精品解析：浙江省宁波市余姚市城区初中 2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024学年第二学期八年级期中考数学学科试题卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选C． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故符合题意； B．含2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； C．的分母含未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D．当时，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选A． 3. 若成立，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质列式求解即可． 【详解】解：∵成立， ∴， ∴． 故选B． 4. 一组数据中，去掉一个最高分和一个最低分，下列数据一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义判断即可． 【详解】解：一组数据中，去掉一个最高分和一个最低分，再进行统计，则上述四个统计量中，一定不会发生变化的是中位数；平均数、众数、方差都会发生改变； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了中位数、众数、算术平均数、方差的含义和判断，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式加减乘除法运算的计算法则计算即可求解． 【详解】解：A．和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； B．，故该选项计算错误，不符合题意； C．，故该选项计算正确，符合题意； D．，故该选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算． 6. 若是关于的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入方程得到关于的方程求解即可． 【详解】解：将代入方程 得：，解得：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，将已知方程的一个根代入方程得到新的方程是解答本题关键． 7. 用反证法证明：在四边形中，至少有一个内角大于或等于90°，应先假设( ) A. 四边形中每一个内角都小于90° B. 四边形中最多有一个内角不小于90° C. 四边形中每一个内角都大于90° D. 四边形中有一个内角大于90° 【答案】A 【解析】 【详解】分析：至少有一个角不小于90°的反面是每个角都小于90°，据此即可假设． 详解：用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90°， 应先假设：四边形中的每个角都小于90°． 故选A． 点睛：此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 8. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选项A不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D不符合题意； 由，，无法得到四边形是平行四边形， ∴选项C符合题意． 故选：C． 9. 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意即可列出方程． 【详解】解：由题意得：； 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 10. 如图，在，过点A分别作于点E，于点F，分别作点C关于的对称点G，H，连接．如果，，的面积为，那么下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的面积公式可求，由直角三角形的性质可求出的长，可判断D；由轴对称的性质和周角为可求出，可判断B；可证为等边三角形，再由三角形三边关系可得：，可判断C；由计算出可判断A． 【详解】解：∵，， ∴，． ∵的面积为， ∴，即， 解得：． ∵四边形使平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，，，， ∴，故D不符合题意； 如图，连接， ∵点C关于，的对称点分别是点G，H， ∴，，， ∴，故B不符合题意； ∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴，故C不符合题意； ∵点C关于的对称点为G，H， ∴垂直平分，垂直平分． 如图， ∵，， ∴四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，． ∵，， ∴． ∵， 又∵， ，， ∴，故A符合题意． 故选A． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 要使式子有意义，则x的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】直接根据二次根式中的被开方数是非负数，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，准确的计算是解题的关键． 12. 如果边形的内角和是它外角和的倍，则等于_____________ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形内角和与外角和及一元一次方程的应用，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．根据多边形内角和公式和外角和为可得方程，再解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 13. 小明用，计算一组数据的方差，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了方差计算公式，一组数据的平均数为，那么它的方差为，据此可得这组数据的平均数，进而可得答案． 【详解】解：由题意得，这10个数据的平均数为3， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，点分别是边的中点，点是线段上的一点．连接，且，则的长是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，直角三角形的性质，由三角形中位线性质可得，由直角三角形的性质可得，进而由线段的和差关系即可求解，掌握三角形中位线的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别是边的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∴， 故答案为：3． 15. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】将代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得的值． 【详解】解：根据题意，将代入方程可得， 解得：或， ，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，是一个基础题，解题时候注意二次项系数不能为，难度不大． 16. 如图，在中，，E是上一点，连接．将沿对折得到，当点恰好落在边上时，（图甲），当点恰好落在边上时，（图乙），则_____． 【答案】38 【解析】 【分析】设，进而根据翻折及可知是等边三角形，则可表示出，在图乙中，过点B作于点E，进而分别表示出CE，，再利用中勾股定理建立等量关系求出x的值即可得到的值． 【详解】解：设， 将沿对折得到，当点恰好落在边上时，有， ∵， ∴， ∵恰好落在边上时， ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴，，， 如下图乙，过点B作于点E， ∵，， ∴， ∵当点恰好落在边上时，， ∴， ∵在中， ∴， 解得， ∴， 故答案为：38． 【点睛】本题主要考查了图形的翻折、含角直角三角形的性质、等边三角形判断与性质、平行四边形性质、勾股定理等相关内容，熟练掌握相关几何求解方法是解决本题的关键． 三、解答题（共8小题，第17—21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化为最简二次根式，再算加减； （2）先根据乘法公式计算，再算加减． 【小问1详解】 【小问2详解】 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的对称中心在原点，点，的坐标分别为，．在如图直角坐标系中画出这个平行四边形，并求点，的坐标． 【答案】 平行四边形，如图， ，． 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的性质．根据中心对称，找到点C，D，再顺次连接即可解答． 【详解】略 19. 近年来，网约车给人们的出行带来了便利，杨林和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，两家公司分别抽取的名司机月收入单位：千元如图所示： “滴滴”网约车司机收入的频数分布表： 月收入 千元 千元 千元 千元 人数个 根据以上信息，整理分析数据如表： 平均月收入千元 中位数 众数 方差 “滴滴” “美团” （1）填表：在表格的空白处填入相应的数据； （2）杨林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是杨林，请从平均数、中位数，众数，方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的叔叔选择哪家公司？ 【答案】（1） 在表格的空白处填入相应的数据： 平均月收入千元 中位数 众数 方差 “滴滴” “美团” （2） 选“美团”，理由如下： 因为平均数一样，“美团”的中位数、众数大于“滴滴”的，且“美团”的方差小，更稳定． 【解析】 【分析】（1）利用平均数、中位数、众数的定义分别计算后即可确定正确的答案； （2）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可． 【小问1详解】 解：“美团”的平均月收入为，众数为， “滴滴”网约车司机收入的中位数为； 【小问2详解】 解：略； 【点睛】本题考查了统计的有关知识，扇形统计图、频数分布表，求中位数、众数、平均数，解题的关键是熟练掌握有关的计算公式，难度不大． 20. 解方程： （1）； （2）下面是小蒋同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解方程：， 解：方程两边同除以，得第一步 移项，合并同类项，得第二步 系数化为，得第三步 任务： 小蒋的解法从第_____步开始出现错误； 请写出此题的正确解题过程． 【答案】（1）， （2）一 ， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）在第一步中，方程两边同除以，需要，故第一步开始出现错误； 运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：在第一步中，方程两边同除以，需要，故小蒋的解法从第一步开始出现错误， 故答案为：一； ， 移项，得， 因式分解，得， 或， ，． 21. 如图，的对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， E，F分别是的中点， ，， ，  四边形是平行四边形； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；（1）由平行四边形的性质得，再证，即可得出结论； （2）由勾股定理得，则，再由勾股定理求出，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 在中，， ． 22. 位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝殿（又称无梁殿）更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天保国寺的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低0.5元，平均每天可多售出100个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）20% （2）要使每天销售旅游纪念章获利2800元，售价应降低元 【解析】 【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意得关于x的一元二次方程，解方程，然后根据问题的实际意义作出取舍即可； （2）设售价应降低m元，根据每个的利润乘以销售量，等于2800，列方程并求解，再结合问题的实际意义作出取舍即可． 【小问1详解】 解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x， 根据题意，得5000（1+x）2=7200， 解得x1=0.2，x2=-2.2（舍去）． 答：平均增长率为20%； 【小问2详解】 设售价应降低m元，则每天的销量为个，根据题意得， 解得， 为了让游客尽可能得到优惠，则． 答：要使每天销售旅游纪念章获利2800元，售价应降低元． 【点睛】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 23. 对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，那么；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：已知一元二次方程两个实数根分别为，，求的值．小明给出了一部分解题思路： 解：（1）一元二次方程的两个实数根分别为，， _____， _____， _____，请填空； （2）一元二次方程的一个根为，则_____，另一个根为_____； （3）关于的一元二次方程：有两个实数根，且这两个实数根的平方和是21，求的值． 【答案】（1）3，，；（2），；（3）2 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系的应用，利用因式分解的方法解一元二次方程． （1）利用根与系数的关系可得，，再把分解因式，再代入求值即可； （2）利用根与系数的关系可得，，从而可得答案； （3）利用根与系数的关系可得，结合，可得，再解方程，结合，从而可得答案． 【详解】解：（1）∵一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3，，； （2）∵一元二次方程的一个根为， ∴，， 解得：，， 故答案为：，； （3）设关于x的一元二次方程有两个实数根为，， ∴， ∵这两个实数根的平方和是21， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴不符合题意， ∴． 24. 定义：若端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的等积线．例：如图1，在中，连结，我们可以利用“夹在两条平行线间的垂线段相等”，结合“等底（同底）等高的两个三角形面积相等”来说明与的面积相等，即是的等积线． （1）请利用图1完成例的证明． （2）如图2，在四边形中，连结．已知点与上一点的连线段是四边形的等积线，过点作的平行线，交于点，若，求的长度． （3）如图3，在（2）的条件下，延长，交于点．若，请在图中找出一条不同于的四边形的等积线，并说明理由． 【答案】（1） 过作于，过作于， ∵， ∴，， ∵夹在两条平行线间的垂线段相等， ∴， ∵，， ∴，即是的等积线． （2） （3）线段是四边形的等积线 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，平行线间的距离； （1）过作于，过作于，由得到，，根据夹在两条平行线间的垂线段相等得到，再根据等底（同底）等高的两个三角形面积相等证明即可． （2）连接，，过作于，过作于，由得到，再根据线段是四边形的等积线，得到，即可推出，表示出面积即可得到； （3）连接，，由和得到四边形是平行四边形，推出，得到，即可得到，线段是四边形的等积线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解，连接，，过作于，过作于， ∵， ∴， ∵线段是四边形的等积线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 连接，， 由（2）可得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵线段是四边形的等积线， ∴， ∴， ∴线段是四边形的等积线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期八年级期中考数学学科试题卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 若成立，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据中，去掉一个最高分和一个最低分，下列数据一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若是关于的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 7. 用反证法证明：在四边形中，至少有一个内角大于或等于90°，应先假设( ) A. 四边形中每一个内角都小于90° B. 四边形中最多有一个内角不小于90° C. 四边形中每一个内角都大于90° D. 四边形中有一个内角大于90° 8. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在，过点A分别作于点E，于点F，分别作点C关于的对称点G，H，连接．如果，，的面积为，那么下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 要使式子有意义，则x的取值范围是______． 12. 如果边形的内角和是它外角和的倍，则等于_____________ 13. 小明用，计算一组数据的方差，那么______． 14. 如图，在中，点分别是边的中点，点是线段上的一点．连接，且，则的长是_____． 15. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为______ ． 16. 如图，在中，，E是上一点，连接．将沿对折得到，当点恰好落在边上时，（图甲），当点恰好落在边上时，（图乙），则_____． 三、解答题（共8小题，第17—21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的对称中心在原点，点，的坐标分别为，．在如图直角坐标系中画出这个平行四边形，并求点，的坐标． 19. 近年来，网约车给人们的出行带来了便利，杨林和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，两家公司分别抽取的名司机月收入单位：千元如图所示： “滴滴”网约车司机收入的频数分布表： 月收入 千元 千元 千元 千元 人数个 根据以上信息，整理分析数据如表： 平均月收入千元 中位数 众数 方差 “滴滴” “美团” （1）填表：在表格的空白处填入相应的数据； （2）杨林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是杨林，请从平均数、中位数，众数，方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的叔叔选择哪家公司？ 20. 解方程： （1）； （2）下面是小蒋同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解方程：， 解：方程两边同除以，得第一步 移项，合并同类项，得第二步 系数化为，得第三步 任务： 小蒋的解法从第_____步开始出现错误； 请写出此题的正确解题过程． 21. 如图，的对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 22. 位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝殿（又称无梁殿）更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天保国寺的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低0.5元，平均每天可多售出100个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？ 23. 对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，那么；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：已知一元二次方程两个实数根分别为，，求的值．小明给出了一部分解题思路： 解：（1）一元二次方程的两个实数根分别为，， _____， _____， _____，请填空； （2）一元二次方程的一个根为，则_____，另一个根为_____； （3）关于的一元二次方程：有两个实数根，且这两个实数根的平方和是21，求的值． 24. 定义：若端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的等积线．例：如图1，在中，连结，我们可以利用“夹在两条平行线间的垂线段相等”，结合“等底（同底）等高的两个三角形面积相等”来说明与的面积相等，即是的等积线． （1）请利用图1完成例的证明． （2）如图2，在四边形中，连结．已知点与上一点的连线段是四边形的等积线，过点作的平行线，交于点，若，求的长度． （3）如图3，在（2）的条件下，延长，交于点．若，请在图中找出一条不同于的四边形的等积线，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $