9.第四章 因式分解 学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（北师大版·新教材）山西专版

∴.∠BDE=∠CDF=45° 在△BDE与△CDF中， ∠B=∠C, BD=CD. ∠BDE=∠CDF, .△BDE≌△CDF(ASA), 4 .DE DF. (3)CG=2DE 分析：如图②，连接AD :AB=AC,D是BC的中点， .AD是∠BAC的平分线 DE⊥AB,DF⊥AC, .DE=DE ”SAARC=SDSAACD' B 第21题答图② “号×AB×CG=号×ARx DE+7×ACx DF, ∴.CG=DE+DF=2DE. 22.【解】设方案一所需费用为y,元，方案二所需费用为y,元， 根据题意，得y,=(55+15)x+12×(120+200): 整理，得y1=70x+3840, 2=(12+50+18)x,整理，得y,=80x 若yy2,则，70x+3840<80x解得x>384; 若y1=y2,则，70x+3840=80x,解得x=384; 若y>y,则，70x+3840>80x,解得x<384; 答：当x>384时，选方案一费用较少；当x=384时，方案一和 方案二费用一样多；当0<x<384时，选方案二费用较少. 23.(1)【解】DH=DF.理由如下： 在Rt△EFD中，∠EFD=90°，∠DEF=30°，DF=DE. “点H为边DE的中点，DH=专DE, .DH=DE (2)【证明如图①，连接DG,FH, 由平移可知DE∥AB, ∴.∠GHD=∠ABC, ,∠ABC=90°，.∠GHD=90°. 在Rt△GFD与Rt△GHD中， GD=GD. DF =DH, 第23题答图① .Rt△GFD≌Rt△GHD(HL),.GF=GH, ∴点G在H的垂直平分线上， DF=DH,∴.点D在FH的垂直平分线上， ∴.DG垂直平分FH. (3)【解】平移距离为6-3V3或33.分析： ①当点F落在BC边所在直线上时，如图②， 由平移可知，DE∥AB,∠EGC= F ∠ABC=90°，∠CEG=∠BAC=30°， .LFEG=LCEG=30°. 在△EGF和△EGC中， ∠FEG=∠CEG, EG=EG, G ∠EGF=∠EGC=90°， ∴.△EGF≌△EGC(ASA), D ∴.EF=EC, 第23题答图② 在Rt△EFD中，∠EFD=90°，∠DEF=30°，DF=BC=3, ∴.DE=2DF=6, 由勾股定理得： EF=√DE2-DF2=3DF=33, ∴.EC=EF=3V5, 真题圈数学八年级下3B 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30°， .AC=2BC=6,..AE=AC-EC=6-33 ②当点F落在AB边所在直线上时，如图③， 过点E作EH⊥AB于点H, 由平移可知，DE∥AF, .∠EFH=∠DEF=30°. H--- E :∠CAB=30°，.AE=EF, B 0 在Rt△EFD中，∠EFD=90°，∠DEF=30°，DF =3, .DE 2DF=6, .EF=√DE2-DF2=3V5, F收 ∴.AE=EF=3N3 D 综上所述，平移距离为6-3√5或35， 第23题答图③ 9.第四章学情调研 题号12345678910 答案C DDA C BAB BC 1.C2.D 3.D【解析】：(x-3)(x+5)=x2+2x-15,∴.m=2,n=-15. 故选D. 4.A【解析】原式=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2),它用到的方法有 提公因式法，平方差公式法进行因式分解，没有用到完全平方 公式法.故选A. 5.C【解析】A.x2-3x=x(x-3),能用提公因式法分解因式，本选 项不符合题意；B.x2+4x-4不能进行因式分解，本选项不符合题 意；C.m2-=(m+n)(m-n),能用平方差公式进行因式分解，本 选项符合题意；D.α+4b2,不能进行因式分解，本选项不符合题 意.故选C. 6.B【解析】5(a-b)-m(a-b)=(a-b)(5-m).故选B. 7.A【解析】20262-36=20262-62=(2026+6)(2026-6)= 2032×2020,.能整除20262-36的是2020.故选A 8.B【解析】A.16m2+1-2=16m2-1=(4m+1)(4m-1),此选项不 符合题意；B.16m2+1-15m2=m2+1,此选项符合题意；C.16m2+1+ 8m=(4m+1)2,此选项不符合题意；D.16m2+1-8m=(4m-1)2, 此选项不符合题意.故选B. 9.B【解析】：边长为a,b的长方形周长为20，面积为16， ∴.a+b=10,ab=16,∴.a2b+ab2=ab(a+b)=16×10=160. 故选B. 10.C【解析】a2+36=c2+2bc+b,.a2+36=(b+c)2, ∴.(b+c)2-a2=(b+c+a)(b+c-a)=36. b+c-a=3,.b+c+a=12.故选C. 11.(b-c)(a+3) 12.5或-3【解析】由题意知n-1=4或n-1=-4. ∴.n=5或n=-3.故答案为5或-3. 13.-2m【解析】：m(3m2-5m-2)=3m2-5m2-2m,∴.▲=-2m. 故答案为-2m. 14.x2+6x+8=(x+2)(x+4) 15.2027【解析】小x2+x=1,.x+2x2+2026=x(x2+x)+x2+2026 =x2+x+2026=1+2026=2027.故答案为2027. 16.【解】(1)原式=6(x2-2y+y2)=6(x-y)2 (2)原式=(x-y)(a2-4b2)=(x-y)(a+2b)(a-2b). 17.【解】(1)原式=2026×(32+42+72)=2026×(3+7)2 =2026×100=202600. (2)原式=10×(652-352)=10×(65+35)×(65-35) =10×100×30=30000. 答案与解析 18.【解】能.根据题意，剩余阴影部分的面积=圆形板材的面积- 四个小圆的面积，即剩余阴影部分的面积=πR2-4π2=元(2 42)=π(R+2r)(R-2r),将R=6.8dm,r=1.6dm代人上式， 得剩余阴影部分的面积=元(6.8+3.2)(6.8-3.2)=36π(dm2). 答：剩余阴影部分的面积为36πdm2. 19.【解】设原多项式为ar2+bx+c(其中a,b,c均为常数，且abc ≠0). 2(x-1)(x-9)=2(x2-10x+9)=2x2-20x+18, .a=2,c=18. 又.2(x-2)(x-4)=2(x2-6x+8)=2x2-12x+16, .b=-12 ∴.原多项式为2x2-12x+18,将它分解因式，得 2x2-12x+18=2(x2-6x+9)=2(x-3)2. 20.【解】.x2-49=(x+7)(x-7),x2-9x+14=(x-2)(x-7), .乙为x-7,.甲为x+7,丙为x-2, .x+7+x-2=2x+5, ∴.甲与丙相加的结果是2x+5. 21.【解】(1)B (2)否 最后的结果为(x-2)4, (3)设y=x2-2x, 原式=y(y+2)+1=(y+1)2=(x2-2x+1)2=(x-1)4. 22【解】(1)【解】奇数5和6 分析：(k+1)2-2=(+1+k)(+1-)=2k+1(k≥1，且k为 整数)， 除1外，所有奇数都是智慧数； .11=2×5+1, .11=(5+1)2-52=62-52 (2)【证明】设k≥2，且k为整数， .(k+1)2-(k-1)2=(k+1+k-1)(k+1-k+1)=4k, ∴.4k(k≥2且k为整数)均为智慧数. (3)【解】2704 分析：由(1)(2)可知，从1开始的正整数中，前四个正整数中 只有3为智慧数，此后每连续四个正整数中有三个智慧数， .(2026-1)÷3=674…3,4×(674+1)=2700, 第2023个智慧数是2700，第2024个智慧数是2701，第 2025个智慧数是2703，第2026个智慧数是2704 23.【解】(1)完全平方公式 (2)x2+xz-yz-2xy+y2=(x2-2xy+y2)+(xz-yz) =(x-y)2+z(x-y)=(x-y)(x-y+z). (3)原式=(a+2a2b+b4)-(2ab+2ab3)=(a2+b2)2-2ab(a2+b2) =(a2+b2)(a2+b2-2ab) =(a2+b2)(a-b)2 由题可知a2+b=9,(a-b)2=1,.原式=9. 10.第五章学情调研 题号12345678910 答案DB C CB A CCAD 1.D2.B 3C【解析】A。吕-名昌-1，原分式不是最简分式，故本选 项不符合题意；B.a+2 a+2 2-4a+2Xa-2)-。-2,原分式不是最 筒分式，故本远项不符合题意：C02,原分式是最简分式，故 本选项符合题意：D,)=号，原分式不是最简分式，故本选项 符合题意.故选C. 4.C【解析】A.分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立， 故原选项错误；B.-4+2=-a2,故原选项错误；C.分式的分 b b 子与分母都乘同一个不等于零的整式，分式的值不变，故原选 项正确：D,号=尝，故原选项错误，故选C 5.B【解析】方程两边都乘3x,得1-3(2x+1)=3x,故只有选项 B符合题意，选项A,C,D都不符合题意 故选B. &A【解析E分式的的分子分母中的a,6郑对大为原来 的=的期分式的值不夜故速A 的2倍，得，20ab」 7.C【解析】小明的做法是错误的，错误在于第二个等号后面的 分子书写错误，忘记加括号了，分子部分正确书写是(x+3)(x- 2)-(x-2),即x2+x-6-x+2;小亮的做法是错误的，错误在于第 一个等号后面的部分，此处应该是通分，而小亮直接把分母漏 掉了；小芳的做法是正确的.故选C. &c【解折x2y=0=2小号-多品号=前月 故选C 9.A 10.D【解析】解方程2x+=1,得x=-a-1.:关于x的方程 x-1 2x+a=1的解是正数，x>0,即-a-1>0,解得a<-1.当x-1 x-1 ≠0，-a-1-1≠0，∴a≠-2.则a的取值范围是a<-1且 a≠-2.故选D. 11.2【解析】分式的值为0，∴.x-2=0,且x+2≠0，.x=2. 故答案为2. 12.x(x-1)2【解析：x+6=x+6,1 1 ”x2-xx(x-'x2-2x=1(x-12 分试兰与2的最简公分每是x归 1 故答案为x(x-1)2 1.)【解析]原来每天用水量为侣，改用喷澈方式后每 a 天用水量为。作3t,则现在比原来每天节约用水公-a牛3= 3m,（t).故答案为3m, a(a+3) a(a+3) 14.-1【解析：1-=b-0=-=b=5,a-b=-5b, a b ab ab ：点碧=%的=密-瑞=1 2ab-a+b 2ab+5ab 故答案为-1. 15-7【解析】：分式方程有增根，x-3=0,解得x=3,3x x-3 三g-2,3x+x-3=2-m,4-3=2-m,当x=3时，m=7 故答案为-7. 16.【解】两边都乘(x+1)(x-1),得 2+x(x+1)=(x+1)(x-1). 去括号，得2+x2+x=x2-1. 移项，合并同类项，得x=-3. 检验：当x=-3时，x2-1≠0， .x=-3为原分式方程的根. 17.【解】任务一：①二分式的基本性质 ②三减去整体要带括号（或者去掉括号时括号里各项要 变号) 任务二： 1 a+2 任务三：最后要化为最简分式（答案不唯一）真题圈数学 同步 调研卷 八年级下3B 9.第四章学情调研 (时间：120分钟满分：120分) 与期 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.代数式15ab3(a-b),5a2b(b-a),-120ab3(a2-b2)的公因式是( ) A.5ab(b-a) B.5a2b2(b-a） C.5a2b (b-a) D.120a3b(b2-a2) 2.(期末·24-25运城盐湖区)下列由左边到右边的变形是因式分解的是( A.(y-2)2=y2-4y+4 B.a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1 C.a(x+y）=ax+ay D.m2-4=(m+2)(m-2) 3.若x2+x+n因式分解为(x-3)(x+5),则m的值为( A.-15 B.-2 C.8 D.2 4.我们所学的多项式因式分解的方法主要有：①提公因式法；②平方差公式法；③完全平方公式 法.现将多项式2x3-8x进行因式分解，用到的方法有( 批 A.①② 金B.①③ C.②③ D.①②③ 5.(月考·24-25太原师院附中)下列多项式能用公式法进行因式分解的是( A.x2-3x B.x2+4x-4 C.m2-2 D.a2+42 6.把5(a-b)-m(a-b)提公因式后，其中一个因式是a-b,则另一个因式是( A.5+m B.5-m C.m-5 D.-m-5 些咖 7.(期末·23-24运城盐湖区改编)下列各数中，能整除20262-36的是( ) H A.2020 B.2021 题 C.2022 D.2023 8.将多项式16m+1加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内因式分解，则此单项式不能 是( ) A.-2 B.-15m2 C.8m D.-8m 2 9.如图，边长为a,b的长方形周长为20，面积为16，则ab+ab2的值为( A.80 B.160 C.320 D.480 10.教材习题改编已知a,b,c分别是△ABC的三边长，若a2+36=c2+2bc+b2, 第9题图 b+c-a=3,则△ABC的周长是( ) A.39 B.33 C.12 D.6 第Ⅱ卷（非选择题共90分) 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.(月考·24-25太原三十七中)因式分解：a(b-c)-3(c-b)= 12.若x2_（n-1)x+4可以用完全平方公式进行因式分解，则常数n的值为 13.（期末·22-23太原)多项式“3m3-5m2+▲”分解因式的结果为m(3m2-5m-2),则原多项式中“▲” 处所缺的项为 14.根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解： 第14题图 15.已知x2+x=1,那么x3+2x2+2026的值为 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（(月考·24-25太原师院附中)(8分)分解因式： (1)6x2-12xy+6y2. (2)a2(x-y)+4b2(y-x). 9 17.(8分)利用因式分解简便计算： (1)32×2026+42×2026+72×2026. (2)65×10-352×10. 18.情境题(8分)如图所示，小刚家门口的商店在装修，他发现工人正在一块半径为R的圆形板材 上裁去半径为r的四个小圆，小刚测得R=6.8dm,r=1.6dm,他想知道剩余阴影部分的面积， 你能利用所学过的因式分解的知识帮助小刚计算吗？请写出求解过程（结果保留π） 金星教有 88 第18题图 3 19.（月考·22-23山西省实验改编)(8分)两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错 了一次项系数而分解成2(x-1)(x-9),另一位同学因看错了常数项而分解成2(x-2)(x-4),请将 原多项式分解因式 20.(8分)已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘，积为牛 x2-49,乙与丙相乘，积为x2-9x+14,求甲与丙相加的结果 拒绝盗印 0- 21.（期中·24-25山西省实验改编)(10分)下面是小亮同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因 式分解的过程 解：设x2-4x=y, 原式=(y+2)(y+6)+4…第一步 8 蝴 =y2+8y+16…第二步 =(y44)2…第三步 把出 与期 =(x2-4x+4)2.…第四步 (1)该同学第二步到第三步运用了 A.平方差公式 B.两数和的完全平方公式 C.两数差的完全平方公式 (2)该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？ (填 “是”或“否”)，如果否，请直接写出最后的结果 (3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解 製 精品图书 金星教 巡咖 3 22.教材内容改编（月考·24-25太原师院附中改编）(12分)阅读与思考 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为 它的“智慧分解” 例如，因为16=52-32，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解.那么究竟哪些 数为智慧数？第2026个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下 探究。 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：3=22-12,5=32-22,7=42-32,9=52-42，…，小明 认为小颖的方法太麻烦，他想到： 设两个数分别为k+1,k,其中k≥1，且k为整数 则(k+1)2-2=(k+1+k)(k+1-k)=2k+1. (1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有 都是智慧数，并请直接写出11的智慧分解： (2)继续探究，他们发现8=32-12,12=42-22，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想： 4k(k≥2，且k为整数)均为智慧数，请证明他们的猜想. (3)根据以上所有探究，请直接写出第2026个智慧数， 关爱学子 拒绝盗印 23.方法探索(13分)整式乘法与多项式因式分解是有联系的两种变形.把多项式乘多项式法则反 过来，将得到：ac+ad+bc+bd=(ac+ad)+(bc+bd)=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d) 这样该多项式就被分解为若干个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫作分组分解法 例：x2-y2-2y-1=x2-(y2+2y+1)…第一步 =x2-(y+1)2…第二步 =(x+y+1)(x-y-1).…第三步 (1)例题求解过程中，第二步变形是利用 (填乘法公式的名称). (2)利用上述方法，分解因式：x2+x2-yz-2y+y2. (3)应用：“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理.如图，“赵爽弦图” 是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形.若直角三角形的两条 直角边长分别是a和b(a>b),斜边长是3，小正方形的面积是1. 根据以上信息，先将a4-2ab+2ab2-2ab+b4因式分解，再求值 第23题图 金皇教育精品图物 32 的男或点 彩