第18章 等腰三角形知识归纳与题型突破（16类题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（沪教版2024）

第18章 等腰三角形知识归纳与题型突破（16类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一、等腰三角形的定义、判定与性质 定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 【特殊】顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°. 【注意】等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 等腰三角形性质： 1）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴， ①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴， ②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴. 2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 【注意】“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线. 等腰三角形的判定： 1）定义法：两边相等的三角形是等腰三角形； 2）定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 【总结】证明两个角相等的方法： 1）如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明. 2）如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决. 【易错易混】 1）底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）. 2）等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据． 3）等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 知识点二、等边三角形的定义、判定与性质 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形. 等边三角形的性质： 1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； 2）等边三角形的三条边相等； 3）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定： 1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形； 2）三个角都相等的三角形是等边三角形. 3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【补充】 1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质. 2）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 3）在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形． 4）等边三角形面积的求解方法：S正三角形= 知识点三、垂直平分线 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 4.总结 03 题型归纳 题型一　等腰三角形的相关概念 1．若一个等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个三角形的第三边长是（   ） A．3 B．8 C．3或8 D．以上都不对 【答案】B 【分析】设第三边长为x，根据题意，得即，解答即可． 本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三边长为x，根据题意，得即， 故选：B． 巩固训练 2．下列长度的各组线段中，可以组成等腰三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的判定，熟悉掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形两边之和大于第三边判断是否能组成三角形和是否有边相等逐一判断即可． 【详解】解：A：，，可以组成等腰三角形，故A正确； B：，不能组成三角形，故B错误； C：，不能组成三角形，故C错误； D：，，可以组成三角形但不是等腰三角形，故D错误； 故选：A． 3．等腰三角形的周长是，其中一条边长为，则等腰三角形的腰长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的定义，分两种情况，当底边为 时，可得出腰长为，当腰长为时，则底边长为，此时不符合三角形三边关系，构不成三角形，故可得出腰长为． 【详解】解：当底边为时，则腰长为：， 当腰长为时，则底边长为：， 则，不符合三角形三边关系，构不成三角形， 故等腰三角形的腰长为． 故答案为：12． 4．已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，正确求出a、b的值是解题的关键． 先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形三边的关系结合等腰三角形的定义分边长为a的边是腰和底边两种情况讨论求解即可 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 当边长为a的边为腰时，则等腰三角形三边长为，，不能构成三角形，不符合题意； 当边长为a的边为底边时，则等腰三角形三边长为，，能构成三角形，符合题意，此时等腰三角形的周长为； 故答案为：． 5． 如图， 在 中， ，现需要在上作一点D，使将 分割成两个等腰三角形． (1)点D是否为的中点？ （填“是”或“不是”）； (2)请用无刻度的直尺和圆规找出点D；（不写作法，保留作图痕迹） (3)根据 （2）中的尺规作图，写出这两个等腰三角形，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)和为等腰三角形；理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，尺规作垂线，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质． （1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，进行解答即可； （2）作线段的垂直平分线，交于点D，则点D即为所求作的点； （3）根据垂直平分，得出，根据直角三角形的性质得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵斜边的中线等于斜边的一半， ∴当点D是为的中点时，， ∴此时将 分割成两个等腰三角形． 故答案为：是 （2）解：如图，点D即为所求作的点； （3）解：和为等腰三角形；理由如下： 如图，连接， 根据作图可知：垂直平分， ∴， ∵为直角三角形， ∴， ∴和为等腰三角形． 题型二　等边对等角 6．如图在中，边，的垂直平分线交于点D，连结，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质，正确作出辅助线是解题关键．连接并延长交于点，首先根据垂直平分线的性质可得，进而可得，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得，同理可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接并延长交于点， ∵边，的垂直平分线交于点，， ∴， ∴， ∴，同理可得， ∴． 故选：A． 巩固训练 7．如图，已知， ，若，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，根据等腰三角形的性质“等边对等角”求解是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等和等边对等角可求出即可 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：D． 8．如图，在中，的垂直平分线交的平分线于点E，连结，如果，，那么的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边对等角以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 根据角平分线的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，可得出 ，然后根据三角形内角和定理计算出的度数． 【详解】解：平分， ， 的垂直平分线交的平分线于， ， ， 设 ，， 在中， ∴ 解得： ， 故答案为：． 9．如图，在正五边形中，连接，交于点，是上一点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】47° 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质， 根据正五边形的性质得，，进而求出，然后根据三角形外角的性质求出，最后根据得出答案． 【详解】解：多边形为正五边形， ，， ． ∵是的外角， ． ， ． 故答案为：． 10．如图，在中，的垂直平分线分别交于点． (1)若，求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的周长为33 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 对于（1），根据线段垂直平分线的性质得，接下来得，然后根据的周长为，可得答案； 对于（2），先根据等边对等角得，再三角形内角和定理得，然后根据可得，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：的垂直平分线分别交于点， . ， 的周长为 ； （2）解：， ， . ， ， ． 题型三　三线合一 11．如图，点，，在直线上，点，在的同侧，，若，，，则的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】过点A作于点M，于点N，证明，得出，根据，，得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点M，于点N，如图所示：    则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，证明． 巩固训练 12．如图，在等边中，是的中线，是上一个动点，则最小值的是（　　） A． B．5 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称最短路径的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据等边三角形的性质得到，，点关于的对称点为点，如图所示，连接，当点三点共线时，取最小值，最小值为，由此即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，是的中线，， ∴，， ∴点关于的对称点为点， 如图所示，连接， ∴， ∴当点三点共线时，取最小值，最小值为， ∴最小值的是， 故选：B ． 13．如图，在中，，于点D，若，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，根据三线合一定理可求出的长，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 14．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，连接交于点，连接，由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当点M位于点处时，有最小值，然后依据等腰三角形三线合一的性质可证明为底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得的长． 【详解】解：连接交于点，连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点，， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当点M位于点处时，有最小值，最小值6， ∴的周长的最小值为． 故答案为：8． 15．如图，在中，，为的中线，点E在上，，连接若，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的三线合一的性质解答．根据等腰三角形的三线合一的性质得出平分，，进而解答即可． 【详解】解：，为的中线， 平分，， 平分， ， ， ， ． 题型四　格点中画等腰三角形 16．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，以为直角顶点有2个，以A为直角顶点有2个，以C为直角顶点有2个，据此结合网格的特点画出示意图即可得到答案． 【详解】解：如图所示，即为所求， 故选：A． 巩固训练 17．如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分为底和腰两种情况解答即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：如图所示，分以下情况讨论： ①当为等腰底边时，符合条件的点有个：； ②当为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个：； ∴点的个数是个， 故选：A． 18．在如图所示的方格中有两个格点A，B，请再选择一个格点（用C表示），连接A，B，C，使成为一个等腰三角形，这样的等腰三角形一共可以连出 个． 【答案】4 【分析】该题主要考查了等腰三角形的定义，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，注意不要漏解． 根据等腰三角形的定义解答即可； 【详解】解：如图所示：共4个点， 故答案为：4． 19．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有 个． 【答案】5 【分析】此题考查等腰三角形的判定．由已知条件，分别为腰找等腰三角形和为底找等腰三角形，即可． 【详解】解：如图，分别为腰画出等腰三角形和为底画出等腰三角形， 符合条件的点C有5个， 故答案为：5． 20．如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求在正方形网格中作图，并解答相关问题． (1)在图1中作出的边上的高，的面积为 ； (2)在图2中作出的边上的中线，并计算的面积； (3)已知是以为腰的等腰三角形，面积为6，且点在格点上，请在图3中作出所有满足条件的． 【答案】(1)见详解，6 (2)见详解，5.5 (3)见详解 【分析】本题考查了网格作图，画三角形的高，中线，运用网格求三角形的面积，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据网格特征，作出的边上的高，运用底乘高乘算出的面积，即可作答． （2）运用网格特征找出边上的中点G，再连接，即可作答． （3）结合以为腰的等腰三角形，以及面积为6，且点在格点上，可以画出底为，高为的等腰三角形或者画出底为4，高为3的等腰三角形，即可作答． 【详解】（1）解：边上的高，如图所示： 则的面积为， 故答案为：6 （2）解：中线，如图所示： 则， ∴． （3）解：以为腰的等腰三角形，如图所示： 题型五　找出图中的等腰三角形 巩固训练 21．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，为等腰三角形， ， ∴，为等腰三角形， ∵，， ∴ ∴，为等腰三角形． 综上所述：共有5个等腰三角形． 故选C． 22．线段和互相垂直平分于O点，且，顺次连结A、D、B、C，那么图中的等腰直角三角形共有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】作图，根据垂直平分线的性质，线段的数量关系，等腰三角形的判定，进行判断求解即可． 【详解】解：如图，    由题意知， ，，，， ∴图中的等腰直角三角形有：、、、、、、、，共8个， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 23．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有 个． 【答案】5 【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ∵， ∠A=36°， ∴， 又∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∴，， ∴、是等腰三角形； 并且：， ， ∴， ， ∴，是等腰三角形， ∴图中的等腰三角形有5个． 故答案为5． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形的角平分线等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要漏了． 24．已知矩形ABCD,AD＞AB,以矩形ABCD的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在矩形ABCD的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数为 . 【答案】8 【分析】根据题意作出图形即可得出答案, 【详解】如图，AD＞AB，△CDE1，△ABE2，△ABE3，△BCE4，△CDE5，△ABE6，△ADE7，△CDE8，为等腰三角形，故有8个满足题意得点. 【点睛】此题主要考查矩形的对称性，解题的关键是根据题意作出图形. 25．如图，．分别计算的度数，并说明图中有哪些等腰三角形． 【答案】；图中的等腰三角形有 【分析】根据三角形内角和定理和三角形的外角性质求解即可，根据等角对等边即可找到相等的边，进而证明等腰三角形． 【详解】， 在中，， 是的一个外角， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， 是等腰三角形． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形的外角性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 题型六　等腰三角形的判定 26．在中，，则对的形状判断最准确的一项是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理，先求出的度数，进而得到，再由即可得到是等腰直角三角形． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故选：C． 巩固训练 27．如图，在中，平分，，则是 三角形．    【答案】等腰 【分析】本题考查了角平分线的定义以及平行线的性质，根据等角对等边证明等腰三角形，先得出，结合平行线的性质得，进行角的等量代换，得出，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 则 ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰． 28．如图，在中，，，，垂足为E，，则的面积 ．    【答案】 【分析】先证明，作交的延长线于点F，由角平分线的性质得到，即可得到的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 作交的延长线于点F， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质定理、平行线的性质、等边对等角等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 29．如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别是． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质；等腰三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证得和是直角三角形，利用HL证明，即可； （2）由得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：平分，， ，， 在和中，， ； （2）证明：， ， ， 是等腰三角形． 30．中，，的高与角平分线交于点． (1)求证； (2)求证：为等腰三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线，理解相关知识是解答关键． （1）由，的高，利用同角的余角相等来求解； （2）由（1）得：，利用角平分线的性质，等角的余角相等，等腰三角形的判定来求解． 【详解】（1）证明：∵是的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：由（1）得：， ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 题型七　根据等腰三角形的性质求角度 31．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，D是的斜边的中点，与交于点G．如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 先根据题意得，再根据等腰三角形的性质， 然后结合已知条件得，，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意得点D是的中点，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． 在中，． 故选：D． 巩固训练 32．点是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形的性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：连接，，   ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵在正五边形中，， ∴， ∴． 故选：A． 33．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，于点E，连接，如果，那么的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，由线段垂直平分线的性质得到，则，再由等边对等角得到，根据已知条件可得，据此根据三角形内角和定理建立方程求解即可． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 34．将一副三角尺按图所示方式摆放，它们共用顶点，，分别交于点，．若，，，，则的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据直角三角形的性质得到，，得出，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 35．如图所示，中，，直线经过点A，，，垂足分别是点D，E，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查全等三角形的应用，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形判定定理． （1）由，，可得，再由 “”即可证明； （2）由可知，进而求得，结合，即可得解． 【详解】（1）解：证明：，， ， 在和中 ； （2）解：， ∴， ， ， ∴， ， ∴， ， ． 题型八　根据等腰三角形的性质求边长 36．如图，在中，，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查等角对等边．根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 巩固训练 37．如图，在中，，平分交于点，作，垂足为，连接，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点，连接，由角平分线的性质得，可证明，得，求得，再证明，得，由，得，则，所以，则． 【详解】解：如图，作交的延长线于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∵平分，且，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 38．如图，中，，的平分线相交于点，过作，分别交、 于、，若，则的周长等于 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等角对等边，平行线的性质及角平分线的定义，先根据角平分线的定义、平行线的性质以及等角对等边证明，，则的周长，从而得出答案，正确地进行线段的等量代换是解决问题的关键． 【详解】解：∵平分 ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 同理 ， ∴的周长， 故答案为：． 39．如图，在中，B为边上一点，连接，恰为等边三角形，，则的长度为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，根据等边三角形的性质求出，然后根据等角对等边得出，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为∶14． 40．如图，在四边形中，，． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边： （1）只需要证明，即可证明； （2）证明，得到，则，据此可得答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：∵， ， ∵， ， ， ∵，， ， ∵， 四边形的周长为20． 题型九　等腰三角形的存在性问题 41．如图，在中，．动点从点出发，沿边，向点运动．在整个运动过程中，点存在（   ）位置，使为等腰三角形． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义．分三种情况：，，，分别画出图形，得出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， 以点A为圆心，为半径画弧，交于点，交于点，如图所示：    则， ∴当点P运动到点、位置时，为等腰三角形； 以点C为圆心，为半径画弧，交于点，如图所示：    则， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴点与重合； 作线段的垂直平分线，交于点，如图所示：    则此时， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴点与重合； 综上分析可知：点P存在2个位置，使为等腰三角形． 故选：C． 巩固训练 42．如图，已知等边的面积是10，边长是4，平分交与点． （1）若点为边的中点，在上是否存在点，使最小？最小值是 ； （2）若点为边的任意一点，在上是否存在点，使最小？最小值是 ．    【答案】 【分析】（1）由即可求解； （2）由等边三角形的对称性可得：，根据可得当时，有最小值，此时的值最小． 【详解】解：（1）如图：    ∵， 故的最小值为线段的长度， ∵点为边的中点， ∴， ∵等边的面积是10，边长是4， ∴， ， 即：的最小值为． 故答案为：． （2）如图：    ∵平分交与点， ∴由等边三角形的对称性可得：， ∴， ∵点为边的任意一点， ∴当时，有最小值，此时的值最小， 由（1）可得：此时， 故的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质．熟记相关结论是解题关键． 43．小刚准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条条边长的2倍少2米． (1)第三条边为______米（用含m的式子表示）． (2)是否存在m的值，使该场地成为以第一条边长m为腰的等腰三角形，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了整式的加减的应用，等腰三角形的定义，三角形的三边关系； （1）根据题意列数代数式，即可求解； （2）分量种情况讨论，第一边分别等于第二、三边，根据构成三角形的条件检验，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，已知第一条边长为m米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条条边长的2倍少2米 ∴第三边为 故答案为：． （2）①，解得， ∵， ∴不能构成三角形 ②当时，解得： ∵ ∴，能构成三角形， 综上所述， 44．如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时， 　； (2)当等于多少时，？请说明理由． (3)在点D的运动过程中，是否存在是等腰三角形？若存在，请直接写出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)存在，的度数为或 【分析】此题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和三角形外角的性质，掌握等边对等角、判定两个三角形全等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． （1）利用三角形外角的性质解题即可； （2）通过三角形全等得出的长度即可； （3）根据等腰三角形的腰的情况分类讨论，再利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质即可分别求出． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：当时，，    理由如下：∵，， ∴， 由（1）得， ∴时 （3）解∵， ∴， 当时，， ∴， ∴点D与点B重合，不符合题意； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，是等腰三角形时，的度数为或 45．在中，，，为平面内一点且，连接，以为对称轴构造的轴对称图形． (1)如图①，当在内部且，求； (2)当、、三点共线时，求． (3)是否存在与的一边平行的情况，若存在，请直接写出的度数；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)存在，或． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得的度数，再根据对称的性质求解即可； （2）分两种情况①当、、共线，②当、、共线且、重合，利用等腰三角形的性质，求解即可； （3）分两种情况①当点D在的下方，②当点D在的下方，利用平行线的性质以及对称的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 由对称可得， ∴； （2）解：①当、、共线且，如图， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当、、共线时，如图，此时、重合，    ∴； 综上，或； （3）解：①当点D在的下方，如图，，    ∴， 由对称的性质得， ∴； ②当点D在的下方，如图，，    ∴， 由对称的性质得， ∴； 综上，或． 题型十　尺规作图 46．如图，已知一个等腰三角形的底边为c，底边上的高为，求作这个等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握垂线的画法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．首先画射线，在射线上截取，然后作的垂直平分线，垂足为O，再截取，再连接、，即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 巩固训练 47．已知：如图，点在的边上．小樱根据要求进行尺规作图，请你依据小樱的作图痕迹回答下列问题． (1)填空：由作图可知，射线是的______； (2)以点为圆心、长为半径画弧，交射线于点，连接，试判断与的位置关系并说明理由． 【答案】(1)角平分线 (2)，理由见解析 【分析】本题考查尺规作图--作角平分线，等腰三角形的性质，平行线的判定． （1）根据作图可知：射线是的角平分线； （2）根据作图可知，得到，进而推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：由作图可知，射线是的角平分线； 故答案为：角平分线； （2），理由如下： 由作图可知：， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 48．如图，已知，点B是射线上一点，求作等腰三角形，使得为等腰三角形的底边，点A在内部，且点A到角的两边距离相等．（尺规作图） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线、角平分线的作法以及垂直平分线和角平分线的性质，掌握作图方法、理解特殊线的性质是解题关键．求作以为底边的等腰三角形，则需要作线段的中垂线，点A在角的内部，则依据角平分线的性质（角平分线上的点到角的两边距离相等），需要作的角平分线，与直线相交于一点即为点A，连接，即为所求作的等腰三角形． 【详解】解：如图，即为所求作的等腰三角形． 49．尺规作图．已知：线段，，求作等腰三角形，使其底边长为，底角为．（不写作图作图过程，保留作图痕迹） 【答案】图形见解析 【分析】作射线，在射线上截取，在的上方作，，射线交于点A，即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 50．如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，已知点A、B、C均为格点．请你分别在所给网格中确定一个格点P，并按下列要求画出图形． (1)在图①中，连接PA、PB，使PA＝PB； (2)在图②中，连接PB，使∠ABC＝∠PBC； (3)在图③中，连接PB，使PB平分△ABC的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）构造等腰直角三角形PAB即可； （2）根据对称性作出射线BP即可； （3）取AC的中点P，作射线BP即可． 【详解】（1）解：点P即为所求，如图所示： （2）解：射线BP即为所求，如图所示： （3）解：BP即为所求，如图所示： 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型十一　等边三角形的判定 51．如图，是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，三线合一． 根据等边三角形三线合一推出，进而推出，结合，即可证明结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 巩固训练 52．如图，在中，，求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定等知识，先根据等角对等边证明，然后根据并结合等边三角形的定义即可得证． 【详解】证明：， ， 又， 是等边三角形． 53．如图，在中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：为等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟记等边三角形的判定定理是解题的关键．由等腰三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理并结合，证出，则可得出结论． 【详解】证明：，， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形． 54．如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定．利用证明，得到，推出，利用等角对等边求得，再根据等边三角形的判定定理即可得证． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 55．如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定． （1）由，，，根据证明； （2）由全等三角形的性质得，，则可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：由（1）得， ， 是等边三角形． 题型十二　等边三角形的性质 56．如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点． (1)求证：； (2)分别求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）证明即可说明； （2）利用全等三角形的性质得到，再由垂直得到进而解答即可． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质，关键是根据证明． 【详解】（1）证明:是等边三角形 在和中 （2）解： 巩固训练 57．如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)过点A作，求线段与的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定即可证明； （2）利用全等三角形的性质得到，推出，结合即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 58．（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点、、在同一条直线上，连接． ①求：的大小； ②求证：； （2）类比探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【答案】（1）①；②见解析； （2），，理由见解析 【分析】本题主要考查等腰（边）三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质证明即可求解；②由得到对应边相等即可； （2） 根据等腰直角三角形的性质得到，由此即可求证． 【详解】解：（1）①和都是等边三角形  ， ，，， ， ，即， 在和中， ， ， ； ②， ， （2），，理由如下： 和是等腰直角三角形，， ，，，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形，为中边上的高， ， ． 59．如图，点在线段上，点在点右侧，，，是等边三角形． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，，根据平行线的性质得出，证明，根据证明三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质得出，根据三角形外角的性质求出． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ∵， ， ， 又， ． （2）解：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 60．如图所示的是某城市街道示意图，已知与均是等边三角形，点，，，，，，，为公交车停靠站，且点，，在同一条直线上． (1)图中与全等吗？请说明理由； (2)连接，写出与的大小关系． 【答案】(1)全等，见解析 (2)相等，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1），由题意得，，，进而得出，即可证明； （2）由（1）知，得到，根据与均是等边三角形，得到，可证 ，即可得． 【详解】（1）解：．理由如下： 与均是等边三角形， ，，， ， ， ． （2）解：如图，连接， 由（1）知， ， 与均是等边三角形， ， ． ， ， ， ． 题型十三　线段垂直平分线 61．如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，的周长为，求的周长． 【答案】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得到是解题的关键． 根据题意可得，由的周长可得，再根据的周长计算即可求解． 【详解】解：是边的垂直平分线，， ，， 的周长为， ， ， 的周长． 巩固训练 62．如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，垂足是E，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的周长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图作垂线，中垂线的性质，熟练掌握中垂线的性质，是解题的关键： （1）根据尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据中垂线的性质，得到，进而推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）∵垂直平分， ∴， ∴的周长． 63．如图，将沿直线折叠后，使得点B与点A重合． (1)已知，的周长为，求的长； (2)若平分求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由折叠得，则，所以，则，求得． （2）作于点F，由折叠得垂直平分，由角平分线的性质得，则． 此题重点考查翻折变换的性质、垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，正解地作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵将沿直线折叠后，使得点B与点A重合． ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴的长是． （2）解：作于点F， ∵将沿直线折叠后，使得点B与点A重合． ∴点A与点B关于直线对称， ∴垂直平分， ∵平分于点F，于点E，且， ∴， ∴， ∴的面积是． 64．如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E， 垂足为D，且，连接．    (1)求证：． (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据，且，可得垂直平分，则，根据垂直平分，可得，据此可证明； （2）根据线段垂直平分线的定义得到，根据，得到，再根据三角形周长计算公式和线段之间的关系可得的周长． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴垂直平分， ∴， 垂直平分， ， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴的周长． 65．如图，在中，，，是边的垂直平分线，垂足为，交于，是边的垂直平分线，垂足为，交于．连接、． (1)求的度数； (2)请直接写出的周长． 【答案】(1)40度 (2)10 【分析】本题考查三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质“等边对等角”解答即可； （2）根据线段的垂直平分线的性质得到，，利用三角形的周长公式即可求解． 【详解】（1）解：是边的垂直平分线，是边的垂直平分线， ，， ，， ， ， ， ； （2）解：是边的垂直平分线，是边的垂直平分线， ，， 的周长． 题型十四　等腰三角形的旋转问题 66．如图，在折线段中，可绕点旋转，，，线段上有一动点，将线段分成两部分，旋转，，当三条线段，，首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长为（    ）    A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或4 【答案】A 【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形的三边关系可求解． 【详解】解：当时， ， ， 当时，则， ， 三条线段，，不能构成三角形， 当时，则， ， 三条线段，，不能构成三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 巩固训练 67．如图，将绕点A按逆时针方向旋转100°得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，若，则的度数为（    ） A．20° B．30° C．40° D．45° 【答案】C 【分析】由题意可知，，即为等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，再结合，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”即可得到的度数． 【详解】解：由题意及旋转的性质可知，，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形判定与性质、平行线的性质等知识，解题关键是弄清题意，并灵活运用所学知识． 68．如图，和为等腰直角三角形，将绕点顺时针旋转，连接，，点为直线，的交点．若，，则 ，在旋转过程中，的最大值为 ． 【答案】 45 / 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，，得出，根据求出结果即可；根据，且当、A、D三点共线时等号成立，得出． 【详解】解：∵和为等腰直角三角形， ∴，，，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； ∵将绕点顺时针旋转，，且当、A、D三点共线时等号成立， 又∵，， ∴的最大值为：． 故答案为：45；． 69．如图，在中，，线段，线段绕点旋转，交于点，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】略 70．如图，中，，点D为中点，，绕点D旋转，使与边交于E（不与A，B重合），与边交于点F．    (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键. （1）由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得可得，由三角形的面积公式可求解. 【详解】（1）证明: 中，，点为中点， ∴,， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴ , ∵, ∴, ∴四边形的面积． 题型十五　等腰三角形的平移问题 71．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，，，平移距离为4，求阴影部分的面积为（   ） A．20 B．24 C．25 D．26 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，先求出得到，再由平移的性质得到，则可证明，据此列式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴， 故选：D． 巩固训练 72．如图，在中，，，，将沿着射线的方向平移得到，连接，若，则的周长为（    ） A．20 B．24 C．36 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平移的性质．根据平移性质，判定为等边三角形，然后求解． 【详解】解：由题意，得， ． 由平移性质，可知，， ，且， 为等边三角形， 的周长． 故选：B． 73．如图，将沿直线向右平移，得到，若，，C为的中点，连接，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了平移的性质，等腰三角形的性质；由等腰三角形的性质可得；由平移的性质得，由等腰三角形的性质得，由互余关系即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴； ∵沿直线向右平移，得到， ∴， ∴； ∵C为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 74．如图，将等边沿边BC向右平移1个单位得到，点B、E、C、F在一条直线上，，求四边形的周长．    【答案】8 【分析】根据等边三角形的三边相等得到，根据平移的性质可得，，，进而可求解． 【详解】∵是等边三角形，， ∴． ∵沿边向右平移1个单位得到， ∴，，， ∴四边形的周长为 ． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，等边三角形的性质，熟练掌握平移的性质，等边三角形的性质是解题的关键． 75．在中，平分交于点D．将沿的方向平移，使点D移至点C的位置，得到，且交于点G．猜想线段与之间数量的关系，并说明理由．    【答案】，理由见详解 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义，先由平移得出，，则，再结合角平分线的定义，得出，再根据等角对等边，即可作答． 【详解】解：，理由如下： ∵将 沿的方向平移，使点 D移至点 C 的位置，得到， ∴，， ∴， ∵平分交于点D， ∴， 则， ∴， ∴． 题型十六　等腰三角形的翻折问题 76．如图，在中，，为边上的中线，，将沿所在直线翻折，点翻折到点的位置，连，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查等边三角形的判定及其性质，折叠的性质，由折叠可知，，则，然后证明为等边三角形即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知：，， ∴， ∵，为边上的中线， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 故选：． 巩固训练 77．如图，在四边形中，，将沿翻折得到，其中、B、A三点共线，、C、D三点共线，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本体考查了等腰三角形的性质、三角形折叠中的角度问题，根据折叠的性质得，，进而可得，进而可得，再根据可得，进而可求解，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 【详解】解：将沿翻折得到， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选A． 78．如图，四边形是长方形，连接，点在边上，将沿着翻折，的对应边落在对角线上，将沿着翻折，点的对应点恰好与点重合，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，根据折叠可得则，，设,得出，进根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， 根据折叠可得， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即的度数是． 故选：D． 79．如图，在中，，，，点D在边上，把沿着边翻折得到，平分，连接，若是等腰三角形，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得到，得，得到，根据等边三角形的判定得到是等边三角形，从而求得的长． 【详解】解：在中，，， ， 由折叠得，，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 又是等腰三角形， 是等边三角形， ， ， ， 即， 又， ， 故答案为：4． 80．综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．在中，，点D在边上，将沿翻折后得到，边和边重合时结束，边交边于点F． (1)如图1，当时，求证：．    (2)若，则 °， °．（此结论在下面计算过程中可直接用．） ①如图2，当时，求的度数．    ②若折叠过程中，中有两个角相等，请直接写出此时的度数．    【答案】(1)证明见解析 (2)60，30；①，②22.5°或45°． 【分析】（1）由题意可推出，利用折叠的性质可进一步求解； （2）①由题意推导出的度数即可求解；②分类讨论,即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴． 由翻折可得：， ∴． ∴． （2）解： 故答案为：60，30； ①∵，， ∴， ∵， ∴， 由翻折可得：． ②情况一： ∵，， ∴， ∵， ∴， 由翻折可得：． 情况二： ∵，， ∴， ∵， ∴， 由翻折可得：．    综上所述：或 【点睛】本题考查三角形中的折叠问题、等腰三角形的性质等知识点．根据几何条件进行几何推导是解题关键． 试卷第42页，共43页 1 / 73 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 等腰三角形知识归纳与题型突破（16类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一、等腰三角形的定义、判定与性质 定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 【特殊】顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°. 【注意】等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 等腰三角形性质： 1）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴， ①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴， ②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴. 2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 【注意】“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线. 等腰三角形的判定： 1）定义法：两边相等的三角形是等腰三角形； 2）定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 【总结】证明两个角相等的方法： 1）如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明. 2）如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决. 【易错易混】 1）底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）. 2）等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据． 3）等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 知识点二、等边三角形的定义、判定与性质 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形. 等边三角形的性质： 1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； 2）等边三角形的三条边相等； 3）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定： 1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形； 2）三个角都相等的三角形是等边三角形. 3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【补充】 1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质. 2）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 3）在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形． 4）等边三角形面积的求解方法：S正三角形= 知识点三、垂直平分线 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 4.总结 03 题型归纳 题型一　等腰三角形的相关概念 1．若一个等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个三角形的第三边长是（   ） A．3 B．8 C．3或8 D．以上都不对 巩固训练 2．下列长度的各组线段中，可以组成等腰三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．等腰三角形的周长是，其中一条边长为，则等腰三角形的腰长为 ． 4．已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是 ． 5． 如图， 在 中， ，现需要在上作一点D，使将 分割成两个等腰三角形． (1)点D是否为的中点？ （填“是”或“不是”）； (2)请用无刻度的直尺和圆规找出点D；（不写作法，保留作图痕迹） (3)根据 （2）中的尺规作图，写出这两个等腰三角形，并说明理由． 题型二　等边对等角 6．如图在中，边，的垂直平分线交于点D，连结，，若，则（    ） A． B． C． D． ∵边，的垂直平分线交于点，， ∴， ∴， ∴，同理可得， ∴． 巩固训练 7．如图，已知， ，若，则等于（  ） A． B． C． D． 8．如图，在中，的垂直平分线交的平分线于点E，连结，如果，，那么的度数是 ． 9．如图，在正五边形中，连接，交于点，是上一点，连接．若，则的度数为 ． 10．如图，在中，的垂直平分线分别交于点． (1)若，求的周长； (2)若，求的度数． 题型三　三线合一 11．如图，点，，在直线上，点，在的同侧，，若，，，则的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 巩固训练 12．如图，在等边中，是的中线，是上一个动点，则最小值的是（　　） A． B．5 C． D．10 13．如图，在中，，于点D，若，则的周长是 ． 14．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 15．如图，在中，，为的中线，点E在上，，连接若，求的度数． 题型四　格点中画等腰三角形 16．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 巩固训练 17．如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 18．在如图所示的方格中有两个格点A，B，请再选择一个格点（用C表示），连接A，B，C，使成为一个等腰三角形，这样的等腰三角形一共可以连出 个． 19．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有 个． 20．如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求在正方形网格中作图，并解答相关问题． (1)在图1中作出的边上的高，的面积为 ； (2)在图2中作出的边上的中线，并计算的面积； (3)已知是以为腰的等腰三角形，面积为6，且点在格点上，请在图3中作出所有满足条件的． 题型五　找出图中的等腰三角形 巩固训练 21．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 22．线段和互相垂直平分于O点，且，顺次连结A、D、B、C，那么图中的等腰直角三角形共有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 23．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有 个． 24．已知矩形ABCD,AD＞AB,以矩形ABCD的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在矩形ABCD的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数为 . 25．如图，．分别计算的度数，并说明图中有哪些等腰三角形． 题型六　等腰三角形的判定 26．在中，，则对的形状判断最准确的一项是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 巩固训练 27．如图，在中，平分，，则是 三角形．    28．如图，在中，，，，垂足为E，，则的面积 ．    29．如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别是． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形． 30．中，，的高与角平分线交于点． (1)求证； (2)求证：为等腰三角形． 题型七　根据等腰三角形的性质求角度 31．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，D是的斜边的中点，与交于点G．如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 32．点是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 33．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，于点E，连接，如果，那么的度数是 ． 34．将一副三角尺按图所示方式摆放，它们共用顶点，，分别交于点，．若，，，，则的度数是 ． 35．如图所示，中，，直线经过点A，，，垂足分别是点D，E，且． (1)求证：； (2)求的度数． 题型八　根据等腰三角形的性质求边长 36．如图，在中，，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 巩固训练 37．如图，在中，，平分交于点，作，垂足为，连接，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 38．如图，中，，的平分线相交于点，过作，分别交、 于、，若，则的周长等于 ． 39．如图，在中，B为边上一点，连接，恰为等边三角形，，则的长度为 ． 40．如图，在四边形中，，． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 题型九　等腰三角形的存在性问题 41．如图，在中，．动点从点出发，沿边，向点运动．在整个运动过程中，点存在（   ）位置，使为等腰三角形． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 巩固训练 42．如图，已知等边的面积是10，边长是4，平分交与点． （1）若点为边的中点，在上是否存在点，使最小？最小值是 ； （2）若点为边的任意一点，在上是否存在点，使最小？最小值是 ．    43．小刚准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条条边长的2倍少2米． (1)第三条边为______米（用含m的式子表示）． (2)是否存在m的值，使该场地成为以第一条边长m为腰的等腰三角形，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 44．如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时， 　； (2)当等于多少时，？请说明理由． (3)在点D的运动过程中，是否存在是等腰三角形？若存在，请直接写出此时的度数；若不存在，请说明理由． 45．在中，，，为平面内一点且，连接，以为对称轴构造的轴对称图形． (1)如图①，当在内部且，求； (2)当、、三点共线时，求． (3)是否存在与的一边平行的情况，若存在，请直接写出的度数；若不存在，试说明理由． 题型十　尺规作图 46．如图，已知一个等腰三角形的底边为c，底边上的高为，求作这个等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写作法） 巩固训练 47．已知：如图，点在的边上．小樱根据要求进行尺规作图，请你依据小樱的作图痕迹回答下列问题． (1)填空：由作图可知，射线是的______； (2)以点为圆心、长为半径画弧，交射线于点，连接，试判断与的位置关系并说明理由． 48．如图，已知，点B是射线上一点，求作等腰三角形，使得为等腰三角形的底边，点A在内部，且点A到角的两边距离相等．（尺规作图） 49．尺规作图．已知：线段，，求作等腰三角形，使其底边长为，底角为．（不写作图作图过程，保留作图痕迹） 50．如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，已知点A、B、C均为格点．请你分别在所给网格中确定一个格点P，并按下列要求画出图形． (1)在图①中，连接PA、PB，使PA＝PB； (2)在图②中，连接PB，使∠ABC＝∠PBC； (3)在图③中，连接PB，使PB平分△ABC的面积． 题型十一　等边三角形的判定 51．如图，是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形． 巩固训练 52．如图，在中，，求证：是等边三角形． 53．如图，在中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：为等边三角形． 54．如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形． 55．如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 题型十二　等边三角形的性质 56．如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点． (1)求证：； (2)分别求出的度数． 巩固训练 57．如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)过点A作，求线段与的数量关系． 58．（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点、、在同一条直线上，连接． ①求：的大小； ②求证：； （2）类比探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； 59．如图，点在线段上，点在点右侧，，，是等边三角形． (1)求证：； (2)若，求的度数． 60．如图所示的是某城市街道示意图，已知与均是等边三角形，点，，，，，，，为公交车停靠站，且点，，在同一条直线上． (1)图中与全等吗？请说明理由； (2)连接，写出与的大小关系． 题型十三　线段垂直平分线 61．如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，的周长为，求的周长． 巩固训练 62．如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，垂足是E，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的周长． 63．如图，将沿直线折叠后，使得点B与点A重合． (1)已知，的周长为，求的长； (2)若平分求的面积． 64．如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E， 垂足为D，且，连接．    (1)求证：． (2)若，求的周长． 65．如图，在中，，，是边的垂直平分线，垂足为，交于，是边的垂直平分线，垂足为，交于．连接、． (1)求的度数； (2)请直接写出的周长． 题型十四　等腰三角形的旋转问题 66．如图，在折线段中，可绕点旋转，，，线段上有一动点，将线段分成两部分，旋转，，当三条线段，，首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长为（    ）    A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或4 巩固训练 67．如图，将绕点A按逆时针方向旋转100°得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，若，则的度数为（    ） A．20° B．30° C．40° D．45° 68．如图，和为等腰直角三角形，将绕点顺时针旋转，连接，，点为直线，的交点．若，，则 ，在旋转过程中，的最大值为 ． 69．如图，在中，，线段，线段绕点旋转，交于点，则的最大值为 ． 70．如图，中，，点D为中点，，绕点D旋转，使与边交于E（不与A，B重合），与边交于点F．    (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 题型十五　等腰三角形的平移问题 71．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，，，平移距离为4，求阴影部分的面积为（   ） A．20 B．24 C．25 D．26 巩固训练 72．如图，在中，，，，将沿着射线的方向平移得到，连接，若，则的周长为（    ） A．20 B．24 C．36 D． 73．如图，将沿直线向右平移，得到，若，，C为的中点，连接，则的度数为 ． 74．如图，将等边沿边BC向右平移1个单位得到，点B、E、C、F在一条直线上，，求四边形的周长．    75．在中，平分交于点D．将沿的方向平移，使点D移至点C的位置，得到，且交于点G．猜想线段与之间数量的关系，并说明理由．    题型十六　等腰三角形的翻折问题 76．如图，在中，，为边上的中线，，将沿所在直线翻折，点翻折到点的位置，连，则的长为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 77．如图，在四边形中，，将沿翻折得到，其中、B、A三点共线，、C、D三点共线，若，则（  ） A． B． C． D． 78．如图，四边形是长方形，连接，点在边上，将沿着翻折，的对应边落在对角线上，将沿着翻折，点的对应点恰好与点重合，则的度数是（   ） A． B． C． D． 79．如图，在中，，，，点D在边上，把沿着边翻折得到，平分，连接，若是等腰三角形，则 ． 80．综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．在中，，点D在边上，将沿翻折后得到，边和边重合时结束，边交边于点F． (1)如图1，当时，求证：．    (2)若，则 °， °．（此结论在下面计算过程中可直接用．） ①如图2，当时，求的度数．    ②若折叠过程中，中有两个角相等，请直接写出此时的度数．    试卷第42页，共43页 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$