卷3 专题 等腰三角形的分类讨论 & 卷4 直角三角形-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学真题天天练（北师大版·新教材）

.:∠BEC=∠A+∠ABE,∠BCE=∠ECD+∠BCD,而∠ABE= ∠BCD,∴.∠A=∠ECD,∴.AD=CD, y .△ACD是等腰三角形.如图，设BE 交CD于点F,:∠A=∠ECF,∠FEC= ∠BCA,.∴.∠EFC=∠ABC. D AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB, .∠EFC=∠FEC,∴.CE=CF,即△CEF B 为等腰三角形.故等腰三角形有4个.故 第5题答图 选B. 6.C【解析】在△A,BC中，∠B=40°，A,B=BC,.∠BA,C= 180,∠B=70.:A4,=AD,∠BA,C是△A,4D的-个外角， 2D44=方∠B4C=方×0同理可得∠BA4=(份 )3 x70°，LFAA,=2 ×70°，∴在第n个三角形中，以An为顶 n一 点的底角的度数是 ×70°.故选C 7.68° 8.48【解析如图，过点A作AD⊥BC于点D, AB=AC=10,BD=BC=8. 在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2, .AD=V102-82=6, :△ABC的面积=方BC·AD=方× 第8题答图 16×6=48.故答案为48. 9.9【解析】：BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠CBO.MN∥BC, .∠MOB=∠CBO.∴.∠MOB=∠ABO,∴.OM=BM 同理得到ON=NC,'.△AMW的周长=AM+AN+OM+ON= AM+AN+BM+CN AB+AC=15. △ABC的周长为24，∴BC=9.故答案为9. 10.①②③【解析】AB=6,AC=8,BC=10,62+82=102, AB2+AC=BC,∴.△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， ∴AB⊥AC,故①正确.：△ABD,△ACE都是等边三角形， ∴.∠DAB=∠EAC=60°，.∠DAE=150°. :△ABD和△FBC都是等边三角形，∴.BD=BA,BF=BC, ∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=6O°，.∠DBF=∠ABC. AB=DB, 在△ABC与△DBF中，{∠ABC=∠DBF! BC=BF, ∴.△ABC≌△DBF(SAS),∴.AC=DF=AE=8. 同理可证△ABC≌△EFC(SAS),∴.△DBF≌△EFC, .DF=EC=AE,DB=AD=EF,故②③正确. 故答案为①②③. 1I.【证明】：BD=BE,∠D=∠BED. ,L∠BED=∠CEF,∴∠D=∠CEF DF⊥AC,.∠AFD=∠CFE=90°，.∠A+∠D=180°- ∠AFD=90°，∠CEF+∠C=180°-∠CFE=90°， ∠A=∠C,.AB=BC, .△ABC是等腰三角形. 12.【证明】小星：如图①，过点A作AD⊥BC于点D.∠ABC+ ∠ACB+∠BAC=180°，∠ABC=30°，∠BAC=120°，.∠ACB =30=∠ABC,.AB=ACAD⊥BC,.BD=CD=)BC. 真题圈数学八年级下12N 在Rt△MCD中，∠ACD=30,AD=2AC, 根据勾股定理可得CD=54C,:BC=2CD=5AC 2 D A D B ① ⑨ 第12题答图 小红：如图②，过点C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D. ,∠BAC=120°，.∠CAD=180°-∠BAC=60°， .∠ACD=30°. 在Rt△ACD中，∠ACD=30°，AD=方AC,根据勾股定 程可得cD-ac-D=C-合4C-94c在 Rt△BCD中，∠CBD=30,∴.CD=)BC,.BC=V3AC 13.【解11)：AB=AC,∠BAC=72,·∠B=∠C=2× (180°-72°)=54°，故∠C的度数为54°. (2):AB=AC,点D是BC的中点， ∠CaD=BAC=克×72=360、 (3),AB=AC,点D是BC的中点， .AD⊥BC,∴.∠ADC=90°. ,EA=ED,.∠ADE=∠DAE=36°， ..∠EDC=90°-36°=54°. :∠B=54,.∠B=∠EDC,ED∥AB. 14.【证明】如图，设AC,EF相交于点O. :∠CAB+∠CBA=120°，.∠C= 60°.△DEF是等边三角形，∴DF =EF,∠DFE=60°.由三角形外角 的性质得∠ADF=∠DFE+∠DOF, ∠BEF=∠C+∠COE..'∠DFE=∠C 第14题答图 =60°，∠DOF=∠COE,∴.∠ADF= ∠BEF在△ADF和△BEF中，AD=BE,∠ADF=∠BEF, DF=EF,.△ADF≌△BEF(SAS),∴.AF=BF,∠AFD= ∠BFE,∴.∠AFB=∠DFE=60°，∴.△FAB是等边三角形. 卷3专题等腰三角形的分类讨论 1.D【解析】当等腰三角形的底角是50时，等腰三角形的顶角= 180°-50°-50°=80°；等腰三角形的顶角有可能是50°， .这个风筝的顶角可能是80°或50°.故选D. 2.A【解析】当长是4cm的边是底边时，腰长为18-4=7(cm。 2 三边长分别为4cm,7cm,7cm,等腰三角形成立；当长是4cm 的边是腰时，底边长为18-4-4=10(cm),而4+4<10，不满足 三角形的三边关系.故底边长是4cm故选A 3.B【解析】如图，当BC=BD时，△BCD是等腰三角形； D.D.BD,DD A D 第3题答图 答案与解析 ∠CBA=60°，△BCD是等边三角形，BC=BD=CD; 当BC=BD,时，△BCD是等腰三角形； 当AC=AD,=AD,=CD4,CD,=D,A时，△ACD都是等腰 三角形；综上，符合条件的点D的个数有6个.故选B, 4.B【解析】分两种情况：①当点P在线段OC上时， ,∠AOB=60°，.∠AOC=120°.：△P0Q是等腰三角形， ∴.OP=0C-CP=OQ,即6-2t=t,解得t=2. ②当点P在线段C0的延长线上时，经过C0所用时间为3s, :'△POQ是等腰三角形，∠POQ=60°，∴.△POQ是等边三角 形，∴.OP=OQ,即2t-6=t,解得t=6 综上所述，t的值为2或6.故选B. 5(2.0(3.0)或名)【解折1肖8P=A=5时， 由条件可知点P的坐标为(-3+5,0)，即(2,0)： 当AB=AP=5时，如图①， A 4A(0,4) 4A(0,4) B(-3,0) B(-3.0)/ 1 -3-2-1 0 -3-2-10p ① ② 第5题答图 ∠AOB=90°，.OB=OP=3,点P的坐标为(3,0)5 当PA=PB时，如图②，设点P的坐标为(a,0), 则4#=(a43)月每得a=名点P的坐标为（名） 综上所述，点P的坐标为(2,0，(3,0)或2,0 6 故答案为2.0.6.0或0 6.60°或105或150°【解析】：∠A0B=60°，0C平分∠A0B, ∠A0C=30°. 如图，分三种情况， ①当点E在点E处时，OE=CE, .∠A0C=∠0CE=30°， ∠AEC=LA0C+∠0CE=60°；O ②当点E在点E,处时，OC=OE, 第6题答图 1 则∠205C=∠0CE=2×（180°- 30°)=75° .∠AEC=180°-∠0EC=105°； ③当点E在点E,处时，OC=CE,则∠OEC=∠AOC=30°， ∴.∠AEC=180°-∠OEC=150°， 综上所述，∠AEC的度数是60°或105或150° 故答案为60°或105或150° 7.【解】当AD=CD,BD=CD时，如图①所示， D D ① ③ 第7题答图 .∠BAC=20°，∴.∠ACD=∠BAC=20°， .∠CDB=∠BAC+∠ACD=40°. BD=CD,∴∠B=∠DCB=3×(180-40)=70; 当AD=CD,BD=BC时，如图②所示， :∠BAC=20°，∴.∠ACD=∠BAC=20°， ,∴.∠CDB=∠BAC+∠ACD=40°. BD=BC,.∠BCD=∠BDC=40°， .∠B=180°-40°-40°=100°； 当AD=CD,CD=BC时，如图③所示， :∠BAC=20°， ∠ACD=∠BAC=20°， .LCDB=∠BAC+∠ACD =40°. D B CD=BC, 第7题答图③ .∠B=∠BDC=40°； 当AC=AD,BD=CD时，如图④所示， :∠BAC=20°， ∠ACD=LADC=7× (180°-20°)=80°. A D B .BD CD, 第7题答图④ .∠B=∠BCD :∠ADC=∠B+∠BCD=80°， B=∠BcD=号x80=40: 当AC=CD,BD=CD时，如图⑤所示， G B 第7题答图⑤ ,∠BAC=20°，.∠CDA=∠BAC=20°. BD=CD,∠B=∠BCD LCDA=∠B+∠BCD=20°，∴∠B=∠BCD=)x20=10 综上所述，∠B的度数为70°或40°或100°或10° 卷4直角三角形 1,C【解析】A中原命题的逆命题为“对应角相等的三角形全 等”，是假命题，故A不符合题意；B中原命题的逆命题为“若 √a2=a,则a>0”,若√a2=a,则a≥0，.该命题的逆命题 为假命题，不符合题意；C中原命题的逆命题为“内错角相等， 两条直线平行”，是真命题，符合题意；D中原命题的逆命题为 “若两个实数的绝对值相等，则它们相等”，，若两个实数的绝 对值相等，则它们相等或互为相反数，.该命题的逆命题为假 命题，不符合题意.故选C. 2.C【解析】设AC交EF于点H(图略).：∠ACN=120, ∴.∠ACM=180°-∠ACN=60°.：EF∥MN,∴.∠AHB= ∠ACM=60°.在Rt△ABH中，∠A=90°，则∠ABF=90°- ∠AHB=30°.故选C. 3.A【解析】A.a:b:c=32:42:52=9:16:25,设a= 9k,则b=16k,c=25k..a2+b2=(9k)2+(16k)2=3372,c2 =(25k)2=625,∴.a2+b≠c2,.△ABC不是直角三角形，符 合题意；B.∠A:∠B:∠C=1:2:3,.设∠A=x°，则∠B= 2x°，∠C=3x°.：x°+2x°+3x°=180°，解得x=30,则∠C= 3x°=90°，∴△4ABC是直角三角形，不符合题意；C.:a=V2, b=V3,c=V5,.a㎡+b2=c2,根据勾股定理的逆定理，可知 △ABC是直角三角形，不符合题意；D.,∠A=15°，∠B= 75°，∴.∠A+∠B=15°+75°=90°，∴.∠C=90°，△ABC是 直角三角形，不符合题意.故选A. 4.B【解析】，DE⊥AB,∠ADE=90°.在Rt△ACE和Rt△ADE中， AC=AD,AE=AE,.Rt△CAE≌Rt△DAE(HL), ：∠CAE=∠DAE=∠CMB:∠B+∠CMB=90°，∠B= 28°，∴.∠CAB=90°-28°=62°，∴∠CAE=31°， .∠AEC=90°-∠CAE=90°-31°=59°.故选B. 5.三个内角相等的三角形为等边三角形真 6.CF=BE(答案不唯一) 7.135°【解析】如图，延长NP至格点A,连接AM设小正方形边 长为1，根据勾股定理可得MP=AM=V1+22=V5,AP= V32+1=V10.又：(5)2+（√5）2=(V10)2,∴.△AMP是等 腰直角三角形，∴.∠APM=45°，∴.∠MPN=135°. 故答案为135°. A M ---M B 第7题答图 第8题答图 8.12+4√2【解析】如图，过点B作BMLAC于点M ∠A=45,AB=7,∴AM=BM=5AB= 2 :AC=42,.CM=AC-AM=4V2-7y2-2 2 , .BC=√BM2+CM2=5,.△ABC的周长=AB+BC+AC= 7+5+4V2=12+4√2.故答案为12+4√2 9.2【解析】：∠ACB=90°，AB=2V2,AC=BC, ∴AC+BC=(2√2)2，.AC=BC=2, ·5e=25*国+8应e5大厦=×（经）+分x2x2-号× =2.故答案为2. 10.3【解析】由折叠的性质得，AE=ED,BF=B'R,AC 5 =CD,∠ACE=∠ECD,∠BCF=∠B'CF,∠CED=∠CEA= 90,∠BCF=AC8=5x90°=45， ∴.△CEF是等腰直角三角形，.CE=EF 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=√AC2+BC2=V2+32= 而，：5ae-号4cc=48cE CE=AC.BC=1x3 -310=EE AB √1010 在Rt△AEC中，由勾股定理得AE=√AC2-CE2= 12- 310 10 10 10 ·AF=AE+EF=i0+3W0_210 10 10 5 BF=AB-AF=0-210310 5 5 BF=BP,BF=30故答案为3V10 5 11.【解】a2+c2=b2+d2. 证明：，·在四边形ABCD中，AC⊥BD,∴.∠AOD=∠AOB= ∠B0C=∠C0D=90°，∴a2=OA+0B2,b2=OB2+OC,c2 =0C+0D2,d2=0D2+0A,.a2+c2=0A+0B2+0C+0D2, b2+d2=OB2+0C2+0D2+OA2,.a2+c2=b2+d2. 真题圈数学八年级下12N 12.【解】△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.理由如下： .'在△ABC中，AB=n2-1,BC=2n,AC=n2+1(n为大于1 的正整数)， ,.AB2+BC=(2-1)2+(2n)2=n-2n2+1+4m2=n+2m+1 =(n2+1)2=AC2,AB2+BC2=AC2, .这个三角形是直角三角形，∠B=90°， .边AC所对的角是直角. 13.【证明】(1)，'AC⊥BC,AD⊥BD,∴.∠ACB=∠BDA=90° 在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BA,BC=AD, ∴.Rt△ABC≌Rt△BAD(HL). (2)由(1)得Rt△ABC≌Rt△BAD,.SAABC=S△BMD :CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F, ·2AB·CE=3AB·DP,CE=DR 14.【解】(1)如图，连接AC. D ,∠B=90°，AB=20m,BC=15m, .AC=VAB2+BC2=V202+152= 25(m). AD2+CD2=242+72=25,AC2= 252,.AD2+CD2=AC2, .△ACD是直角三角形，且∠ADC=A B 90°， 第14题答图 六5=248·8c=号 1 ×20×15=150(m2), 1 SAMc0=,CD·AD=7×7×24=84(m2）, S边带8m=Sn+S4o=234(m2）. (2)234×200=46800(元). 答：种植这片草皮需要46800元. 卷5线段的垂直平分线 1.A 2.B【解析】由题意可知AD=BD=6.:∠B=15°，.∠DAB =15°.∴.∠ADC=15°+15°=30°.在Rt△ACD中，，∠ADC =30°，.AC=)AD=3,则CD=VAD2-AC=35.故选B. 3.B【解析】由尺规作图可知，线段BC的垂直平分线交AB于点 D,∴.DC=DB,∴.∠DCB=∠B=30° :∠A=45°，∠B=30°，.∠ACB=180°-∠A-∠B=105°. ∴.∠ACD=∠ACB-∠DCB=75°.故选B. 4.D【解析】：DE是BC的垂直平分线，DB=DC,BC= 2BE=8.,△ABC的周长为22，∴.AB+BC+AC=22,∴.AB+ AC=I4,'.△ABD的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB= AB+AC=14.故选D. 5.40°【解析】：点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∴.PA= PB=PC,∴.∠PCA=∠PAC=20,∠PBC=∠PCB=30°， ∠PAB=∠PBA,∴.∠PAB=(180°-2×20°-2×30°)=40°. 故答案为40°. 6.4【解析】如图，连接OC,过点O作OF⊥BC于点F OD=1,OE 2,.DE OD+OE =3. 在Rt△CDE中，∠DCE=30°， ∴.CE=2DE=6,∠OEF=60° AD=DC,ED⊥AC,.OA=OC .OA OB,..OB=OC. .OF⊥BC,.CF=FB. 在Rt△OFE中，∠OEF=60°，∴.∠EOF= A 30,EF=)0B=1,CF=CE-EF=5,第6题答图 ∴.BC=10,∴.BE=10-6=4.故答案为4.卷3专题等腰 1.（期末·深圳坪山区)小坪想设计一个等腰 三角形形状的风筝，于是找来了三根木棒做 等腰三角形的框架，在修整完成之后，小坪 用角度仪测量了等腰三角形的一个内角为 50°，这个风筝的顶角可能是( A.80° B.50° C.50°或65 D.80°或50° 2.（月考·西安铁一中)若等腰三角形的一边 长为4cm,周长为18cm,则此等腰三角形 的底边长是( A.4cm B.10 cm C.4cm或10cm D.4cm或7cm 3.如图，已知在△ABC中，∠B=60°，∠C= 80°，在直线BA上找一点D,使△ACD或 △BCD为等腰三角形，则符合条件的点D的 个数为( A.7 B.6 C.5 D.4 /A 星教育 B 第3题图 第4题图 4.(期末·北京朝阳区)如图，O是射线CB上 一点，∠AOB=60°，OC=6cm,动点P从 点C出发沿射线CB以2cm/s的速度运动， 动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的 速度运动，点P,Q同时出发，设运动时间 为ts,当△POQ是等腰三角形时，t的值 为() A.2 B.2或6 C.4或6 D.2或4或6 5.如图，在平面直角坐标系中，△ABO各顶点坐 标分别为A(0,4),B(-3,0),O(0,0),AB= 5,点P为x轴正半轴上一个动点，请写出所 真题天天练 三角形的分类讨论 有能使△ABP为等腰三角形的点P的坐标 外 4A(0,4) B 3 B(-3,0) 1 -3-2-10 A 第5题图 第6题图 6.如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB,如果射 线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形， ∠AEC的度数为 7.新定义试题（期中·沈阳实验中学改编）经 过三角形一个顶点及其对边上一点的直线， 若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称 这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为 这个三角形的“钻石分割线”.在△ABC中， ∠BAC=20°，若存在过点C的“钻石分割 线”，使△ABC是“钻石三角形”，求满足条件 的∠B的度数 精品 5 真题圈数学八年级下12N 卷4直 建议用时：50分 一、选择题（每小题3分，共12分） 1.(期中·武汉东湖高新区)下列命题的逆命 题是真命题的是( A.全等三角形的对应角相等 B.若a>0,则Va2=a C.两条直线平行，内错角相等 D.若两个实数相等，则它们的绝对值相等 2.(月考·西工大附中)如图，在Rt△ABC中， ∠A=90°，点B在直线 EF上，点C在直线MNEB 上，且EF∥MN,∠ACNM =120°，则∠ABF的度 第2题图 数为( A.10° B.20° C.30° D.40° 3.(期中·沈阳南昌中学)如果△ABC的三个 顶点A,B,C所对的边分别为a,b,c,那么 下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形 的是() A.a:b:c=32:42:52 B.∠A:∠B:∠C=1:2:3 C.a=√2，b=V5,c=V5 D.∠A=15°，∠B=75° 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD=AC, DE⊥AB交BC于点E. 若∠B=28°，则∠AEC =() D B A.28° B.59° 第4题图 C.60° D.62° 二、填空题（每小题3分，共18分） 5.(期中·青岛大学附中改编)命题“等边三角 形的三个内角相等”的逆命题是 这个逆命题是 (填“真”或“假”)命题 6 角三角形 钟满分：55分 6.开放性试题如图，A,B,C,D四个点在同一 条直线上，∠BED=∠CFA=90°，且AB= CD,若要使Rt△ACF≌Rt△DBE,则可以 添加条件是 B 第6题图 第7题图 7.如图，在正方形网格中，M,N,P在格点上， 则∠MPN= 8.如图，在△ABC中，∠A=45°，AB=7,AC =4V2,则△ABC的周长等于 D 第8题图 第9题图 9.数学文化（期中·合肥瑶海区）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以各边为 直径作半圆，圆中阴影部分在数学史上称为 “希波克拉底月牙”.若AC=BC,且AB= 2√2，则图中所得两个月牙图案AFCD和 BGCE(图中阴影部分)的面积之和等于 10.(期中·深圳龙岗区)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=1, BC=3,将边AC沿 CE翻折，使点A落在 AED AB上的点D处；再将 边BC沿CF翻折，使 B 点B落在CD的延长 第10题图 线上的点B处，两条折痕与斜边AB分别交 于点E,F,则线段BF的长为 三、解答题（共25分） 11.(5分)如图，已知四边形ABCD,AC⊥BD, 设AB=a,BC=b,CD=C,AD=d,猜 想a2,b2,c2,d2之间的关系，用等式表示出 来，并证明 C 第11题图 12.(期末·长春南关区)(5分)已知△ABC, AB=n2-1,BC=2n,AC=n2+1(n为大 于1的正整数)，试问△ABC是直角三角形 吗？若是，哪条边所对的角是直角？请说 明理由. 星教育 真题天天练 13.(7分)如图，已知AC⊥BC,AD⊥BD,AD= BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E,F 求证：(1)△ABC≌△BAD. (2)CE DE 第13题图 14.(8分)如图，某开发区有一块四边形空地 ABCD,现计划在空地上种植草皮.经测量， ∠B=90°，AB=20m,BC=15m,CD= 7m,AD=24m. (1)求这块四边形空地的面积 精 (2)若每平方米草皮需要200元，则种植这 片草皮需要多少元？ 第14题图 7