七年级数学下学期第三次学情自测·培优卷（新教材人教版，举一反三，测试范围：第7章 相交线与平行线～第11章 不等式与不等式组）

七年级数学下学期第三次学情自测·培优卷 【新教材人教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．根据不等式的性质，逐一判断选项即可得． 【详解】解：A、不等式两边同时减去3，不等号方向不改变，即，选项说法正确，符合题意； B、不等式两边同时加3，不等号方向不改变，即，选项说法错误，不符合题意； C、不等式两边同时乘，不等号方向不改变，即，选项说法错误，不符合题意； D、当，时，满足，此时，，，故选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．1的平方根是1 B．的算术平方根是 C．0没有立方根 D．的平方根是 【答案】D 【详解】解：A：∵，∴1的平方根是±1，A错误； B：∵负数没有算术平方根，是负数，∴不存在算术平方根，B错误； C：∵，∴0的立方根是0，C错误； D：先计算，∵，∴4的平方根是，即的平方根是，D正确． 3．（25-26八年级上·上海·月考）点的坐标为，若，，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系内第四象限的符号特征，即可得出答案 【详解】解：∵， ∴点位于第四象限． 4．（25-26七年级上·河北邢台·月考）如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角相等，平角的定义，角的和差， 先标注，再根据对顶角相等得，然后根据平角定义得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键，将方程组的两个方程相加，求得，再根据列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围． 【详解】解：， 由得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴ 的取值范围是 ， 故选：B 6．（25-26八年级上·广西南宁·期末）已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解“不等式组有且只有3个整数解”是解本题的关键． 先解不等式组得到解集为，由有且只有3个整数解，确定整数解为，从而推导出的取值范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有3个整数解， ∴整数解为， ∴的取值范围为， 故选：A． 7．（25-26七年级上·山东聊城·月考）下列图形中，由，能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理依次进行判断即可． 【详解】解：A．不能判定，故此选项不符合题意； B．∵， ∴，但不能判定，故此选项不符合题意； C．不能判定，故此选项不符合题意； D．∵， ∴，故此选项符合题意． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知点和点，若直线轴，则线段的长为（    ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于y轴的直线上点的坐标特征及两点间距离的计算． 利用平行于y轴的直线上点的横坐标相等求出m的值，再通过纵坐标差的绝对值计算线段长度． 【详解】解：∵直线轴 ∴点P与点Q的横坐标相等 ∵点P横坐标为，点Q横坐标为6 ∴ 解得 将代入，得点P的纵坐标为，即 ∴线段的长为 故选：C． 9．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）如图是一个数值转换器，当输入x的值为25时，则输出y的值是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数值转换器进行代值求解即可． 【详解】 解：由题意可知，， 则的算术平方根为， ∴的值是：． 10．（25-26七年级上·江苏·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， ∴不可能的值为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·山西太原·月考）若是二元一次方程的一个解，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解和代数式求值，运用整体代入的思想方法是解本题的关键. 先将方程的解代入方程，求出，再整体代入求值即可. 【详解】解：把代入得：． 则． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知长方形的三个顶点坐标为，，，则顶点D的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形性质，解题的关键是掌握坐标与图形性质．根据长方形对边平行且相等的性质，通过点的坐标变化确定点D的位置即可． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相同， ∴轴， ∵点和点的横坐标相同， ∴轴， ∵四边形为长方形， ∴点D的横坐标应与点A的横坐标相同，为2；点D的纵坐标应与点C的纵坐标相同，为，即点D的坐标为． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知关于x的不等式组有解、则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 由于不等式组有解， 则． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·广东揭阳·月考），分别表示的整数部分和小数部分，则的值为__________ 【答案】 【分析】先估算的取值范围，确定的整数部分，再求出小数部分，最后计算的值即可. 【详解】解∵，， ∴， ∴的整数部分， 小数部分 ， ∴ . 15．（25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）2026年春晚<<武>>机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，先理解题意，过点作，结合平行线的性质得，代入数值得，再运算角的和差以及根据列式计算，即可作答． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 16．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图，已知，点是直线与外一点，连接．过点作的角平分线，过点作的角平分线，过作交直线于点，则________．（可用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，可得出，即可证明，，根据角平分线的定义得出，根据得出，进而得出，即可得答案． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵为的角平分线，为的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级上·云南昆明·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】分别化简原式中的立方根、算术平方根、乘方、绝对值各项，再将结果代入进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（6分）（25-26七年级上·湖北孝感·期末）解下列方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组． （1）用加减消元法求解即可； （2）消去y，与②组成关于x，z的二元一次方程组求解x，z的值，再求出y的值即可． 【详解】（1） ，得 ∴ 把代入①，得 ∴ ∴ （2） ，得 联立②和④，得 ， 解得 把代入①，得 ∴ 19．（8分）（25-26八年级上·陕西西安·期末）我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； (2)共有3种购买方案：方案1：购买10本笔记本，27支钢笔；方案2：购买20本笔记本，18支钢笔；方案3：购买30本笔记本，9支钢笔 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元，根据“买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；买5本笔记本和1支钢笔，需要110元”，可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m本笔记本，n支钢笔，利用总价单价数量，可列出关于m、n的二元一次方程，结合m、n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； （2）解：设购买m本笔记本，n支钢笔， 根据题意得：， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买10本笔记本，27支钢笔； 方案2：购买20本笔记本，18支钢笔； 方案3：购买30本笔记本，9支钢笔． 20．（8分）（25-26六年级上·上海·月考）已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，正确理解的意义是解题的关键． （1）根据符号表示大于或等于的最小正整数求解即可； （2）以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），结合的意义列式即可； （3）把代入求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：表示大于或等于的最小正整数， ，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，当（单位：千米）时，， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 得， 故， 即， 故该乘客所行的路程的取值范围：． 21．（10分）（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点的坐标为．请根据条件回答下列问题： (1)直接写出点的坐标为______； (2)平移线段，使点落在轴上，且使点平移的距离最短．若点、的对应点分别为点、点时，画出平移后的线段，并写出点的坐标： (3)在（2）的情况下，若轴，且三角形的面积为5，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析，点 (3)点或 【分析】本题考查坐标系中的平移及三角形面积问题，在已知三角形面积求点的坐标时，注意分类讨论思想． （1）根据坐标原点及点坐标，即可求解； （2）根据题意，先确定出点位置，即可得出点位置，进而求解； （3）根据轴及面积，可求出的高，再求出底边长，进而求解． 【详解】（1）解：由图可知； （2）解：要使点落在轴上且平移的距离最短，则可知，根据平移可得，所以如图，线段即为所作图形，且知点； （3）轴，，， 点到的距离为5， 的面积为5， 则， ， 点或． 22．（10分）（25-26七年级上·江西上饶·月考）如图，与交于点． (1)求证：． (2)若与垂直，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，根据平行线内错角相等，得；结合已知，推得，根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可证明； （2）设与的交点为，过点作，由得；根据，可得，再根据进行计算，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ∴； （2）解：如图，设与的交点为，过点作， ， ， ， 与垂直， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题核心是平行线的性质与判定，第1问通过角的转化证平行，第2问通过作辅助线，将角度问题转化为平行线的同旁内角计算，关键是辅助线构造与角度转化． 23．（12分）（25-26七年级上·河北唐山·月考）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为4、16． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_____． 【答案】(1)20； (2)4． 【分析】本题考查实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，掌握算术平方根的意义及相应的运算法则． （1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积． 【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为4、16， 小正方形的边长为，大正方形的边长为， ，， 长方形的周长为； （2）解：， 即图中两块阴影部分的面积之和为4． 24．（12分）（25-26七年级上·浙江·期中）如图1，E点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于H点，若比大，请直接写出的度数． (3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分 平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的度数不变，理由见解析 【分析】（1）先根据同角的补角相等得再根据“内错角相等，两直线平行”得，然后根据平行线的性质说明，最后根据“同旁内角互补，两直线平行”得出答案； （2）作，根据平行线的性质得,再结合角平分线的定义和平行线的性质说明，然后推导出，接下来设 ，再结合题意可得最后联立求出答案即可； （3）作设直线和直线相交于点G，先根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质得，然后由（2）可知，即可得出，接下来根据平行线的性质得，最后根据 得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：作， ∵， ∴， ∴, ∴平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 设 ． ∵比大， ∴ ∴， 解得， 所以的度数是； （3）解：的度数不变，理由如下： 如图，过点E作设直线和直线相交于点G， ∵平分，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 由（2）可知， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期第三次学情自测·培优卷 【新教材人教版】 考试时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第7章 相交线与平行线~第11章 不等式与不等式组 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．1的平方根是1 B．的算术平方根是 C．0没有立方根 D．的平方根是 3．（25-26八年级上·上海·月考）点的坐标为，若，，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（25-26七年级上·河北邢台·月考）如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·广西南宁·期末）已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·山东聊城·月考）下列图形中，由，能得到的是（　　） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知点和点，若直线轴，则线段的长为（    ） A．2 B．4 C．5 D．7 9．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）如图是一个数值转换器，当输入x的值为25时，则输出y的值是（    ） A．5 B． C． D． 10．（25-26七年级上·江苏·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·山西太原·月考）若是二元一次方程的一个解，则的值为________． 12．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知长方形的三个顶点坐标为，，，则顶点D的坐标为________． 13．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知关于x的不等式组有解、则a的取值范围是______． 14．（25-26八年级上·广东揭阳·月考），分别表示的整数部分和小数部分，则的值为__________ 15．（25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）2026年春晚<<武>>机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，则______度． 16．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图，已知，点是直线与外一点，连接．过点作的角平分线，过点作的角平分线，过作交直线于点，则________．（可用含的式子表示） 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级上·云南昆明·月考）计算： (1) (2) 18．（6分）（25-26七年级上·湖北孝感·期末）解下列方程组． (1) (2) 19．（8分）（25-26八年级上·陕西西安·期末）我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？ 20．（8分）（25-26六年级上·上海·月考）已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 21．（10分）（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点的坐标为．请根据条件回答下列问题： (1)直接写出点的坐标为______； (2)平移线段，使点落在轴上，且使点平移的距离最短．若点、的对应点分别为点、点时，画出平移后的线段，并写出点的坐标： (3)在（2）的情况下，若轴，且三角形的面积为5，求此时点的坐标． 22．（10分）（25-26七年级上·江西上饶·月考）如图，与交于点． (1)求证：． (2)若与垂直，，求的度数． 23．（12分）（25-26七年级上·河北唐山·月考）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为4、16． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_____． 24．（12分）（25-26七年级上·浙江·期中）如图1，E点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于H点，若比大，请直接写出的度数． (3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分 平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $