精品解析：安徽蚌埠市龙子湖区蚌埠第九中学2025-2026学年八年级数学下阶段性测试试卷

蚌埠九中2025-2026学年八年级数学下阶段性测试试卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足以下两个条件：一是被开方数不含分母；二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式必须满足的两个条件逐项判断即可． 【详解】解：A．不是最简二次根式，故A不符合题意； B．不是最简二次根式，故B不符合题意； C．不是最简二次根式，故C不符合题意； D．是最简二次根式，故D符合题意． 故选：D． 2. 把方程化成的形式，则a、b、c的一组值是（ ） A. B. C. D. 2、1、1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先把方程左边去括号，然后把常数项移到方程左边即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加减法法则、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．根据二次根式的加减法法则、乘法法则、二次根式的除法法则进行判断． 【详解】解：A．与不能合并，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 4. 一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则第三边的长为（ ）． A. 10 B. C. D. 10或 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】∵一直角三角形的两直角边长分别为6和8， ∴第三边的长为， 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 5. 化简，结果是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式因式分解、二次根式的化简、二次根式有意义的条件等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 根据完全平方公式因式分解，再利用二次根式的性质化简解题即可． 【详解】解：由题意得， ∴ ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 6. 设，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2036 B. 2035 C. 2034 D. 2033 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的定义，代数求值，解题的关键是掌握根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据根的定义得出，然后代数求值即可． 【详解】解：根据题意得，， ∵，是方程的两个实数根， ∴ ∴， 故选：B． 7. 某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设1人每次都能教会x名同学，根据两次教会全班36人，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设1人每次都能教会x名同学， 根据题意得：． 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出，再由三角形的面积即可计算出答案． 【详解】解：， ， 在边上的高为， 故选B． 9. 如果，那么下面各式：其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式的有意义的条件及乘除法则进行化简再进行一一判断得出答案． 【详解】解：∵a+b＜0，ab＞0， ∴a，b同为负数， ∴无意义，故①错误； ，故②正确； ，故③正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除及有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 10. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售限价以及实数确定实际销售价格，这里被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数恰好使得，据此可得，最佳乐观系数的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题设条件，由，得到，整理后得到关于最佳乐观系数的方程，求解即可．解题的关键是正解理解题意并掌握一元二次方程的解法． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴． 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______________ ． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：若在实数范围内有意义， 则且， 解得：且， 故答案为：且． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 13. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，长为半径画弧交最上方的网格线于点D，若点A的坐标为，则点D的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，求出的长是解题的关键． 连接，则，在中，利用勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意知：， 在 中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 14. 如图，中，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，连接． （1）__________； （2）若，，则______． 【答案】 ①. 45 ②. 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理，运用数形结合的思想解决问题，是解答本题的关键． （1）由翻折的性质可知，，．再根据，即可求出； （2）利用勾股定理可求出．利用三角形的面积公式可求出，从而由（1）结论可得出．再利用勾股定理可求出，最后根据，即可求出的长． 【详解】（1）∵边沿翻折，点A落在上的点处， ∴，即． 由翻折可知，， 又∵，即， ∴，即， 故答案为：45； （2）在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， 根据折叠可知，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共90分．其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分． 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，掌握相关运算法则和公式是解题的关键． （1）先化简各项，再合并即可； （2）先用完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式 16. 解方程： （1）(配方法) （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法和灵活选用解题方法是解题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得：； 【小问2详解】 去括号整理得：， 移项合并得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：． 17. 已知：关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 【答案】（1） 见解析 （2）1或3 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，证明，从而说明方程总有两个实数根； （2）先求出方程的两个根，再根据为正整数，且两个根均为整数的条件，确定的值． 【小问1详解】 证明：， ∴方程是关于的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：， ，． 为正整数，且方程的两个根均为整数， 或3． 18. 在四边形中，，，，，，求这个四边形的面积． 【答案】114 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 直接利用勾股定理可得的长；再根据勾股定理逆定理判定，然后再求面积即可． 【详解】解： ，即， 在中，， 又在中，， 是直角三角形，且， 的面积为：，的面积为：， 四边形的面积为． 19. 在网格中，点A和直线l的位置如图所示： （1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点B，在图1中网格中标出点B并写出线段的长度______； （2）在（1）的条件下，在直线l上确定一点P，使的值最小，在图1中保留画图痕迹，并直接写出的最小值______； （3）若点A、B的坐标分别为，；点C为直线l上的点，是以为斜边的直角三角形，在图2网格中建立直角坐标系，并标出点C点，点C的坐标是______． 【答案】（1） 解：如图1，线段即为所作， （2） 解：如图1所示，点即为所作， （3） 解：建立平面直角坐标系如图2所示 或 【解析】 【分析】（1）根据要求画出线段即可，利用勾股定理求出的长． （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，此时的值最小． （3）设，根据勾股定理建立方程，再利用平方根的含义解方程即可． 【小问1详解】 根据题意，每个小正方形的边长为个单位长度， ∴． 故答案为： 【小问2详解】 如图可知， ∴， ∴的最小值为的长，则点即为所作， 此时， ∴的最小值为； 【小问3详解】 如图2，设，取的中点，连接， ∵为直角三角形， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：或， ∴点的坐标是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查作图—平移变换，轴对称—最短问题，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，利用平方根的含义解方程，化为最简二次根式，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的性质及勾股定理． 20. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”； （2）已知关于x的一元二次方程：（m是常数）是“倍根方程”，请求出m的值． 【答案】（1）是 （2）13或 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．也考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程得到，然后根据新定义进行判断； （2）设方程的两根分别为，根据根与系数的关系得，然后求出，再计算对应的m的值． 【小问1详解】 解：， ， 或， 所以， 则方程是“倍根方程”； 【小问2详解】 根据题意，设方程的根的两根分别为， 根据根与系数的关系得， 解得 或， ∴m的值为13或． 21. 先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： （1）的有理化因式是________； （2）化去式子分母中的根号：________；（直接写结果） （3）利用你发现的规律计算下列式子的值：． 【答案】（1） （2） （3）2026 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法． （1）根据题意可知与的乘积不含二次根式，即互为有理化因式； （2）利用分母有理化及平方差公式即可得到本题答案； （3）将括号内每个分数进行化简，再相加继而得到，再利用平方差公式即可求出本题答案． 【小问1详解】 解：∵两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式， ∵， ∴的有理化因式是：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ， ， ， ． 22. 综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目准备】 数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况． 知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式． 工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1． （2）解决任务2． 【答案】（1）该款迷你无人机的月平均增长率为； （2）每架迷你无人机的售价应降低20元． 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据2025年11月的销售量2026年1月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设每架迷你无人机降价y元，根据利润每架的利润销售量建立方程，解方程可得y的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【小问1详解】 解：设该款迷你无人机的月平均增长率为x， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该款迷你无人机的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每架迷你无人机降价y元，则每天能销售架， 由题意得， 整理得， 解得，． 需要尽量减少库存， ． 答：每架迷你无人机的售价应降低20元． 23. 如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】（1） 解：， ， 则． （2）该飞镖状图案的面积是； （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程，（1）依据图1中的正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）根据四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24得直角三角形的斜边长为6，设，依题意有，进行计算即可得； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得； 掌握勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24， ∴直角三角形的斜边长为：， 设， 依题意有， ， 解得：， ． 故该飞镖状图案的面积是． 【小问3详解】 解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蚌埠九中2025-2026学年八年级数学下阶段性测试试卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 把方程化成的形式，则a、b、c的一组值是（ ） A. B. C. D. 2、1、1 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则第三边的长为（ ）． A. 10 B. C. D. 10或 5. 化简，结果是（ ） A. B. C. D. 4 6. 设，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2036 B. 2035 C. 2034 D. 2033 7. 某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高为（ ） A. B. C. D. 9. 如果，那么下面各式：其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③ 10. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售限价以及实数确定实际销售价格，这里被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数恰好使得，据此可得，最佳乐观系数的值等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______________ ． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 13. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，长为半径画弧交最上方的网格线于点D，若点A的坐标为，则点D的坐标为______． 14. 如图，中，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，连接． （1）__________； （2）若，，则______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分． 15. 计算： （1） （2） 16. 解方程： （1）(配方法) （2） 17. 已知：关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 18. 在四边形中，，，，，，求这个四边形的面积． 19. 在网格中，点A和直线l的位置如图所示： （1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点B，在图1中网格中标出点B并写出线段的长度______； （2）在（1）的条件下，在直线l上确定一点P，使的值最小，在图1中保留画图痕迹，并直接写出的最小值______； （3）若点A、B的坐标分别为，；点C为直线l上的点，是以为斜边的直角三角形，在图2网格中建立直角坐标系，并标出点C点，点C的坐标是______． 20. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”； （2）已知关于x的一元二次方程：（m是常数）是“倍根方程”，请求出m的值． 21. 先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： （1）的有理化因式是________； （2）化去式子分母中的根号：________；（直接写结果） （3）利用你发现的规律计算下列式子的值：． 22. 综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目准备】 数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况． 知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式． 工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1． （2）解决任务2． 23. 如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $