卷7 专题 三角形中最值问题，动点问题-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学真题天天练（北师大版·新教材）

答案与解析 7.【证明】：DE∥BC,∠CDE=∠DCF :DC平分∠EDF,∴∠CDF=∠CDE,∴∠CDF=∠DCF, .DF=CF,.点F在线段CD的垂直平分线上. .AD=AC,∴.点A在线段CD的垂直平分线上， .AF垂直平分CD. 卷6角平分线 1.A2.D 3.C【解析】如图，过点P作PF⊥AC于点F,PG⊥BC于点G, PH⊥AB于点H.:△ABC的外角平分线BD与CE相交于点P, ∴.PF=PG,PG=PH,∴.PF=PG=PH=3.故选C. B A H F B H D 第3题答图 第4题答图 4.D【解析】如图，过点P作PH⊥BC于点H ,AB∥CD,AD⊥AB,.AD⊥CD,∠ABC+∠DCB=180°. :BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD,∴PH=PA=PD, ∠PBC=∠ABC,∠PCB=5∠DCB, ·∠PBC+∠PCB=(LABC+∠DCB)=3×180=90, ∴.∠BPC=90°，∴.BC=VPB2+PC2=V52+122=13. :号PH:BC=号PC.=5g-9 13 A=PD=PH-9AD=2PA=9故选D 5.4【解析】：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB, DF⊥AC,·DE=DF'SAAc=SaHD+SACD=2AB· DE+)AC·DF,.号×6DF+3×4DF=20,解得DF=4cm 故答案为4. 6.4【解析】依题意，AD平分∠BAC,∠CAD=∠DAB. 又：∠B=∠CAD.∠B=∠CAD=∠DAB=号x90°=30°， 3 4D-DB.CD=AD CD-DB.CD-BC. 2 2 又：BC=6,.CD=2,∴BD=BC-CD=4.故答案为4 7.(1)【证明】如图，过点P作PD⊥BC于点D :∠ABC和∠ACB的平分线相交于 点P,且PE⊥AB,PF⊥AC, ∴.PD=PE,PD=PF,∴.PE=PF 内 (2)[解PE=PF,PE⊥AB,PF⊥ AC,∴AP平分∠BAC P :∠BAC=60°， ⊙ D ·.∠EMP=3∠BAC=3×60°= 第7题答图 30°. 卷7专题三角形中最值问题、动点问题 L.B【解析】如图，过点D作DE⊥BC 于点E,则PD的最小值是DE的长 0 :∠A=90°，BD平分∠ABC, .'AD DE.AB 12,BD 13, .AD=BD2-AB2=5,..DE=5. B P 第1题答图 即PD的最小值是5.故选B. 2.B【解析】如图，设EF交BC于点D,连接AD,CP EF垂直平分AC,∴.DA=DC,PA=PC. △ABP的周长为AB+AP+BP=AB+PC+BP≥AB+BC,当点 P与点D重合时，△ABP的周长最小，最小值为AB+BC=9.故 选B. PG C- 第2题答图 第3题答图 3.C【解析】如图，连接CP并延长，·CA=CB,PA=PB, ∴.直线CP是线段AB的垂直平分线，∠ACP=∠BCP= 4CD=45 故射线CP是∠ACD的平分线，即点P在直线CP上运动. 根据垂线段最短可知，当DP⊥CP时，DP最小. 过点D作DG⊥CP于点G,则∠CDG=45°=∠DCG, ∴.DG=CG :DG+CG=CD=6,.DG=3V2.故选C 4.2√2【解析】如图，连接PA,BQ,延长 CD交BE于点M,由题意可知CE垂 M 直平分AD,CD垂直平分EB, ∴.PA=PD,QB=QE, E ∴.PD+PQ+QE=PA+PQ+QB≥AB. :AC=V2,∠ABC=30°，∠ACB= 90°，AB=2AC=2V2, A ∴PD+PQ+QE的最小值为2√2 第4题答图 故答案为2√2 5.2√1cm【解析】如图，作点A关于DE对称的点G,连接AG, FG,BG,延长ED交AG于点H. 由轴对称可知，AF=FG,AH =GH,DH⊥AG G :∠BAC=45°，DE∥AB, .∠ADH=45°， HE- D ∴.∠DAH=90°-∠ADH=45, B ∴.AH=DH,∠GAB=∠DAH 第5题答图 +∠BAC=90°. .AD 2 cm,AH2+DH2 AD2,.'AH DH=2 cm, ∴.GH=AH=2cm,∴.AG=2V2cm, ∴.BG=√AG+AB2=2V11(cm). ∴.FA+FB=FG+FB≥BG=2N11cm,当B,F,G三点在同 直线上时取等号， .FA+FB的最小值为2√Icm 故答案为2√1cm. 6.5【解析】如图，作点B关于射线AD的对称点B',连接AB', CB,BP,则AB=AB,PB=PB, ∠B'AD=∠BAD=25O, ∴.∠B'AC=∠BAC-∠BAB'= 110°-25°-25°=60°. B C AB=AC=5,.AB'=AC D =5,∴△ABC是等边三角形， B ∴.BC=5.在△PBC中，PB- 第6题答图 PC<BC,当P,B',C三点在同一直线上时，PB'-PC取得最 大值，即为B'C的长，.PB'-PC的最大值是5，即|PB-PC 的最大值是5.故答案为5. 7.19【解析】如图，作点A关于直线CD对称的点M.作点B关 于直线CE对称的，点N,连 M E 接DM,CM,CN,MN,NE. /N 由题意，得AD=MD=4, AC=CB=CM=CN=6, C NE=BE=9. 第7题答图 ,∠DCE=120°，∴.∠ACD+∠BCE=60°. :∠DCA=∠DCM,∠BCE=∠ECN, ∴.∠ACM+∠BCN=120°，.∴.∠MCN=60° ,CM=CW=6,∴.△CMN是等边三角形，∴.MN=6. DE≤DM+MN+EN,.DE≤4+6+9=19，.当D,M,N,E 四点共线时，DE的值最大，最大值为19.故答案为19. 8.5【解析】如图，过点C作HC⊥CD于点C,使CH=BD,连 接DH,FH,则∠HCA+∠ACD=90°. .∠BDC=150°，.∠DBC+ y ∠DCB=180°-150°=30°， ∴.∠ABD+∠ACD=∠ABC+ ∠ACB-(∠DBC+∠DCB). H ,△ABC为等边三角形， .∠ABC+∠ACB=I20°，AB =AC,∴.∠ABD+∠ACD= 第8题答图 120°-30°=90°，.∠HCA= ∠ABD. :AE=AF,∴BE=CF 在△BED和△CFH中，BE=CF,∠ABD=∠HCA,BD=CH, ∴.△BED≌△CFH(SAS),∴.FH=DE, ∴.DE+DF=FH+DF,∴.当DE+DF最小时，FH+DF最小， 当D,F,H三点在同一条直线上时，DE+DF最小. 在Rt△DCH中，CH=3,DC=4,∴.DH=VCD2+CH2=5, .DE+DF的最小值是5.故答案为5. 9A【解折1：∠C=90,AB=4,∠B=30,4C=号4B 2×4=2“点P是BC边上的动点，2≤AP≤4，AP 的值不可能是1.8.故选A. 10.D【解析】由图象可知，当x=3时，CP=3, 1 y=2×3xCD=3,CD=2 ,D是BC的中点，.BC=4. 当x=8时，此时点P和点A重合，∴AC=8, 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4,AC=8, 由勾股定理得AB=√42+82=4V5.故选D. 11.3或1【解析】当F在线段DA的延长线上时，如图①，过点 O作OM∥AB交AD于点M.:O为等边△ABD的边BD的 中点，∴.OB=2,∠D=∠ABD=60°，易得△ODM为等边三 角形，∴.OM=MD=2,∠OMD=60,.AM=2,∴.FM =FA+AM=3,∠FMO=∠BOM=120°..'∠EOF=120°， ∴.∠BOM=∠EOF,.∠BOE=∠FOM.而∠EBO=180° ∠ABD=120°，∠FMO=120°，∴.∠EBO=∠FMO,∴.△OBE ≌△OMF(ASA),∴.BE=MF=3.当点F在线段AD上时， 如图②，同理可证明△OBE≌△OMF,则BE=MF=AM-AF 真题圈数学八年级下12N =2-1=1.故答案为3或1. A A〉 B B E E ① ② 第11题答图 12.【解(1)8分析：要使△PBQ是等边三角形，则PB=BQ. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=12cm, ∴.AB=24cm,∴.PB=(24-21)cm,BQ=tcm, 即24-21=1，解得1=8，故当1为8时，△PBQ是等边三角形 (2)当1为6或48时，△PBQ是直角三角形.理由如下： 5 :∠C=90°，∠A=30°，BC=12cm, ∴.AB=2BC=12×2=24(cm). ,动点P以2cms,Q以1cm/s的速度同时出发， .'BP AB-AP =(24-2t)cm,BQ tcm :△PBQ是直角三角形，∠B=90°-30°=60°， .∠PQB=90°或∠QPB=90°，∴.BP=2BQ或BQ=2BP ①当BP=2BQ时，24-21=21，解得1=6； ②当BQ=2BP时，1=2(24-21).解得1= :当1为6或48时，△PBQ是直角三角形. 13.(1)【证明】：∠B=90°，∠ACB=30°，.∠BAC=60°，AB =)AC:F为AC的中点，AF=)ACAB=A报 :△ADE是等边三角形，.∠DAE=60°，AD=AE=DE, ,∴.∠BAD=∠FAE. 在△ABD和△AFE中，AB=AF,∠BAD=∠FAE,AD=AE. ∴.△ABD≌△AFE(SAS). (2)【解】.：△ABD≌△AFE,.∠AFE=∠B=90° :F为AC的中点，.EF是AC的垂直平分线，∴.EA=EC AD=AE=DE,∴.EC=DE=AD :EG⊥BC,DG=3CD :∠B=90°，∠4CB=30,4C=8,AB=)4C=4, :.BC=AC2-AB2=8-4=43 “D为BC的中点.BD=CD=3BC=2N5, ·DG=)CD=5,ED=AD=√AB+BD= V42+(232=2V7.在Rt△DEG中，EG=VDE2-DG=5, ·SACDE=5CD·EG=7×25×5=5V5 (3)【解】43 分析：如图，当点D与点B重合 时，点E在点E'处；当点D与 点C重合时，点E在点E"处，且 △ACE"是等边三角形. y 由(2)得AE=CE,∴.点E始终 E 落在线段AC的垂直平分线上， ∴，点E的运动路径是从AC的中 点E处，沿着AC的垂直平分线 B D 运动到点E处 第13题答图 一答案与解析 易证△E'AE"≌△BAC(AAS),可推得EE"=BC=4V5. 第二章不等式与不等式组 卷8不等式及其基本性质 1.B2.D3.A4.A5.B6.B7.C 8.a-2≤09.3x+10>90 10.【解】(1)x≤4（答案不唯一）. (2)-3≤x≤3（答案不唯一） 卷9一元一次不等式 1.C2.B3.A 4B【解析由题意，得23-21<1， 3 去分母，得3(x-3)-2(2x-1)<6,去括号，得3x-9-4x+2<6, 移项、合并同类项，得-x<13,系数化为1，得x>-13.故选B. 5.D【解析]移项，得3x≤m,系数化为1，得x≤罗 :不等式的正整数解为1,2,3， ·3≤贺<4，解得9≤m<12.故选D. 6.2【解析】解不等式3≥k-x,得x≥k-3,根据数轴可得不等式 的解集为x≥-1，可得方程k-3=-1,解得k=2.故答案为2. 7.m>5【解析]3x+2(3m+)=6+m,3x+6m+2=6x+m, 3x-6r=m-6m-2,-3x=-5m-2,x=5m,+2. 3 :方程的解大于1，.5m+2>1, 3 ·5m+2>3,5m>3-2,5m>1,m>号.故答案为m>写 8.【解】(1)1-2x<x+2, 移项、合并同类项，得-3x<1, 系数化为1，得-写 该不等式的解集在数轴上表示如图①. 5-43-2-012345 3 第8题答图① (2)2x1>3x2-1, 3 2 去分母，得2(2x-1)>3(3x-2)-6, 去括号，得4x-2>9x-6-6, 移项、合并同类项，得-5x>-10, 系数化为1，得x<2. 该不等式的解集在数轴上表示如图② -5-4-3-2-1012345 第8题答图② 9.【解】设该护眼灯每台降价x元， 根据题意，得320-x-240≥240×20%，解得x≤32， .x的最大值为32 答：该护眼灯每台最多可以降价32元. 卷10一元一次不等式与一次函数 1.B 2.A【解析】，·k>0,∴.一次函数y=c+b中y随x的增大而增 大.·一次函数的图象经过点(-1,0)，.x+b>0的解集为x> -1,∴.当k(x-1)+b>0时，x-1>-1,即x>0.故选A. 3.A【解析】根据题意知，函数y=+b的图象过点(1,2)，且当 n>2时，y随x的增大而减小.函数y=2xy=2x 的图象也过点(1,2)，如图 2 (k-2)x+b>0, O/1 y=katb x .∴.c+b>2x 由图象可知，当x<1时，函数y=+b的 第3题答图 图象在函数y=2x图象的上方， .当x<1时，kr+b>2x,即(k-2)x+b>0.故选A 4.(1)x<4(2)x<0(3)x≤2 5.(2,3)【解析】已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2,则当x= 2时，-x+5=3x-3,即当x=2时，函数y=-x+5与y=3x-3的 函数值相等，∴.直线y=-x+5与y=3x-3的交点坐标是(2,3). 故答案为(2,3). 6.大于5台【解析】设该学校购买x台电脑，则到甲商场购买所 需费用ym=6000+6000×1-25%)(x-1), 到乙商场购买所需费用y2=6000×(1-20%)x 依题意，得6000+6000×(1-25%)(x-1)<6000×(1-20%)x, 解得x>5. 故答案为大于5台. 7.【解1(1)由题意，得ym=0.5×1200x+1200=600x+1200, yz=0.6×1200x+0.6×1200=720x+720. (2)①当ym=yz时，600x+1200=720x+720,解得x=4, 即当学生人数是4时，两家旅行社的收费是一样的； ②当y甲>y时，600x+1200>720x+720,解得x<4, 即当0<x<4(x为整数)时，乙旅行社更优惠： ③当ym≤y2时，600x+1200<720x+720,解得x>4, 即当x>4(x为整数)时，甲旅行社更优惠 卷11一元一次不等式组 1.B2.A 3.A【解析】 -4≤20，解不等式①，得x≤6，解不等式2，得 -x+3>2②， x<1,.不等式组的解集是x<1.故选A 4.a≥3【解析】要使不等式组无解，需使a-1≥2，解得a≥3. 故答案为a≥3. 5.-6【解析2x<10解不等式①，得<“生，解不等式②。 x-2b>3②， 得x>2b+3 :不等式组的解集为-1<<1，.2b+3=-1,=1, 2 解得a=1,b=-2,∴.(a+1)(b-1)=(1+1)×(-2-1)=-6 故答案为-6. 2x-5<0①. 6.1≤a<2【解析】 x-a>0②. 解不等式①得x<,解不等式②，得x>a, 由题知不等式组的解集为a<》 :不等式组有且仅有一个整数解x=2,.1≤a<2 故答案为1≤a<2. 7.30<<40【解析】油题意可列出不等式组3r<300-180,解得 4x>300-180. 30<x<40.故答案为30<x<40. 8.【解】解不等式2-30≥-2，得x≤2， 5真题圈数学八年级下12N 卷7专题 三角形中 类型一最值问题 1.（期末·沈阳沈北新区)如图，在Rt△ABC 中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D, AB=12,BD=13,点P是线段BC上的一 动点，则PD的最小值是( A.6 B.5 C.13 D.12 E C∠ P 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，AB=2.5,AC=6,CB= 6.5,EF垂直平分AC,点P为直线EF上的 任一点，则△ABP周长的最小值是() A.8.5 B.9 C.12 D.12.5 3.如图，∠ACD=90°，点B在CD上，连接AB, 且CB=CA,CD=6,以AB为底边作等腰三 角形ABP,连接DP,则DP的最小值是( A.3 B.√2 C.3√2 D.2 R B 第3题图 第4题图 4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠ACB= 90°，AC=V2,分别以AC,BC为边，向上 和向左作等边三角形ACD和等边三角形 CBE,P,Q分别为CE,CD上的两个动点， 连接DP,PQ,EQ,则PD+PQ+QE的最小 值为 5.(期末·重庆南岸区)如图， ∠BAC=45°，AB=6cm, D为AC上一点，AD= D 2cm,DE∥AB,交BC B 于点E,点F为直线DE 第5题图 上一点，则FA+FB的最小值为 10 最值问题、动点问题 6.(期末·中山市)如 图，AB=AC=5, ∠BAC=110°，B AD是∠BAC内的 /D 第6题图 一条射线，且 ∠BAD=25°，P为AD上一动点，则PB- PC的最大值是 7.(期末·广州越秀区)如图，AD,BE在AB的 同侧，AD=4,BE=9,AB=12,点C为 AB的中点，若∠DCE=120°，则DE的最大 值是 B 第7题图 第8题图 8.(期中·沈阳南昌中学)如图，在等边三角形 ABC内部有一点D,DB=3,DC=4,∠BDC= 150°.在AB,AC上分别有一动点E,F,且 AE=AF,则DE+DF的最小值是 类型二动点问题 9.(期中·青岛大学附中)如图，△ABC中，∠C= 90°，AB=4,∠B=30°，点P是BC边上的 动点，则AP长不可能是( A.1.8 B.2.2 C.3.5 30°CB D.3.8 第9题图 10.如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是 BC的中点，动点P从点C出发沿CA-AB 运动到点B,设点P的运动路程为x, △PCD的面积为y,y与x的函数图象如图 ②所示，则AB的长为( ① ② 第10题图 A.12 B.8 C.4V3 D.45 11.（期中·西安滨河学校)已知O为等边三角 形ABD的边BD的中点，AB=4,E,F分 别为射线AB,DA上一动点，且∠EOF= 120°，若AF=1,则BE的长为 12.(期中·广西大学附中改编)如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC= 12cm.动点P从点A出发，沿AB向点B 运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运 动，如果动点P以2cm/s,Q以1cm/s的 速度同时出发，设运动时间为ts,解答下列 问题： (1)当t的值为 时，△PBQ是等边 三角形 (2)点P,Q在运动过程中，△PBQ的形状 不断发生变化，当t的值为多少时，△PBQ 是直角三角形？请说明理由· B 第12题图 真题天天练 13.综合与探究 如图①，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB= 30°，AC=8,D为BC边上一动点，以AD 为边在其右侧作等边三角形ADE,F为AC 的中点，连接EF,CE (1)求证：△ABD≌△AFE. (2)如图②，当D为BC的中点时，过点E 作EG⊥BC于点G,求△CDE的面积 (3)若点D从点B处运动到点C处，直接 写出点E所经过的路径长 D ① ② 备用图 第13题图 精品图书 11