高二数学下学期第三次月考02（苏教版，范围：选择性必修第二册全部，举一反三）

2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷02 参考答案与试题解析 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知向量，，且，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【解题思路】利用向量的数量积公式计算可得答案. 【解答过程】由于，则， 所以， 解得. 故选：A. 2．（5分）已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（    ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.2 【答案】C 【解题思路】由得出对应的正态密度函数的对称轴，利用正态分布的性质与对称性求解即可. 【解答过程】根据题意，，则正态密度函数关于对称，即， 则. 故选：C. 3．（5分）若的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则该展开式中的常数项为（    ） A． B．45 C． D．90 【答案】B 【解题思路】根据二项式系数和求出n的值，即可求出展开式的通项公式，继而可求得展开式中的常数项. 【解答过程】由题意可知的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，故，则， 则展开式的通项公式为， 令，则，则该展开式中的常数项为. 故选：B. 4．（5分）某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ） 参考公式：， A． B．由散点图知变量和负相关 C．相关系数r的绝对值|r|越接近0，表示x，y的线性相关程度越强 D．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 【答案】A 【解题思路】选项A：通过直接计算样本均值验证正确；选项B：观察数据可知数据呈现正相关趋势；选项C：根据相关系数接近1表示强相关，接近0表示弱相关判定；选项D：正确回归方程需根据公式计算，从而做出判定. 【解答过程】对于选项A：计算样本均值：，，故选项A正确； 对于选项B：观察数据：当从1增加到7时，从2增加到9，整体呈递增趋势，表明和正相关，而非负相关，故选项B错误； 对于选项C：相关系数的绝对值越接近1，表示线性相关程度越强；越接近0，表示线性相关程度越弱.选项C的描述恰好相反，故选项C错误； 对于选项D：，，正确回归方程为 ，而选项D给出的方程为，不匹配，故选项D错误. 故选： A. 5．（5分）宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦、”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情.如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“▂”为阳爻，“▂ ▂”为阴爻.现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中至少有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设有1卦没有阳爻.设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件，“另一卦至少有两个阳爻”为事件，然后根据古典概型和条件概率定义求解即可． 【解答过程】由八卦图可知，八卦中有1卦有三个阳爻，有3卦恰有一个阳爻，有3卦恰有两个阳爻，有1卦没有阳爻．设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件，“另一卦至少有两个阳爻”为事件． 因为，，所以， 故选：D. 6．（5分）将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（   ） A．480种 B．1560种 C．2640种 D．640种 【答案】B 【解题思路】首先计算分组方法，再按照分组分配的方法，列式求解. 【解答过程】首先将6名志愿者分成1，1，1，3，或1，1，2，2两种分组形式， 1，1，1，3的分组包含种情况， 1，1，2，2的分组包含种情况， 这样分组后再分配到4个不同社区共有种方法. 故选：B. 7．（5分）北京冬奥会的举办掀起了一阵冰雪运动的热潮.某高校在本校学生中对“喜欢滑冰是否与性别有关”做了一次调查，参与调查的学生中，男生人数是女生人数的3倍，有的男生喜欢滑冰，有的女生喜欢滑冰.若根据独立性检验的方法，有95%的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，则参与调查的男生人数可能为（    ） 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 A．12 B．34 C．36 D．48 【答案】C 【解题思路】设男生人数为，则女生人数为，且,写出列联表并根据卡方计算公式，结合题意确定卡方值的范围，即可确定的取值范围，进而确定男生可能人数. 【解答过程】设男生人数为，则女生人数为，且, 可得列联表如下： 男生 女生 合计 喜欢滑冰 不喜欢滑冰 合计 则， 由有的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，得，解得， 由可得，所以参与调查的男生人数为. 故选：C. 8．（5分）如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得的长及最小值，求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求解二面角的平面角的余弦值即可. 【解答过程】由题意两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直. 可得， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 在平面上，直线方程为，可设， 在平面上直线方程为，设，因此得， 由得， 则，所以， 当且仅当时，取得最小值，此时分别是的中点， ，，，，， 设平面的一个法向量， 则，取得， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 所以，由图可知，二面角的平面角为钝角. 所以二面角的平面角的余弦值为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示： 价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（    ） A． B．变量x，y线性负相关且相关性较强 C．相应于点的残差约为 D．当时，y的估计值为14.4 【答案】BD 【解题思路】A选项，计算出样本中心点，代入回归直线方程得；B选项，随着的增大而减小，又，B正确；C选项，当时，，从而计算出残差约为0.4；D选项，代入，得到答案. 【解答过程】A选项，，， 将代入回归直线方程得，，解得，A错误； B选项，从表可以看出，随着的增大而减小，又，接近于1， 所以变量x，y线性负相关且相关性较强，B正确； C选项，回归直线方程为，当时，， ，故相应于点的残差约为0.4，C错误； D选项，当时，y的估计值为，D正确. 故选：BD. 10．（6分）暑假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式：骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁，概率分别为；又知道他骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为，下列说法正确的是（    ） A．甲同学今天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件 B．甲同学今天早上乘公交车出行与乘地铁出行相互独立 C．甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于 D．若甲同学今天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率为 【答案】ACD 【解题思路】对A，根据互斥事件的定义判断；对B，根据相互独立事件的定义判断；对C，由全概率公式求解判断；对D，由条件概率的计算公式求解判断. 【解答过程】设“甲同学今天早上骑共享自行车出行”为事件A1，“甲同学今天早上乘公交车出行”为事件A2， “甲同学今天早上乘地铁出行”为事件，“甲同学到达图书馆能立即找到空座位”的事件为B． 对于A，A1与A2不能同时发生，故A正确； 对于B，因为，，但，故，故B错误； 对于C，由，，，，，， 由全概率公式得： ．故C正确； 对于D，由题意可知所求概率为；故D正确． 故选：ACD． 11．（6分）如图，在底面为平行四边形的直四棱柱中，，，M，N分别为棱，的中点，则（   ）    A． B．与平面所成角的余弦值为 C．三棱柱的外接球的表面积为 D．点到平面的距离为 【答案】AC 【解题思路】根据线线的关系可判断A；建立空间直角坐标系，利用向量法可求与平面所成角的余弦值，判断B；求出三棱柱的外接球的半径，即可求出外接球表面积，判断C；利用向量法求点到平面的距离，判断D. 【解答过程】对于A，连接，因为， 所以为等边三角形，则，而， 所以，故A正确； 以为原点，在平面内过点D作的垂线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， 对于B，平面的一个法向量为， ，设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的余弦值为，故B错误； 对于C，由题意知为等边三角形， 的外接圆半径， 三棱柱的外接球半径 ， 所以三棱柱的外接球的表面积为，故C正确； 对于D，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 则， 点到平面的距离，故D错误． 故选：AC． 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知，则__________． 【答案】 【解题思路】应用赋值法求得、，即可求值. 【解答过程】令，则， 令，则， 所以. 故答案为：. 13．（5分）如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为X，则___________. 【答案】0 【解题思路】确定的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式计算. 【解答过程】因为质点从出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动次，所以质点最终所在位置的坐标的可能取值为，，，. 表示质点次都向左移动，每次向左移动的概率为，由于每次移动是相互独立事件，根据独立事件同时发生的概率公式可得. 表示质点次移动中有次向左移动，次向右移动，从次移动中选次向左移动的组合数为，每次向左移动的概率为，每次向右移动的概率也为， 所以. 表示质点次移动中有次向右移动，次向左移动，从次移动中选次向右移动的组合数为每次向右移动的概率为，每次向左移动的概率为， 所以. 表示质点次都向右移动，每次向右移动的概率为，所以. 所以 故答案为：. 14．（5分）如图所示，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，点在棱上，且，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，由距离公式求解即可. 【解答过程】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面的法向量为，则 令，则. 点到平面的距离. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设.    (1)用表示，并求； (2)求． 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）根据题意，利用空间向量的线性运算法则，得到，再由向量数量积的运算公式和模的计算公式，求得的值； （2）根据题意，求得，利用数量积的计算公式，求得，进而求得的值. 【解答过程】（1）解：因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 . （2）解：因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以. 16．（15分）为了解某种中成药的疗效，某研究员统计了患者服药后血液中药物浓度（单位：）与测试次数（单位：次，每次测试间隔时长相等）的对应数据如下表： 测试次数（单位：次） 1 2 3 4 5 药物浓度（单位：） 120 105 90 80 55 (1)计算样本相关系数（保留三位有效数字），判断它们是否具有较强的线性相关性. (2)求关于的经验回归方程，并预测第6次测试血液中的药物浓度. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；样本相关系数. 参考数据：，，. 【答案】(1)，具有较强的线性相关性. (2)， 【解题思路】（1）由题，计算，由相关系数的公式运算判断； （2）根据题意，求出，得到回归直线方程，得解. 【解答过程】（1）由题，可得，， ， 所以样本相关系数， 因为样本相关系数的绝对值接近1，所以它们具有较强的线性相关性. （2）由（1）中的数据可得， ， 所以关于的经验回归方程为， 所以当时，. 所以预测第6次测试血液中的药物浓度为. 17．（15分中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程. (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 【答案】(1)504 (2)360 (3)1140种 【解题思路】（1）利用间接法计算可得； （2）首先确定甲和乙的不同课程、相同的课程，最后再确定丙的课程，按照分步乘法计数原理计算可得； （3）分只任教1科和任教2科两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得. 【解答过程】（1）依题得，共有种； （2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲，乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. （3）①当只任教1科时：先排任教科目，有种； 再从剩下5科中排的任教科目，有种； 接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种； 所以当只任教1科时，共有种； ②当任教2科时：先选任教的2科有种， 这样6科分为4组共有种， 所以当任教2科时，共有种， 综上课程安排方案有1140种. 18．（17分）有50杯无色透明的液体，其中有48杯清水与2杯盐水，某学习小组想要快速找出这2杯盐水，他们设计了如下方案：将这50杯液体随机分成10组，每组5杯，将同组内的所有液体取样混合，第一轮对每组的混合样本依次进行检测，第二轮对检测出盐水的组内每杯液体依次进行检测． (1)若第一轮10份混合样本中有2份含盐水，求检测10次才把含盐水的混合样本都检测到的概率； (2)若每轮检测即使提前确定盐水的位置也将该轮检测进行完，设检测的总次数为，求的分布列和数学期望； (3)在（2）的条件下，若将这50杯液体改为随机分成5组，每组10杯，采用相同的检测方法，设检测的总次数为，试判断与的大小． 【答案】(1) (2)分布列见解析； (3) 【解题思路】（1）说明检测10次才把含盐水的混合样本都检测到的情况，利用排列组合和古典概型的计算公式求解即可； （2）依题意，第一轮需检测10次，若2杯盐水在同一组内，则第二轮需检测5次，若2杯盐水在不同组内，则第二轮需检测10次，由此可得的可能取值，依次算出的每个可能取值所对应的概率，即可得的分布列，再由公式计算数学期望； （3）根据（2）的方法计算出的分布列和数学期望，进行比较即可. 【解答过程】（1）依题意，检测10次才把含盐水的混合样本都检测到，意味着前9次检测出1份含盐水样本和8份清水样本，第10次检测出剩下的1份含盐水样本， 从2份含盐水样本中选1份含盐水样本，组合数为， 从8份清水样本中选8份清水样本，组合数为， 前9次检测的排列数为，总的10次检测的排列数为， 根据古典概型概率计算公式，检测10次才把含盐水的混合样本都检测到的概率为：. （2）依题意，的可能取值为， ， ， 得的分布列为： 15 20 得的数学期望. （3）依题意，的可能取值为， ， ， 得的分布列为： 15 25 得的数学期望. . 19．（17分）如图，已知菱形和等边三角形有公共边，点B在线段上，与交于点O，将沿着翻折成，得到四棱锥，． (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． (3)求直线与平面夹角正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）由题知，翻折后，根据面面垂直的判定即可证明； （2）以为原点建立空间直角系，根据平面法向量的求解方式，分别求出两平面的法向量，即可得到两平面夹角的余弦值； （3）由题知在平面上且，可设，求出平面的一个法向量，计算出直线与平面夹角正弦值，根据函数的性质可求最值. 【解答过程】（1）证明：连接BD，由菱形和等边三角形有公共边，可知， 且，，即， 则四边形为菱形， 所以，故翻折后， 因为，且都在平面内， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）由（1）知平面，平面， 则平面平面， 如图，在平面中过点作， 又平面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为，所以为等边三角形，， 则，，，， 设平面与平面夹角为， 法向量分别为，， 则，取得； ，取得， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为． （3）由（2）知在平面上且， 可设， 则，，， 设平面法向量为， 则， 取得， 设与平面夹角为， 则， 令，则 ， 当且仅当，即时成立， 所以直线与平面夹角正弦值的最大值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷02 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版选择性必修第二册全部； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知向量，，且，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．3 2．（5分）已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（    ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.2 3．（5分）若的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则该展开式中的常数项为（    ） A． B．45 C． D．90 4．（5分）某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ） 参考公式：， A． B．由散点图知变量和负相关 C．相关系数r的绝对值|r|越接近0，表示x，y的线性相关程度越强 D．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 5．（5分）宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦、”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情.如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“▂”为阳爻，“▂ ▂”为阴爻.现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中至少有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（  ） A． B． C． D． 6．（5分）将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（   ） A．480种 B．1560种 C．2640种 D．640种 7．（5分）北京冬奥会的举办掀起了一阵冰雪运动的热潮.某高校在本校学生中对“喜欢滑冰是否与性别有关”做了一次调查，参与调查的学生中，男生人数是女生人数的3倍，有的男生喜欢滑冰，有的女生喜欢滑冰.若根据独立性检验的方法，有95%的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，则参与调查的男生人数可能为（    ） 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 A．12 B．34 C．36 D．48 8．（5分）如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示： 价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（    ） A． B．变量x，y线性负相关且相关性较强 C．相应于点的残差约为 D．当时，y的估计值为14.4 10．（6分）暑假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式：骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁，概率分别为；又知道他骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为，下列说法正确的是（    ） A．甲同学今天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件 B．甲同学今天早上乘公交车出行与乘地铁出行相互独立 C．甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于 D．若甲同学今天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率为 11．（6分）如图，在底面为平行四边形的直四棱柱中，，，M，N分别为棱，的中点，则（   ）    A． B．与平面所成角的余弦值为 C．三棱柱的外接球的表面积为 D．点到平面的距离为 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知，则__________． 13．（5分）如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为X，则___________. 14．（5分）如图所示，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，点在棱上，且，则点到平面的距离为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设.    (1)用表示，并求； (2)求． 16．（15分）为了解某种中成药的疗效，某研究员统计了患者服药后血液中药物浓度（单位：）与测试次数（单位：次，每次测试间隔时长相等）的对应数据如下表： 测试次数（单位：次） 1 2 3 4 5 药物浓度（单位：） 120 105 90 80 55 (1)计算样本相关系数（保留三位有效数字），判断它们是否具有较强的线性相关性. (2)求关于的经验回归方程，并预测第6次测试血液中的药物浓度. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；样本相关系数. 参考数据：，，. 17．（15分中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程. (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 18．（17分）有50杯无色透明的液体，其中有48杯清水与2杯盐水，某学习小组想要快速找出这2杯盐水，他们设计了如下方案：将这50杯液体随机分成10组，每组5杯，将同组内的所有液体取样混合，第一轮对每组的混合样本依次进行检测，第二轮对检测出盐水的组内每杯液体依次进行检测． (1)若第一轮10份混合样本中有2份含盐水，求检测10次才把含盐水的混合样本都检测到的概率； (2)若每轮检测即使提前确定盐水的位置也将该轮检测进行完，设检测的总次数为，求的分布列和数学期望； (3)在（2）的条件下，若将这50杯液体改为随机分成5组，每组10杯，采用相同的检测方法，设检测的总次数为，试判断与的大小． 19．（17分）如图，已知菱形和等边三角形有公共边，点B在线段上，与交于点O，将沿着翻折成，得到四棱锥，． (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． (3)求直线与平面夹角正弦值的最大值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $