精品解析：重庆大渡口区2025—2026学年下学期九年级第二次适应性（数学）检测

2025-2026学年九年级第二次适应性（数学）检测 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色铅笔或签字笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为ABCD的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑 1. 2的绝对值是（ ） A. B. C. 0 D. 2 2. 下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. “随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 4. 如图，是的直径，点，在上，点是的中点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，将形状、大小完全相同的“”与线段按照一定规律摆成下列图案，其中第①个图案用了6个“”，第②个图案用了11个“”，第③个图案用了16个“”，第④个图案用了21个“”，．．．，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的“”个数是（ ） A. 48 B. 46 C. 41 D. 40 6. 某景区接待游客人数约为人，这个数的原数是（ ） A. 42000 B. 420000 C. 4200000 D. 42000000 7. 若点都在反比例函数的图象上，且，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 某电商服务中心决定改善运营方式，计划经过两年时间营业额增加44%，那么这两年该服务中心平均每年营业额的增长率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点在边上，的平分线交于点，连接交于．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知多项式，多项式，其中均为正整数，下列说法： ①当时，若关于的方程有唯一解，则这个解为； ②若，则存在实数使得； ③若，且，则满足条件的多项式之和为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 口袋里有除颜色外完全相同的10个球，其中有2个红球，3个白球，5个绿球．从口袋里随机摸出一个球，摸出白球的可能性大小是___________． 12. 如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中角的顶点B在上，直角顶点C在上，三角板与直尺边缘形成的，则________． 13. 若是两个连续整数，且，则的值为___________ 14. 若实数，同时满足，，则的值___________． 15. 如图，为的直径，点在上，的平分线交于点，连接．已知，则的长为___________，过点作，交的延长线于点，则的长为___________． 16. 一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，当（为正整数）时，称这个四位数为“顺利数”．将的千位数字与十位数字调换，百位数字与个位数字调换后得到的新四位数记为，规定，当最大时，的值为___________；若为整数，且既能被11整除又能被19整除，则满足条件的正整数的值为___________． 三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 学习了特殊平行四边形和尺规作图后，小明进行了拓展性探究，他发现了在平行四边形中构造菱形的一种作法，并与他的同伴进行了交流．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． （1）第一步：构造对角线的垂直平分线． 小明连接对角线（如图）．利用尺规作图作出的垂直平分线，分别交于，交于交于．连接，四边形即为菱形（不写作法，保留作图痕迹）． （2）第二步：利用三角形全等证明他的想法． 证明：四边形是平行四边形， ． ， 是的垂直平分线， ，． 在和中， （ASA）． ___________② 又， 四边形是平行四边形． ___________③ 四边形是菱形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 为提升学生的文化认同感，弘扬中华民族优秀传统文化，某校举办了以“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”为主题的古诗词知识竞赛，现从八、九年级的参赛学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（分数用x表示，总分为100分，共分成四组：A.；B.；C.；D.），下面给出部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩为：69，72，72，79，85，88，91，91，91，97． 九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：83，88，88，88，89． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 83.5 86.5 a 九年级 83.5 b 88 九年级所抽学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的古诗词竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级的参赛学生有300人，九年级的参赛学生有240人，请估计该校八、九年级参赛学生的竞赛成绩达到“优秀”（）的共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题： 现有甲、乙两运输公司，已知甲运输公司每天的运输量比乙运输公司每天的运输量多吨，甲运输公司天的运输总量比乙运输公司天的运输总量多吨． （1）求甲、乙两运输公司每天的运输量分别是多少吨？ （2）随着业务的增加，甲、乙两运输公司都提高了运输能力．提高后，每天乙运输公司的运输量较提高前每天的运输量增加同样的数量，且每天甲运输公司的运输量较提高前每天增加的数量是乙运输公司每天增加数量的倍．若甲、乙两运输公司各运输货物吨，乙运输公司比甲运输公司多用天．求乙运输公司每天增加的运输量． 22. 如图1，在中，，点是的中点．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．连接，设运动时间为秒．若的面积为长的与的长之比为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 如图，是某牧场的四个放牧点，且在同一平面内．位于的正东方向处，位于的南偏东方向处，位于的正南方向，位于的南偏西方向． （1）求和两放牧点之间的距离；（参考数据：．结果保留整数） （2）现甲从放牧点出发，沿前往放牧点，乙从放牧点出发沿方向前往A放牧点，两人同时出发，乙的速度是甲速度的2倍．当两人的距离是甲到放牧点距离的3倍时，甲距离放牧点多少千米？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，两点，与轴交于点，连接． （1）求该抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作交于点，过点作交轴于点，为轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值： （3）将抛物线沿方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，连接，点是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，． （1）如图1，若，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，，求的度数： （2）如图2，若，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，．点是的中点，连接交于．用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，将绕着点旋转得到线段，连接．当取最大值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．当取最小值时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级第二次适应性（数学）检测 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色铅笔或签字笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为ABCD的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑 1. 2的绝对值是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】正数的绝对值是它本身． 【详解】解：． 2. 下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 3. “随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 【答案】B 【解析】 【详解】解：“随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是随机事件． 4. 如图，是的直径，点，在上，点是的中点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理；连接，利用弧中点得到等弧，进而得到对应圆心角相等，再根据圆周角定理求解圆周角的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：A． 5. 如图所示，将形状、大小完全相同的“”与线段按照一定规律摆成下列图案，其中第①个图案用了6个“”，第②个图案用了11个“”，第③个图案用了16个“”，第④个图案用了21个“”，．．．，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的“”个数是（ ） A. 48 B. 46 C. 41 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】通过观察图形得出点的个数与图案序号之间的关系，归纳出通项公式，即可求解 【详解】解：第①个图案用了个“”， 第②个图案用了个“”， 第③个图案用了个“”， 第④个图案用了个“”，   第个图案用了 个“”， 则第⑧个图案用了 个“”， 6. 某景区接待游客人数约为人，这个数的原数是（ ） A. 42000 B. 420000 C. 4200000 D. 42000000 【答案】B 【解析】 【分析】将科学记数法转换为原数，需将小数点向右移动5位． 【详解】解：∵ ． 7. 若点都在反比例函数的图象上，且，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用反比例函数的图象与性质解题，先根据比例系数判断函数所在象限和增减性，再根据横坐标范围判断各点位置，即可比较纵坐标大小． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象的两个分支分别在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小． ∵ ， ∴ ， ， ∴ ． 8. 某电商服务中心决定改善运营方式，计划经过两年时间营业额增加44%，那么这两年该服务中心平均每年营业额的增长率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出初始营业额和平均增长率，根据两年后的营业额关系列方程求解，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设原营业额为，平均每年营业额的增长率为， ∵两年后营业额增加，即两年后营业额为 ， 根据平均增长率的增长关系可得： ， ∵，两边同时除以得： ， 开平方得， ∵增长率为正数， ∴取， 解得：． 9. 如图，在正方形中，点在边上，的平分线交于点，连接交于．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交延长线于点，过点作于点，连接，先由得，进而得，再根据证明，进而得，在、和中，根据勾股定理列出式子，解得，最后由得即可． 【详解】解：如图所示，延长交延长线于点，过点作于点，连接， ， ， 即，解得， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 在、和中， ， ， 即， 整理得，， ， ， ，   故选：C． 10. 已知多项式，多项式，其中均为正整数，下列说法： ①当时，若关于的方程有唯一解，则这个解为； ②若，则存在实数使得； ③若，且，则满足条件的多项式之和为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式方程，一元二次方程根的判别式，因式分解的应用，利用方程解的性质逐一判断三个说法即可得到结果． 【详解】解：①当时， 方程即为， 整理得 ∵方程有唯一解，∴，解得，故①正确； ②若， 则， 若存在实数使得，则一元二次方程的判别式， ， ∵均为正整数，∴，得 ∴方程无实根，不存在满足条件的，故②错误； ③， 等式两边加因式分解得：， ∵都是正整数， ∴，即，，即 符合条件的正整数分解有：，得； 为正整数时，所有可能的为， 所有的和为：， 故③错误； 综上，正确的说法共1个， 故选B． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 口袋里有除颜色外完全相同的10个球，其中有2个红球，3个白球，5个绿球．从口袋里随机摸出一个球，摸出白球的可能性大小是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据概率的定义，摸出白球的概率等于白球数量与总球数的比值，列式计算即可作答． 【详解】解：口袋中总球数为个，白球有个， 摸出白球的概率为． 12. 如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中角的顶点B在上，直角顶点C在上，三角板与直尺边缘形成的，则________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】由两直线平行，内错角相等可得，再利用平角求解即可． 【详解】解：，，， ， ， ． 13. 若是两个连续整数，且，则的值为___________ 【答案】9 【解析】 【分析】先根据二次根式的乘法法则化简，再估算无理数的大小得到连续整数和的值，最后计算即可． 【详解】解：化简二次根式乘积得： ，即 ，是两个连续整数，且 ， ． 14. 若实数，同时满足，，则的值___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据得出，当时，得出，与，不符合题意；当时，得出，解方程组求出、的值，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 当时，，与矛盾，此种情况不存在， 当时，， ∴， 解得：， ∴． 15. 如图，为的直径，点在上，的平分线交于点，连接．已知，则的长为___________，过点作，交的延长线于点，则的长为___________． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】连接，过点A作，先求出的长，利用勾股定理求出的长，最后再利用勾股定理求出的长；证，根据相似三角形的性质可求出的长． 【详解】解：如下图，连接，过点A作，得， ， 为的直径， ， 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ，， , ， ， ． 16. 一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，当（为正整数）时，称这个四位数为“顺利数”．将的千位数字与十位数字调换，百位数字与个位数字调换后得到的新四位数记为，规定，当最大时，的值为___________；若为整数，且既能被11整除又能被19整除，则满足条件的正整数的值为___________． 【答案】 ①. 156 ②. 5225 【解析】 【分析】四位正整数，各个数位上的数字均不为0，当（为正整数），要让最大，则千位上的数字要尽可能大，可得最大可取6，此时，最大可取9，最大可取5，得最大的，，可求出；求出，由为整数得为整数，即必为整数，且取1，2，3，4，5，6，为1，2，⋯，9，为1，2，最后根据为1，2时分类讨论，即可． 【详解】解：四位正整数，各个数位上的数字均不为0，当（为正整数）， 要让最大，则千位上的数字要尽可能大， 又且， 所以，最大可取6，此时， 又且，，为正整数， ∴最大可取2， 所以，最大可取9，最大可取5， 所以，最大的， ∵将的千位数字与十位数字调换，百位数字与个位数字调换后得到的新四位数记为， ∴， ∴； ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又为整数， ∴， ∵，即， ∴， ∴必为整数，且取1，2，3，4，5，6，为1，2，⋯，9，为1，2， 又 代入得：， 当时，，为整数，是14的因数，， 当时，即，时，， ，符合条件，的其他值均不满足条件； 当时，，为整数，是21的因数，，此时无符合条件的， ∴满足条件的的值为5225． 三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】4、5 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再确定两个解集的公共部分得到原不等式组的解集，最后找出解集内的所有整数即可． 【详解】解：  由①得； 由②得 ， ∴原不等式组的解集为，  ∴不等式组的整数解为、． 18. 学习了特殊平行四边形和尺规作图后，小明进行了拓展性探究，他发现了在平行四边形中构造菱形的一种作法，并与他的同伴进行了交流．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． （1）第一步：构造对角线的垂直平分线． 小明连接对角线（如图）．利用尺规作图作出的垂直平分线，分别交于，交于交于．连接，四边形即为菱形（不写作法，保留作图痕迹）． （2）第二步：利用三角形全等证明他的想法． 证明：四边形是平行四边形， ． ， 是的垂直平分线， ，． 在和中， （ASA）． ___________② 又， 四边形是平行四边形． ___________③ 四边形是菱形． 【答案】（1） 解：如图所示，四边形即为所求； （2），，． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线作法作图即可； （2）根据可得，结合对顶角相等证明，得到，从而证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ． ， 是的垂直平分线， ． 在和中， ． ② 又， 四边形是平行四边形． ③ 四边形是菱形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 为提升学生的文化认同感，弘扬中华民族优秀传统文化，某校举办了以“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”为主题的古诗词知识竞赛，现从八、九年级的参赛学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（分数用x表示，总分为100分，共分成四组：A.；B.；C.；D.），下面给出部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩为：69，72，72，79，85，88，91，91，91，97． 九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：83，88，88，88，89． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 83.5 86.5 a 九年级 83.5 b 88 九年级所抽学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的古诗词竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级的参赛学生有300人，九年级的参赛学生有240人，请估计该校八、九年级参赛学生的竞赛成绩达到“优秀”（）的共有多少人？ 【答案】（1）； （2）八年级， 理由：因为两个年级学生的古诗词竞赛成绩的平均数相同，但八年级学生的古诗词竞赛成绩的中位数比九年级的高， 所以八年级学生的古诗词竞赛成绩更好（答案不唯一）； （3）324人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和统计表，中位数、众数的求解，用样本估计总体等知识点，正确理解题意，读懂统计图是解题的关键． （1）根据中位数、众数的概念分析即可； （2）根据中位数做决策即可； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：在八年级10名学生的竞赛成绩中91出现的次数最多，故众数； 九年级A、B两组的人数均为：（人）， 把九年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是83，88， 故中位数， 故答案为：91，85.5； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校八、九年级参赛学生的竞赛成绩达到“优秀”（）的共有324人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ， 当 时， 原式． 21. 列方程解下列问题： 现有甲、乙两运输公司，已知甲运输公司每天的运输量比乙运输公司每天的运输量多吨，甲运输公司天的运输总量比乙运输公司天的运输总量多吨． （1）求甲、乙两运输公司每天的运输量分别是多少吨？ （2）随着业务的增加，甲、乙两运输公司都提高了运输能力．提高后，每天乙运输公司的运输量较提高前每天的运输量增加同样的数量，且每天甲运输公司的运输量较提高前每天增加的数量是乙运输公司每天增加数量的倍．若甲、乙两运输公司各运输货物吨，乙运输公司比甲运输公司多用天．求乙运输公司每天增加的运输量． 【答案】（1）甲运输公司每天运输量为吨，乙运输公司每天运输量为吨 （2）乙运输公司每天增加的运输量为吨 【解析】 【分析】（1）设乙运输公司每天的运输量为吨，则甲运输公司每天的运输量为吨，根据甲运输公司天的运输总量比乙运输公司天的运输总量多吨列一元一次方程，求出的值即可得答案； （2）设乙运输公司每天的运输量每天增加吨，则甲运输公司每天的运输量每天增加吨，根据甲、乙两运输公司各运输货物吨，乙运输公司比甲运输公司多用天列方程，求出的值即可． 【小问1详解】 解：设乙运输公司每天的运输量为吨，则甲输货公司每天的运输量为吨， ∵甲运输公司天的运输总量比乙运输公司天的运输总量多吨， ∴， 解得：， ∴（吨）． 答：甲运输公司每天运输量为吨，乙运输公司每天运输量为吨． 【小问2详解】 解：设乙运输公司每天的运输量每天增加吨，则甲运输公司每天的运输量每天增加吨， ∵甲、乙两运输公司各运输货物吨，乙运输公司比甲运输公司多用天， ∴， 解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， ∴乙运输公司每天增加的运输量为吨． 22. 如图1，在中，，点是的中点．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．连接，设运动时间为秒．若的面积为长的与的长之比为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）； （2）函数图象如下所示： 当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，则可得到，，根据题意可求出；再分两种情况：当时，点P在线段上（不包括点A，包括点C），当时，点P在线段上（不包括端点），过点P作于点H，解直角三角形求出的长，根据，求出即可； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数的性质即可； （3）根据函数图象找到的图象在的图象上方或二者的交点处时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∴； ∵点是的中点， ∴； 由题意得，， ∵长的与的长之比为， ∴； 如图所示，当时，点P在线段上（不包括点A，包括点C）， 过点P作于点H， 在中，，， ∴， ∴； 如图所示，当时，点P在线段上（不包括端点）， 过点P作于点H， 在中，，， ∴， ∴； 综上所述，； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时的取值范围为． 23. 如图，是某牧场的四个放牧点，且在同一平面内．位于的正东方向处，位于的南偏东方向处，位于的正南方向，位于的南偏西方向． （1）求和两放牧点之间的距离；（参考数据：．结果保留整数） （2）现甲从放牧点出发，沿前往放牧点，乙从放牧点出发沿方向前往A放牧点，两人同时出发，乙的速度是甲速度的2倍．当两人的距离是甲到放牧点距离的3倍时，甲距离放牧点多少千米？ 【答案】（1）； （2）甲距离基地 【解析】 【分析】（1）作于，作于，在中，解直角三角形可求得，，进而得到，证明四边形为矩形，得到，在中，解直角三角形可求得，进而可得，即可得到； （2）如图，当两人的距离是甲到放牧点距离的倍时，甲运动到点处，乙运动到点处，作于点，连接，则，设，可表示出，，，在中，解直角三角形可表示出，，，在中，根据勾股定理列一元二次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：如图，作于，作于， 由题意得，，， ， 在中，， ， ， ，，， 四边形为矩形，， ，， ， 在中，, ， ， 即和两放牧点地之间的距离约为； 【小问2详解】 解：如图，当两人的距离是甲到放牧点距离的倍时，甲运动到点处，乙运动到点处， 作于点，连接，则，， 设，则， 甲乙同时出发，且乙的速度是甲速度的倍， ， ， 在中，，， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， 整理得， 解得，（负值，舍去）， 答：当两人的距离是甲到放牧点距离的倍时，甲距离放牧点的距离是． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，两点，与轴交于点，连接． （1）求该抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作交于点，过点作交轴于点，为轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值： （3）将抛物线沿方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，连接，点是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把、代入，解方程组求出、的值即可得答案； （2）过点作轴，交于，过点作轴于，交于，根据解析式求出，得出，根据平行线的性质及角的和差关系得出，利用的三角函数求出，，可得，根据，证明四边形是平行四边形，得出当取得最大值时，取最大值，设，可得，根据二次函数的性质可求出点坐标为，在第一象限作，过点作于，交轴于，过点作轴于，可得、、在一条直线上时，取最小值，利用三角函数求出、的长即可得答案； （3）先求出平移后的抛物线解析式为，得出两抛物线的交点为原抛物线的顶点，分点在点下方和点在点上方两种情况，分别求出、的解析式，与新抛物线联立，求出交点坐标即可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，，两点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，交于，过点作轴于，交于， ∴， ∵， ∴当时，， 解得：，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取最大值， 设， ∴，， ∴， ∴当时，取最大值， 当时，， ∴， 在第一象限作，过点作于，交轴于，过点作轴于， ∴， ∴当、、在一条直线上时，取最小值， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【小问3详解】 解：∵将抛物线沿方向平移个单位长度，， ∴抛物线向右平移的距离与向上平移的距离相等， 设平移的距离为， ∴， 解得：（负值舍去）， ∵， ∴原抛物线的顶点坐标为，平移后的抛物线解析式为， 联立两个抛物线的解析式得，， 解得：， ∴，此时新抛物线经过原抛物线的顶点， 如图，①当点在点下方时，过点作轴，交于，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和新抛物线解析式得，， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴； ②当点在点上方时，过点作于，设交轴于， 同理可得，，， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和新抛物线解析式得，， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴． 综上所述：点的坐标为或． 25. 在中，． （1）如图1，若，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，，求的度数： （2）如图2，若，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，．点是的中点，连接交于．用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，将绕着点旋转得到线段，连接．当取最大值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．当取最小值时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据等边三角形和旋转的性质，推导出两个等腰三角形的底角，再通过角的差直接计算出目标角的度数； （2）通过构造等腰直角三角形，利用三角形全等将线段进行转化，再结合等腰直角三角形的边的关系，推导出三条线段之间的数量关系； （3）先分析出取最大值和取最小值时的特殊位置，再通过设边长，分别计算两个三角形的面积，最后求出它们的面积比． 【小问1详解】 由且，得为等边三角形， ∴，， 将绕逆时针旋转得， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 在中，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 由,，得为等腰直角三角形， 将绕逆时针旋转得， ∴，，， ∵为中点，， ∴，且， ∴在等腰中：， 又∵ ， ∴在中：， ， ∴， 过作交于，则为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，即， 又∵，， ∴， 得，故，所以． 【小问3详解】 由，，所以， 当最大时，、、共线，，为等边三角形， ∴， 设，则，， 由翻折可知：，在以为圆心、为半径的圆上， 当最小时，、、共线，在、之间，故， 在中，，,， ，面积比：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $