高一数学下学期第三次月考02（人教A版，范围：必修第二册第六章～第九章，举一反三）

2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷02 参考答案与试题解析 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知复数满足，则复数在复平面对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解题思路】先利用复数除法和共轭复数的概念求出，再根据复数对应复平面内点的坐标判断象限即可. 【解答过程】由题意可得， 所以在复平面对应点，在第一象限， 故选：A. 2．（5分）某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行： 0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202 9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214 1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336 若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（    ） A．37 B．32 C．14 D．16 【答案】D 【解题思路】根据随机数表法的应用，按照已知的要求选出五个三个数字组成编号即可． 【解答过程】依题意从第2行第7列开始的数为67（舍去），62（舍去），42（舍去），81（舍去），14， 57（舍去），20，42（舍去），53（舍去），32，37，32（舍去），14（舍去），16， 则满足条件的5个样本编号为14，20，32，37，16，则第5个编号为16． 故选：D. 3．（5分）已知向量，若，则（   ）. A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】求出的坐标，根据向量垂直的坐标表示可解. 【解答过程】因为，所以， 因为，所以，解得. 故选：D. 4．（5分）已知某比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，对新数据和原数据，下面说法正确的是（ ） A．两组数据的极差不可能相等 B．两组数据的中位数不可能相等 C．若，则两组数据的方差不可能相等 D．若，两组数据的第百分位数可能相等 【答案】C 【解题思路】根据极差、中位数、方差、百分位数的求法，通过举反例或对计算公式、所得数据的分析判断各项的正误. 【解答过程】A，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，此时新数据的极差等于原数据的极差，A错误； B，不妨设，当时，若随机删去的成绩是，此时新数据的中位数等于原数据的中位数，B错误； C，若，即删去的数据恰为平均数，根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，此时方差会变大，C正确 D，在按从小到大的顺序排列的个数据中， 此时原数据的分位数为第三个数和第四个数的平均数，即， 删去一个数据后的个数据，按从小到大的顺序排列，可得， 此时新数据的分位数为第三个数，即或，而，则， 显然新数据的分位数不等于原数据的分位数，D错误． 故选：C. 5．（5分）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先判断球心在三棱锥的高线上，由正弦定理求得，设球的半径为，结合题意列方程求出外接球半径即得. 【解答过程】如图，设点在底面的射影为点， 因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上， 连接，设球的半径为，则， 由正弦定理，解得， 在中，，则， 在中，由，解得， 则球的表面积为． 故选：B． 6．（5分）在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令利用向量得线性运算及数量积运算将表示成t的函数，再求函数值域作答. 【解答过程】如图，在中，，则，， 令，则， 于是得 当时，，当或时，， 所以取值范围为. 故选：B. 7．（5分）已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】取的中点，连接，再根据题意求出的长度，由二面角的定义可得二面角的平面角为，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】取的中点，连接， 因为，为的中点，则， 由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，， 所以，， 因平面，则为直线与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以，， 因为，故，即二面角的大小为. 故选：C. 8．（5分）在锐角中，角的对边分别为，的面积为S，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用三角形的面积公式和余弦定理，求得，得到，再由为锐角三角形，求得，结合正弦定理，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【解答过程】因为，可得，且， 所以，由余弦定理可得， 又因为，所以， 因为为锐角三角形，则满足，可得， 由正弦定理得， 又因为，所以，可得，可得. 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（    ） A．该校高一学生总数为600 B．该校高一学生中选考物化政组合的人数为80 C．该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多 D．用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取4人 【答案】BCD 【解题思路】A：由扇形图和条形图中选政史地的人数和占比即可求出高一学生总数；B：结合扇形图和条形图即可计算；C：直接计算比较即可；D：利用分层抽样的原理即可求解． 【解答过程】A：由扇形图和条形图可知，选政史地的人数为200，占比25%， ∴该校高一学生总数为人，故A错误； B：由扇形图知，选择物化生的人数为， ∴选择物化地和物化政的人数为， 又∵选考物化地和物化政组合的人数相等， ∴选考物化地和物化政组合的人数均为，故B正确； C：该校高一学生中选考物理的有人，选考历史的有人，选考物理的人数比选考历史的人数多，故C正确； D：∵选考生史地的学生人数占比为，∴用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取人，故D正确． 故选：BCD． 10．（6分）已知向量，，，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．向量在方向上的投影向量的坐标为 D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】ABD 【解题思路】根据向量垂直的坐标运算可得选项A正确；根据向量相等可得选项B正确；利用投影向量的公式计算可得选项C错误；计算向量与向量同向时的值可得选项D正确. 【解答过程】对于A，由题意可得， 若，则，得，故A正确； 对于B，由题意可得， 若，则，解得，所以，故B正确； 对于C，由题意可得，， 则向量在方向上的投影向量的坐标为，故C错误； 对于D， 由题意得，，， 若向量与向量的夹角为锐角， 则，解得， 当向量与向量共线时，由得， 此时，，，向量与向量的夹角为，不合题意， 所以的取值范围是，故D正确. 故选：ABD． 11．（6分）在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，则 （    ） A．直线与直线所成的角是 B．直线与平面所成的角是 C．二面角的平面角是 D．平面截正方体所得的截面面积为 【答案】ABD 【解题思路】利用，可求直线与所成的角判断A；连接交于点，连接，可得直线与平面所成的角即为直线与直线所成的角，求解可判断B；易求得二面角的大小判断C；接，平面截正方体所得的截面为梯形，求解可判断D. 【解答过程】对于A，如图，连接，因为分别为棱的中点，所以， 所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 又因为是等边三角形，所以直线与所成的角为， 故直线与所成的角是，故A正确； 对于B，因为分别为棱的中点，所以， 所以直线与平面所成的角即为直线与直线所成的角， 连接交于点，连接， 由正方体，可得平面， 又平面，所以， 又，又，平面， 所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 又，所以，故B正确； 对于C，因为平面，平面，则， 又，所以为二面角的平面角， 所以二面角的平面角是，故C错误； 对于D，如图，连接，因为，所以， 所以平面截正方体所得的截面为梯形， 且， 所以梯形的高为， 所以截面面积为，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知在复平面内复数，，对应的点分别为，.若复数是实数，则实数a的值为___________. 【答案】1 【解题思路】首先可通过对应的点得出，再根据实数的定义得出. 【解答过程】因为复平面内复数，，对应的点分别为，， 所以复数，则，因为复数是实数， 所以，解得； 故答案为：1. 13．（5分）一组数据：1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10的众数为a，上四分位数为b，则___________. 【答案】13 【解题思路】根据众数的概念求得众数，从小到大排列后，利用四舍五入法求得上四分位数. 【解答过程】众数为5，故， 将这组数据从小到大排列为：1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10， 因为数据个数为14，，所以这组数据的上四分位数是第11个数，故8. . 故答案为：13. 14．（5分）宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图2，则塔的高度为_________米. 【答案】 【解题思路】分别在以及表示出，然后在中，结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【解答过程】设塔高为， 在中，，则， 在中，，则，则， 在中，，， 由余弦定理可得， 即， 化简可得，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由向量加减法和数量积的坐标运算求解即可； （2）由向量的坐标运算可得，再由夹角的坐标公式计算可得结果. 【解答过程】（1）因为，，所以， 又，所以，解得； （2）因为， 所以，解得，，所以， 所以， 即向量与夹角的余弦值为. 16．（15分）设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若，且是关于的方程的一个复数根，求． 【答案】(1)3 (2) 【解题思路】（1）由复数的类型可得的实部为0，虚部不为0，以此求解即可； （2）利用实系数二次方程根与系数的关系及模长条件，求出，再代入所求式子化简即可. 【解答过程】（1）由题意得， 若复数为纯虚数，则有，且，解得. （2）方程的判别式， 故有两共轭复数根，设，则另一个根为， 因为对应的点在第一象限，所以， 由韦达定理得，解得，且， 所以有，解得， 所以， 则. 17．（15分）年，国家统计局海南调查总队为制定自贸港民生政策，从海南省某城乡区随机抽取户居民的单户收入作为样本数据，将这户居民的单户收入（，单位：万元）分成六段：、、、，并作出如图所示的频率分布直方图，其中.    (1)求、的值； (2)若要对单户收入高于第百分位数的居民进行个税统计，则应对单户收入多少以上的居民进行统计？ (3)已知落在上的样本数据的平均数是，方差是，上的样本数据的平均数是，方差是.求这两组数据的总平均数和总方差. 参考公式：分层随机抽样抽取的两层的样本量为、，若这两层的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，则①；②. 【答案】(1)， (2)万元 (3)， 【解题思路】（1）根据所有直方图面积之和为，结合可得出、的值； （2）根据频率直方图结合百分位数的定义可求得百分位数，即可得解； （3）利用分层抽样的平均数和方差公式可求得、的值. 【解答过程】（1）由题意知，， 所以，又，则，. （2）由直方图知，第组的频率为，第组的频率为， 故前组的频率之和为，前组的频率之和为， 故第百分位数在第组内， 则第百分位数为， 故应对单户收入万元以上的居民进行个税统计. （3）样本数据在区间的样本数为，在区间上的样本数为， 所以， . 18．（17分）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边. (1)若，求； (2)若，，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，，，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【解答过程】（1）在中，因为， 所以，即， ,故 ， 则； （2）因为的面积为，即， . 由余弦定理得. 解得. 所以周长为. （3）由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ,故， 所以，则， 故, 故周长的取值范围为. 19．（17分）如图，在正三棱台中，，，分别为，中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值： (3)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在且，使得二面角的余弦值为. 【解题思路】（1）的中点为，连接，可证，结合线面平行的判定定理可得平面. （2）将正三棱台补成正三棱锥，可证为与平面所成的角，利用解直角三角形可求其余弦值，从而可得正弦值. （3）当时，可证为二面角的平面角，结合解直角三角形可得此时. 【解答过程】（1）取的中点为，连接， 由正三棱台的性质可得，而，故， 而，故，故， 而平面，平面，故平面. （2）由棱台的性质可知侧棱所在的直线交于一点，如图所示， 设，则，如（1）取的中点为，连接， 因为，故，故， 故为等边三角形，故， 而平面，，故平面， 而平面，故平面平面， 过作，垂足为，因为平面平面， 平面，故平面， 故为与平面所成的角， 而， 故，而为三角形内角， 所以， （3）存在且，使得二面角的余弦值为. 证明如下： 由（2）可得，连接，由（1）得， 而，故，故， 而平面， 故平面，而平面，故， 故为二面角的平面角. 在中，， 显然为等腰三角形，且 ，故为的中点， 故，则， 故. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷02 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版必修第二册第六章~第九章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知复数满足，则复数在复平面对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（5分）某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行： 0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202 9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214 1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336 若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（    ） A．37 B．32 C．14 D．16 3．（5分）已知向量，若，则（   ）. A． B．1 C．2 D．3 4．（5分）已知某比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，对新数据和原数据，下面说法正确的是（ ） A．两组数据的极差不可能相等 B．两组数据的中位数不可能相等 C．若，则两组数据的方差不可能相等 D．若，两组数据的第百分位数可能相等 5．（5分）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）在锐角中，角的对边分别为，的面积为S，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（    ） A．该校高一学生总数为600 B．该校高一学生中选考物化政组合的人数为80 C．该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多 D．用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取4人 10．（6分）已知向量，，，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．向量在方向上的投影向量的坐标为 D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 11．（6分）在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，则 （    ） A．直线与直线所成的角是 B．直线与平面所成的角是 C．二面角的平面角是 D．平面截正方体所得的截面面积为 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知在复平面内复数，，对应的点分别为，.若复数是实数，则实数a的值为___________. 13．（5分）一组数据：1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10的众数为a，上四分位数为b，则___________. 14．（5分）宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图2，则塔的高度为_________米. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，求向量与夹角的余弦值. 16．（15分）设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若，且是关于的方程的一个复数根，求． 17．（15分）年，国家统计局海南调查总队为制定自贸港民生政策，从海南省某城乡区随机抽取户居民的单户收入作为样本数据，将这户居民的单户收入（，单位：万元）分成六段：、、、，并作出如图所示的频率分布直方图，其中.    (1)求、的值； (2)若要对单户收入高于第百分位数的居民进行个税统计，则应对单户收入多少以上的居民进行统计？ (3)已知落在上的样本数据的平均数是，方差是，上的样本数据的平均数是，方差是.求这两组数据的总平均数和总方差. 参考公式：分层随机抽样抽取的两层的样本量为、，若这两层的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，则①；②. 18．（17分）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边. (1)若，求； (2)若，，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，，，求周长的取值范围. 19．（17分）如图，在正三棱台中，，，分别为，中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值： (3)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $