精品解析：重庆市大渡口区2024-2025学年九年级下学期第二次适应性检测数学试题

2024－2025学年度九年级第二次适应性检测数学卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔或签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的分类，无理数的判断；根据有理数和无理数的定义一一判断即可得出答案． 【详解】解：．2是正数是有理数，故该选项不符合题意； ．是负数是有理数，故该选项不符合题意； ．是分数是有理数，故该选项不符合题意； ．是无理数，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．根据从正面看的图形是主视图即可求解． 【详解】解：该几何体的主视图是： 故选：A． 3. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数，掌握反比例函数的基本性质是解题关键． 根据得，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于，就在函数图象上． 【详解】解：A、，所以，点不在函数图象上，故选项A不符合题意； B、，所以，点不在函数图象上，故选项B不符合题意； C、，所以，点在函数图象上，故选项C符合题意； D、，所以，点不在函数图象上，故选项D不符合题意； 故选：C． 4. 若， 与的面积比为，则与的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，据此可得答案． 【详解】解：∵， 与的面积比为， ∴与的比是， 故选：A． 5. 如图，一块含角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，掌握知识点是解题的关键． 过三角形的角顶点作直线的平行线是解决问题的关键，然后利用两直线平行，内错角相等即可求出． 【详解】解：如图，过三角形的角顶点A作直线n的平行线l， ∵， ∴ ∴,， ∴． 故选A． 6. 估算的结果应在（ ） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，无理数的估算，先根据二次根式的乘法法则计算，然后利用“夹逼法”求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴， 故选：B． 7. 如图所示，将形状、大小完全相同的“•”与线段按照一定规律摆成下列图案，其中第①个图案用了6个“·＂，第②个图案用了11个“·”，第③个图案用了16个“·”，第④个图案用了21个“·”，…，按此规律排列下去，则第⑨个图案用的“•”个数是（ ） A. 48 B. 46 C. 41 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索题，根据图形得出规律，即可求解，根据图形，准确找出其规律是解题的关键． 【详解】解：第①个图案用了个“·”， 第②个图案用了个“·”， 第③个图案用了个“·”， 第④个图案用了个“·”， ⋯⋯⋯⋯ 第n个图形用了个“·”， 则第⑨个图案用了个“·”， 故选：B． 8. 如图，正方形中，分别取和边的中点，连接相交于点，连接，若，则的度数一定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点．延长交的延长线于，先证明和全等得，进而得，再证明和全等得，由此可得，由此即可得出答案． 【详解】解：延长交的延长线于，如图所示： 四边形是正方形， ，，， ，， 点，分别是，的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即点是斜边上的中点， ， ， ． 故选：D． 9. 如图，是等边三角形的外接圆，点是的中点，连接．以点为圆心，的长为半径在内画弧，阴影部分的面积为，则等边三角形的边长为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用三线合一性质求出，，在中，求出，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过D作于E， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，直角三角形的性质以及勾股定理等知识，灵活应用以上知识是解题的关键． 10. 将连续正整数的排列顺序打乱，重新排列成．若，下列说法：①可能是负数；②是奇数时，是奇数；③是偶数时，是偶数．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，举例子说明：当时，重新排列为2，3，1，，即可判断①、③，当时，重新排列为2，1，4，3，即可判断②． 【详解】解：依题意，当时，重新排列为2，3，1，则，故①正确； 当时，重新排列为2，1，4，3，则，此时满足是奇数，但是偶数，故②错误； 当时，由①知，此时满足是偶数，但是奇数，故③错误． 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了含零指数幂的运算，掌握任何非零实数的零次幂为1是解题的关键． 分别计算乘方和零次幂，再相加即可． 【详解】解：， 故答案为：10． 12. 2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接，数据384000用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 13. 3月14日是国际数学节，某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”、“玩转幻方”、“益智九连环”和“巧解鲁班锁”四个挑战活动，如果小芳和小圆每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及她们恰好选到同一个活动的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将“竞速华容道”、“玩转幻方”、“益智九连环”和“巧解鲁班锁”四个挑战活动分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中她们恰好选到同一个活动的结果有4种， ∴她们恰好选到同一个活动的概率为． 故答案为：． 14. 若关于的不等式组至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数的值的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，先解不等式组，再根据解集的情况得出，解得，然后解分式方程得，根据分式方程的解的情况，确定符合条件的值，即可得出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵关于的不等式组至多有两个偶数解， ∴，解得：， 解分式方程， ， ， ∵关于的分式方程的解为正整数， ∴且， ∴的值为或 符合条件的整数的值的和为， 故答案为：． 15. 如图，是的直径，点在上，过点作于点，点为上一点，连接交于点，，若，，则______；______． 【答案】 ①. 2 ②. 1 【解析】 【分析】本题考查圆的性质、勾股定理、三角形面积公式、等腰三角形三线合一及相似三角形的判定与性质； 先利用圆和直角三角形性质求、进而得，再通过作辅助线，借助相似三角形和勾股定理求． 【详解】∵是的直径，点在上， ∴． ∵，， ∴ ∵． 将，，代入，可得： 在中， ，将，代入可得： ， ∴， 连接，作， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 16. 如果一个各位数字均不相同的四位数满足，，那么称这个四位数为“十一数”．将“十一数”的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为，记．例如四位数，，不是“十一数”；又如四位数，，，是“十一数”，．若是最大的“十一数”，则______；对于“十一数”，若能被7整除，则满足条件的最小的“十一数”为______． 【答案】 ①. 829 ②. 1987 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，二元一次方程的解，不等式的性质，代数式求值，熟练根据题意正确列出式子，并利用不等式性质确定范围是解题的关键．先利用定义得出，，然后计算出；若是最大的“十一数”，结合，，则要尽可能大，且要尽可能大，即可得；利用，则要使能被7整除，只需能被7整除即可，结合，，得出可以为0或7或14，再求解即可． 【详解】解：一个四位数满足，， ，，且，，，，且、、、为整数， ，由题意得 ， ， ， 若是最大的“十一数”，则要尽可能大， 则，， 且要尽可能大， 当时，， 则此时，不符合题意， 当时，， 则此时，符合题意， 则； ， 要使能被7整除，只需能被7整除即可， ，， ， 可以为0或7或14， 当时，，此时，不符合题意； 当时， 要使最小，则应尽可能小， ， 满足条件的最小的“十一数”为1987， 故答案为：829；1987． 三、解答题：（本大题8个小题，17题16分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式，平方差公式和单项式乘以多项式以及分式的化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算完全平方公式和平方差公式，然后去括号合并同类项即可； （2）先算括号内的，然后算除法，最后代入求值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式= 18. 学习了特殊平行四边形后，小明同学在数学研修活动中进行了拓展性研究．他利用菱形，借助直尺和圆规，作出了矩形．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：如图，在菱形中，对角线相交于点 ．在的延长线上截取，连接，再过点 作的垂线交于点（只保留作图痕迹，不写作法，不另外添加字母和符号）； （2）求证：四边形为矩形． 证明：， ①______． 四边形是菱形， ，，， ， ， ②______， 又， 四边形为③______． ，④______． ， 四边形为矩形． 【答案】（1） 解：如图即为所求： （2）①；②；③平行四边形；④ 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，矩形的判定等，解题的关键是根据要求尺规作图． （1）根据题意画图即可； （2）根据垂直的性质可得，根据菱形的性质可得，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得四边形为矩形． 【小问1详解】 作法：延长，以 为圆心，的长为半径，在的延长线上画弧，即为点；连接，分别以，为圆心，的长为半径，在的上方画弧，两弧交于一点，连接该点与点 ，与交于一点，即为点 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ∴四边形为矩形． 故答案为：①；②；③平行四边形；④． 19. 科大讯飞推出了“讯飞星火”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：（单位：分） 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：83，85，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据： 67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100； 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 45％ B 88 88 c 40％ 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有300人对A款AI聊天机器人进行评分、320人对Ｂ款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】（1），， （2） A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款评分数据的平均数、众数都相同，但A款评分数据的中位数为分比B款的中位数88分高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）； （3）此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有78人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，平均数的定义、中位数的定义、众数的定义，样本估计总体； （1）由扇形统计图及表格获取数据分别求出抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“不满意”、 “满意” 、“非常满意”、“比较满意”的人数，再由中位数的定义、众数的定义，即可求解； （2）从平均数、中位数、众数几个方面综合分析，即可求解； （3）A款 “不满意”所占的百分比Ｂ款 “不满意”所占的百分比，即可求解； 理解平均数的定义、中位数的定义、众数的定义，会用样本求总体，能从扇形统计图及表格中获取正确的数据，并能根据数据进行分析决策是解题的关键． 【小问1详解】 解：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“不满意”的人数：（人）， 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的人数：（人）， 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“非常满意”的人数：（人）， 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“比较满意”的人数： （人）， ； 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据的中位数是将这组数组按从小到大顺序排好后的第、个数的平均数， “不满意”的人数与“比较满意”的人数共：人， 第、个数在评分为“满意”的数据中， 第、个数为、， ； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据中出现最多的是数据，共个， ； 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有78人． 20. 为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、 两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． （1）求购进、 两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、 两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？ 【答案】（1）购进、 两种哪吒玩偶的单价分别是元，元 （2）最少要花3210元钱 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设设购进、 两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）先设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进 种哪吒玩偶个，根据种哪吒玩偶的数量不多于 种哪吒玩偶数量的2倍，得，解得，再设购进、 两种哪吒玩偶所需元，得，运用一次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵一个 种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍， ∴设购进、 两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∵某玩具店决定各用300元购进了、 两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个． ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 则（元） ∴购进、 两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， 【小问2详解】 解：∵该玩具店决定再次购进、 两种哪吒玩偶共80个， ∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进 种哪吒玩偶个， ∵种哪吒玩偶的数量不多于 种哪吒玩偶数量的2倍， ∴， 解得， 设购进、 两种哪吒玩偶所需元， ∵、 两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵，且为正整数， ∴当时，有最小值，且， 即此次购进至少要花3210钱． 21. 在中，，，，点是的中点，动点 从点出发，沿匀速运动，到点 停止运动，点 的运动速度为每秒个单位长度，点 的运动时间为秒，的面积为． （1）直接写与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在图的直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）若直线与该函数图象有两个交点，则的取值范围是______． 【答案】（1）； （2） 画函数图象，如下图所示， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，因为点是的中点，可得，当点 的运动速度为每秒个单位长度，可得：当时，，当时，； 根据分段函数的解析式画出函数图象即可； 当直线过点时，可得：，所以直线与该函数图象有两个交点，则的取值范围是． 【小问1详解】 解：，，， ， 点是的中点， ， ，点 的运动速度为每秒个单位长度， ， 当时，， ； ， ， 当时，过点 作， 则， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ； 综上所述，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当直线过点时， 可得：， 解得：， 直线与该函数图象有两个交点，则的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、勾股定理、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式，解决本题的关键是根据三角形的面积公式分段求出与的函数关系式． 22. 如图是某湿地公园里环湖跑道示意图，点是途中的四个观景台．观景台 在观景台西北方向900米处，观景台在观景台 的东北方向，观景台在观景台 的正东方向，观景台在观景台北偏西方向． （1）求环湖跑道段的长度（结果保留根号）； （2）从观景台前往观景台，可以选择路线①，也可以选择路线②请问哪条路线最近？（结果保留整数）（参考数据：，） 【答案】（1）环湖跑道段的长度为 （2）路线①近 过点C作于点， 由题意得：，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设， 则在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 在中，， ∴路线①：， 路线②：， ∵， ∴路线①近． 【解析】 【分析】本题考查了有关方位角的解直角三角形的应用，勾股定理，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作于点，由题意得，，先解，求出，再解，即可求解； （2）解：过点C作于点，由题意得：，则，在中，由勾股定理得，则，设，解，则，由，得到，求出，由勾股定理求出，再解，求出，然后计算两条路线的长度比较即可． 【小问1详解】 解：过点A作于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， 答：环湖跑道段的长度为； 【小问2详解】 略 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，且，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点 是直线上方抛物线上一动点，过点 作轴，交于点，求的最大值及点 的坐标； （3）将抛物线绕点旋转，得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）最大值为9，此时， （3）或． 【解析】 【分析】（1）将， ，三点坐标代入抛物线解析式，求解即可； （2）过点作轴，先求出直线的函数关系式为，设，则， 可得出，再求解即可； （3）分为当点在的下方时及当点在的上方时，这两种情况，构造全等三角形，分别求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 将， ，三点坐标代入抛物线解析式： ，解得：, 抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴， 设直线的函数关系式为，将 ，两点坐标代入得： ，解得， 直线的函数关系式为， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，为9，此时； 【小问3详解】 解：将抛物线绕点旋转，得到新抛物线， 关于对称点都在抛物线上， 设新抛物线的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， 新抛物线的函数关系式为， 当点在的下方时， 如图，过点作，过点作轴，过点作的延长线于点， 设点， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在直线：上， ， 解得：（舍去）， ， 当点在的上方时， 如图，过点作，过点作轴，过点作的延长线于点 ， 设点， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在直线：上， ， 解得：（舍去）， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 24. 如图，在 中，，，点是直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）如图1，若点在边上，且，，求线段的长； （2）如图2，若点在的延长线上，点是的中点，的延长线交的延长线于点，探索线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若点在边上，点 是的中点，，连接，将线段绕点旋转得到，连接，将绕点 逆时针旋转得到，连接，当取最大值时，直接写出此条件下的面积的最大值． 【答案】（1） （2）， 理由如下：如图，连接，过点作于点， ∵，， 将绕点顺时针旋转得到， ∴ ，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即：； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，先证明，得出，再由，得出，得出，再由将绕点顺时针旋转得到，即可求解； （2）连接，过点作于点，由题可得 ，是等腰直角三角形，可证明，再利用，得出，则，可得，，则，证明，则； （3）利用，，构造的外接圆，连接，，得出，则是定长，是定圆，点的轨迹为上部分，由点到圆上一点的最长距离可知当 、 、依次共线时，最长， 求出是定值，由将线段绕点旋转得到，得点的轨迹为以为圆心，为半径的，由将绕点 逆时针旋转得到，通过全等确定点的轨迹为以为圆心，为半径的，过点作延长线于点，易得当最大时，的面积最大，由圆上一点到直线的最大距离可知当、、依次共线时，最大，此时，连接，，通过证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，得出，得，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵点 是的中点，， ∴， 如图，构造的外接圆，连接，， 则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是定长，是定圆，点的轨迹为上部分， 由点到圆上一点的最长距离可知当 、 、依次共线时，最长，此时点位置为如图的点， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， 当最长时， 位置如图， ∵将线段绕点旋转得到， ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的， ∵将绕点 逆时针旋转得到， ∴，， 如图，将绕点 逆时针旋转得到， ∴，，点是定点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的， 如图，过点作延长线于点， ∵， ∴当最大时，的面积最大， 由圆上一点到定直线的最大距离可知当、、依次共线时，最大，此时如图， 连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点 是的中点， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度九年级第二次适应性检测数学卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔或签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，与的面积比为，则与的比是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一块含角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为（ ） A. B. C. D. 6. 估算的结果应在（ ） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 7. 如图所示，将形状、大小完全相同的“•”与线段按照一定规律摆成下列图案，其中第①个图案用了6个“·＂，第②个图案用了11个“·”，第③个图案用了16个“·”，第④个图案用了21个“·”，…，按此规律排列下去，则第⑨个图案用的“•”个数是（ ） A. 48 B. 46 C. 41 D. 40 8. 如图，正方形中，分别取和边的中点，连接相交于点，连接，若，则的度数一定为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是等边三角形的外接圆，点是的中点，连接．以点为圆心，的长为半径在内画弧，阴影部分的面积为，则等边三角形的边长为（ ） A. 2 B. C. D. 3 10. 将连续正整数的排列顺序打乱，重新排列成．若，下列说法：①可能是负数；②是奇数时，是奇数；③是偶数时，是偶数．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接，数据384000用科学记数法表示为____________． 13. 3月14日是国际数学节，某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”、“玩转幻方”、“益智九连环”和“巧解鲁班锁”四个挑战活动，如果小芳和小圆每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是 ______． 14. 若关于的不等式组至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数的值的和为______． 15. 如图，是的直径，点在上，过点作于点，点 为上一点，连接交于点 ，，若，，则______；______． 16. 如果一个各位数字均不相同的四位数满足，，那么称这个四位数为“十一数”．将“十一数”的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为，记．例如四位数，，不是“十一数”；又如四位数，，，是“十一数”，．若是最大的“十一数”，则______；对于“十一数”，若能被7整除，则满足条件的最小的“十一数”为______． 三、解答题：（本大题8个小题，17题16分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 学习了特殊平行四边形后，小明同学在数学研修活动中进行了拓展性研究．他利用菱形，借助直尺和圆规，作出了矩形．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：如图，在菱形中，对角线相交于点．在的延长线上截取，连接，再过点 作的垂线交于点 （只保留作图痕迹，不写作法，不另外添加字母和符号）； （2）求证：四边形为矩形． 证明：，①______． 四边形是菱形， ，，， ， ，②______， 又，四边形为③______． ，④______． ， 四边形为矩形． 19. 科大讯飞推出了“讯飞星火”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：（单位：分） 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：83，85，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据： 67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100； 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 45％ B 88 88 c 40％ 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有300人对A款AI聊天机器人进行评分、320人对Ｂ款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？ 20. 为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、 两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． （1）求购进、 两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、 两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？ 21. 在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿匀速运动，到点 停止运动，点的运动速度为每秒个单位长度，点的运动时间为秒，的面积为． （1）直接写与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在图的直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）若直线与该函数图象有两个交点，则的取值范围是______． 22. 如图是某湿地公园里环湖跑道示意图，点是途中的四个观景台．观景台 在观景台西北方向900米处，观景台在观景台 的东北方向，观景台在观景台 的正东方向，观景台在观景台北偏西方向． （1）求环湖跑道段的长度（结果保留根号）； （2）从观景台前往观景台，可以选择路线①，也可以选择路线②请问哪条路线最近？（结果保留整数）（参考数据：，） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，且，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，求的最大值及点的坐标； （3）将抛物线绕点旋转，得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得，直接写出点的坐标． 24. 如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）如图1，若点在边上，且，，求线段的长； （2）如图2，若点在的延长线上，点 是的中点，的延长线交的延长线于点，探索线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若点在边上，点是的中点，，连接，将线段绕点旋转得到，连接，将绕点 逆时针旋转得到，连接，当取最大值时，直接写出此条件下的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $