第一章 三角形的证明及其应用 学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学试题精选（北师大版·新教材）

9.√37+2【解析】作ME∥AB交BC于点E,在AD上取DF= MN,连接EF,延长AB至点H AM D B',使BB'=ME,连接B'F, B'E,作B'H⊥DA,交DA的 延长线于点H,如图. ,AB∥ME,∴.∠MEN=∠ABC =∠MWE=60°， 第9题答图 ∴.△MEN为等边三角形， .ME=EN=MN. ,四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC, ,∴.四边形ABEM为平行四边形，同理得四边形BB'EM与四边 形ENDF为平行四边形， .ME EN MIN=AB =2,B'E BM,EF=ND, ∴.BM4MN+ND=B'E+EN+EF=B'E+EF+2≥B'F+2. 在Rt△BHA中，HA=BA=2,BH=VBA-AH=25. 在Rt△B'HF中，B'F=√B'H+HF2=V12+(AH+AD-FD) =V12+52=√37，.BM4MW+WD≥V37+2, .BM4MN+ND的最小值是√37+2.故答案为√37+2. 卷30专题平行四边形中动点问题 1.D 2.D【解析】，四边形ABCD是长方形，.DC∥AE, ∴.当CN=ME时，以E,M,C,N为顶点的四边形是平行四边形 分四种情况讨论：①当点N在点C左侧，点M向左运动时， 0<K,CW=3-21,ME=t3-21=1,解得1=1；②当点 N在点C右侧，点M向左运动时，弓<K4,CN=21-3,ME=t ∴.2t-3=t,解得t=3;③当点N在点C右侧，点M向右运 动且点M在点E左侧时，4<K9,CN=2-3,ME=43(-4, 2-3=4-3(4,解得1=号<4，此种情况不存在；④当点 N在点C右侧，点M向右运动且点M在点E右侧时，P苧， CN=2t-3,ME=3(t-4)-4,∴.2t-3=3(t-4)-4,解得t= 13.故甲和乙的答案合在一起也不完整.故选D. 3.√3【解析】如图，在线段BC上截取CE=AE=1,过点E作 FE⊥BC交AD于点F,交BD于点 AARP P,连接AC,PE, E '在平行四边形ABCD中，AB=BC =4,∠ABC=60°， △ABC是等边三角形， E'C .'BA=BC=AC=4, 第3题答图 六5=2x5c=2××4×4-气x4 1 =85 =BCx F E'..FE'=23 :BA=BC,AC,BD为平行四边形ABCD的对角线， ∴.∠ABD=∠CBD,.BA-AE=BC-CE',∴.BE=BE 'BP=BP,.△EBP≌△EBP(SAS), .'PE PE',.'EP+FP=E'P+FP, ∴.EP+FP的最小值为FE=2V3, 若EP+FP=2V3,说明如图所示，此时EF⊥BC,动点F是边 AD上的点F,动点P是线段BD上的点P',过点E作EH⊥AD 交DA的延长线于点H,连接EF,易知P为平行四边形ABCD 的中心， 真题圈数学八年级下12N PA-PC-3AC-2.PF-3PE-. ∴.AF=VAP2-PE2=V22-(W32=1. :∠EAH=60°，AE=1,∠AEH=30°， ·M=分：R-=E-aF= 2 FH=M1-是 EF=√5.故答案为3 4.【解1(1)10(2)110-8 (3)①如图①，若四边形PQBA是平行四边形， D PA QB E 第4题答图① 则AP=BQ,.2t=10-81,解得1=1； ②如图②，若四边形APBQ是平行四边形，.AP=BQ, 六21=8-10，解得1=号 D P A 综上所述，当1=或1时， 以P,Q,A,B为顶点的四边 B Q E 形为平行四边形。 第4题答图② 同步调研卷 1.第一章学情调研 题号12345678910 答案BDAB C B BBDC 1.B【解析】分两种情况：①当底边长为2cm,腰长为4cm时， 等腰三角形的周长=2+4+4=10(cm): ②当底边长为4cm,腰长为2cm时， 2+2=4,不能构成三角形， ∴.等腰三角形的周长为10cm故选B. 2.D【解析】如图，由题意，得∠C=90°， .∠2=125°， ∴.∠CAB=180°-∠2=55°， B ∴.∠1=∠CAB+∠C=145°. 故选D. 第2题答图 3.A【解析小：DE是AB的垂直平分线， :AE=BE, .△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+AC=50. AC=27,.BC=23.故选A 4.B 5.C【解析】如图，过点D作DE⊥AB,垂足为E, .'∠C=90°，∴.CD⊥BC 又：BD平分∠CBA,DE⊥AB, E ∴.CD=ED=3. AB=12, A =48nE=× D 第5题答图 12×3=18.故选C. 答案与解析 6.B【解析】由题意可知，CF=2.6m,BE=0.8m, .BD=1.8m设AC的长为xm,则AB=AC=xm, .'AD AB-BD =(x-1.8)m. 在Rt△ADC中，AD+CD2=AC,即(x-1.8)2+32=x2, 解得x=3.4,即绳索AC的长是3.4m.故选B. 7.B【解析】如图①中，AT=AC, 点T在线段AB上，.AB> AT,即AB>AC.如图②中，由 作图可知，EB=EC.,EA+ B4 EC>AC,∴.EA+EB>AC,即AB >AC.故选B. T B 8.B【解析】D,E是BC的 三等分点，且△ADE是等边三 ① ② 第7题答图 角形， .BD=DE=EC=AD=AE,∠ADE=∠AED=60°， ∴.∠B=∠BAD=∠C=∠EAC=30°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=120°.故选B. 9.D【解析】如图所示，满足条件的点P共有4个.故选D. M P. P A P4∠ B N 第9题答图 10.C【解析】：∠ACB=90°，AC=BC=4,D为BC的中点， ∠CAB=∠CBA=45°，CD=BD=BC=2 ,BF∥AC,∴.∠ABF=∠CAB=45=∠ABC,∴.∠DBF=90° DE⊥AB,∴.∠DEB=90°，.∠BDF=45°， ∴△DBF是等腰直角三角形，∴.BF=BD=2,故①正确. ,AC=BC=4,∠ACD=∠CBF=90°，CD=BF, ∴.△ACD≌△CBF(SAS),.∠CAD=∠BCF, ∠BCF+∠ACF=90°，∴.∠CAD+∠ACF=90°， ∴·AD⊥CF,故②正确. .CD=DB,∴.AD是△ACB的中线，如果是角平分线， 则CD=DE,但DE<BD=CD,显然矛盾，故③错误. 在Rt△ACD中，AD=√AC2+CD2=2V5, ,△DBF是等腰直角三角形，且DE⊥AB,.DE=EF, .AB垂直平分DF,∴.AF=AD=2√5，故④正确. ,△ACD≌△CBF,.AD=CF=AF,.∠CAF=∠FCA. :AC∥BF,∴.∠CFB=∠FCA=∠CAF,故⑤正确 综上所述，正确的有①②④⑤，共4个.故选C 11.如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 12.AB=DC(或AC=DB) 13.80°或20°【解析】当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是 80°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°-80°×2 =20°.故答案为80°或20°. 14.直角【解析】：ca=2b,ca=号6，c=6,a=0, Γ4 ∴△ABC是直角三角形.故答案为直角. 15.20W3【解析】连接AC,过点B作BD⊥AC于点D,如图， ,AB=BC=20cm,∠ABC=120°， .AC=2AD,∠A=∠C=30°， 20cm ÷B0=号4B=10cm, D.-6B 120y .AD=4B2-BD2 =103(cm), 20cm .'AC 2AD=203 cm, 即机器狗在正常状态下的高度为20√3cm. 第15题答图 故答案为20√3. 16.a=B【解析】：MN垂直平分AC, .PA=PC,∴∠PAC=∠PCA,PC+PD =PA+PD.如图，连接AP,当A,P,D三 点在同一直线上时，PA+PD最小，最小值 为AD的长，.△PCD周长的最小值为 M PC+PD+CD AD+CD. D :AB=AC,点D是边BC的中点， 第16题答图 .∠BAC=2∠CAD. :∠CPD=∠PAC+∠PCA=2∠CAD, .∠BAC=∠CPD,即a=B.故答案为a=B. 17.【解(1)AP能平分∠BAC.理由如下： 如图，过点P作PQ⊥BC,PK⊥AB, PL⊥AC,分别交BC,AB,AC于点Q, K,L.:△ABC的角平分线BM,CW 相交于点P,.PK=PQ,PL=PQ, .PK=PL.PK⊥AB,PL⊥AC, 第17题答图 .AP平分∠BAC. (2)三角形的三条内角平分线相交于一点 18.【解】(1)：△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°. ,DE∥AB,∴.∠EDC=∠B=60°. EF⊥DE,.∠DEF=90°，∴.∠F=90°-∠EDC=30°. (2)由(1)得∠ACB=60°，∠EDC=60°， .△EDC是等边三角形，∴.ED=DC=2. :∠DEF=90°，∠F=30°，.DF=2DE=4 19.(1)【证明】在Rt△BCD中，：∠C=90°，BC=2,CD=1, ∴.BD=VBC2+CD2=√4+1=V5. 在△ABD中，AB=2√5，BD=√5，AD=5, .AB2+BD2=(2√5)2+(V5)2=25=AD2, .△ABD是直角三角形，∠ABD=90°. (2)【解】5慰m=Suot56o=25x5+21=6 2 2 20.(1)【证明】：∠BAC+∠ADE+∠ACB=180°，∠BAC+∠ADE+ ∠AED=180°，.∴.∠AED=∠ACB, .DE∥BC (2)【解】：DE∥BC,∴.∠DEF=∠G=35°，∠B=∠EDH. ∠FEH=12°，∠DEH=35°-12°=23°. :EH1AB,.∠DHE=90°，.∠EDH=90°-23°=67， ∴.∠B=67°， 21.【证明】(1)如图，∠ABC=90°，BD⊥EC, .∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，.∠1=∠2. 又AD∥BC,∴.∠BAD=90°，.LBAD=∠ABC 在△BAD和△CBE中，∠2=∠1，BA=CB,∠BAD=∠CBE, ∴.△BAD≌△CBE(ASA),∴.BD=CE (2)如图，设AC与ED交于点M E是AB的中点，∴.EB=EA △BAD≌△CBE,.AD=BE, D M .AE=AD,.△AED是等腰三角形」 .∠ABC=90°，AB=BC,∴.∠BAC= E ∠ACB=45°.：AD∥BC,∴∠DAM 2 =∠ACB=45°，∴.∠EAM=∠DAM, B3 C 即AM平分∠EAD,∴.等腰△AED中， 第21题答图 AM⊥DE,.AC⊥ED. 22.【解】(1)：MN垂直平分BC, .DC=BD,CE=EB.又.EC=6,∴.BE=6 又，△BDC的周长为28，∴.BD+DC=16,.BD=8 (2),∠ADM=70°，∴.∠CDWN=70°. 又：MN垂直平分BC,∴.∠DEC=90°，BD=DC, .∠C=20°. ∴∠DBC=∠C=20°.又∠ABD=20°，.∠ABC=40°， .∠A=180°-∠C-∠ABC=120° 23.【獬】(1)540(2)360 (3)如图，延长NE交AB于点F .MA∥EN,∴.∠1=∠6. :∠1+∠2=200°， .∠6+∠2=200° .·在五边形FBCDE中，∠6+ ∠3+∠4+∠5+∠2=360°， .∠3+∠4+∠5=160°. 第23题答图 24.【解】(1)连接AD,如图①所示 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=8, .AB=V√AC2+BC2=4V5. :点M为边AB的中点，MD⊥AB,.MD为线段AB的垂直 平分线，.AD=BD,AM=BM=号AB=2V5. 设AD=BD=x,则CD=BC-BD=8-x. 在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD=AD, 即42+(8-x)2=x2,解得x=5,.AD=5. 在Rt△ADM中，由勾股定理得DM=√AD2-AM2= V52-(2W5)2=V5.故DM的长为√5 A B CL D D ① 第24题答图 (2)AE2+BD2=ED2.证明如下： 在EM的延长线上取一点F,使MF=ME,连接BF,DF,BE, 如图②所示.，点M为边AB的中点，∴.MB=MA. 在△BMF和△AME中，BM=AM,∠BMF=∠AME,MF= ME,∴.△BMF≌△AME(SAS), ∴.∠MBF=∠A,BF=AE .∠C=90°，∴.∠A+∠CBA=90°， ∴.∠MBF+∠CBA=90°，即∠DBF=90° :ME⊥MD,MF=ME,∴.MD为线段EF的垂直平分线， ∴.ED=FD.在Rt△BDF中，由勾股定理得BF2+BD=FD, 即AE2+BD2=ED2 25.【解】(1)2√13cm 分析：∠C=90°，AB=5cm,BC=3cm,'.在Rt△ABC中， 由勾股定理，得AC=4cm ,三角形的中线平分三角形的面积， 真题圈数学八年级下12N .当BP为△ABC的中线时，BP将△ABC的面积分成相等的 两部分，CP=方4C=2cm,1=2÷1=2 ,∠C=90°，∴.BP=VBC2+Cp2=√13(cm). (2)①当BP平分∠ABC时，如图①，过点P作PD⊥AB于点D, 则PC=PD. A SAABC=SABCP+S AABP c·4C=号8cPC+48PD= 21 acM8c,即3x4=B5PC B 第熟c=含m,1=1= 3， 2 第25题答图① ②当CP平分∠ACB时，如图②，过点P作PD⊥AC于点D, PE⊥BC于点E,则PD=PE, ,∠ACB=90°，∠ACP=45°， ,PD⊥AC,.∠ACP=∠DPC=45°， .'CD PD. SAARC=S△CPSAC, 号acAc=cPE4CD 第25题答图② C4C:Pm,即3x4=(34PD, 解得Pm-号mC0-号mAD=4C-(CD-9（m 在△40p中，由勾股定理，得4P=VD+P西-9（cm》 1=49)1- ③当AP平分∠BAC时，如图③，过点P作PF⊥AB于点F,则 PC=PF, A 同法可得3×4=(4+5)·PC, 解得PC=号cm, 3 ∴.t=3+4+5- /÷132 4 3 C P 第25题答图③ 综上所述，当1=3或48或2时，点P在△4BC 27 3 的角平分线上. (3)2或6.分析：如图④，当点P在AC上，点Q在AB上时， PC =tcm,BQ =(2t-3)cm, ,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， 且△ABC的周长为3+4+5=12(cm), 1 CP+BC+B0=2×12=6(cm, .t43+(2t-3)=6,解得1=2； 如图⑤，当点P在AB上，点Q在AC上时， 第25题答图④ A AP=(t-4)cm,AQ =(2t-8)cm, ,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， 且△ABC的周长为3+4+5=12(cm), '.AP+AQ=6(cm),∴.t-4+21-8=6, .t=6,∴.当t为2或6时，直线PQ把△ABC C(Q) B 的周长分成相等的两部分 第25题答图⑤ 2.第二章学情调研 题号12345678910 答案ADBABAABAD 1.A2.D真题圈数学 同步调研卷 八年级下12N 1.第一章学情调研 8 蜕 (时间：120分钟满分：120分) ☒ 咖0 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.（月考·2024-2025沈阳南昌中学)如果等腰三角形的两边长为2cm,4cm,那么它的周长为( A.8cm B.10 cm C.11cm D.8cm或10cm 2.（(期末·2024-2025深圳光明区)将两把直尺如图放置，若∠2=125°，则∠1的度数等于( A.115° B.125° 製 C.135° D.145° D 第2题图 第3题图 第5题图 第6题图 站 3.(期中·2024-2025济南历城区)如图，在△ABC中，已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D, 交AC于点E,△BCE的周长等于50，那么BC的长等于( A.23 B.50 C.27 D.13 4.（期中·2024-2025青岛市北区)用反证法证明命题“在直角三角形中，必有一个锐角不小于45°” 然 时，首先应假设这个直角三角形中( A.两个锐角都大于45° B.两个锐角都小于45° C.两个锐角都不大于45° D.两个锐角都等于45° 5.(期末·2024-2025西工大附中)如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠CBA,交AC于点D, 警加 H 若CD=3,AB=12,则△ABD的面积为() 胞 A.9 B.12 C.18 D.36 品 6.情境题（期中·2023-2024武汉外国语学校初中部）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠， 是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板 B离地面的垂直高度BE=0.8m,将它往前推3m至C处时（即水平距离CD=3m),踏板离地 面的垂直高度CF=2.6m,它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是( A.3.2m B.3.4m C.3.6m D.3.8m 7.观察下列尺规作图的痕迹，其中能说明AB>AC的是() 2 第7题图 A.①③ B.①④ C.②④ D.③④ 8.如图，在△ABC中，D,E是边BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC的度数为( A.105° B.120° C.130° D.150° M B D E B 第8题图 第9题图 第10题图 9.（期末·2023-2024北京东城区)如图，∠MAN=30°，点B是射线AN上的定点，点P是直线AM 上的动点，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.(期中·2024-2025青岛市北区改编)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,D为BC 的中点，DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC,交DE的延长线于点F,连接CF,AF,如下结论： ①BF=2;②AD⊥CF;③AD平分∠CAB;④AF=2√5；⑤∠CAF=∠CFB.其中正确的有( A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.(期中·2023-2024青岛市南区)命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是 12.（月考·2024-2025沈阳一三四中学)如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°， 若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB,你添加的条件是 (不添加字母和辅助线). 第12题图 13.(期中·2023-2024北师大附中)等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角的度数是 14.(期末·2023-2024合肥蜀山区改编)在△MBC中，三边长分别为a,b,c,且c+a=2b,c-a=号b, 则△ABC是 三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”） 15.数学建模几何（期中·2024-2025青岛市北区改编）某公司的“机器狗技术”发展迅速.在正常 状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（图①）.图②是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中 AB=BC=20cm,∠ABC=120°.机器狗正常状态下的高度可以看成A,C两点间的距离，则 机器狗在正常状态下的高度为 cm. 20 cm 120°B 20 cm ① ② 第15题图 第16题图 16.探究性试题（期中·2022-2023人大附中）如图，在△ABC中，AB=AC,边AC的垂直平分线 MN分别交AB,AC于点M,N,点D是边BC的中点，点P是MN上任意一点，连接PD,PC,若 ∠A=a,∠CPD=B,当△PCD的周长取到最小值时，a,B之间的数量关系是 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17.(期中·2023-2024郑州中原区)(6分)如图所示，已知△ABC的角平分线BM,CN相交于点P (1)判断AP能否平分∠BAC?请说明理由. (2)由此题你得到的结论是 精品图 金星教育 F 第17题图 18.（期中·2022-2023贵阳市)(6分)如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且 DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F (1)求∠F的度数 (2)若CD=2,求DF的长. 第18题图 19.(期中·2022-2023长沙长郡教育集团)(6分)如图，在四边形ABCD中，AB=2W5,BC=2,CD= 1,AD=5,且∠C=90° (1)求证：△ABD是直角三角形 (2)求四边形ABCD的面积 拒绝盗印 第19题图 20.(期末·2024-2025成都金牛区改编)(8分)已知，点D,E分别在△ABC的边AB,AC上， ∠BAC+∠ADE+∠ACB=180° 城 湘 (1)如图①，求证：DE∥BC 抑 (2)如图②，点F在线段AD上，连接FE并延长，交BC的延长线于点G,EH⊥AB,∠G=35°， ∠FEH=12°，求∠B的度数 付 ☒貿 0咖00 ① ② 第20题图 21.（月考·2023-2024沈阳南昌中学改编)(8分)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°， AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点，CE⊥BD. 部 (1)求证：BD=CE. 金星教有 (2)求证：AC⊥ED 崇 第21题图 巡加 阳腳 22.(月考·2023-2024西安交大附中)(8分)如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线N交AC边于 点D,交BC边于点E,连接BD. (1)若CE=6,△BDC的周长为28，求BD的长. (2)若∠ADM=70°，∠ABD=20°，求∠A的度数. 么 D 第22题图 23.教材内容改编(8分)如图①，小红沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，小红每从一 条小路转到下一条小路时，跑步的方向均改变一定的角度 (1)该五边形广场ABCDE的内角和是 (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 (3)如图②，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E, 若MA∥EN,且∠1+∠2=200°，求整个行程中小红身体转过的角度的和（即图中∠3+∠4+∠5 的值) 2 3C4.D ① 第23题图 24.探究性试题(10分)在Rt△ABC中，∠C=90°，点M为边AB的中点，点D在边BC上， (1)若AC=4,BC=8,MD⊥AB(如图①)，求MD的长 (2)过点M作ME⊥MD与边AC所在的直线交于点E(如图②)，连接ED,则线段AE,ED,DB 三者之间有怎样的数量关系？并证明你的结论. M M E ① ② 第24题图 直题圈 精品图书 金星教 25.(期中·2024-2025济南历城区)(12分)如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,BC=3cm,若 动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒. (1)当t= 时，BP将△ABC的面积分成相等的两部分，此时BP= (2)若点P不与△ABC的顶，点重合，问t为何值时，点P在△ABC的角平分线上？ (3)另有一点Q,从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm,若P,Q两点 同时出发，当P,Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当直线PQ把△ABC的周长分成 相等的两部分时，请直接写出此时t的值 B B 第25题图 备用图 备用图 盗印必 关爱学子 拒绝盗印