1.第一章 三角形的证明及其应用 学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（北师大版·新教材）山西专版

真题圈数学 同步 调研卷 八年级下3B 1.第一章学情调研 (时间：120分钟满分：120分) 与期 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.(期中·23-24运城)已知等腰三角形中的一个底角为70°，则顶角的度数为( A.30° B.40° C.50 D.60 2.(月考·24-25太原师院附中)下列各组数中，不能组成直角三角形的是( 必 A.1,V2,V5 B.4,5,6 C.3,4,5 D.9,12,15 3.（期末·23-24运城盐湖区)在交通行驶中，看到“停”，表示车主需要停下车让行，一般情况会出 现在路口视线较差的地方，需停车观察后再通行，其形状是一个正八边形，则其中一个外角度数 为( A.135° B.120° 450 D.60° 教 D 第3题图 第4题图 第7题图 4.(期中·23-24山西省实验)如图，在△ABC中，AB=AC=5,底边上的中线AD的长为4，则BC 的长为( 器 A.3 B.4 C.5 D.6 5.(期中·22-23山大附中)到三角形三条边距离相等的点是此三角形( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 些咖 C.三条高的交点 D.三边中垂线的交点 H 6.下列命题中，逆命题是假命题的是( 胞点 A.直角三角形的两个锐角互余 B.等腰三角形的两个底角相等 国 C.全等三角形的周长相等 D.等边三角形的三个角都相等 7.(期中·23-24太原)如图，在△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分AB,交AB于点D,交AC于点E, 连接BE,若BE=2,则AB的长为( A.3 B.2W3 C.3 D.4 8.(月考·23-24太原三十七中)如图，已知∠BAC=∠DAE=90°，AB=AD,下列条件能使 △ABC≌△ADE的是() A.∠E=∠C B.AE=AC C.BC=DE D.A,B,C三个答案都是 M B -F N 第8题图 第9题图 第10题图 9.（月考·22-23太原五中)如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2V3cm,点P从点B开 始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABP为直角三角形时，运动的时间为() A.3s B.3s或4s C.1s或4s D.2s或3s 10.(月考·24-25太原志达中学)如图，在△ABC中，∠ABC,∠EAC的平分线BP,AP交于点P,连接 PC,延长BA,BC,过点P作PM⊥BE,PN⊥BF,垂足分别为M,N,则下列结论中：①CP平分 ∠ACF;②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB;④SAMc=SMAP+SANCP·正确的是个 数() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第Ⅱ卷（非选择题共90分) 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.（期中·23-24运城)用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”应先假 设： 12.学科融合物理（期末·24-25太原）实践小组利用激光笔和平面镜演示平行光的反射实验.如 图，一组平行光线a,b,c经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线.若∠1=∠2=65°， 则∠3的度数为 E B∠ D 第12题图 第13题图 13.（期中·23-24山西省实验改编)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E, S△ABc=36,DE=4,AB=10,则AC的长是 14.(月考·24-25太原五中)如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，以大于)AC的长为半 径作弧，两弧相交于M,N两点；作直线MN分别交于BC,AC于点D,E,若AE=5cm,△ABD 的周长为25cm,则△ABC的周长是 D w D 第14题图 第15题图 15.（月考·24-25太原志达中学)如图，在△ABC中，AB=AC=2V3,∠BAC=120°，D为线段BC 边上的动点，以BD为边向上作等边三角形BED,连接CE,AD,则AD+CE的最小值为 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(月考·24-25太原师院附中改编)(8分)如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC,分别交AB,AC 于点D,E.求证：△ADE是等边三角形.请将下面的证明方法补全 证明：.‘△ABC是等边三角形， ∴.∠B=∠C,∠A=60° ,DE∥BC, .∠B=∠ADE,∠C=① .∠ADE=② 第16题图 ∴.③ =AE, 精品图书 ∴.△ADE是等腰三角形 金星教育 又∠A=60°， .∴△ADE是等边三角形（④ 17.(8分)正多边形的一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的5倍，则过这个多边形的一个顶 点可以作多少条对角线？ 18.(期中·23-24太原)(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,点D是边BA延长线上一点 (1)尺规作图：过点D作DE⊥BC于点E,交AC于点F(要求：保留作图痕迹，标明字母，不写 作法；如果完成有困难，可画出草图后解答(2)题). (2)在(1)得到的图中，求证：AD=AF D 第18题图 19.情境题（期中·23-24运城盐湖区）(8分)云梯消防车设有伸缩式云梯，可带有升降斗转台及灭 火装置，供消防人员登高进行灭火和营救被困人员，适用于高层建筑火灾的扑救.如图，某辆高 为3.4m,云梯最长可以伸长到50m的消防车，在点A处将云梯伸到最长去救援点A'处距离地 面高度为33.4m(A'M=33.4m)的人后，再将该消防车保持原有状态水平向着火的方向移动到 点B处去救援点B'处距离地面高度为51.4m(B'M=51.4m)的人，其中AA'=BB'=50m,求 消防车水平向着火的方向移动的距离（即AB的长）. B' A' 薄 烯 B M 二消防车 地面 N 第19题图 20.（期中·23-24晋中榆次区)(8分)阅读与思考 学习完等边三角形相关内容后，老师布置了如下课后探究题： 狗 证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30° 以下是小宇同学的解题过程，请认真阅读并完成相应任务. 嫩 已知：如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，BC=)AB 超出 求证：∠A=30°. 与 证明：如图②，延长BC至点D,使得CD=BC,连接AD ∠ACB=90°，∴.∠ACD=90° 又：AC=AC,.△ABC≌△ADC(依据)，.AB=AD BC-CD-BD,BC-AB,BD =AB,.AB AD BD, ∴.△ABD是等边三角形，∴.∠B=60° 又，∠ACB=90°，.∠BAC=30°. A R ① ② 第20题图 任务： (1)上述材料中的依据是指 部 (2)请你写出上述所证命题“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角 边所对的锐角等于30”的逆命题，并完成证明 逆命题： 已知： 求证： 证明： 崇 巡加 阳腳 21.(月考·22-23山西省实验)(10分)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB 于点F,D为线段CE的中点，且BE=AC (1)求证：AD⊥BC. (2)若∠C=70°，求∠BAC的度数 D 第21题图 22.(12分)如图，在△ABE中，D,C分别在AE,BE上，且CD=CB,AC平分∠EAB,CH⊥AB于点H. (1)求证：∠ADC+∠B=180°. (2)若AD=3,AB=9,求AH的长 拒绝盗印 D H 第22题图 23.探究性试题（月考·23-24太原三十七中）(13分) 问题初探： (1)数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB=AC,点F是AC上一点， 点E是AB延长线上的一点，连接EF,交BC于点D,若ED=DF,求证：BE=CF ①如图②，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM,使DM=BD, 连接FM,利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论 ②如图③，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路，过点E作EM∥AC交CB的延长 线于点M,利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程 ② ③ 第23题图 类比分析： (2)李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好地理解这种转化的思想方法，李老 师提出了新的问题，请你解答 如图④，在△ABC中，点E在线段AB上，D是BC的中点，连接CE,AD,CE与AD相交于点N, 若∠EAD+∠ANC=180°.求证：AB=CN. 精品 学以致用： 金星教有 (3)如图⑤，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AF平分∠BAC,点E在线段BA的延长线 上运动，过点E作ED∥AF,交AC于点N,交BC于点D,且BD=CD,请直接写出线段AE, CN和BC之间的数量关系 A D ④ ⑤ 第23题图 弥 封 盗印必究 关爱学子答案与解析 同步调研卷 1.第一章学情调研 题号1234567 8910 答案BBC DACBDBD 1.B【解析】等腰三角形的一个底角为70°，∴.顶角=180°- 70°×2=40°.故选B. 2.B【解析】12+(W2)2=(3)2,∴能组成直角三角形，故选项 A不符合题意；，42+52≠62，.不能组成直角三角形，故选项 B符合题意；，32+42=52，∴能组成直角三角形，故选项C不 符合题意；，92+122=152，能组成直角三角形，故选项D不符 合题意.故选B 3.C【解析】正八边形的一个外角度数为360°÷8=45°.故选C 4.D【解析】在△ABC中，AB=AC=5,AD为底边上的中线， .BD=CD,BC=2BD,AD⊥BC 在Rt△ABD中，AB=5,AD=4,则由勾股定理得到BD= √AB2-AD2=V52-42=3..BC=2BD=6.故选D. 5.A【解析】：角的平分线上的点到角的两边距离相等，∴.到三 角形三条边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，故A 正确.故选A. 6.C【解析】A.逆命题：两锐角互余的三角形是直角三角形.是 真命题 B.逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题 C.逆命题：周长相等的三角形是全等三角形.是假命题. D.逆命题：三个角都相等的三角形是等边三角形.是真命题， 故选C. 7.B【解析】：DE垂直平分AB,∴.∠ADE=90°，AB=2AD, AE=BE=2:∠A=30,DE=方AE=1由勾股定理 可得AD=VAE2-DE2=V5,.AB=2AD=2√5.故选B. 8.D 9.B【解析】，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2W3cm, .∠B=∠C=30°.当∠BAP=90时，在Rt△BAP中，∠B= 30°，则BP=2AP,由勾股定理易得AP=V(2AP)2-AB2, 解得AP=2cm,∴.BP=2AP=2×2=4(cm),∴.运动 时间为4÷1=4(s).当∠APB=90°时，在Rt△BAP中，∠B =30,P=49=2y5=5(cm,由勾股定理易得BP= 2 2 √AB2-AP2=3cm,.运动时间为3÷1=3(s). 综上，运动时间为3s或4s.故选B. 10.D【解析】①如图，过点P作PD⊥AC于点D.:PB平分 ∠ABC,PA平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC,.PM =PN,PM=PD,.PN=PD.PN⊥BF,PD⊥AC, ∴CP平分∠ACF,故①正确；②：PM⊥AB,PN⊥BC, ∴.∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，∴.∠ABC+∠MPN=180°. 在Rt△PMM和Rt△PHD中，PM=PD, PA=PA, ∴.Rt△PAM≌Rt△PAD(HL), '.∠APM=∠APD.同理，Rt△PCD≌Rt△PCN(HL), .∠CPD=∠CPN, .∠MPN=2∠APC,∴.∠ABC+2∠APC=180°，故②正确； ③，AP平分LCAE,BP平分LABC,∠CAE=∠ABC+∠ACB =2LPAM,∠PAM-3∠ABC+∠APB,∴∠ACB=2LAPB, 故③正确；④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD(HL), Rt△PCD≌Rt△PCN(HL)·.SAAPD=S△MPw,S△cPn= SACPN,.SAAPM+SACPN=SAAPC,故④正确.故选D. E a 第10题答图 第12题答图 11.在一个三角形中，每个内角都大于60° 12.130°【解析】如图，由题意得∠1=∠BCA=65°，∠2=∠BAC =65°.，∠3是△ABC的一个外角，.∠3=∠BAC+∠BCA= 130°.故答案为130°. 13.8【解析】过点D作DF⊥AC于点F,如图.，AD是∠BAC的 平分线，DE⊥AB,DF⊥ AC,.'DE DF=4. E 'SAADE+SAADC=S△MBC ·号×4×10+号×4×4C=B1 D 36,.AC=8.故答案为8. 第13题答图 14.35cm【解析】由题意得，MN垂直平分AC,.AD=CD,AE =CE=5cm,∴.△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD =AB+BC=25cm,∴.△ABC的周长=AB+BC+AC= 25+5×2=35(cm).故答案为35cm 15.4√5【解析】如图，连接AE.△BDE是等边三角形 ∴.BD=BE,∠EBD=60°.：AB=AC,∠BAC=120°， .∠ABD=30°，∴.∠ABE=∠ABD=30°，.AB是DE的 垂直平分线，∴.AE=AD,AD+CE=AE+CE.作点A关 于BE的对称点A',连接BA',A'E,CA'.则A'B=AB,∠ABE =∠ABE=30°，得∠CBA'=90°，CA'=2BA'=2AB=4V5. :EA=EA',AE+EC=EA'+EC≥CA',∴.AE+EC≥4V5, AD+CE的最小值为4V5.故答案为4V5. A B 第15题答图 16.【解】①∠AED②LAED③AD④有一个角等于60的等 腰三角形是等边三角形 17.【解】设正多边形的一个外角等于x, :一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的5倍， .这个正多边形的一个内角等于5x, ∴.x+5x=180°，解得x=30°， .这个多边形的边数是360°÷30°=12. .它的一个顶点可以引出对角线的条数为12-3=9. 则过这个多边形的一个顶点可以作9条对角线 18.（1)【解】如图①，DE即所求. D A ② 第18题答图 (2)【证明]如图②，AB=AC,∴∠B=∠C 由(1)得，DE⊥BC,.∠DEB=∠DEC=90°， ∴.∠B+∠1=90°，∠C+∠2=90°，∴∠1=∠2 :∠2=∠3，.∠1=∠3，.AD=AF 19.【解】如图，延长AB交A'M于点D. 根据题意，得DM=3.4m,AD⊥A'D. .A'D=A'M-DM=30 m,B'D=B'M-DM=48 m. 在Rt△AAD中，根据勾股定理，得AD=√AA2-AD2=40m. 在Rt△BB'D中，根据勾股定理，得BD=√BB2-BD=14m .∴.AB=AD-BD=26m. 答：消防车水平向着火的方向移动的距离（即AB的长）为26m 房 D---- a 地面 衣消防车 第19题答图 20.【解】(1)边角边（或SAS) (2)逆命题：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它 所对的直角边等于斜边的一半. 已知：如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30° 求证：BC=)AB, 证明：如图②，延长BC至点D,使得CD=BC,连接AD. ,∠ACB=90°，LBAC=30°， ∴.∠ACD=90°，∠B=60°. 又，AC=AC,.△ABC≌△ADC(SAS), AB=AD,△ABD是等边三角形， :BC=号BD=AB. 即BC=AB, D 第20题答图 21.(1)【证明如图，连接AE. .EF垂直平分AB,∴.EB=EA, .BE AC,..AE=AC. :D为线段CE的中点， .AD⊥BC (2)【解：AE=BE, .∠B=∠BAE, E C 第21题答图 ∴.∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B. :AE=AC,·∠AEC=∠C=70,∠B=号×70°=35， .∠BAC=180°-∠B-∠C=75°. 22.(1)【证明】如图，过点C作CM⊥DE,垂足为M. :AC平分∠EAB,CH⊥AB,CM⊥DE, ∴.CM=CH,∠CMA=∠CHB=90°. 「CD=CB, 在Rt△DMC与Rt△BHC中， CM=CH, 真题圈数学八年级下3B .Rt△DMC≌Rt△BHC(HL), .DM=BH,∠1=∠B.∠1+∠CDA=180°， .∠ADC+∠B=180°. (2)【解】由(1)得∠CMA=∠CHB= 90°. M 在Rt△AMC与Rt△AHC中， [AC=AC, CM=CH, ∴.Rt△AMC≌Rt△AHC(HL), .AM=AH. H 设BH=DM=x,则AH=9-x, 第22题答图 AM=3+x, 9-x=3+x,解得x=3,∴AH=6. 23.(1)【证明①：ED=DF,BD=DM,∠BDE=∠MDF, .△BDE≌△MDF(SAS),.BE=MF,∠DBE=∠DMF, .180°-∠DBE=180°-∠DMF,即∠ABC=∠FMC :AB=AC,.∠ABC=∠C, .∠FMC=∠C,∴MF=CF,.BE=CF ②，EM∥AC,∴.∠EMD=∠C. '∠MDE=∠CDF,ED=DF, .△DEM≌△DFC(AAS),∴.ME=CF .AB=AC,∴.∠ABC=∠C .'∠EMD=∠C,∠MBE=∠ABC,∴.∠EMD=∠MBE, .ME=BE,∴.BE=CF (2)【证明】如图①，延长AD至点M,使得AD=DM,连接CM D是BC的中点，BD=CD. ,AD=DM,∠ADB=∠MDC, .△ABD≌△MCD(SAS),∴.∠EAD=∠CMN,AB=MC. ∠EAD+∠ANC=180°，∠AWE+∠AWC=180°， ∴.∠EAD=LANE. :∠ANE=∠CNM,∠EAD=∠CMN,∴.∠CNM=∠CMN, .CN=MC,∴.AB=CN D 0 ② 第23题答图 (3)I解】CN-AE=号BC 分析：如图②，延长ED,使得DM=ED,连接CM 'CD=BD,∠CDM=∠BDE,DM=ED, .△CDM≌△BDE(SAS),.CM=BE,∠M=∠BED, .CM∥BE,.∠ACM=180°-∠BAC=90°. :AF平分∠BAC∠CAF=号BAC=45. :ED∥AF,∴.∠CNM=∠CAF=45°， ,∴.∠M=180°-∠CNM-∠ACM=45°， .∠CNM=∠M,∴.CN=CM,.CN=BE. :∠ACB=30°，∠BAC=90,·AB=3BC :BE-AE AB =BC,CN-AE BC.