第20讲 等腰三角形的性质（三类知识点+十二大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第20讲 等腰三角形的性质（十二大题型） 学习目标 1. 知道等腰三角形的有关概念； 2. 掌握等腰三角形的性质并学会证明及应用； 3．熟悉三角形中的大边对大角及有关证明. 知识点1 等腰三角形 等腰三角形是有两边相等的三角形.如图,△ABC是等腰三角形，AB=AC.边AB和AC是它的腰，BC是底边；∠A是它的顶角，∠B和∠C是底角. 要点：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . 知识点2 等腰三角形的性质 取一张等腰三角形纸片，把两腰AB、AC叠合在一起(右上图),我们发现，两个底角互相重合.这说明等腰三角形的两个底角相等. 定理 等腰三角形的两底角相等. 简单地说：等边对等角. 下面我们来证明这个性质. 如图（左）, 已知：在△ABC中，AB＝AC.求证∠B=∠C. 证明 如图（右），作△ABC的顶角平分线AD，有∠BAD=∠CAD. 又由于 AB＝AC，AD是公共边，由“边角边”，得 △ABD≌△ACD，从而∠B=∠C. 除此之外，由△ABD≌△ACD，还可得出 BD＝CD，∠ADB=∠ADC= 90°. 因此 AD平分BC，且AD丄BC. 由此可见，线段 AD既是等腰三角形ABC的顶角平分线，又是底边 BC上的中线，也是底边 BC上的高. 等腰三角形的这个性质可表述为： 定理 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. 简单地说：等腰三角形三线合一. 上面的证明过程还表明： 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线（底边上的中线 、底边上的高）所在的直线. 例题分析 例1 如图（左），已知：AB＝AC，DB＝DC．求证：∠B＝∠C 解法一（提示）： 从已知条件AB=AC,DB=DC出发，考虑连接BC构造两个等腰三角形. 解法二（提示）：连接AD构造全等三角形 例2 如图（右），,已知：在直角三角形ABC中，∠BAC=90°,D是边BC上一点，AD=AB. 求证：∠BAD=2∠C. 解法一（提示）：要证明∠BAD=2∠C,只要证明∠BAD的一半与∠C相等.由于AD=AB,可考虑作AH⊥BC,从而将问题转化为证明∠BAH=∠C. 解法二（提示）：根据三角形的内角和等于180°，外角的性质，2（∠BAD+∠DAC）=180°，多重等量代换可证结论 知识点3 大边对大角 我们知道“等边对等角”,那么三角形中不相等的边所对的角有什么大小关系呢? 例3如图（左）,已知：在△ABC中，AB>AC.求证：∠C>∠B. 分析 要证∠C>∠B,可利用“三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角”. 证明 如图（右）,由AB>AC,在AB上截取AD=AC,连接CD, ∠ADC=∠ACD(等边对等角). ∵∠ADC>∠B(三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角), ∴ ∠ACB>∠ADC>∠B. 述结论可以简述为：在三角形中，大边对大角. 【即学即练1】等腰三角形的顶角是，则它的底角是 ． 【即学即练2】在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【即学即练3】等腰三角形的“三线合一”指的是（    ） A．中线，高线，角平分线互相重合 B．顶角的平分线，中线，高线三线互相重合 C．腰上的中线，腰上的高线，底角的平分线互相重合 D．顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线三线互相重合 【即学即练4】如图，在中，，，若，则的长是（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 【即学即练5】如图，在中，，点D在上，且．则的度数是 题型1:概念辨析 【典例1】．相等的两条边AB和AC叫做 ；另一条边BC叫做 ；两腰所夹的角∠BAC叫做 ；底边与腰的 ∠ABC和∠ACB叫做 ． 【变式1-1】．等腰三角形的性质： ①等腰三角形的两个底角相等，（简写成“ ”） ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．（简称“ ”） ③等腰三角形是 图形；它的对称轴是顶角平分线（底边上的中线 、底边上的高 ） 题型2:根据等腰三角形的定义求边长 【典例2】．若一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则第三边的长可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．2或4 【变式2-1】．等腰三角形的一边长，另一边长，则它的周长是（  ） A． B． C．或 D．或 【变式2-2】．已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D． 题型3:根据等腰三角形的定义求角度 【典例3】．等腰三角形顶角的度数为，则该三角形底角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】．已知等腰三角形有一个角是，则其顶角的度数为（    ）． A． B． C． D．或 【变式3-2】．若一个等腰三角形的一个外角为，则这个等腰三角形顶角的度数为（    ） A． B．或 C．或或 D．或 题型4:等边对等角 【典例4】．在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】．如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】．如图，点C在上，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式4-3】．如图，在中，，，点在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型5:根据等边对等角证明 【典例5】．如图，在中，，点D、E都在边BC上，且，求证：．    【变式5-1】．如图，，，连接交于点O，．求证：． 【变式5-2】．如图，是上一点，，，．求证：平分． 题型6:等腰三角形三线合一 【典例6】．如图，在中，，平分，若，则（   ） A．5 B．6 C．10 D．13 【变式6-1】．如图，在中，，是上的高，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】．已知是等腰底边上的中线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】．如图，在中，是的角平分线，则的长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．无法确定 题型7:等腰三角形三线合一的综合辨析 【典例7】．对于运用等腰三角形“三线合一”性质定理的推理过程，下列合理的是（　　） A．∵，平分 B．∵，平分，， C．∵，平分，， D．∵，∴ 【变式7-1】．如图，在中，，点D在上． (1)若，则_______________． (2)若，则_______________． (3)若，则 _______________． 【变式7-2】．如图，为的中线．若，则下列结论不一定成立的是（      ） A． B． C． D． 【变式7-3】．如图，在中，，点为的中点，则下列结论中错误的是（　　）    A． B． C． D． 题型8:根据等腰三角形三线合一解答证明 【典例8】．如图，在中，，．求证：． 【变式8-1】．如图，在中，为的中线，，求证：点D在的平分线上． 【变式8-2】．如图，在中，，为的中线．点，分别在，上，且，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式8-3】．如图，中，，，点D在斜边上，且，过点B作交直线于点E，过点A作于点F．    (1)求的度数； (2)求证：． 题型9:等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角问题 【典例9】．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是46°，则它的底角度数是 ． 【变式9-1】．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 【变式9-2】．如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角等于 【变式9-3】．如果等腰三角形的顶角为α，那么这个等腰三角形一条腰上的高与底边的夹角为 ． 题型10:等腰三角形中一些线段（角平分线、中线、高线）的性质 【典例10】．求证：等腰三角形两腰上的中线相等． 已知：如图，在中，，分别是腰上的中线．求证：． 【变式10-1】．下面是命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的证明过程，把空格补充完整．已知：如图，在中，，，是的角平分线． 求证：（ 1 ）． 证明：， （ 2 ）． ∵，分别是，的角平分线， ，（ 3 ）． 即． 在和中， ． （ 4 ）． 【变式10-2】．求证：等腰三角形两腰上的高线长相等． 题型11:等边对等角与等腰三角形三线合一综合 【典例11】．如图，在中，，点是的中点，点在上，，，求的度数．    【变式11-1】．如图所示，在中，，，是边上的中线，是上一点，且，求 (1)求的度数 (2)的度数． 【变式11-2】．如图，在中，，是角平分线，E是边上一点，连接，是的平分线，的延长线与交于点F． (1)求证：； (2)若，，则 度． 【变式11-3】．如图，在中，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 题型12:根据大边对大角证明 【典例12】.如图，已知：在线段AB、BC、CD、DA中，AB>AD,BC>CD.求证：∠ADC>∠ABC. 【变式12-1】.如图，已知：AB和CD相交于点P,CP>AC,BD>PD.求证：∠A>∠B. 一、单选题 1．已知下列各组数据，能构成等腰三角形三边边长的是（    ） A．2，2，1 B．1，2，1 C．1，3，1 D．2，2，5 2．若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 3．如图，在中，，D为中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线是的对称轴，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，下列分别是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线、角平分线、高线 B．中线、高线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 7．如图，在中，，，于点D，点E为中点，与交于点F，则等于（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，为延长线上一点，于．若，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．以上结论都不对 9．如图，将绕点逆时针旋转角得到．点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，已知，，D为边上一点，且．则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知等腰三角形的周长为，其中一边的长为5，则底边的长为 . 12．一个等腰三角形的顶角是底角的2倍，则这个等腰三角形的底角度数是 ． 13．如图，在中，点D在上，，E为的中点，若，则 ． 14．如图是直线上的点，若，，，则 15．如图，在中，点D，E在上，，，若，则的度数为 ． 16．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是 ． 17．如图，在等腰三角形中，是边上的高，，点E、F是上的两点，则图中阴影部分的面积是 ． 18．如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为 ．    三、解答题 19．等腰三角形的周长为20厘米． (1)若已知腰长是底长的2倍，求各边的长； (2)若已知一边长为6厘米，求其他两边的长． 20．如图，在中，，是边上的中线，于点．试说明：． 21．如图，在中．．点、分别在、上，，与相交于点．求证： (1)； (2)． 22．如图，在中，为边上的一点，，为外部一点，，且，连接，与交于点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 23．如图，在中，，点在上，且． (1)求证：； (2)若为中点，，求的度数． 24．若等腰三角形的顶角为，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在中，，点在边上，且． (1)如图，求的度数，并直接写出图中所有的黄金三角形； (2)若为线段上的点，过作直线于，分别交直线，于点，，如图，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由． 25．在中，，，点为的中点． (1)若，两边分别交于两点． ①如图1，当点分别在边和上时，求证：； ②如图2，当点分别在和的延长线上时，连接，若，则______． (2)如图3，若，两边分别交边于，交的延长线于，连接，若，，试求的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲 等腰三角形的性质（十二题型） 学习目标 1. 知道等腰三角形的有关概念； 2. 掌握等腰三角形的性质并学会证明及应用； 3．熟悉三角形中的大边对大角及有关证明. 知识点1 等腰三角形 等腰三角形是有两边相等的三角形.如图,△ABC是等腰三角形，AB=AC.边AB和AC是它的腰，BC是底边；∠A是它的顶角，∠B和∠C是底角. 要点：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . 知识点2 等腰三角形的性质 取一张等腰三角形纸片，把两腰AB、AC叠合在一起(右上图),我们发现，两个底角互相重合.这说明等腰三角形的两个底角相等. 定理 等腰三角形的两底角相等. 简单地说：等边对等角. 下面我们来证明这个性质. 如图（左）, 已知：在△ABC中，AB＝AC.求证∠B=∠C. 证明 如图（右），作△ABC的顶角平分线AD，有∠BAD=∠CAD. 又由于 AB＝AC，AD是公共边，由“边角边”，得 △ABD≌△ACD，从而∠B=∠C. 除此之外，由△ABD≌△ACD，还可得出 BD＝CD，∠ADB=∠ADC= 90°. 因此 AD平分BC，且AD丄BC. 由此可见，线段 AD既是等腰三角形ABC的顶角平分线，又是底边 BC上的中线，也是底边 BC上的高. 等腰三角形的这个性质可表述为： 定理 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. 简单地说：等腰三角形三线合一. 上面的证明过程还表明： 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线（底边上的中线 、底边上的高）所在的直线. 例题分析 例1 如图（左），已知：AB＝AC，DB＝DC．求证：∠B＝∠C 解法一（提示）： 从已知条件AB=AC,DB=DC出发，考虑连接BC构造两个等腰三角形. 解法二（提示）：连接AD构造全等三角形 例2 如图（右），,已知：在直角三角形ABC中，∠BAC=90°,D是边BC上一点，AD=AB. 求证：∠BAD=2∠C. 解法一（提示）：要证明∠BAD=2∠C,只要证明∠BAD的一半与∠C相等.由于AD=AB,可考虑作AH⊥BC,从而将问题转化为证明∠BAH=∠C. 解法二（提示）：根据三角形的内角和等于180°，外角的性质，2（∠BAD+∠DAC）=180°，多重等量代换可证结论 知识点3 大边对大角 我们知道“等边对等角”,那么三角形中不相等的边所对的角有什么大小关系呢? 例3如图（左）,已知：在△ABC中，AB>AC.求证：∠C>∠B. 分析 要证∠C>∠B,可利用“三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角”. 证明 如图（右）,由AB>AC,在AB上截取AD=AC,连接CD, ∠ADC=∠ACD(等边对等角). ∵∠ADC>∠B(三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角), ∴ ∠ACB>∠ADC>∠B. 述结论可以简述为：在三角形中，大边对大角. 【即学即练1】等腰三角形的顶角是，则它的底角是 ． 【答案】/55度 【分析】此题考查了是等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出结论，掌握等边对等角和三角形的内角和定理是解题的关键． 【解析】解：∵等腰三角形的顶角是， ∴它的底角为， 故答案为：． 【即学即练2】在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．根据等腰三角形的性质可得到即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【即学即练3】等腰三角形的“三线合一”指的是（    ） A．中线，高线，角平分线互相重合 B．顶角的平分线，中线，高线三线互相重合 C．腰上的中线，腰上的高线，底角的平分线互相重合 D．顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线三线互相重合 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质直接选取答案即可求解． 【解析】解：三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线相互重合． 故选：D 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，掌握“三线合一”是解题的关键． 【即学即练4】如图，在中，，，若，则的长是（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，根据三线合一性质直接能得到点D是线段的中点，即可求解． 【解析】解∶∵，，， ∴， 故选：B． 【即学即练5】如图，在中，，点D在上，且．则的度数是 【答案】/36度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角性质．设，根据等边对等角的性质求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和用x表示出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【解析】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据三角形的外角性质，， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 题型1:概念辨析 【典例1】．相等的两条边AB和AC叫做 ；另一条边BC叫做 ；两腰所夹的角∠BAC叫做 ；底边与腰的 ∠ABC和∠ACB叫做 ． 【答案】 腰 两边 顶角 夹角 底角 【解析】略 【变式1-1】．等腰三角形的性质： ①等腰三角形的两个底角相等，（简写成“ ”） ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．（简称“ ”） ③等腰三角形是 图形；它的对称轴是顶角平分线（底边上的中线 、底边上的高 ） 【答案】 等边对等角 三线合一 轴对称 所在的直线 【解析】略 题型2:根据等腰三角形的定义求边长 【典例2】．若一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则第三边的长可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．2或4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系和等腰三角形的定义求解即可．三角形三边关系，两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 【解析】解：解：∵一个三角形的两边长分别是2和4，设第三边长为， ∴， 即 又∵这个三角形是等腰三角形， ∴第三边的长可能是2和4， ∴第三边的长只可能是4， 故选：B． 【变式2-1】．等腰三角形的一边长，另一边长，则它的周长是（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，难点在于要分情况讨论． 分是底边与腰长两种情况讨论求解． 【解析】解：当是底边时，此时三角形的三边分别为、、，能组成三角形，它的周长是； 当是腰长时，此时三角形的三边分别为、、，能组成三角形，它的周长是； 故选：C． 【变式2-2】．已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，分类讨论是解答的关键．分为腰长和底边长分别求解即可． 【解析】解：当为等腰三角形的腰长时，则三边长为，，，满足， ∴该等腰三角形的周长是； 当为等腰三角形的底边长时，则三边长为，，，满足， ∴该等腰三角形的周长是； 综上，该等腰三角形的周长是或． 故选：C． 题型3:根据等腰三角形的定义求角度 【典例3】．等腰三角形顶角的度数为，则该三角形底角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等边对等角，根据等腰三角形两个底角相等且三角形内角和为180度列式求解即可． 【解析】解：∵等腰三角形顶角的度数为， ∴该三角形底角的度数为， 故选：C． 【变式3-1】．已知等腰三角形有一个角是，则其顶角的度数为（    ）． A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题重点考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是熟知相关概念； 等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和等于；要注意分情况讨论； 【解析】解：本题可分两种情况：①为顶角；②为底角，则顶角为：； 故选：D 【变式3-2】．若一个等腰三角形的一个外角为，则这个等腰三角形顶角的度数为（    ） A． B．或 C．或或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外角，等腰三角形的定义等知识，分是底角的外角和顶角的外角讨论即可． 【解析】解：当是底角的外角时，则顶角的外角为， ∴顶角的度数为； 当是顶角的外角，则顶角的度数为； 所以顶角的度数为或， 故选：D． 题型4:等边对等角 【典例4】．在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．根据等腰三角形的性质可得到即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式4-1】．如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质即可得出结论． 【解析】解：， ， 故选：B． 【变式4-2】．如图，点C在上，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边对等角的性质得，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可求出的度数． 【解析】解：，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查等边对等角的性质和三角形的外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【变式4-3】．如图，在中，，，点在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用是等腰直角三角形先求出，再利用是等腰三角形求出，最后利用直角求出即可． 【解析】解： 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握三角形内角和以及等腰三角形的性质是解决本题的关键． 题型5:根据等边对等角证明 【典例5】．如图，在中，，点D、E都在边BC上，且，求证：．    【答案】见详解 【分析】利用等腰三角形的性质可得，再由证明，从而得． 【解析】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 【变式5-1】．如图，，，连接交于点O，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用等边对等角求得，再利用等角的余角相等即可证明． 【解析】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 【变式5-2】．如图，是上一点，，，．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由已知条件可证得，于是可得，由等腰三角形的性质可得，于是可得，然后由角平分线的定义可得结论． 【解析】证明：在和中， ， ， ， ， ， ， 平分． 题型6等腰三角形三线合一 【典例6】．如图，在中，，平分，若，则（   ） A．5 B．6 C．10 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了三线合一定理，根据三线合一定理可得，据此可得答案． 【解析】解：∵在中，，平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式6-1】．如图，在中，，是上的高，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【解析】解：∵，是上的高， ∴， 故选：． 【变式6-2】．已知是等腰底边上的中线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理； 根据等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理计算即可． 【解析】解：如图， 由题意可知：，D为中点， ∴， ∴， 故选：C． 【变式6-3】．如图，在中，是的角平分线，则的长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据等腰三角形的三线合一性质进行作答即可． 【解析】解：∵ ∴是等腰三角形， ∵是的角平分线， ∴ 故选：B． 题型7:等腰三角形三线合一的综合辨析 【典例7】．对于运用等腰三角形“三线合一”性质定理的推理过程，下列合理的是（　　） A．∵，平分 B．∵，平分，， C．∵，平分，， D．∵，∴ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质可得，再根据可证，根据全等三角形的性质即可得证． 【解析】解：是等腰三角形，平分， ，． 证明如下： 在等腰中，，平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故选：C． 【变式7-1】．如图，在中，，点D在上． (1)若，则_______________． (2)若，则_______________． (3)若，则 _______________． 【答案】(1)垂直，且平分 (2)平分，且平分 (3)垂直，且平分 【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”的性质，即可求解； （2）根据等腰三角形的“三线合一”的性质，即可求解； （3）根据等腰三角形的“三线合一”的性质，即可求解． 【解析】（1）解：∵，， ∴垂直，且平分； 故答案为：垂直，且平分； （2）解：∵，， ∴平分，且平分； 故答案为：平分，且平分； （3）解：∵，， ∴垂直，且平分． 故答案为：垂直，且平分 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”的性质是解题的关键． 【变式7-2】．如图，为的中线．若，则下列结论不一定成立的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【解析】解：∵为的中线，， ∴，，；故A，B，C不符合题意； ∵不一定相等，故D符合题意； 故选D． 【变式7-3】．如图，在中，，点为的中点，则下列结论中错误的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟知三线合一定理和等边对等角是解题的关键. 【解析】解：∵，点D为的中点， ∴． ∴, 故B、C、D正确，A错误． 故选：A． 题型8:根据等腰三角形三线合一解答证明 【典例8】．如图，在中，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形三线合一性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，然后证明出，得到，，然后利用等腰三角形三线合一性质证明即可． 【解析】证明：，， 又， ， 在和中， ， ， ，， ． 【变式8-1】．如图，在中，为的中线，，求证：点D在的平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的三线合一，由条件可得点是的中点，，利用等腰三角形的性质可得是的平分线． 【解析】证明：∵为的中线， ∴点是的中点， 又∵， ∴是的平分线， 即点D在的平分线上． 【变式8-2】．如图，在中，，为的中线．点，分别在，上，且，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的知识点是等腰三角形“三线合一”、全等三角形的判定、等边对等角，解题关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”． （1）根据等腰三角形“三线合一”推得后即可用“边角边”证明全等； （2）根据等腰三角形“三线合一”及等边对等角即可求解． 【解析】（1）证明：，是的中线， ， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ， ， ，是的中线， ， 即， ． 题型9:等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角问题 【典例9】．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是46°，则它的底角度数是 ． 【答案】或 【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系：三角形的内部、三角形的边上、三角形的外部，根据条件可知第二种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论即可得解． 【解析】解：①当高在三角形内部时，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当高在三角形外部时，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴综上所述，底角是或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了与三角形的高有关的计算、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质三角形的分类以及等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键． 【变式9-1】．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论． 要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解． 【解析】解：若三角形为锐角三角形时，如图， ，，为高，即， 此时， ∴， 若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 【变式9-2】．如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角等于 【答案】或 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论． 【解析】解：当高在三角形内部时（如图， ，则， 即顶角是； 当高在三角形外部时（如图， ，则， 即顶角是． 故答案为：或． 【变式9-3】．如果等腰三角形的顶角为α，那么这个等腰三角形一条腰上的高与底边的夹角为 ． 【答案】/ 【分析】首先对该等腰三角形进行分类，当时，底角为，在中，，底角减去即可得解；当时，底角为，，即为所求． 【解析】当时，作于点D， 如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，作于点H，为所求． 如图 ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为，熟悉等腰三角形的性质并分类讨论是解题的关键． 题型10:等腰三角形中一些线段（角平分线、中线、高线）的性质 【典例10】．如图，中，，，点D在斜边上，且，过点B作交直线于点E，过点A作于点F．    (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理： （1）先由等腰直角三角形的性质得到，进而根据等边对等角和三角形内角和定理求出，则； （2）先由三线合一定理得到，再证明，得到，即可证明． 【解析】（1）解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型10:等腰三角形中一些线段（角平分线、中线、高线）的性质 【典例10】．求证：等腰三角形两腰上的中线相等． 已知：如图，在中，，分别是腰上的中线．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据中线的定义可得，，则，根据证明即可． 【解析】∵分别是上的中线（已知）， ∴，（三角形中线的定义）． ∵（已知）， ∴． 在和中， ， ∴． ∴（全等三角形的对应边相等）． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，中线的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形两腰相等；全等三角形的判定定理有，全等三角形对应边相等，对应角相等． 【变式10-1】．下面是命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的证明过程，把空格补充完整．已知：如图，在中，，，是的角平分线． 求证：（ 1 ）． 证明：， （ 2 ）． ∵，分别是，的角平分线， ，（ 3 ）． 即． 在和中， ． （ 4 ）． 【答案】；等边对等角；角平分线的定义；全等三角形的对应边相等 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的等边对顶角及全等三角形的性质与判定可进行求解 【解析】已知：如图，在中，，，是的角平分线． 求证：． 证明：， （等边对等角）． ∵，分别是，的角平分线， ，（角平分线的定义）． 即． 在和中， ． （全等三角形的对应边相等）； 故答案为；等边对等角；角平分线的定义；全等三角形的对应边相等． 【变式10-2】．求证：等腰三角形两腰上的高线长相等． 【答案】见解析 【分析】画出图形，通过证明三角形全等，根据全等三角形对应边相等从而得出结论． 【解析】解：如图：已知，求证：． 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴等腰三角形两腰上的高线长相等． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解题意，写出已知和求证，掌握三角形全等是判定方法和全等三角形对应边相等的性质． 题型11:等边对等角与等腰三角形三线合一综合 【典例11】．如图，在中，，点是的中点，点在上，，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的“三线合一“是解决问题的关键．根据等腰三角形的性质得到，，，计算即可． 【解析】解：，， ， ， ， 点是的中点， ， ， ． 【变式11-1】．如图所示，在中，，，是边上的中线，是上一点，且，求 (1)求的度数 (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到； （2）由等腰三角形的性质得，由三线合一得，根据即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴， （2）解：∵， ∴． ∵是边上的中线， ∴， ∴． 【变式11-2】．如图，在中，，是角平分线，E是边上一点，连接，是的平分线，的延长线与交于点F． (1)求证：； (2)若，，则 度． 【答案】(1)证明见解析 (2)44 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关知识进行推理证明和计算． （1）根据等腰三角形的性质和角平分线得到，由是角平分线，得到，证即可； （2）根据全等三角形的性质得到，根据求得，进而求出的度数即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵是角平分线，， ∴， ∵， ∴； ∴； （2）∵； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：44． 【变式11-3】．如图，在中，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等腰，可得，由题意知，，则，根据，计算求解即可； （2）如图，作于，则，证明，则，进而可得． 【解析】（1）解：∵以为底边向上作等腰， ∴， 由题意知，， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）证明：如图，作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型12:根据大边对大角证明 【典例12】.如图，已知：在线段AB、BC、CD、DA中，AB>AD,BC>CD.求证：∠ADC>∠ABC. 提示：连接BD可证 【变式12-1】.如图，已知：AB和CD相交于点P,CP>AC,BD>PD.求证：∠A>∠B. 提示：借助∠CPA=∠BPD，易证 一、单选题 1．已知下列各组数据，能构成等腰三角形三边边长的是（    ） A．2，2，1 B．1，2，1 C．1，3，1 D．2，2，5 【答案】A 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边逐一判断即可． 【解析】A．，本组数据可以构成等腰三角形；故本选项正确； B．，本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误； C．，本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误； D．，本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误； 故选：A． 2．若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形一内角为，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况讨论． 【解析】解：当角为顶角，顶角度数即为； 当为底角时，顶角； 综上，若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是或， 故选：C． 3．如图，在中，，D为中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握三线合一是解题的关键． 【解析】解：∵，D为中点， ∴， 故选：D． 4．如图，直线是的对称轴，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，由直线是的对称轴，则， 所以，再由三角形的内角和定理即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【解析】解：∵直线是的对称轴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．如图，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；等腰三角形的性质：等边对等角． 根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质得到答案． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．如图，下列分别是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线、角平分线、高线 B．中线、高线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，根据折叠的性质，结合等腰三角形三线合一，逐一进行判断即可． 【解析】解：由图①可知，，即：是的角平分线； 由图②可知：， ∴，即：， ∴是的高线， 由图③可知：，即为的中点， ∴是的中线， 综上分析可知：依次是的角平分线、高线、中线， 故选：C． 7．如图，在中，，，于点D，点E为中点，与交于点F，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形三线合一，三角形的内角和定理，根据三线合一，得到平分，进而求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出即可． 【解析】解：∵在中，，点E为中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 8．如图，在中，为延长线上一点，于．若，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 过点作于，利用等腰三角形的性质求出，再利用同角的余角相等求出即可． 【解析】解：过点作于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．如图，将绕点逆时针旋转角得到．点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． 根据旋转的性质，得到，进而得到，三角形内和定理，求出，再利用三角形内角和定理求出即可． 【解析】解：∵将绕点逆时针旋转角得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10．如图，在中，已知，，D为边上一点，且．则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形性质，外角定理等．根据题意可得，再利用角度计算即可得到本题答案． 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 二、填空题 11．已知等腰三角形的周长为，其中一边的长为5，则底边的长为 . 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．分类讨论当等腰三角形的底边长为5时，当等腰三角形的腰长为5时，结合三角形的三边关系即可求解； 【解析】解：当等腰三角形的底边长为5时， 等腰三角形的周长为， 它的腰长； 当等腰三角形的腰长为5时， 等腰三角形的周长为， 它的底边长， ， 不能组成三角形； 综上所述：它的底边长为5， 故答案为： 12．一个等腰三角形的顶角是底角的2倍，则这个等腰三角形的底角度数是 ． 【答案】45度/ 【分析】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角和三角形的内角和定理是解决此题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，找出题中等量关系计算即可． 【解析】解：∵等腰三角形的顶角是底角的2倍， ∴等腰三角形的底角为， 故答案为：． 13．如图，在中，点D在上，，E为的中点，若，则 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质，再根据三角形的内角和定理求得，再根据等腰三角形的性质得到，进而利用三角形的外角性质求解即可． 【解析】解：∵，E为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．如图是直线上的点，若，，，则 【答案】/113度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理已经平行线的性质．掌握各定理是解题的关键． 根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质即可求出． 【解析】解：，， ， ， ． 故答案为：． 15．如图，在中，点D，E在上，，，若，则的度数为 ． 【答案】/140度 【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角的和差． 根据三角形的内角和可得，根据，得到，，从而，根据角的和差有，即可解答． 【解析】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴． 故答案为：． 16．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形的内角和定理，正确画出图形是解题的关键．根据题意画出图形，根据三角形内角和定理进行计算即可． 【解析】解：①等腰三角形为锐角三角形， ， ； ②等腰三角形为钝角三角形， ， 故答案为：或． 17．如图，在等腰三角形中，是边上的高，，点E、F是上的两点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，依据图中阴影部分的面积等于等腰三角形的面积的一半，即可得到结果． 【解析】解：∵等腰三角形中，是边上的高， ∴，且. ∵且， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∴图中阴影部分的面积是. 故答案为：2． 18．如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为 ．    【答案】或或 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等腰三角形的性质．令，根据轴对称的性质及三角形的外角定理用表示出三个内角的度数，再对等腰进行分类讨论即可解决问题． 【解析】解：，， ． 令， 和关于直线对称， ，， ． ，且平分， ． ，， ． 同理可得，， ． 当时， ，即， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， ． 综上所述，的度数为：或或． 故答案为：或或． 三、解答题 19．等腰三角形的周长为20厘米． (1)若已知腰长是底长的2倍，求各边的长； (2)若已知一边长为6厘米，求其他两边的长． 【答案】(1)4厘米，8厘米，8厘米 (2)7厘米，7厘米或6厘米，8厘米 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用和三角形的三边关系． （1）设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米，根据周长为20厘米，列关于x的一元一次方程，解方程即可； （2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形． 【解析】（1）解：设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米， 由题意得，， 解得， 所以三边长分别为4厘米，8厘米，8厘米； （2）解：分以下两种情况： 如果6厘米长的边为底边，设腰长为a厘米， 则， 解得， 则三角形三边长为6厘米，7厘米，7厘米，可以构成三角形； 如果6厘米长的边为腰，设底边长为b厘米， 则，解得， 则三角形三边长为6厘米，6厘米，8厘米，可以构成三角形． 由以上讨论可知，其他两边的长分别为7厘米，7厘米或6厘米，8厘米． 20．如图，在中，，是边上的中线，于点．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据三角形三线合一的性质可得，在结合互余关系证明即可． 【解析】解：因为，是边上的中线， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 21．如图，在中．．点、分别在、上，，与相交于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的判定是解答的关键． （1）利用“”证明，再利用全等三角形的对应角相等可得结论； （2）根据等腰三角形的性质和判定可得结论． 【解析】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．如图，在中，为边上的一点，，为外部一点，，且，连接，与交于点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角： （1）先证明，再利用即可证明； （2）根据等边对等角得到，根据全等三角形的性质得到，据此根据平角的定义可得答案． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．如图，在中，，点在上，且． (1)求证：； (2)若为中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键． （1）根据等边对等角可得、，再根据三角形内角和定理可得、，进而证明结论； （2）由等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质结合可得，然后运用三角形外角的性质可得，即；最后利用三角形外角的性质即可解答． 【解析】（1）证明：∵，， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：∵，为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴． 24．若等腰三角形的顶角为，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在中，，点在边上，且． (1)如图，求的度数，并直接写出图中所有的黄金三角形； (2)若为线段上的点，过作直线于，分别交直线，于点，，如图，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，黄金三角形有和 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由等腰三角形的性质和黄金三角形的定义即可得出结论； （2）证明得，借助已知利用线段的和差可得． 【解析】（1）解：和都是黄金三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 和都是黄金三角形； （2）解：，理由如下： 由（1）知，，，即， ， ， 在和中， ， ， ， 即， 又，， ， ， ， 即． 25．在中，，，点为的中点． (1)若，两边分别交于两点． ①如图1，当点分别在边和上时，求证：； ②如图2，当点分别在和的延长线上时，连接，若，则______． (2)如图3，若，两边分别交边于，交的延长线于，连接，若，，试求的长． 【答案】(1)①见解析；②18 (2)2 【分析】（1）①连接，证明即可；②连接，，得出，利用三角形面积公式进行计算即可； （2）连接，过点作，交的延长线于点，证明，得出，，证明，得出，即可得出答案． 【解析】（1）证明：①如图，连接， ∵，，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接， ∵，，点为的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ∵，，点为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$