精品解析：浙江省宁波余姚泗门镇中学2025--2026学年第二学期八年级期中考数学学科试题卷

2025学年第二学期八年级期中考数学学科试题卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据被开方数为非负数求出x的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 选项中只有满足． 故选：D． 2. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、方程是一元一次方程，故选项不符合题意； B、不是整式方程，故选项不符合题意； C、方程只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为2（即“次”）的整式方程，符合一元二次方程的定义，故选项C符合题意． B、方程是二元一次方程，故选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数． 3. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，根据方差公式及数据特征，逐一分析选项的正误． 【详解】解：选项A、算式中平方差项数为5，对应数据个数，正确． 选项B、平均数，正确． 选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误． 选项D、加入两个7后，数据更集中，方差由减小为，正确． 综上，错误的说法是C． 故选C 4. 把方程转化成的形式，则的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用配方法将原方程化为指定形式，得到m，n的值后即可计算的值． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 对比，可得，， ∴． 5. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度． 结合表中数据，先找出平均数最大的同学；再根据方差的意义，找出方差最小的同学即可． 【详解】解：从平均数的角度分析，乙和丁同学平均成绩最高， 从方差角度分析，乙和甲方差最小，最稳定， ∴选择乙同学参加比赛， 故选：B． 6. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 7. 体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（ ） A. 八（1）班跳绳次数更集中 B. 跳绳次数最小值出现在八（2）班 C. 两个班级跳绳次数的中位数相等 D. 八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了箱线图的概念，需理解箱线图的构成及表示含义，再逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A项：箱线图中，数据的“集中程度”看箱体的宽度，箱体越窄，数据越集中， 在八（1）班和八（2）班中，1班的箱体宽度为，2班的箱体宽度为， ∵， ∴八（2）班跳绳次数更集中，故A错误； B项：箱线图中，最下端点是数据的最小值， 对比1班和2班的最下端点，1班最下端点是136，2班最下端点是152， ∵， ∴1班的最小值更小，而非2班，故B错误； C项：箱线图中，中间的线代表中位数， 对比1班和2班的中位数，1班中位数是165，2班中位数是172， ∵， ∴两个班的中位数不相等，故C错误； D项：判断“整体水平”可看中位数，中位数代表数据的中间水平，中位数越高，整体水平越高， 对比1班和2班的中位数，明显2班的中位数高于1班的中位数， ∴2班的跳绳次数整体比1班的好，故D正确． 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 9. 数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（ ） A. {7，9}与{11，13，15} B. {7，11}与{9，13，15} C. {7，15}与{9，11，13} D. {11，15}与{7，9，13} 【答案】A 【解析】 【分析】根据离差平方和的定义，分别计算各选项中两组离差平方和的总和，总和最小的分组即为符合要求的分组 【详解】解：选项A、∵组{7，9}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{11，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项B、∵ 组{7，11}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项C、∵组{7，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，11，13}的平均数为11， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项D、∵ 组{11，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{7，9，13}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小，符合组内离差平方和最小原则 10. 古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图1，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则m的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程系数确定直角三角形的边长，利用等高三角形面积比等于底边比得出线段关系，结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：对比方程与， 可得，， ，， ，， 由题意可知：在中，，，， 与等高， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或，  ，  ， 故选：B． 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 当二次根式取最小值时，_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据二次根式的非负性，可得二次根式的最小值为，令被开方数等于，即可求出的值． 【详解】当二次根式取最小值时，， ∴， 解得． 12. 一组数据3，2，6，7，4，6的下四分位数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解下四分位数即可． 【详解】将该组数据从小到大排列为：， 下四分位数即分位数，数据个数， 又∵，不是整数，所以该组数据的下四分位数为排序后第2个数，即． 13. 某公司对A，B两个型号的人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行打分，各项成绩均按百分制计，然后按语言交互能力占、分析能力占、学习能力占来计算两个型号的人工智能产品的综合能力得分．下表是A，B两个型号的人工智能产品三项能力的得分，则综合能力更强的是______（填“A”或“B”）型号人工智能产品． 型号 语言交互能力 分析能力 学习能力 A 70 90 80 B 75 80 90 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数据的加权平均数，熟悉掌握数据的百分制运算是解题的关键，根据各组数据的百分制运算求解即可． 【详解】解：根据加权平均数的计算方法可得： A型号人工智能产品的综合能力得分为：， B型号人工智能产品的综合能力得分为：． ． 综合能力更强的是A． 故答案为：A． 14. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】将代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得的值． 【详解】解：根据题意，将代入方程可得， 解得：或， ，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，是一个基础题，解题时候注意二次项系数不能为，难度不大． 15. 若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方的非负性与绝对值的非负性列出二元一次方程组，求出的值，再根据二次根式的性质得到结果． 【详解】解：∵， ， 得： ， ∴， ． 16. 设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为______． 【答案】7 【解析】 【分析】首先把方程进行整理，根据一元二次方程的求根公式得，再根据x，m均是整数且，得m为完全平方数，即可求解． 【详解】解：将方程整理得：， ∴， ∴当时，方程根为， ∵，均是整数且， ∴为完全平方数， ∴，1、4、9、16、25、36． ∴符合条件的整数m的个数为7． 三、解答题（第17-21题各8分，第22、23题各10分，24题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先利用二次根式的性质与乘除运算法则化简每一项，再合并计算得到最终结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）提取公因式分解后求解； （2）十字相乘因式分解后求解． 【小问1详解】 解：， 因式分解得 ， ∴ 或 ， 解得，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得， ∴ 或 ， 解得，． 19. 已知，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的计算法则计算出，，再将原式提取公因式变形为，再代值计算即可； （2）将原式通分并利用完全平方公式变形为，再代值计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 解：． 20. 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分 满分100分 均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）B组15个成绩的平均数为______分； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分； （3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 【答案】（1） （2）， （3）人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、用样本估算总体，平均数，中位数的含义． （1）直接利用平均数公式计算即可； （2）由B组人数除以其百分比即可得到总数据的个数，再利用中位数的含义求解中位数即可； （3）由总人数乘以本次竞赛成绩90分及以上的学生的百分比即可得到答案. 【小问1详解】 解：B组15个成绩的平均数为： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴本次被抽取的所有成绩的个数为， ∵，而， 所抽取的50个成绩分数排序后排在第个，第个分数落在B组， 而B组成绩排序后为： 从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． ∴第个，第个分数， 本次被抽取的所有成绩的中位数为分； 【小问3详解】 解：学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，则本次竞赛的获奖人数为（人）. 21. 某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】（1）乙种商品每件进价的年平均下降率为 （2）最少购进甲种商品40件 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； 【小问2详解】 解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 22. 设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及m的值． （2）求证：． 【答案】（1），； （2） 证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； 【小问2详解】 略 23. 甲同学家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为46米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． （1）如图1，当时， ①_________米（用含x的代数式表示）． ②若围成的养鸡场面积为160平方米，求的长． （2）如图2，当时，直接写出养鸡场可达到的最大面积_________． 【答案】（1）①；②20米 （2）210.25平方米 【解析】 【分析】（1）①木栏长门长； ②养鸡场的面积，把相关数值代入求得合适的x的解即可； （2）（木栏长门长+墙长），设养鸡场的面积为y，进而根据二次函数的性质可得y的最大值． 【小问1详解】 解：①米； ②根据题意得，， 解得：，， 当时，，所以舍去； 答：的长为20米； 【小问2详解】 解：，则当时，， ∴，解得， 设养鸡场的面积为， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，（平方米）． 答：当时，求养鸡场可达到的最大面积为210.25平方米． 24. 若关于x的一元二次方程（）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为_________； （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出的值是_________． 【答案】（1）； （2），； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据“快乐数”的定义直接计算即可； （2）先计算判别式，根据“快乐方程”的定义，判别式必须为完全平方数，再结合的取值范围，求出的值，进而计算“快乐数”； （3）先根据“快乐方程”的定义求出的所有整数值，再根据“开心数”的定义分情况求出的值． 【小问1详解】 解：“快乐方程”的“快乐数”为： ； 【小问2详解】 解：对于方程， ， ∵，且为整数， ∴，得， 又∵方程是“快乐方程”， ∴必须是完全平方数， 在到之间的完全平方数只有和： 若，解得； 若，解得，不是整数，舍去； ∴，此时方程为，其“快乐数”为： ； 【小问3详解】 解：∵是“快乐方程”， ∴判别式，必须为完全平方数， 令（为非负整数），配方得：， ∴有， ∵为整数，且两因子同奇偶，可得整数解， ∴当，解得； 当，解得； 此时：方程，根为或， “快乐数”为，常数项； 当，解得； 当，解得； 此时：方程，根为或， “快乐数”为，常数项； ∵方程是“快乐方程”， 因式分解得，根为和， ∴其“快乐数”为：，常数项， ∵其“快乐数”互为“开心数”， 当，时：， 化简得，解得或（非整数，舍去）； 当，时：， 解得， 此时方程为，是“快乐方程”，符合条件； 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期八年级期中考数学学科试题卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 2. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 4. 把方程转化成的形式，则的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 7. 体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（ ） A. 八（1）班跳绳次数更集中 B. 跳绳次数最小值出现在八（2）班 C. 两个班级跳绳次数的中位数相等 D. 八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（ ） A. {7，9}与{11，13，15} B. {7，11}与{9，13，15} C. {7，15}与{9，11，13} D. {11，15}与{7，9，13} 10. 古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图1，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则m的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 当二次根式取最小值时，_______． 12. 一组数据3，2，6，7，4，6的下四分位数是______． 13. 某公司对A，B两个型号的人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行打分，各项成绩均按百分制计，然后按语言交互能力占、分析能力占、学习能力占来计算两个型号的人工智能产品的综合能力得分．下表是A，B两个型号的人工智能产品三项能力的得分，则综合能力更强的是______（填“A”或“B”）型号人工智能产品． 型号 语言交互能力 分析能力 学习能力 A 70 90 80 B 75 80 90 14. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为______ ． 15. 若，则的值是______． 16. 设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为______． 三、解答题（第17-21题各8分，第22、23题各10分，24题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知，求下列代数式的值： （1）； （2）． 20. 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分 满分100分 均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）B组15个成绩的平均数为______分； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分； （3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 21. 某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 22. 设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及m的值． （2）求证：． 23. 甲同学家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为46米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． （1）如图1，当时， ①_________米（用含x的代数式表示）． ②若围成的养鸡场面积为160平方米，求的长． （2）如图2，当时，直接写出养鸡场可达到的最大面积_________． 24. 若关于x的一元二次方程（）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为_________； （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出的值是_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $