高二数学下学期第三次月考01（苏教版，范围：选择性必修第二册全部，举一反三）

2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷01 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版选择性必修第二册全部； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）的展开式中含的系数是（   ） A．7 B． C． D． 2．（5分）若随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（5分）设，且，则（    ） A．2 B． C．3 D．3 4．（5分）对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（5分）甲、乙、丙、丁、戊、己站成一排，其中甲、乙必须相邻，丁不能站在两端，则不同站法的种数为（   ） A．128 B．144 C．160 D．210 6．（5分）健康的饮食和科学的运动能够有效减少低密度脂蛋白浓度．为了调查某地青年人的低密度脂蛋白浓度是否与肥胖有关，随机调查该地100名青年人，得到列联表如下： 肥胖 不肥胖 总计 低密度脂蛋白不高于 10 65 75 低密度脂蛋白高于 10 15 25 总计 20 80 100 附：，其中. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 由此得出的正确结论是（   ） A．在犯错误概率不超过的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关” B．在犯错误概率不超过的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关” C．肥胖的青年人中低密度脂蛋白高于的百分比为 D．低密度脂蛋白高于的青年人中肥胖的百分比为 7．（5分）某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）在三棱锥中，平面平面是的中点.，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）已知，则（   ） A． B． C． D． 10．（6分）甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出两球，记表示事件“甲罐取出的球是红球”，记表示事件“乙罐取出的球恰有一个红球”，则（   ） A． B． C． D． 11．（6分）如图，菱形的边长为2，，为边的中点，将沿DE折起，折叠后点的对应点为，使得平面平面，连接，，则下列说法正确的是（   ）    A． B．与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．二面角的余弦值为 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）向量且，则实数 ___________. 13．（5分）甲、乙、丙三名老师和A、B、C、D、E五名学生到三个不同的社团进行数学活动，每个社团必须有一名老师、至少安排一名学生，且A、B两名学生在同一社团，D、E两名学生不在同一社团，则不同的安排方法有________种. 14．（5分）一个不透明的袋子中装有3个黑球，个白球（），这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设为取出白球的个数，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）为了了解高中学生语文成绩与数学成绩之间的联系，从某校抽取了200名学生的成绩样本，进行了统计，得到如下的列联表． 语文成绩 数学成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 50 40 不优秀 合计 75 200 (1)请将上面的列联表补充完整； (2)是否有的把握认为语文成绩与数学成绩有关？ 附：． 0.15 0.10 0.05 0.025 2.072 2.706 3.841 5.024 16．（15分）有2名男生和3名女生，按下列要求各有多少种排法或选法，依题意列式并用数字作答： (1)若选出3人当主持人，要求至少有1名男生，则有多少种不同的选法； (2)若2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法； (3)若2名男同学中间必须有1人，共有多少种不同的排法. 17．（15分）人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验．经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束；若试验未结束，则将摸到的球放回原袋，每次试验相互独立． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）求选到的袋子为乙袋，且第二次试验就结束的概率． 18．（17分）某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． (1)游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为元，求； (2)游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为元，求的分布列； (3)试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 19．（17分）如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷01 参考答案与试题解析 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）的展开式中含的系数是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用二项式展开式的通项公式即可求得结果. 【解答过程】的展开式中的第项． 令，则，所以的系数为7． 故选：A． 2．（5分）若随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意结合正态分布的对称性可得答案. 【解答过程】因为随机变量服从正态分布，即， 所以 . 故选：B. 3．（5分）设，且，则（    ） A．2 B． C．3 D．3 【答案】D 【解题思路】利用空间向量垂直、平行的坐标表示求出参数，再利用向量运算及模的坐标表示求解. 【解答过程】向量，由，得，解得， 由，得，解得，则，， 所以. 故选：D. 4．（5分）对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据散点图和相关系数的概念和性质辨析即可. 【解答过程】由散点图可知，相关系数所在散点图呈负相关，所在散点图呈正相关， 所以都为正数，都为负数. 所在散点图近似一条直线上，线性相关性比较强，相关系数的绝对值越接近1， 而所在散点图比较分散，线性相关性比较弱，相关系数的绝对值越远离1. 综上可得：. 故选：A. 5．（5分）甲、乙、丙、丁、戊、己站成一排，其中甲、乙必须相邻，丁不能站在两端，则不同站法的种数为（   ） A．128 B．144 C．160 D．210 【答案】B 【解题思路】根据捆绑法、间接法求解即可. 【解答过程】先甲、乙相邻，有种不同排法， 其中丁站两端的站法有种， 故甲、乙必须相邻，丁不能站在两端的站法有种， 故选：B. 6．（5分）健康的饮食和科学的运动能够有效减少低密度脂蛋白浓度．为了调查某地青年人的低密度脂蛋白浓度是否与肥胖有关，随机调查该地100名青年人，得到列联表如下： 肥胖 不肥胖 总计 低密度脂蛋白不高于 10 65 75 低密度脂蛋白高于 10 15 25 总计 20 80 100 附：，其中. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 由此得出的正确结论是（   ） A．在犯错误概率不超过的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关” B．在犯错误概率不超过的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关” C．肥胖的青年人中低密度脂蛋白高于的百分比为 D．低密度脂蛋白高于的青年人中肥胖的百分比为 【答案】A 【解题思路】先计算出卡方的值，和比较，根据独立性检验的理论，即可判断A和B；计算出肥胖的青年人中低密度脂蛋白高于的百分比，即可判断C；计算出低密度脂蛋白高于的青年人中肥胖的百分比，即可判断D. 【解答过程】因为， 这意味着在犯错误概率不超过的前提下， 认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”，故A正确，B错误； 肥胖的青年人中低密度脂蛋白高于的百分比为，故C错误； 低密度脂蛋白高于的青年人中肥胖的百分比为，故D错误. 故选：A. 7．（5分）某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据全概率公式，以及条件概率公式即可求解. 【解答过程】设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示， 则. 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 所以. 故选:B. 8．（5分）在三棱锥中，平面平面是的中点.，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先证明平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【解答过程】平面平面，且 为交线，，平面， 平面， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.    因为，在Rt中，， 所以，. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 设二面角的平面角为， 则. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】由二项式定理，结合赋值法求二项式展开式系数和即可. 【解答过程】令，得①，故A错误； 令，得②， ①+②得，，解得，故B正确； ①②得，，解得，故C错误； 对等式两边同时求导，得， 令，得，故D正确. 故选：BD. 10．（6分）甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出两球，记表示事件“甲罐取出的球是红球”，记表示事件“乙罐取出的球恰有一个红球”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】根据古典概型的计算公式，结合条件概率的计算公式，全概率公式直接计算出结果逐一判断即可. 【解答过程】A选项，由条件概率知：，选项错误； B选项，由条件概率知：，B选项正确； C选项，，由全概率公式知：，C选项正确； D选项，由条件概率知：， 又，选项正确. 故选：BCD. 11．（6分）如图，菱形的边长为2，，为边的中点，将沿DE折起，折叠后点的对应点为，使得平面平面，连接，，则下列说法正确的是（   ）    A． B．与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．二面角的余弦值为 【答案】BC 【解题思路】先根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，利用向量的数量积、向量夹角的余弦公式逐项计算异面直线是否垂直、线面角、异面直线的夹角的余弦值以及二面角的余弦值. 【解答过程】因为，，所以， 所以，将沿DE折起，折叠后点的对应点为， 所以，又平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面， 所以，所以两两垂直， 所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 所以. 所以，所以， 所以不垂直，A错误； ，所以与所成角的余弦值为 ,B正确； 因为，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以. 而，所以直线与平面所成角的正弦值为 ，C正确； 因为，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 所以，所以二面角的余弦值的绝对值为 ，D错误. 故选：BC. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）向量且，则实数 ___________. 【答案】 【解题思路】利用向量的坐标运算，再结合向量平行列式计算，即可求解. 【解答过程】，， 因为，所以， 即， 有， 故实数 . 故答案为：. 13．（5分）甲、乙、丙三名老师和A、B、C、D、E五名学生到三个不同的社团进行数学活动，每个社团必须有一名老师、至少安排一名学生，且A、B两名学生在同一社团，D、E两名学生不在同一社团，则不同的安排方法有________种. 【答案】180 【解题思路】按照分步乘法计数原理，先安排老师，后安排学生，计算各自的情况数并相乘可得结果. 【解答过程】先安排老师，甲、乙、丙三名老师到三个不同社团，安排方法有种； 再安排学生，学生的分组情况有3，1，1和2，2，1两种， 安排方法共有种，所以总的安排方法有种. 故答案为：180. 14．（5分）一个不透明的袋子中装有3个黑球，个白球（），这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设为取出白球的个数，则___________. 【答案】 【解题思路】根据取出2个黑球，1个白球的概率为求出n的值，再求出X的分布列，根据数学期望的定义即可计算. 【解答过程】由题可知，，即，解得， 则X的可能取值为， ，， ，， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）为了了解高中学生语文成绩与数学成绩之间的联系，从某校抽取了200名学生的成绩样本，进行了统计，得到如下的列联表． 语文成绩 数学成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 50 40 不优秀 合计 75 200 (1)请将上面的列联表补充完整； (2)是否有的把握认为语文成绩与数学成绩有关？ 附：． 0.15 0.10 0.05 0.025 2.072 2.706 3.841 5.024 【答案】(1)列联表见解析 (2)有的把握认为与数学成绩有关 【解题思路】（1）根据已知数据补全列联表； （2）计算与临界值比较进而判断相关性. 【解答过程】（1）根据题意可得如下列联表． 语文成绩 数学成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 50 40 90 不优秀 75 35 110 合计 125 75 200 （2）由列联表可得 ， 所以有的把握认为与数学成绩有关． 16．（15分）有2名男生和3名女生，按下列要求各有多少种排法或选法，依题意列式并用数字作答： (1)若选出3人当主持人，要求至少有1名男生，则有多少种不同的选法； (2)若2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法； (3)若2名男同学中间必须有1人，共有多少种不同的排法. 【答案】(1)9 (2)72 (3)36 【解题思路】（1）首先求都是女生的选法，再利用间接法，即可求解； （2）利用插空法，即可求解； （3）首先先选2名男生中间的一人，再排列2名男生，再看成一个元素，和剩下的2名女生全排列，即可求解. 【解答过程】（1）选出3人当主持人有种情况，选出3人当主持人没有男生有种情况， 则至少有1名男生有种选法； （2）2名男同学不相邻，先排3个女生种排法，有4个空排2名男生， 则2名男同学不相邻共有种排法； （3）2名男同学中间必须有1人，先选1名女生在2名男同学中间种排法，再排捆绑后的整体和其他人， 则2名男同学中间必须有1人共有种排法. 17．（15分）人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验．经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束；若试验未结束，则将摸到的球放回原袋，每次试验相互独立． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）求选到的袋子为乙袋，且第二次试验就结束的概率． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【解题思路】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，结合，即可求解； （2）（i）因为是对立事件，得到，结合条件概率的计算公式，即可求解； （ii）由（i）得到，第次独立试验结束的概率为，结合条件的概率的计算公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件． 则， 所以试验一次结果为红球的概率为. （2）解：（i）因为是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为. （ii）由（i）得， 设为第次独立试验结束的概率，则， 所以设题设概率为，则. 18．（17分）某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． (1)游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为元，求； (2)游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为元，求的分布列； (3)试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)游客选择网上购票更划算 【解题思路】（1）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算即可； （2）利用排列组合和古典概型的概率公式求分布列； （3）先求出的分布列，再计算两个随机变量的期望，比大小即可. 【解答过程】（1），即两次都抽到20元的红包，或1次抽到10元的红包，1次抽到20元的红包，每次抽到任意红包的概率均为， 所以． （2）由题意得的可能取值为0，10，20，30，40，50，60， ， ， ，， 所以的分布列为： 0 10 20 30 40 50 60 （3）通过景点购票，由（2）得， 的可能取值为0，10，20，30，40， ， ， ， 所以， 故， 所以游客选择网上购票更划算. 19．（17分）如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3)存在，. 【解题思路】（1）取中点，连接、，可得四边形为平行四边形，所以，再根据线面平行的判定定理，即可证明； （2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，先求得平面和平面的法向量，再结合面面角的向量求法，即可求解； （3）假设存在点，且，根据空间点到面的距离的向量求法，列出方程，求解即可. 【解答过程】（1）取中点，连接、， 又是的中点，所以，且， 又，，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面，平面， 所以，， 又，所以以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，，， 令平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 令平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 设平面与平面所成角为 ， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为； （3）设且，则，由（2）可得，，，， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 又，点到平面的距离为， 所以，即，解得， 所以在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $