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 由于不等式组有解， 则． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·广东揭阳·月考），分别表示的整数部分和小数部分，则的值为__________ 【答案】 【分析】先估算的取值范围，确定的整数部分，再求出小数部分，最后计算的值即可. 【详解】解∵，， ∴， ∴的整数部分， 小数部分 ， ∴ . 16．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 【答案】11 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·江苏常州·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式后利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 18．（6分）（25-26七年级上·云南昆明·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】分别化简原式中的立方根、算术平方根、乘方、绝对值各项，再将结果代入进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（8分）（25-26七年级上·吉林松原·期末）解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 【分析】（1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1求解不等式，并在数轴上表示即可． （2）先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可． 本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 不等式的解集在数轴上为： （2）解：， 解不等式①得 解不等式②得， 故不等式组的解集为． 在数轴上表示为： 20．（8分）（25-26八年级上·广东东莞·期末）已知． (1)化简； (2)当满足方程时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，解分式方程，掌握分式的加减运算法则，是解题的关键． （1）根据异分母分式的加减法则，进行计算即可； （2）先解分式方程，然后再把的值代入（1）的结论进行计算即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 则． 21．（10分）（25-26八年级上·广西河池·期末）在创建全国文明城市活动中，某市城投公司对文化广场的地砖进行改造升级，在铺设的地砖后，采用新的铺设模式，每天的工作效率比原来提高，共用天完成了全部改造任务． (1)求原来每天铺设地砖多少； (2)若该公司原来每天支付民工工资为元，提高工作效率后每天支付的工资增加了，求完成全部任务后共支付民工工资多少元． 【答案】(1)原来每天铺设地砖； (2)元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数运算的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设原来每天铺设地砖，则采用新模式后每天铺设地砖，由题意得，然后解方程并检验即可； （）由（）可知原来铺设地砖天，采用新模式后铺设了天，然后列出算出即可求解． 【详解】（1）解：设原来每天铺设地砖，则采用新模式后每天铺设地砖， 由题意得：， 解方程得：， 经检验是原方程的解且符合题意， 答：原来每天铺设地砖； （2）解：由（）可知原来铺设地砖（天），则采用新模式后铺设了（天）， ∴该公司支付给民工的工资总额为： （元）． 22．（10分）（25-26六年级上·上海·月考）已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，正确理解的意义是解题的关键． （1）根据符号表示大于或等于的最小正整数求解即可； （2）以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），结合的意义列式即可； （3）把代入求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：表示大于或等于的最小正整数， ，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，当（单位：千米）时，， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 得， 故， 即， 故该乘客所行的路程的取值范围：． 23．（12分）（25-26八年级上·山东临沂·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．例如：，． 解决下列问题： 【理解知识】 （1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】 （2）将下列假分式化为带分式： ①；②； 【运用知识】 （3）如果分式的值为整数，求x的整数值． 【答案】（1）真；（2）①，②；（3） 【分析】（1）根据“真分式”和“假分式”定义即可判断； （2）①将分子写成，然后进行变形即可解答；②将分子写成，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据x为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】解：（1）∵分子2026的次数为0，分母的次数为1， ∴是真分式． （2）①； ②． （3）原式 ， ∵的值为整数，x为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∵在化简过程中，各分母均不能为0， ∴，，，， 解得，，，， ∴在中，应舍去， ∴． ∴x的整数值为． 【点睛】注意分式有意义的条件，分母不能为0． 24．（12分）（25-26七年级上·广东深圳·期中）在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，认真观察图形，解答下列问题： (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：________． (2)若图1中、满足，求的值； (3)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，求图中阴影部分面积． (4)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，且，则以（）为边长的正方形面积为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）阴影部分的面积可表示为两个小正方形的面积之和，也可表示成大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即可得到等量关系； （2）由（1）得到的等量关系：，代入数值求解即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，可得 ，根据（1），求出的值，即可得出答案； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，根据完全平方公式得出，进而得到，答案即可求得. 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以表示为两个边长分别为，的小正方形的面积之和， 即， 也可表示为边长是的大正方形的面积减去两个长、宽分别为的小长方形的面积， 即， ∴等量关系为； （2）解∶由（1）得， ∵， ∴ ； （3）解∶设正方形的边长为，正方形的边长为， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． （4）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：以（）为边长的正方形面积为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $