第17章 三角形（知识清单，4知识4易错4重难）数学新教材沪教版五四制七年级下册

第17章 三角形 知识点01 三角形的有关概念 1.定义：由__________的三条线段__________所组成的图形叫做三角形，记作__________。 2.基本元素 顶点：__________ 边：__________ 内角：__________（和为__________） 外角：__________ 3.三角形的分类 按角分：__________、__________、__________ 按边分：__________、__________（含__________） 4.三角形三边关系 定理：__________；__________。 应用：__________、__________、__________。 5.三条重要线段 高：__________；3条高交于__________；钝角△有__________条高在外部。 中线：__________；3条中线交于__________；__________对边、__________面积。 角平分线：__________；3条角平分线交于__________；__________内角。 知识点02三角形的内角和 1.内角和定理：三角形内角和=__________。 2.外角性质 性质1：三角形的一个外角=__________。 性质2：三角形的一个外角＞__________。 3.外角和：三角形外角和=__________。 知识点03全等三角形及其性质 1.全等定义：能够__________的两个三角形叫做全等三角形，符号“__________”。 2.全等性质：对应边__________对应角__________周长、面积__________ 3.对应关系：书写全等时，__________。 知识点04三角形全等的判定 1.SSS（__________）：__________。 2.SAS（__________）：__________（注意：__________）。 3.ASA（__________）：__________。 4.AAS（__________）：__________。 易错1：三边关系判断漏条件 1．（25-26七年级下·上海闵行·期中）以下列长度的各组线段为边，能够组成三角形的是（    ） A．2，4，6 B．3，4，6 C．10，4，6 D．5，2，2 2．（25-26七年级下·上海崇明·期中）一个三角形有两边长分别为1与2，若它的第三边的长为整数，则它的第三边长为_______________． 3．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）设三角形三边长分别为、、，则的取值范围是______． 4．（24-25七年级下·上海·月考）若三角形三边的长分别为、、，则应满足的条件是______． 5．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为_______． 6．（25-26七年级下·上海宝山·月考）已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 7．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 易错2：钝角三角形的高的位置 8．（25-26七年级下·上海·期中）如图，在三角形中，点是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出三角形的边上的高； (2)过点画，直线交边于点； (3)点到直线的距离是线段______的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：______． 9．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)画边上的高；（不要求写画法，只需写出结论即可） (2)过点画直线的垂线，垂足为； （不要求写画法，只需写出结论即可） (3)点到直线的距离是线段_________的长度． 10．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 11．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，在中，点D是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出的边上的高； (2)过点D画，直线交边于点F； (3)点A到直线的距离是线段________的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：________． 易错3：外角性质理解错误 12．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知的三个外角度数之比为，那么三个外角中最大角的度数是___________． 13．（24-25七年级下·上海松江·月考）如图．是的外角的平分线．，．则的度数是_______度． 14．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，与分别是外角和外角的角平分线，若，则________°． 15．（24-25七年级下·上海·月考）如图所示， 已知在中，、分别平分它的两个外角，并分别与两条边、的延长线交于点，若，则_______ 16．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）定义：若三角形的两个内角和满足，则称这样的三角形为“奇异互余三角形”．在中，，，是射线上一点，若是“奇异互余三角形”，则_______ 易错4：全等三角形对应关系写错 17．（25-26七年级下·上海·期中）如图，如果，顶点、、分别与顶点、、对应，且点在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知（点的对应点分别是点），点在边上，若，，则的度数是（） A． B． C． D． 19．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，点是上任意一点，．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 21．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（25-26七年级下·上海·期中）如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______． 23．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，，，点在上，的延长线交于点，那么_________． 24．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 __ ． 重难点1：三角形三边关系的应用 25．（24-25七年级下·上海宝山·期中）a、b、c为三角形的三边，化简： 26．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 27．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 重难点2：内角和与外角性质的综合计算（高频解答） 28．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知三角形，点在的延长线上，是的平分线，若，求证： （请把证明过程补充完整） 点在延长线上， ___________ （　 　） ___________ ______________________ ___________ 是的平分线 ___________ ___________ （　　 ） 29．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知三角形，连接， (1)当点E在三角形内部时， ①若，，如图1，则___________． ②若，，试用、表示的度数． (2)当点在三角形的外部时，，，与之间是否存在确定的数量关系？如存在，请直接用、表示，如不存在，请写出理由． 30．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知，如图，是的外角平分线，平分，且、交于点． (1)求证：． (2)请探究，在中，、内角平分线形成的与的关系？、外角平分线形成的与的关系？（直接写出结果） 31．（25-26七年级下·上海·期中）如图1，把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图1，______°，______°． (2)如图2，现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的2倍，求的值． (3)按图1所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线从开始绕点以每秒的速度逆时针方向旋转至与重合时立即停止，射线从开始绕点以每秒的速度顺时针方向旋转至与重合时立即回转，旋转至与重合时再回转，如此循环往复．若射线转动20秒后，射线才开始转动，那么在射线停止运动之前，射线转动______秒，可使得． 32．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）综合与实践 如图（1）将三角板与三角板摆放在一起，其中，，；如图（2），固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记． 【操作发现】 (1)在旋转过程中，当为_________度时，； (2)当与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角的所有可能的度数； 【拓展应用】 (3)当时，连接，利用图（3）探究的值的大小是否变化，并说明理由． 33．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 重难点3：全等三角形的判定（核心解答题） 34．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 35．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，D是延长线上的一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 36．（24-25七年级下·上海·期末）如图，已知在三角形中，点D是边上一点，P是线段上一点，．求证： (1)； (2)． 37．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 38．（24-25七年级下·上海·期末）如图所示，已知，顶点分别与顶点 对应，，，垂足分别是点．求证：． 证明：∵，顶点分别与顶点 对应， ∴_____（全等三角形对应边相等），（              ）， ∵，，∴_____（              ）， 在和中，∵， ∴（       ），∴（全等三角形对应边相等）． 39．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上，如果，，且，那么．为什么？（完成以下填空和说理过程） 解：（已知），（①_______）． ，（②_______），（③_______）， （已知），④_______（等式性质），即． 在和中，， ，（⑤________），（⑥_______）． 40．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，点、为线段上两点，于，于，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，设与相交于点，连接、并延长相交于点，请直接写出图中所有全等的三角形．（除外，均用图中给出的字母表示．） 重难点4：全等三角形的性质与判定综合（压轴解答题） 41．（24-25七年级下·上海·月考）是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且． (1)如图（1），若直线经过的内部，且、在射线上，当时，线段与有怎样的大小关系？并说明理由． (2)如图（2），若直线经过的外部，当时，则、、三条线段之间有怎样的数量关系？并说明理由． 42．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 43．（24-25七年级下·上海崇明·期末）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 44．（24-25七年级下·上海·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．宁宁同学提示她可以延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决． (1)请说明理由； (2)求的长，并根据的长，求出的取值范围； (3)请根据与的数量关系，直接写出的取值范围； (4)过点D作直线，分别交边于点F、G，画图并求证：． 45．（24-25七年级下·上海·月考）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章 三角形 知识点01 三角形的有关概念 1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，记作△ABC。 2.基本元素 顶点：A、B、C 边：AB、BC、AC（或a、b、c） 内角：∠A、∠B、∠C（和为180°） 外角：内角一边与另一边反向延长线组成的角。 3.三角形的分类 按角分： 锐角三角形：三个角都是锐角（＜90°） 直角三角形：有一个角是直角（=90°），记作Rt△ 钝角三角形：有一个角是钝角（＞90°） 按边分： 不等边三角形：三边都不相等 等腰三角形：至少两边相等（腰、底边、顶角、底角） 等边三角形：三边都相等（特殊等腰三角形） 4.三角形三边关系 定理：任意两边之和＞第三边；任意两边之差＜第三边。 应用：判断能否构成△、求第三边范围、化简绝对值。 5.三条重要线段 高：从顶点向对边作垂线，顶点与垂足间线段；3条高交于垂心；钝角△有2条高在外部。 中线：顶点与对边中点连线；3条中线交于重心；平分对边、平分面积。 角平分线：内角平分线与对边交点间线段；3条角平分线交于内心；平分内角。 知识点02三角形的内角和 1.内角和定理：三角形内角和=180°（证明：平行线转移角）。 2.外角性质 性质1：三角形的一个外角=与它不相邻的两个内角的和。 性质2：三角形的一个外角＞任何一个与它不相邻的内角。 3.外角和：三角形外角和=360°。 知识点03全等三角形及其性质 1.全等定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，符号“≌”。 2.全等性质：对应边相等，对应角相等，周长、面积相等。 3.对应关系：书写全等时，对应顶点写在对应位置（如△ABC≌△DEF，则A→D，B→E，C→F）。 知识点04三角形全等的判定 1.SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。 2.SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（注意：必须是夹角，SSA不能判定）。 3.ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 4.AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 易错1：三边关系判断漏条件 1．（25-26七年级下·上海闵行·期中）以下列长度的各组线段为边，能够组成三角形的是（    ） A．2，4，6 B．3，4，6 C．10，4，6 D．5，2，2 【答案】B 【详解】解：A：最长边为6，∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； B：最长边为6，∵，满足三角形三边关系，∴能组成三角形； C：最长边为10，∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； D：最长边为5，∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形． 2．（25-26七年级下·上海崇明·期中）一个三角形有两边长分别为1与2，若它的第三边的长为整数，则它的第三边长为_______________． 【答案】2 【详解】解：设第三边长为， 根据三角形三边关系可得，，即， ∵第三边的长为整数， ∴． 3．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）设三角形三边长分别为、、，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵三角形的三边长分别为、、， ， 整理得： ， ∴． 4．（24-25七年级下·上海·月考）若三角形三边的长分别为、、，则应满足的条件是______． 【答案】 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为_______． 【答案】3 【详解】解：由题意得，， ∴， 若，则（舍）； 若，则， ∴边的长为3， 故答案为：3． 6．（25-26七年级下·上海宝山·月考）已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 【答案】1 【详解】从长度是、、、的线段中任选三条，共有以下种组合： ① ，，；② ，，；③ ，，；④ ，，． 根据三角形三边关系逐一判断： ① 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ② 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ③ 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ④ 因为 ，，，满足三角形任意两边之和大于第三边，能构成三角形． 综上，能构成三角形的组合只有个． 7．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 【答案】 【详解】解：设，， 由周长为，得 ， 是边上的中线， ， 又是和的公共边， 两个三角形的周长差为，即， 分两种情况讨论： （1）当时，， 联立方程组， 两式相加得，解得， 代入得， 此时三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意. （2）当时，， 联立方程组， 解得， 此时三边长为，，，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去. 综上，底边的长为. 易错2：钝角三角形的高的位置 8．（25-26七年级下·上海·期中）如图，在三角形中，点是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出三角形的边上的高； (2)过点画，直线交边于点； (3)点到直线的距离是线段______的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：______． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴点到直线的距离是线段的长度； （4）解：∵点是边的中点， ∴， ∴， 即图形中面积相等的两个三角形为和． 9．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)画边上的高；（不要求写画法，只需写出结论即可） (2)过点画直线的垂线，垂足为； （不要求写画法，只需写出结论即可） (3)点到直线的距离是线段_________的长度． 【详解】（1）解：边上的高如图所示： （2）解：过点画直线的垂线，垂足为,如图所示： （3）解：根据作图有：， ∴点B到直线的距离是线段的长度， 10．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 【详解】（1）解：如下图所示， 线段即为边上的高； （2）解：如下图所示， （3）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：线段的长度表示点到直线的距离， 故答案为：，； 11．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，在中，点D是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出的边上的高； (2)过点D画，直线交边于点F； (3)点A到直线的距离是线段________的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：________． 【详解】（1）解：如图，过点C作交延长线于点E，则即为所求： （2）解：如图，直线即为所求： （3）解：∵， ∴点A到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：∵点D是边的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴图形中面积相等的两个三角形是：和， 故答案为：和． 易错3：外角性质理解错误 12．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知的三个外角度数之比为，那么三个外角中最大角的度数是___________． 【答案】 【详解】解：； 故答案为：． 13．（24-25七年级下·上海松江·月考）如图．是的外角的平分线．，．则的度数是_______度． 【答案】75 【详解】解：∵是的外角的平分线，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：75 14．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，与分别是外角和外角的角平分线，若，则________°． 【答案】56 【详解】解：∵， ∴， ∵与分别是外角和外角的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 15．（24-25七年级下·上海·月考）如图所示， 已知在中，、分别平分它的两个外角，并分别与两条边、的延长线交于点，若，则_______ 【答案】 【详解】解：∵、分别平分的两个外角 ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 16．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）定义：若三角形的两个内角和满足，则称这样的三角形为“奇异互余三角形”．在中，，，是射线上一点，若是“奇异互余三角形”，则_______ 【答案】或或 【详解】解：∵在中，，， ∴， 分三种情况讨论， 如图，当点P在延长线上，，则， 此时， 即， ∴①， ∵②， 由，可得， ∴； 如图，当点P在延长线上，时，则， 此时，即， ∴③， ∵④， ∴得， ∴； 如图，当点P在线段上时，，， ∴， ∴此时； 综上所述，的所有可能的度数为或或． 故答案为：或或． 易错4：全等三角形对应关系写错 17．（25-26七年级下·上海·期中）如图，如果，顶点、、分别与顶点、、对应，且点在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ，，， 选项A、C正确，不符合题意； （三角形的外角性质） 又 选项D正确，不符合题意； 现有条件无法证明，故选项B错误，符合题意． 18．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知（点的对应点分别是点），点在边上，若，，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴． 19．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，点是上任意一点，．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、补充，不能推出，故此选项符合题意； B、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； C、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； D、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； 故选：A． 20．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 【答案】C 【详解】解：， ，，，， ， ， ，， ，， ， ，即①正确； 根据现有条件，无法判断②，故②不正确； ，， ， 设延长线交于点H，延长线交交于点M，则， ，即③正确； ，， ， ，即④正确； 综上所述，结论中正确的是①③④． 21．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 22．（25-26七年级下·上海·期中）如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______． 【答案】4 【详解】解：∵顶点、、分别与顶点、、对应，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 23．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，，，点在上，的延长线交于点，那么_________． 【答案】120 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 24．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 __ ． 【答案】20 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：20． 重难点1：三角形三边关系的应用 25．（24-25七年级下·上海宝山·期中）a、b、c为三角形的三边，化简： 【答案】 【详解】解：∵a、b、c为三角形的三边， ∴， 即， ∴ ． 26．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 【详解】证明：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， 与的和小于四边形的周长． 27．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可得， ， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 同理（1）可得，， ∴， 解得， ∵的周长， ∴． 重难点2：内角和与外角性质的综合计算（高频解答） 28．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知三角形，点在的延长线上，是的平分线，若，求证： （请把证明过程补充完整） 点在延长线上 ___________ （　　） ___________ ______________________ ___________ 是的平分线 ___________ ___________ （　　） 【详解】证明：点在延长线上 （三角形内角和定理） 是的平分线 （同位角相等，两直线平行） 29．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知三角形，连接， (1)当点E在三角形内部时， ①若，，如图1，则___________． ②若，，试用、表示的度数． (2)当点在三角形的外部时，，，与之间是否存在确定的数量关系？如存在，请直接用、表示，如不存在，请写出理由． 【答案】(1)①；② (2)或或 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 又∵ ∵，， ∴ ②∵，， ∴ （2）解：①如图，当在的左侧时，设交于点 ∵， ∴ ②如图，当在的右侧时，设交于点 ∵ ∴ ③如图，当在的下方时， ∵，， ∴， 又∵ 综上所述，或或 30．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知，如图，是的外角平分线，平分，且、交于点． (1)求证：． (2)请探究，在中，、内角平分线形成的与的关系？、外角平分线形成的与的关系？（直接写出结果） 【详解】（1）证明：∵是的外角平分线，平分，且、交于点． ∴， 又∵是的外角， ∴， ∴ （2）解：图2结论：；图3结论： 在图2中，、的角平分线交于点， ∴， 在中， ∴ 在中， ∴ ∴ 在图3中，、的外角平分线交于点， ， ∴， 在中， 在中， ． 31．（25-26七年级下·上海·期中）如图1，把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图1，______°，______°． (2)如图2，现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的2倍，求的值． (3)按图1所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线从开始绕点以每秒的速度逆时针方向旋转至与重合时立即停止，射线从开始绕点以每秒的速度顺时针方向旋转至与重合时立即回转，旋转至与重合时再回转，如此循环往复．若射线转动20秒后，射线才开始转动，那么在射线停止运动之前，射线转动______秒，可使得． 【答案】(1)， (2) (3)或 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∵， ∴，， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵恰好是的2倍， ∴， 解得； （3）解：如图：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图： ∵， ∴， ∴， 解得． 综上所述，t的值为或． 32．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）综合与实践 如图（1）将三角板与三角板摆放在一起，其中，，；如图（2），固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记． 【操作发现】 (1)在旋转过程中，当为_________度时，； (2)当与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角的所有可能的度数； 【拓展应用】 (3)当时，连接，利用图（3）探究的值的大小是否变化，并说明理由． 【答案】(1) (2)，， (3)当，，保持不变，理由见解析 【详解】（1）解：如图1所示，记与的交点为F， ， ， ， ， 即； （2）解：①当时，如图2所示， 记与的交点为点F， ， ， ， ，即； ②当时，如图1所示， 结合（1）得，，， ∴； ③当时，如图3所示，， ， ，即， 综上所述：旋转角α的所有可能的度数是：，，； （3）拓展应用：当，，保持不变，理由如下： 如图4，设分别交、于点、， 在中，， ，， ， ，， ． 33．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 重难点3：全等三角形的判定（核心解答题） 34．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 【详解】解：延长至点E，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 35．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，D是延长线上的一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【详解】（1）证明：， ． 在和中， ； （2）解：， ． ，， ． ． 36．（24-25七年级下·上海·期末）如图，已知在三角形中，点D是边上一点，P是线段上一点，．求证： (1)； (2)． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴； （2）证明：由（1）得：，平分， ∴． 37．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 38．（24-25七年级下·上海·期末）如图所示，已知，顶点分别与顶点 对应，，，垂足分别是点．求证：． 证明：∵，顶点分别与顶点 对应， ∴_____（全等三角形对应边相等），（              ）， ∵，， ∴_____（              ）， 在和中， ∵， ∴（      ）， ∴（全等三角形对应边相等）． 【详解】解：证明：∵，顶点分别与顶点 对应， ∴（全等三角形对应边相等），（全等三角形对应角相等）， ∵，， ∴（垂直定义）， 在和中， ∵， ∴， ∴（全等三角形对应边相等） 故答案为：，全等三角形对应角相等；，垂直定义；，，；． 39．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上，如果，，且，那么．为什么？（完成以下填空和说理过程） 解：（已知）， （①_______）． ，（②_______）， （③_______）， （已知）， ④_______（等式性质），即． 在和中， ， ， （⑤________）， （⑥_______）． 【详解】解：（已知）， （①两直线平行，内错角相等）． ，（②平角定义）， （③等角的补角相等）， （已知）， ④（等式性质），即． 在和中， ， ， （⑤全等三角形对应角相等）， （⑥内错角相等，两直线平行）． 40．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，点、为线段上两点，于，于，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，设与相交于点，连接、并延长相交于点，请直接写出图中所有全等的三角形．（除外，均用图中给出的字母表示．） 【详解】（1）证明：∵于G，于F， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：①，证明如下： 由（1）可知：， ∴，， 在和中， ， ∴， ②，证明如下： 由①可知：， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ③，证明如下： 在和中， ， ∴， ④和，证明如下： ∵于G，于F， ∴， 在和中，， ∴， 图中除外有4对全等的三角形，分别为：①，②，③，④． 重难点4：全等三角形的性质与判定综合（压轴解答题） 41．（24-25七年级下·上海·月考）是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且． (1)如图（1），若直线经过的内部，且、在射线上，当时，线段与有怎样的大小关系？并说明理由． (2)如图（2），若直线经过的外部，当时，则、、三条线段之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【详解】（1）解：，理由： ， ，， 同角的余角相等 ，， ， ； （2）解∶，理由： ， ，， ， ，， ， ，， ． 42．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 【答案】(1)， (2)，；， 【详解】（1）解：当时，与全等；线段和线段的位置关系是：，理由如下： ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3，且运动的时间， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）依题意得：，， ∵， ∴， 又∵，， 当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， 解得：， ②当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， 解得：， 综上所述：当时，；当时，． 43．（24-25七年级下·上海崇明·期末）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2）6；（3）133 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴；    （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，；    ∵，， ∴． 故答案为：6； （3）解：如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（2）思路可证，， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 44．（24-25七年级下·上海·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．宁宁同学提示她可以延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决． (1)请说明理由； (2)求的长，并根据的长，求出的取值范围； (3)请根据与的数量关系，直接写出的取值范围； (4)过点D作直线，分别交边于点F、G，画图并求证：． 【详解】（1）证明：延长到E，使，连接，如图1所示： 是中线， ， 在和中， ， ； （2）解：，，， ， 在中，根据三角形三边之间的关系得：， ； （3）解：， ， 又， ， ； （4）证明：如图2所示： ， ， 即， 在和中， ， ， ． 45．（24-25七年级下·上海·月考）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $