第四章 因式分解 学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学试题精选（北师大版·新教材）

真题圈数学 同步调研卷 八年级下12N 7.第四章学情调研 蝴 (时间：120分钟满分：120分) ☒警 咖0 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.（期中·2024-2025沈阳七中)下列各式从左到右的变形是因式分解的是( A.a(a+b)=a2tab B.a2+2a+1=a(a+2)+1 C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D.2a2-6ab=2a(a-3b) 2.（期末·2024-2025济南高新区)多项式12ab2-8a2bc的公因式是( A.4ab B.4a2b2 C.2ab D.2abc 製 3.(期中·2023-2024深圳实验学校)将下列多项式分獬因式，结果中不含因式x+1的是( A.x2-1 B.x2-2x+1 C.x(x-2)+(x-2) D.x2+2x+1 4.（月考·2024-2025西工大附中)下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是( A.a2+b2 B.-a2+b2 C.-a2-b2 D.a2-2ab+b2 5.（期末·2023-2024大连甘井子区)用图①中的正方形和长方形纸片可拼成图②所示的正方形，此 拼图过程可以说明一个多项式的因式分解，正确的是( 批 A.a2-2a+1=(a-1)2 金 B.a2+2a+1=(a+1)2 C.(a+1)2=a2+2a+1 D.a2-1=(a+1)(a-1) ① ② 第5题图 第7题图 6.如果9x2+x+25能用完全平方公式进行因式分解，那么k的值是( 槛0 A.15 B.±5 C.30 D.±30 H唰 7.(期末·2023-2024青岛市南区)如图，农场里有一个长方形鸡舍，长和宽分别为a,b,其周长为 题 最品 10,且a2b+ab2=30,则鸡舍的面积为( A.6 B.10 C.3 D.8 8.(期中·2023-2024陕师大附中)若a,b,c是三角形的三边长，则代数式a2-2ac+c2-b2的值( ) A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.以上三种情况均有可能 9.（期末·2023-2024郑州金水区)数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则如下：从给出的 三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将 被淘汰.给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是() x2+5x+12 5x+13 3x2-13 M N P 第9题图 A.甲：M+N B.乙：M-N C.丙：N+P D.丁：N-P 10.新定义试题如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如： 因为16=52-32，所以16就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是() A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.开放性试题请你写出一个整式A,使得多项式αb+A能因式分解，这个整式A可以是 12.已知关于x的二次三项式x2-mx+n可分解为(x-2)(x+3),则2m+n的值为 13.将4个数a,b,c,d排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成口b ,定义 a b ad-bc.上述式 c d c d 子作2阶行列太老28，则：低品 14.若A=x2+6y+4,B=-y2+2x-6,且x≠1，y≠-3，则A,B的大小关系为A B(填“>”“=” 或“<”) 15.若3a-2b=5,则9a2-4b2-20b+1的值是 16.数学归纳数式规律用m5表示十位数字为m,个位数字为5的两位数，其中1≤m≤9，且m是 整数，例如，当m=6时，m5表示的两位数是65 当m=1时，152=225=100×1×2+25； 当m=2时，252=625=100×2×3+25； (1)请仿照上面的等式，用含m的式子表示：m5=100×+25. (2)若m5与100m的差为6425，则m= 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17.(期中·2024-2025沈阳七中改编)(6分)分解因式： (1)a3-2a2b+ab2. (2)a2(x-y)+4b(y-x). 25 18.（期中·2023-2024沈阳铁西区)(6分) (1)因式分解：36(m-n)2-9(m+n)2 (2)已知y=2,x-3y=3,求2x3y-12x2y2+18y3的值. 19.(月考·2023-2024辽宁省实验中学改编)(6分)利用因式分解的方法简算： (1)1022+102×196+982 (2)2022-542+256×352. 精品圖 金星教育 20.情境题(8分)因式分解x2+ax+b时，小明同学看错了a的值，分解的结果为(x+6)(x-1),小刚同 学看错了b的值，分解的结果为(x-2)(x+1),求a,b的值 21.(8分)在全国中学生编程比赛中，某校学子用“因式分解法”生成密码的方法如下：将一个多项 式因式分解，如将多项式x3-4x分解的结果为x(x+2)(x-2).当x=20时，x-2=18,x+2=22, 此时可得到数字密码201822或182022等. (1)根据上述方法，当x=16,y=4时，多项式x-y2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写 出两个即可) (2)将多项式x3+(m-n)x2+x因式分解后，利用题干中所示的方法，当x=10时可以得到密码 101213,求m,n的值. -26 22.教材习题改编(8分)因式分解的探究及应用. (1)如图①，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪 最 狗 拼成一个长方形，如图②，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，写出一个多项式的因式分 解 必 ☒图 2)计算：-0-)1---0） 0000 ① ② 第22题图 题 精品图书 金星教 咖 图 2 23.(期末·2022-2023深圳高级中学)(8分) 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方 法无法分解，如x2-4y2-2x+4y,我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项 可提取公因式，两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的 分解因式.过程如下：x2-4y2-2x+4y=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2). 这种分解因式的方法叫分组分解法 利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：9x2-6y+y2-16 (2)△ABC的三边长a,b,c满足a2-ab-ac+bc=0,判断△ABC的形状 盗印必 关爱学子 拒绝盗印 7 24.（期末·2024-2025重庆南岸区)(10分)观察下列等式，归纳结论，并解决问题. (1)观察下列各式：42-22=4×3,52-32=4×4,62-42=4×5,72-52=4×6，… (n+2)2-n2= (2)求证：任意两个奇数的平方差是8的倍数 (3)正整数a,b满足等式(20252-20232)×（20242-20222)=27×172ab,且1<a< 圈 金宾教育精品图书 25.方法探索（期末·2022-2023东北师大附中）(12分)1637年笛卡儿在其《几何学》中，首次应用 …,归纳结论： 待定系数法最早给出因式分解定理.关于笛卡儿的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：x+x2+3x-5. 解：观察可知，当x=1时，原式=0 ,求a,b的值， ∴.原式可分解为x-1与另一个整式的积 设另一个整式为x2+bx+c,则x3+x2+3x-5=(x-1)(x2+bx+c), .'（x-1)(x2+bx+c)=x3+(b-1)x2+(c-b)x-c, ∴.x3+x2+3x-5=x3+(b-1)x2+(c-b)x-c. ,等式两边x同次幂的系数相等， [b-1=1, ∴.有{c-b=3,解得{ b=2,. .x3+x2+3x-5=(x-1)(x2+2x+5) c=5, -c=-5, 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)根据以上材料的方法，在分解因式x3+2x2-3的过程中，观察可知，当x= 时，原 式=0，所以原式可分解为 与另一个整式的积.若设另一个整式为x2+bx+C,则b= ,C= (2)已知多项式x3+ax+1(a为常数)有一个因式是x+1,求另一个因式以及a的值 下面是小明同学根据以上材料提供的方法，解此题的部分过程，请帮助小明完成他的解答过程 解：设另一个因式为x2+bx+C,则x3+ax+1=(x+1)(x2+bx+c) (3)已知二次三项式2x+3x-k(k为常数)有一个因式是x+4,则另一个因式为 k的值为 抢绝盗印 28一答案与解析 小亮的做法：，AB=AC,∠BAC=90,∠B=∠C=45° 由折叠的性质可得DF=BD=6,EF=CE=4,∠AFD= ∠B=45°，∠AFE=∠C=45°，∴.∠DFE=90°. 在Rt△DEF中，由勾股定理得DE=√DF2+EF2=2√13 (2),△ABC是等边三角形， ∴.∠CAB=∠B=∠ACB=60°，AB=AC=BC 将△ABD绕点A逆时针旋转60得到△ACF,连接EF,如图①， 则AF=AD,FC=BD=3,∠ACF=∠B=60°，∠CAF= ∠BAD. :∠CAB=60°，∠DAE=30°，.∠CAE+∠BAD=30°， ∴.∠EAF=∠CAE+∠CAF=∠CAE+∠BAD=30°=∠DAE. ,AE=AE,.△EAF≌△EAD(SAS),∴.EF=DE. 过点F作FG⊥BC,交BC的延长线于点G, ,∠ECF=∠ACE+∠ACF=60°+60°=120°， ∠FCG=60,.∠CFG=30,CG=3FC=, EG-ECICG-.FG-/FC-CG3 2 ∴.DE=EF=VEG2+FG=3√3， .BC=BD+CE+DE =6+33, ∴.△ABC的边长为6+3V3 A M C G H B D E NWG分B ① ② 第26题答图 (3)(200+100V3)m 分析：如图②所示，延长DC,AB交于点H, .∠ABC=120°，∠BCD=150°， ∴.∠CBH=60°，∠BCH=30°，.∠H=90°. 在R△HBC中，BH=3BC=50m,则CH=VBC2-BH- 503(m),.DH=(100+50√3)m. 在Rt△ADH中，∠A=90°-60°=30°， ∴.AD=2DH=(200+100W3)m, .4H =AD2-DH2 =(150+1003)m,AM=AD-DM= (100N3+100)m,.AN=AH-BN-BH=(150+50W3)m. 过点M作MG⊥AH于点G, :∠AGM=90,∠A=30,MG=34M, 则由勾股定理易得4G-9AM-(150+505)m, AG=AW,∴点N和点G重合， W=MG=7AM=(50+50√5)m, .AM4AW-MN=(200+1003)m, .走路线M-N比走路线M-A-N少走(200+100W3)m. 7.第四章学情调研 题号123456789 10 答案DA BBBDAADD 1.D2.A3.B4.B5.B 6.D【解析】9x2±30x+25=(3x±5)2，.在9x2+x+25中， k=±30.故选D. 7.A【解析】a2b+ab2=ab(a+b)=30,2(a+b)=10, .a+b=5,.ab=30÷5=6.故选A. 8.A【解析】原式=(d2-2ac+c2)-b2=(a-c)2-b2=(a-c+b)· (a-c-b).:a,b,c是三角形的三边长，∴.a-c+b>0,a-c-b<0, .(a-c+b)(a-c-b)<0.故选A. 9.D【解析】A.甲：M+N=x2+5x+12+5x+13=x2+10x+25=(x+5); B.乙：M-N=x2+5x+12-5x-13=x2-1=(x+1)(x-1): C.丙：N+P=5x+13+x2-13=x2+5x=x(x+5)5 D.丁：N-P=5x+13-(x2-13)=-x2+5x+26,不能进行因式分解， 符合题意，故选D. 10.D【解析】设两个数分别为+1，k,其中k≥1，且k为整数. 则(k+1)2-2=（(+1+k)(k+1-k)=2k+1,故任意大于1的奇数 都是“智慧数”. 设两个数分别为k+1,k-1,其中k-1≥1，且k为整数.则(k+1)2 -(k-1)2=(k+1+k-1)(+1-k+1)=4k,且k-1≥1，即k≥2， ∴.除4外，有能被4整除的偶数都是“智慧数”， .2025,2023,2024都是“智慧数”，2026不是“智慧数” 故选D 11.a(答案不唯一) 12.-8【解析】(x-2)(x+3)=x2+x-6,∴可知m=-1,n=-6. .2m+n=2×(-1)+(-6)=-2-6=-8.故答案为-8. 13.1【解折12+11-2对=8,2x+102-（1-2x2=8, 1-2x1+2x .(2x+1+1-2x)(2x+1-1+2x)=8,∴.8x=8,解得x=1. 故答案为1. 14.>【解析】：A-B=(x2+6y+4)-(-y2+2x-6)=x2+6y+4+y2- 2x+6=(x2-2x+1)+(y2+6y+9)=(x-1)2+(y+3)2,由条件可知 A-B=(x-1)2+(y+3)2>0,.A>B.故答案为>. 15.26【解析】3a-2b=5,9a2-4b2-20b+1=(3a+2b)(3a-2b)- 20b+1=5(3a+2b)-20b+1=15a-10b+1=5(3a-2b)+1=26. 故答案为26. 16.(1)m(m+1)(2)8【解析】(1)m5=(10m+5)2=100m2+ 2×5×10m+25=100m2+100m+25=100(m2+m)+25 =100m(m+1)+25. (2)由题意可得m52-100m=100m2+100m+25-100m =100m2+25=6425, ,.m2=64. 又，1≤m≤9，.m=8. 故答案为(1)m(m+1):(2)8. 17.【解】(1)原式=a(a2-2ab+b2) =a(a-b)2 (2)原式=(x-y)(a2-4b2) =(x-y)(a+2b)(a-2b). 18.【解】(1)原式=(6m-6n)2-(3m+3n)2 =（6m-6n+3m+3n)(6m-6n-3m-3n) =(9m-3n)(3m-9n)=9(3m-n)(m-3n). (2)原式=2xy(x2-6y+9y2)=2y(x-3y)2, :y=2,x-3y=3,.原式=2×2×32=36， 19.【解】(1)原式=1022+2×102×98+982=(102+98)2 =2002=40000. (2)原式=(202+54)(202-54)+256×352=256×148+256× 352=256×(148+352)=256×500=128000. 20.【解】，(x+6)(x-1)=x2+5x-6,小明看错了a的值而b的值没 有看错，∴.b=-6. ·(x-2)(x+1)=x2-x-2,小刚看错了b的值，而a的值没有看 错，.a=-1.综上，a=-1,b=-6. 21.【解1(1)x3-x灯y2=x(x-y)(x+y). 当x=16,y=4时，x-y=12,x+y=20, 则得到的数字密码为161220或162012.（答案不唯一) (2)当x=10时，密码为101213，且x的系数为1， 由(1)知x+2=12,x+3=13, .x3+（m-n)x2+m=x(x+2)(x+3)=x3+5x2+6x, ∴.m-n=5,n=6,即m=11,n=6. 22.【解1(1)a2-b2=(a+b)(a-b) 2)原式-+-++》… 99101_101 2×…X 4 100100200 23.【獬】(1)9x2-6+y2-16=(9x2-6y4y2)-16=(3x-y)2-42 =(3x-y44)(3x-y-4). (2)a2-ab-ac+bc=0,∴.a(a-b)-c(a-b)=0, ∴.(a-b)(a-c)=0,.a=b或a=c, ∴.△ABC的形状是等腰三角形 24.(1)【解】4(n+1)(n≥2) (2)【证明】设两个奇数分别为2m+1,2n+1, .(2m+1)2-(2n+1)2=(2m+1-2n-1)(2m+1+2n+1)=4(m-n)× (m+n+1), 当m-n为奇数时，则m+n+1为偶数，则4(m-n)(m+n+1)是8 的倍数， 当m-n为偶数时，则m+n+1为奇数，则4(m-n)(m+n+1)是8 的倍数， ∴任意两个奇数的平方差是8的倍数 (3)【解】(20252-20232)×(2024-20222)=27×17ab, ..4×2024×4×2023=27×17ab, b=4x2024x4x2023=171=11×161=7×253= 27×172 23×77. 1<a<b,∴.a=11,b=161或a=7,b=253或a=23, b=77. 25.【解】(1)1x-133 (2)设另一个因式为x2+bx+c,则x+ar+1=(x+1)(x2+bx+c). (x+1)(x2+bx+c)=x3+(b+1)x2+(c+b)x+c, ∴.x3+ax+1=x3+(b+1)x2+(c+b)x+c, [b+1=0[a=0, ∴.{c+b=a,解得{b=-1, c=1,c=1, .多项式x+ax+1(a为常数)为x3+1, ∴.x3+1=(x+1)(x2-x+1),∴.另一个因式为x2-x+1. (3)2x-520 分析：：多项式2x2+3x-k(k为常数)有一个因式是x+4, .设另一个因式为x+n,则2x2+3x-k=(x+4)(mx+n). :(x+4)(mx+n)=mx2+(n+4m)x+4n, ∴.2x2+3x-k=mx2+(n+4m)x+4n, [m=2, [m=2, ∴.{n+4m=3,解得{n=-5, 6 4n=-k, k=20, 真题圈数学八年级下12N .多项式2x2+3x-k(k为常数)为2x2+3x-20, .2x2+3x-20=(x+4)(2x-5),.另一个因式为2x-5. 8.第五章学情调研 题号123 4567 8910 答案CCB B D CC DAB 1.C2.C3.B 4.B【解析】A.义=兰，不是最简分式；B.二1，是最简分式； 3x x C.+1=x+11 C号+-)不是最简分式D号=兰不是 最简分式.故选B. 5.D【解析】a2+3ab+b2=0(ab≠0)，∴.a2+b2=-3ab, :b+0=+a=-3ab=-3.故选D. a b ab ab 6.C 7.C【解析J设“口”中的式子为M, 原式=+1.M M x-1x(x2+1)x(x-1) “当M=-x=x(x-1)时，原式=xx-=1,结果为整式. x(x-1) 故选C 8.D 9.A【解析】若关于x的方程m)-)=0有增根，则x= x-2x-2 2为增根.把方程去分母可得m-1-x=0,把x=2代入可得 m-1-2=0,解得m=3.故选A 10.B【解析)根据题中的新定义，得3⑧x=2×3+上，4因2= 2×4+方：3⑧x=4®2,2×3+日=2×4+2，解得x =号，经检验，x=号是分式方程的根.故选B. 2 山多【解析心最，三，品2=y+y=匀 x 3 故答案为号 12.0【解析】2x-6=2x,3》=2x=0, x-3 x-3 解得x=0.故答案为0. 1B.号，【解析]甲的工作效率是头乙的工作效率是号，工作总 量是1，：两人合微完视这顶工程所雷的天爱是1+佳引 1 ,故答案为少 x+y x y 14.=【解析】M=a, .b_a(b+1)+b(a+1) =a+1+b+1=(a+1)b+1) -8锦w=g 1=b+1+a+1 a+b+2 =a+1+b+1-(a+1)b+)-(a+1b+)1 ,ab=1,.M=N故答案为=. 15【解标]根据题意，得被污染的代数武“为-刂 a+1 。=t-2a.1-o=a8品t-(a- ÷1-a a2-1 =品故答案为 a+1 16.3或-3或9【解析】去分母，得3(x-1)+6x=m(x+1),整理， )得(9-m)x=3+m当x=0时，m=-3;当x=1时，m=3; 当9-m=0时，m=9.故答案为3或-3或9.