高二数学下学期第三次月考02（人教A版，范围：选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部，举一反三）

2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷02 参考答案与试题解析 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】先对函数求导再赋值可得，进而可得函数值. 【解答过程】由，得， ∴，得， ∴，则. 故选：B． 2．（5分）已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（    ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.2 【答案】C 【解题思路】由得出对应的正态密度函数的对称轴，利用正态分布的性质与对称性求解即可. 【解答过程】根据题意，，则正态密度函数关于对称，即， 则. 故选：C. 3．（5分）若的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则该展开式中的常数项为（    ） A． B．45 C． D．90 【答案】B 【解题思路】根据二项式系数和求出n的值，即可求出展开式的通项公式，继而可求得展开式中的常数项. 【解答过程】由题意可知的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，故，则， 则展开式的通项公式为， 令，则，则该展开式中的常数项为. 故选：B. 4．（5分）某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ） 参考公式：， A． B．由散点图知变量和负相关 C．相关系数r的绝对值|r|越接近0，表示x，y的线性相关程度越强 D．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 【答案】A 【解题思路】选项 A ：通过直接计算样本均值验证正确；选项 B ：观察数据可知数据呈现正相关趋势；选项 C ：根据相关系数 接近 1 表示强相关，接近 0 表示弱相关判定；选项 D：正确回归方程需根据公式计算，从而做出判定. 【解答过程】对于选项 A：计算样本均值：，，故选项 A 正确； 对于选项 B：观察数据：当 从 1 增加到 7 时， 从 2 增加到 9，整体呈递增趋势，表明 和 正相关，而非负相关，故选项 B 错误； 对于选项 C ：相关系数 的绝对值 越接近 1，表示线性相关程度越强；越接近 0，表示线性相关程度越弱.选项 C 的描述恰好相反，故选项 C 错误； 对于选项 D ：，，正确回归方程为 ，而选项 D 给出的方程为 ，不匹配，故选项 D 错误. 故选： A. 5．（5分）宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦、”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情.如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“▂”为阳爻，“▂ ▂”为阴爻.现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中至少有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设有1卦没有阳爻.设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件，“另一卦至少有两个阳爻”为事件，然后根据古典概型和条件概率定义求解即可． 【解答过程】由八卦图可知，八卦中有1卦有三个阳爻，有3卦恰有一个阳爻，有3卦恰有两个阳爻，有1卦没有阳爻．设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件，“另一卦至少有两个阳爻”为事件． 因为，，所以 故选：D. 6．（5分）将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（   ） A．480种 B．1560种 C．2640种 D．640种 【答案】B 【解题思路】首先计算分组方法，再按照分组分配的方法，列式求解. 【解答过程】首先将6名志愿者分成1，1，1，3，或1，1，2，2两种分组形式， 1，1，1，3的分组包含种情况， 1，1，2，2的分组包含种情况， 这样分组后再分配到4个不同社区共有种方法. 故选：B. 7．（5分）北京冬奥会的举办掀起了一阵冰雪运动的热潮.某高校在本校学生中对“喜欢滑冰是否与性别有关”做了一次调查，参与调查的学生中，男生人数是女生人数的3倍，有的男生喜欢滑冰，有的女生喜欢滑冰.若根据独立性检验的方法，有95%的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，则参与调查的男生人数可能为（    ） 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 A．12 B．34 C．36 D．48 【答案】C 【解题思路】设男生人数为，则女生人数为，且,写出列联表并根据卡方计算公式，结合题意确定卡方值的范围，即可确定的取值范围，进而确定男生可能人数. 【解答过程】设男生人数为，则女生人数为，且, 可得列联表如下： 男生 女生 合计 喜欢滑冰 不喜欢滑冰 合计 则， 由有的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，得，解得， 由可得，所以参与调查的男生人数为. 故选：C. 8．（5分）已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】是1个零点，进而得时，函数有4个零点，将问题转化成与有4个交点分析计算求解即可. 【解答过程】由题意，可知： 当时，，故为的1个零点； 故当时，函数有4个零点，即有4个非0实数根， 即有4个非0实数根， 即与图象有4个交点， 当时，， 当时，则，令得， 所以当时，当时， 则函数在单调递增，在上单调递减， 又，时，时， 且时，时，， 所以图象如图所示：    由图可得，解得. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示： 价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（    ） A． B．变量x，y线性负相关且相关性较强 C．相应于点的残差约为 D．当时，y的估计值为14.4 【答案】BD 【解题思路】A选项，计算出样本中心点，代入回归直线方程得；B选项，随着的增大而减小，又，B正确；C选项，当时，，从而计算出残差约为0.4；D选项，代入，得到答案. 【解答过程】A选项，，， 将代入回归直线方程得，，解得，A错误； B选项，从表可以看出，随着的增大而减小，又，接近于1， 所以变量x，y线性负相关且相关性较强，B正确； C选项，回归直线方程为，当时，， ，故相应于点的残差约为0.4，C错误； D选项，当时，y的估计值为，D正确. 故选：BD. 10．（6分）暑假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式：骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁，概率分别为；又知道他骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为，下列说法正确的是（    ） A．甲同学今天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件 B．甲同学今天早上乘公交车出行与乘地铁出行相互独立 C．甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于 D．若甲同学今天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率为 【答案】ACD 【解题思路】对A，根据互斥事件的定义判断；对B，根据相互独立事件的定义判断；对C，由全概率公式求解判断；对D，由条件概率的计算公式求解判断. 【解答过程】设“甲同学今天早上骑共享自行车出行”为事件A1，“甲同学今天早上乘公交车出行”为事件A2， “甲同学今天早上乘地铁出行”为事件，“甲同学到达图书馆能立即找到空座位”的事件为B． 对于A，A1与A2不能同时发生，故A正确； 对于B，因为，，但，故，故B错误； 对于C，由，，，，，， 由全概率公式得： ．故C正确； 对于D，由题意可知所求概率为；故D正确． 故选：ACD． 11．（6分）设函数，则下列说法正确的有（   ） A．不等式的解集为 B．函数在单调递增，在单调递减 C．当时，总有恒成立 D．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解题思路】对于A：求导得和，解不等式即可判断选项； 对于：对求导得，令，可分别求出的单调区间； 对于C：求得在上单调递增，且，，，即可比较与的大小关系； 对于D：求导得，令，化简得，再根据函数图象的交点来计算的取值范围. 【解答过程】由得，，则，，， 对于A：因为，所以等价于，解得，所以选项正确； 对于B：由，， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减，所以选项错误； 对于C：当时，，所以， 因为，且在上单调递增，所以此时， 又因为，所以时，总有恒成立，所以选项正确； 对于D：，， 若函数有两个极值点，则有两个不同的零点， 令，化简得：， 所以直线与函数的图象有两个不同的交点； 的图象如图所示： 当直线与函数的图象有两个不同的交点时，，解得，所以选项D正确； 故选：ACD. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知，则__________． 【答案】 【解题思路】应用赋值法求得、，即可求值. 【解答过程】令，则， 令，则， 所以. 故答案为：. 13．（5分）如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为X，则___________. 【答案】0 【解题思路】确定的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式计算. 【解答过程】因为质点从出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动次，所以质点最终所在位置的坐标的可能取值为，，，. 表示质点次都向左移动，每次向左移动的概率为，由于每次移动是相互独立事件，根据独立事件同时发生的概率公式可得. 表示质点次移动中有次向左移动，次向右移动，从次移动中选次向左移动的组合数为，每次向左移动的概率为，每次向右移动的概率也为， 所以. 表示质点次移动中有次向右移动，次向左移动，从次移动中选次向右移动的组合数为每次向右移动的概率为，每次向左移动的概率为， 所以. 表示质点次都向右移动，每次向右移动的概率为，所以. 所以 故答案为：. 14．（5分）已知函数，，若当时，恒成立，则实数a的取值范围是____________. 【答案】 【解题思路】由题可将不等式转化为.令，则，在上恒成立.设，对求导研究在上的单调性，可求得的解为，故在上恒成立，故.设，对求导研究在上的单调性求其最小值即可求解. 【解答过程】由题意可知在上恒成立， 所以，且在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则，在上恒成立. 设， 则，所以在上单调递增， 又，所以由可得， 即在上恒成立，所以. 设，， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）先排两头的唱歌节目，再排中间的5个节目，即可得解； （2）第一步，先将2个唱歌节目全排列，再将这2个唱歌节目看成一个整体，第二步，先将3个舞蹈节目全排列，再将这3个舞蹈节目看成一个整体，第三步，把这两个整体进行全排列，此时这两个整体的全排列，形成3个空，将2个小品节目插入这3个空中，即可得解； （3）先将7个节目进行全排列，再由3个舞蹈节目出场顺序固定，就是7个节目的全排列数除以3个舞蹈节目的全排列数，即为所求. 【解答过程】（1）2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种，再排中间的5个节目，有种， 则唱歌节目排在两头，有种排法； （2）2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体， 3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体， 把这两个整体进行全排列，排法有种，此时这两个整体的全排列，形成3个空， 将2个小品节目插入这3个空中，排法有种， 则唱歌节目，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻， 有种； （3）7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种. 16．（15分）为了解某种中成药的疗效，某研究员统计了患者服药后血液中药物浓度（单位：）与测试次数（单位：次，每次测试间隔时长相等）的对应数据如下表： 测试次数（单位：次） 1 2 3 4 5 药物浓度（单位：） 120 105 90 80 55 (1)计算样本相关系数（保留三位有效数字），判断它们是否具有较强的线性相关性. (2)求关于的经验回归方程，并预测第6次测试血液中的药物浓度. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；样本相关系数. 参考数据：，，. 【答案】(1)，具有较强的线性相关性. (2)， 【解题思路】（1）由题，计算，由相关系数的公式运算判断； （2）根据题意，求出，得到回归直线方程，得解. 【解答过程】（1）由题，可得，， ， 所以样本相关系数， 因为样本相关系数的绝对值接近1，所以它们具有较强的线性相关性. （2）由（1）中的数据可得， ， 所以关于的经验回归方程为， 所以当时，. 所以预测第6次测试血液中的药物浓度为. 17．（15分）已知函数. (1)若，求的单调区间和极值. (2)若，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)在单调递减，在单调递增，极小值为，无极大值 (2) 【解题思路】（1）求导，即可根据导数的正负确定函数单调性，进而可得单调性和极值， （2）对讨论，结合函数的单调性，即可求解. 【解答过程】（1）函数的定义域为， 因为，所以，. 令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 因此在处取得极小值. 综上，在单调递减，在单调递增，极小值为，无极大值. （2）. 因为，令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 所以，所以，即. ①当时，，恒成立，不符合题意； ②当时，设，则，所以在单调递减， 又因为，所以等价于，所以； 综上，的取值范围是. 18．（17分）有50杯无色透明的液体，其中有48杯清水与2杯盐水，某学习小组想要快速找出这2杯盐水，他们设计了如下方案：将这50杯液体随机分成10组，每组5杯，将同组内的所有液体取样混合，第一轮对每组的混合样本依次进行检测，第二轮对检测出盐水的组内每杯液体依次进行检测． (1)若第一轮10份混合样本中有2份含盐水，求检测10次才把含盐水的混合样本都检测到的概率； (2)若每轮检测即使提前确定盐水的位置也将该轮检测进行完，设检测的总次数为，求的分布列和数学期望； (3)在（2）的条件下，若将这50杯液体改为随机分成5组，每组10杯，采用相同的检测方法，设检测的总次数为，试判断与的大小． 【答案】(1) (2)分布列见解析； (3) 【解题思路】（1）说明检测10次才把含盐水的混合样本都检测到的情况，利用排列组合和古典概型的计算公式求解即可； （2）依题意，第一轮需检测10次，若2杯盐水在同一组内，则第二轮需检测5次，若2杯盐水在不同组内，则第二轮需检测10次，由此可得的可能取值，依次算出的每个可能取值所对应的概率，即可得的分布列，再由公式计算数学期望； （3）根据（2）的方法计算出的分布列和数学期望，进行比较即可. 【解答过程】（1）依题意，检测10次才把含盐水的混合样本都检测到，意味着前9次检测出1份含盐水样本和8份清水样本，第10次检测出剩下的1份含盐水样本， 从2份含盐水样本中选1份含盐水样本，组合数为， 从8份清水样本中选8份清水样本，组合数为， 前9次检测的排列数为，总的10次检测的排列数为， 根据古典概型概率计算公式，检测10次才把含盐水的混合样本都检测到的概率为：. （2）依题意，的可能取值为， ， ， 得的分布列为： 15 20 得的数学期望. （3）依题意，的可能取值为， ， ， 得的分布列为： 15 25 得的数学期望. . 19．（17分）已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数，若二阶导函数，则称为I上的凸函数． (1)证明：函数是凸函数． (2)已知函数，． ①若是上的凹函数，求实数a的取值范围； ②在内有两个不同的零点，，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【解题思路】（1）求出函数的一阶导函数和二阶导函数，由凸函数定义判断即可. （2）①求出函数的一阶导函数和二阶导函数，根据凹函数的定义将问题转化为恒成立，构造，利用导数研究其单调性并求出最大值，解不等式即可求解； ②由题意，结合的单调性得，欲证，即证，结合的单调性得，即证，转化为证明；欲证，即证，结合的单调性得，转化为证明，构造，，利用导数得在上单调递增，从而由，即可证明. 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以是上的凸函数． （2）①因为， 所以． 因为是上的凹函数，所以在上恒成立，即． 令，则． 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减． ，所以，解得， 所以实数的取值范围是． ②由①知，因为在内有两个不同的零点， 所以方程在内有两个根，即． 因为在上单调递增，在上单调递减，所以． 欲证，即证 因为且在上单调递减， 所以只需证明，即证． 欲证，即证，即， 只需证，即证，而该式显然成立． 欲证，即证．因为，所以只需证， 即证即需证． 令，，则， 所以在上单调递增，所以则原不等式得证． 故． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷02 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 2．（5分）已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（    ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.2 3．（5分）若的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则该展开式中的常数项为（    ） A． B．45 C． D．90 4．（5分）某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ） 参考公式：， A． B．由散点图知变量和负相关 C．相关系数r的绝对值|r|越接近0，表示x，y的线性相关程度越强 D．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 5．（5分）宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦、”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情.如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“▂”为阳爻，“▂ ▂”为阴爻.现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中至少有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（  ） A． B． C． D． 6．（5分）将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（   ） A．480种 B．1560种 C．2640种 D．640种 7．（5分）北京冬奥会的举办掀起了一阵冰雪运动的热潮.某高校在本校学生中对“喜欢滑冰是否与性别有关”做了一次调查，参与调查的学生中，男生人数是女生人数的3倍，有的男生喜欢滑冰，有的女生喜欢滑冰.若根据独立性检验的方法，有95%的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，则参与调查的男生人数可能为（    ） 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 A．12 B．34 C．36 D．48 8．（5分）已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示： 价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（    ） A． B．变量x，y线性负相关且相关性较强 C．相应于点的残差约为 D．当时，y的估计值为14.4 10．（6分）暑假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式：骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁，概率分别为；又知道他骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为，下列说法正确的是（    ） A．甲同学今天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件 B．甲同学今天早上乘公交车出行与乘地铁出行相互独立 C．甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于 D．若甲同学今天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率为 11．（6分）设函数，则下列说法正确的有（   ） A．不等式的解集为 B．函数在单调递增，在单调递减 C．当时，总有恒成立 D．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知，则__________． 13．（5分）如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为X，则___________. 14．（5分）已知函数，，若当时，恒成立，则实数a的取值范围是____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 16．（15分）为了解某种中成药的疗效，某研究员统计了患者服药后血液中药物浓度（单位：）与测试次数（单位：次，每次测试间隔时长相等）的对应数据如下表： 测试次数（单位：次） 1 2 3 4 5 药物浓度（单位：） 120 105 90 80 55 (1)计算样本相关系数（保留三位有效数字），判断它们是否具有较强的线性相关性. (2)求关于的经验回归方程，并预测第6次测试血液中的药物浓度. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；样本相关系数. 参考数据：，，. 17．（15分）已知函数. (1)若，求的单调区间和极值. (2)若，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 18．（17分）有50杯无色透明的液体，其中有48杯清水与2杯盐水，某学习小组想要快速找出这2杯盐水，他们设计了如下方案：将这50杯液体随机分成10组，每组5杯，将同组内的所有液体取样混合，第一轮对每组的混合样本依次进行检测，第二轮对检测出盐水的组内每杯液体依次进行检测． (1)若第一轮10份混合样本中有2份含盐水，求检测10次才把含盐水的混合样本都检测到的概率； (2)若每轮检测即使提前确定盐水的位置也将该轮检测进行完，设检测的总次数为，求的分布列和数学期望； (3)在（2）的条件下，若将这50杯液体改为随机分成5组，每组10杯，采用相同的检测方法，设检测的总次数为，试判断与的大小． 19．（17分）已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数，若二阶导函数，则称为I上的凸函数． (1)证明：函数是凸函数． (2)已知函数，． ①若是上的凹函数，求实数a的取值范围； ②在内有两个不同的零点，，证明：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $