七年级数学下学期第三次学情自测·培优卷（新教材沪教版五四制，举一反三，测试范围：第15章 一元一次不等式～第17章 三角形）

七年级数学下学期第三次学情自测·培优卷 【新教材沪教版五四制】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．根据不等式的性质，逐一判断选项即可得． 【详解】解：A、不等式两边同时减去3，不等号方向不改变，即，选项说法正确，符合题意； B、不等式两边同时加3，不等号方向不改变，即，选项说法错误，不符合题意； C、不等式两边同时乘，不等号方向不改变，即，选项说法错误，不符合题意； D、当，时，满足，此时，，，故选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）已知某三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围，再对应选项判断即可． 【详解】解：三角形三边长为，，， 根据三角形三边关系得， 即， 选项中只有满足该范围， ∴答案选C． 3．（25-26七年级下·河北邢台·月考）如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角相等，平角的定义，角的和差， 先标注，再根据对顶角相等得，然后根据平角定义得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 4．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，，，分别是，，的中线，若，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线与面积，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 故选：B． 5．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．1 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质得，再根据“角角边”证明，可得，然后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 6．（25-26七年级下·江苏·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， ∴不可能的值为． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26八年级上·陕西渭南·月考）若关于的一元一次不等式的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据不等式的解集得出，解答即可． 【详解】解：∵关于的一元一次不等式的解集为，即关于的一元一次不等式的解集为， ∴， 解得：． 8．（25-26八年级上·新疆阿克苏·期中）木工师傅做完门框后，为防止变形，通常在角上钉一斜条，他的根据是___________． 【答案】三角形的稳定性 【分析】根据三角形的稳定性，可以达到保持门框的稳定性． 【详解】解：木工师傅做完房门后，为防止变形钉上两条斜拉的木条这样做的根据是：三角形的稳定性． 故填：三角形的稳定性． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题． 9．（25-26七年级下·江苏·期中）如图，将绕点旋转至的位置，点在边上，与交于点．若，则_______． 【答案】50 【分析】由旋转得所以，则，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵将绕点旋转至的位置，点在边上， ， ， ， ， ， ． 10．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知关于x的不等式组有解、则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 由于不等式组有解， 则． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·广西钦州·期中）如图，已知，若用“”证明，还需要加上条件是_____． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：AAS． 根据“角角边”的方法判定即可得到答案． 【详解】解：添加条件， 在和中， ∴ 故答案为：． 12．（25-26八年级上·湖南·期末）如图，边延长线上有一点，平分的外角，，，则的度数是_______ 度． 【答案】75 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质及角平分线的定义，熟知三角形的外角性质及角平分线的定义是解题的关键． 先求出的度数，再结合三角形外角的性质进行计算即可． 【详解】解：平分，， ． ， ． 故答案为：75． 13．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，，，和相交于点，则图中全等三角形共有_____对． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，可得，，再进一步证明其它三角形全等即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； ∴共有对全等三角形， 故答案为：． 14．（2026·四川南充·一模）定义一种新运算：，则关于x的不等式组的负整数解共有__________个． 【答案】3 【分析】根据新定义化简不等式组.求出解集后，找出解集中的负整数，即可得到负整数解的个数． 【详解】解： 将不等式组，即化简得 解得 解得 不等式组的解集为 不等式组的负整数解为，共个． 15．（25-26八年级上·浙江金华·期末）小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点位置，然后固定木条，摆出．把木条转动一定角度后，点刚好落在直线上的处．此实验得到的结论是：_____的两个三角形不一定全等． 【答案】有两边和其中一边的对角分别相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定，在和中，为公共边，，，锐角三角形与钝角不全等，从而说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不能确定全等． 【详解】解：在和中，为公共边，，， 而与不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故答案为：有两边和其中一边的对角分别相等． 16．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 【答案】 【分析】连接，利用平行线的性质和全等三角形的判定得出、及是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 和中， ， ，， ， ， 即， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是根据平行线判定与性质求角度、连接两点作辅助线、等腰三角形的性质和判定，解题关键是利用辅助线构造等腰三角形． 17．（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）2026年春晚<<武>>机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，先理解题意，过点作，结合平行线的性质得，代入数值得，再运算角的和差以及根据列式计算，即可作答． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 18．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形ABCD中，E是DC的中点，连接AE，AE平分∠DAB，∠D＝∠C＝90°，AD＝4BC＝8，则线段AB的长为__． 【答案】10 【分析】延长AE、BC交于点F，再根据ASA证明△ADE≌△FEC，得CF＝AD＝8、∠DAE＝∠F，然后结合角平分线的定义得∠BAE＝∠F，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：如图，延长AE、BC交于点F， ∵E是DC的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FEC中， ∴△ADE≌△FEC（ASA）， ∴CF＝AD＝8，∠DAE＝∠F， ∵AD＝4BC＝8 ∴BC=2 ∴BF=BC+CF=2+8=10 ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠F＝∠BAE， ∴AB＝BF， ∴BF＝AB＝10， 故填10． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分52分） 19．（6分）（25-26七年级下·吉林松原·期末）解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 【分析】（1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1求解不等式，并在数轴上表示即可． （2）先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可． 本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 不等式的解集在数轴上为： （2）解：， 解不等式①得 解不等式②得， 故不等式组的解集为． 在数轴上表示为： 20．（6分）（25-26七年级下·吉林·月考）如图，E点为上的点，B为上的点，，．试说明：． 解：（已知）， （___________①___________）， （等量代换）． ___________②___________（同位角相等，两直线平行）． （___________③___________）． 又（已知）， （___________④___________）． （___________⑤___________）． 【答案】①对顶角相等；②；③两直线平行，同位角相等；④等量代换；⑤内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行的性质和平行的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据平行的性质和判定进行解答即可． 【详解】解：（已知）， （对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 21．（6分）（25-26六年级上·上海·月考）已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，正确理解的意义是解题的关键． （1）根据符号表示大于或等于的最小正整数求解即可； （2）以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），结合的意义列式即可； （3）把代入求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：表示大于或等于的最小正整数， ，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，当（单位：千米）时，， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 得， 故， 即， 故该乘客所行的路程的取值范围：． 22．（6分）（25-26八年级上·浙江·期末）如图，在中，和的平分线，相交于点． (1)若，则的度数为　　　． (2)若，求（用含的代数式表示）． 【答案】(1)110 (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和得出的值，再根据角平分线的定义易得出的值，然后再根据三角形内角和即可得出答案； （2）根据三角形内角和得出的值，再根据角平分线的定义易得出的值，然后再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ， 故答案为：； （2）解： ， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ． 23．（6分）（25-26七年级下·江西上饶·月考）如图，与交于点． (1)求证：． (2)若与垂直，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，根据平行线内错角相等，得；结合已知，推得，根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可证明； （2）设与的交点为，过点作，由得；根据，可得，再根据进行计算，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ∴； （2）解：如图，设与的交点为，过点作， ， ， ， 与垂直， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题核心是平行线的性质与判定，第1问通过角的转化证平行，第2问通过作辅助线，将角度问题转化为平行线的同旁内角计算，关键是辅助线构造与角度转化． 24．（6分）（25-26八年级上·山西吕梁·月考）如图，在笔直的高速公路旁边有A，B两个村庄，A村庄到公路的距离村庄到公路的距离，现要在之间建一个服务区E，使得A，B两村庄到服务区E的距离相等． (1)若，试说明：； (2)若C，D两点间的距离为，求C，E两点间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定，以及勾股定理的应用，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）先根据余角的性质证明，然后根据可证； （2）设，则，根据，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ 又∵ ∴ 在在中： ∴ （2）解：设，则 在中，，即：， 在中，，即  ， 又∵， ∴   解得 即C，E两点间的距离. 25．（8分）（25-26八年级上·广西钦州·期中）为测量公园里古塔底座，两点间的距离（其中，两点均在地面上），数学兴趣小组利用本学期所学的数学知识，分别设计出了如下两种方案： 方案一：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可得线段的长． 方案二：如图2，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，最后测量的长，即可得线段的长．解答下列问题： (1)请用所学知识证明以上两种方案的合理性； (2)如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)我会选择方案一，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题的关键． （1）方案一：通过构造两边及其夹角对应相等的两个三角形证明，从而得到；方案二：通过构造两角及其夹边对应相等的两个三角形证明，从而得到； （2）对比两种方案的工具与操作难度，选择工具更简单、操作更方便的方案一即可． 【详解】（1）证明：方案一： 在与中， ， ∴， ∴； 方案二： ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2） 解：我会选择方案一，理由如下：方案一仅需使用刻度尺测量长度，工具简单、操作便捷；而方案二除刻度尺外，还需使用测角仪测量角度，工具和操作相对复杂． 26．（8分）（25-26七年级下·浙江·期中）如图1，E点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于H点，若比大，请直接写出的度数． (3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分 平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的度数不变，理由见解析 【分析】（1）先根据同角的补角相等得再根据“内错角相等，两直线平行”得，然后根据平行线的性质说明，最后根据“同旁内角互补，两直线平行”得出答案； （2）作，根据平行线的性质得,再结合角平分线的定义和平行线的性质说明，然后推导出，接下来设 ，再结合题意可得最后联立求出答案即可； （3）作设直线和直线相交于点G，先根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质得，然后由（2）可知，即可得出，接下来根据平行线的性质得，最后根据 得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：作， ∵， ∴， ∴, ∴平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 设 ． ∵比大， ∴ ∴， 解得， 所以的度数是； （3）解：的度数不变，理由如下： 如图，过点E作设直线和直线相交于点G， ∵平分，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 由（2）可知， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期第三次学情自测·培优卷 【新教材沪教版五四制】 时间：90分钟 满分：100分 测试范围：第15章 一元一次不等式~第17章 三角形 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共26题，单选6题，填空12题，解答8题，满分100分，限时90分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）已知某三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河北邢台·月考）如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，，，分别是，，的中线，若，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 5．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．1 6．（25-26七年级下·江苏·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26八年级上·陕西渭南·月考）若关于的一元一次不等式的解集为，则的取值范围是________． 8．（25-26八年级上·新疆阿克苏·期中）木工师傅做完门框后，为防止变形，通常在角上钉一斜条，他的根据是___________． 9．（25-26七年级下·江苏·期中）如图，将绕点旋转至的位置，点在边上，与交于点．若，则_______． 10．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知关于x的不等式组有解、则a的取值范围是______． 11．（25-26八年级上·广西钦州·期中）如图，已知，若用“”证明，还需要加上条件是_____． 12．（25-26八年级上·湖南·期末）如图，边延长线上有一点，平分的外角，，，则的度数是_______ 度． 13．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，，，和相交于点，则图中全等三角形共有_____对． 14．（2026·四川南充·一模）定义一种新运算：，则关于x的不等式组的负整数解共有__________个． 15．（25-26八年级上·浙江金华·期末）小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点位置，然后固定木条，摆出．把木条转动一定角度后，点刚好落在直线上的处．此实验得到的结论是：_____的两个三角形不一定全等． 16．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 17．（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）2026年春晚<<武>>机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，则______度． 18．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形ABCD中，E是DC的中点，连接AE，AE平分∠DAB，∠D＝∠C＝90°，AD＝4BC＝8，则线段AB的长为__． 三、解答题（本大题共8小题，满分52分） 19．（6分）（25-26七年级下·吉林松原·期末）解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 20．（6分）（25-26七年级下·吉林·月考）如图，E点为上的点，B为上的点，，．试说明：． 解：（已知）， （___________①___________）， （等量代换）． ___________②___________（同位角相等，两直线平行）． （___________③___________）． 又（已知）， （___________④___________）． （___________⑤___________）． 21．（6分）（25-26六年级上·上海·月考）已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 22．（6分）（25-26八年级上·浙江·期末）如图，在中，和的平分线，相交于点． (1)若，则的度数为　　　． (2)若，求（用含的代数式表示）． 23．（6分）（25-26七年级下·江西上饶·月考）如图，与交于点． (1)求证：． (2)若与垂直，，求的度数． 24．（6分）（25-26八年级上·山西吕梁·月考）如图，在笔直的高速公路旁边有A，B两个村庄，A村庄到公路的距离村庄到公路的距离，现要在之间建一个服务区E，使得A，B两村庄到服务区E的距离相等． (1)若，试说明：； (2)若C，D两点间的距离为，求C，E两点间的距离． 25．（8分）（25-26八年级上·广西钦州·期中）为测量公园里古塔底座，两点间的距离（其中，两点均在地面上），数学兴趣小组利用本学期所学的数学知识，分别设计出了如下两种方案： 方案一：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可得线段的长． 方案二：如图2，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，最后测量的长，即可得线段的长．解答下列问题： (1)请用所学知识证明以上两种方案的合理性； (2)如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由． 26．（8分）（25-26七年级下·浙江·期中）如图1，E点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于H点，若比大，请直接写出的度数． (3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分 平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $