精品解析：北京市首都师范大学附属中学2025-2026学年七年级下学期数学期中试卷

首都师大附中2025－2026学年第二学期期中练习 初一数学 第一部分 选择题 一、选择题（共8小题，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的只有一个． 1. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，据此即可求解 【详解】解：∵，横坐标小于0，纵坐标大于0 ， ∴点位于第二象限， 故选：B． 2. 如图，已知在音符中，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 3. 已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】将已知解代入原方程，解一元一次方程即可得到m的值． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程的一个解， ∴， 解得 ． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据立方根和二次根式、算术平方根的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、无意义，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 5. 将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，与关系描述正确的是（ ） A. 与互补 B. 与互余 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平角的定义求出，再根据平行线的性质即可得出与的关系． 【详解】解：如图， 纸条两边平行， ∴， 由图可得，， ， ∵， ． ． ． 6. 在代数式中，当分别取，0，1，2时，对应代数式的值如下表，则的值为（ ） … 0 1 2 … … 1 3 5 … A. B. 6 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据表格给出的x对应代数式的值，先求出k和b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴，解得：， ∴． 7. 关于，下列说法错误的是（） A. 如图，利用两个边长为的正方形可以裁剪拼接成一个面积为的大正方形 B. 数轴上到原点距离小于的整数有三个 C. 存在两个互质的正整数、，使得 D. 的小数部分是 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式、无理数的估算、无理数的定义以及实数的小数部分定义对各个选项进行判断即可． 【详解】解：、两个边长为的正方形面积均为，总面积为，可以裁剪拼接成面积为的大正方形，故该选项说法正确； 、∵， ∴数轴上到原点距离小于的整数有，共个，故该选项说法正确； 、是无理数，不能表示为两个整数之比，即不存在正整数，使得，故该选项说法错误； 、∵， ∴的整数部分是，小数部分是，故该选项说法正确． 8. 在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“坐标距离”．已知点、．则下面说法正确的有（ ） ①两点的坐标距离为； ②两点坐标距离的最小值为； ③当两点的坐标距离为4时，两点的坐标距离为． A. ② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给出的“坐标距离”定义，先得到两点坐标距离的表达式，再逐一判断即可求解． 【详解】解：①根据定义可得，， 的坐标距离为： ， 当时， ； 当时， ； 当时， ，故①说法错误； ② 当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴的最小值为，故②说法正确； ③令，则 ， 当时， ，解得； 当时， ，解得； 当时，方程无解； ∵与 的坐标距离为 ，当时坐标距离为；当时坐标距离为，所以坐标距离为或，故③说法 错误； 综上，只有②正确． 第二部分 非选择题 二、填空题（共8小题，每小题2分） 9. 已知点在轴上．点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据y轴上点的坐标特征，y轴上点的横坐标为，列出方程求解得到的值，再代入求出点的纵坐标，即可得到点的坐标 【详解】解：点在轴上 点的横坐标为，即， 解得 点的纵坐标为 点的坐标为 10. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是_________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 11. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件，确定的取值，再将代入原等式求解的值 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，被开方数为非负数，得 解得， 将代入，得，即， 开平方得 12. 平面直角坐标系中，已知点，将点左右平移得到点，且三角形的面积为6，则点的坐标为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据平移的性质，点左右平移时纵坐标不变，仅横坐标改变，可设出点的坐标，再利用三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：点左右平移得到点，由平移的性质可知，左右平移时点的纵坐标不变， 可设 ，则的长度为，且原点到直线的距离为， ∵三角形的面积为6， ∴ 解得或， ∴点的坐标为或． 13. 图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的大小为_______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. “今有四十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为．今有40只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，且恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．设所需大圈舍间，小圈舍间，则求得的结果有___________种． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，得，整理得，根据x，y都是整数，讨论求解即可． 【详解】设所需大圈舍x间，小圈舍y间， 根据题意，得， 整理得， 所以， 因为x，y都是整数， 所以， 解得， 所以x的值可能是1，2，3，4，5，6， 因为是整数， 所以一定也是偶数， 故x的值为2，4，6，y对应的值为7，4，1， 故的值有3种可能， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解，熟练掌握方程整数解的解题方法是解题的关键． 15. 如图，正方形在平面直角坐标系中，已知点，若以为原点重新建立平面直角坐标系．则点在新坐标系中对应的坐标为_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点的坐标，再由平移求解即可． 【详解】解：∵正方形在平面直角坐标系中， ∴轴，轴， ∵点， ∴， ∴，即 ∵，， ∴根据平移可得，点在新坐标系中对应的坐标为． 16. 取整符号表示不超过实数的最大整数，如．若，则的值为______． 【答案】2或3或4 【解析】 【分析】先由有意义得，设，利用取整符号的定义联立不等式，解得；再分区间讨论的范围，得到的所有可能值． 【详解】解：由题意得，对于任意有理数，有， ∵有意义 ∴， 设（为非负整数）， ∴ ， 由题意得，， ∴， ∴， 又∵， ∴当时，x的范围为； 当时，x的范围为； 当时，，无解； 综上所述，的取值范围是， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， 综上所述，的值为2或3或4． 【点睛】解题核心是利用取整符号定义的不等式性质，通过设元法将条件转化为不等式组，先确定的取值范围，再分段讨论的范围，避免漏解． 三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18题8分，第19题10分，第20-21题每题5分，第22-23题每题6分，第24题5分，第25-26题每题6分，第27题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算绝对值，立方根，再计算加减即可求解． 【详解】解：原式． 18. 求的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（）根据立方根定义求解即可； （）利用平方根解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 或 ∴或． 19. 解方程组： （1）代入法解方程组； （2）选择合适的方法解方程组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先从第二个方程将y用含x的代数式表示，再代入第一个方程求出x，最后回代求出y即可； （2）先将第一个方程去分母化为整系数二元一次方程，再用加减消元法求解． 【小问1详解】 解：记原方程组为， 由②得，， 将③代入①得， 解得， 将代入③得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：记原方程组为， 得，， 得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴原方程组的解为． 20. 如图，点为内部一点，点，点分别在射线，上．与相交于点，且，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴___________（ ）； ∵， ∴___________（ ）； ∴（ ）． 【答案】；两直线平行，同位角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行 【解析】 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）； ∵， ∴（等量代换）； ∴（同位角相等，两直线平行）． 21. 在平面直角坐标系中，，，． （1）请画出三角形； （2）将三角形向上平移个单位，再向左平移个单位，画出平移后的三角形，并写出、、的坐标； （3）三角形的面积为_________． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析；，, （3） 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标描点，然后顺次连线即可； （2）根据平移规律画图即可，利用点平移的性质，结合图形写出、、的坐标； （3）根据三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求；，，； 【小问3详解】 解：． 22. 如图，在三角形中，，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知结合邻补角互补等量代换证明，即可得证； （2）根据垂直的定义可求得的度数，由平行线的性质可得的度数，再根据角平分线的定义可得的度数，最后由平行线的性质即可得解． 【小问1详解】 解：，理由如下： ，， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 23. 已知与是正数的两个不同的平方根． （1）求的值； （2）若，求的立方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，则，再把所求式子变形为，据此代入求值即可； （2）同（1）得到，即，根据求出a的值，进而求出m的值，再求出的值，最后根据立方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵与是正数的两个不同的平方根， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵与是正数的两个不同的平方根， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的立方根为． 24. 如图，长方形的各边都与轴或轴平行，点的坐标分别为． （1）直接写出点的坐标； （2）一动点从点出发，沿长方形的边运动至点停止，运动速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒． ①当时，求点的坐标； ②当时，判断点是否停止运动，并说理由． 【答案】（1） （2）①；②点没有停止运动，理由 【解析】 【分析】（1）点B的横坐标和点C的相同，纵坐标和点A的相同；点D的横坐标和点A的相同，纵坐标和点C的相同； （2）①根据得出的长度，从而得出点P的坐标；②根据题意得出点P到达终点所用时间，再与4比较，即可． 【小问1详解】 解：∵长方形的各边都与轴或轴平行，点的坐标分别为， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，点P在边，此时， ∴点P的坐标是； ②点没有停止运动，理由如下： 由（1）得：， ∴点P到达终点所用时间为， ∵，且， ∴当时，点没有停止运动． 25. 对于关于的二元一次方程，将其一组解，记作． （1）当时，若点一定位于平面直角坐标系中二四象限的角平分线上，则_________； （2）已知是该方程的一组解．当为方程的一组解时，也总是方程的一组解，求与的值． 【答案】（1）2 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据二四象限角平分线上点的横纵坐标互为相反数得到，代入方程即可求出的值； （2）利用二元一次方程解的定义，将已知解和满足条件的解分别代入原方程．联立等式即可求出和的值． 【小问1详解】 解：当时，原方程为， ∵点在二四象限的角平分线上， ∴， 将代入方程， 得 ， ∵任意满足方程的点都满足条件， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵是方程的解， ∴ ， ∵和都是方程的解， ∴， 由③得，， 将②代入上式得， 解得， 将代入①得，． 26. 已知，直线分别交、于点，，平分交于点．将线段沿方向平移得到线段（点的对应点为，点的对应点为）．直线与射线交于点，连接． （1）当点在线段上时． ①请在图1中补全图形，求的值； ②已知，求证：平分． （2）在直线平移的过程中，当时，直接写出的度数为_________． 【答案】（1）①见解析；；②见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据平行线的性质可得，，再由平分，可得，过点K作，可得，从而得到，，即可求解；②根据直角三角形两锐角互余可得，再由①得：，即可求解； （2）设，则，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，结合平行线的性质以及三角形内角和定理解答即可． 【小问1详解】 解：①在图1中补全图形，如图： ∵线段沿方向平移得到线段， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， 过点K作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②∵， ∴， ∴， 由①得：， ∴，即平分； 【小问2详解】 解：设，则， 当点在线段上时，如图， 由（1）得：，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 27. 对于平面直角坐标系中的一点，若，则记；若，则记．定义点为“差分点”．例如：点，因为 ，，所以点为“2差分点”． （1）下列各点中是“2差分点”的有_________． ① ② ③ ④ （2）已知在轴的右侧，且点为“2差分点”． 当时，满足题意的点有_________个； 当时，满足题意的点可能有_________个． （3）已知一条线段两个端点坐标分别为，，其中实数小于．点和在这条线段上运动．分别以点和为中心，以为边长作两个正方形（边分别与轴或轴平行），这两个正方形组成图形．若图形上始终存在“4差分点”，直接写出的最小值． 【答案】（1）①③ （2）3，2或4 （3）当时，的最小值为，当时，的最小值为 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点，能够根据题目要求分情况讨论，利用极限思想求最值是解题的关键． （1）根据题目定义即可判断； （2）当时，根据题目信息进行分类讨论即可；当时，由在轴的右侧得，再根据题目信息进行分类讨论计算即可； （3）找到“4差分点”所在的轨迹，然后再找图形的所有可能性，利用极限思想找到的最小值． 【小问1详解】 解：由题可知，①中，，则，故①符合题意； ②中，，则，故②不符合题意； ③中，，则，故③符合题意； ④中，，则，故④不符合题意． 故“2差分点”的有：①③； 【小问2详解】 解：当时，当时，，解得， 当时，，解得， 此时有3个点满足题意，即，，； 当时，由在轴的右侧得，即， 当时，，当时，解得，当时，无解， 当时，，当解得， 此时有4或2个点满足题意． 【小问3详解】 根据题意得，“4差分点”满足当时，，当时，，当时，，当时，，当增加，也会随之增加，且他们变化的幅度一致，由此可知“4差分点”在如图的四条折线上； 已知一条线段两个端点坐标分别为，，则可以看成过的直线上的线段， 和在这条线段上运动，且以为边长作两个正方形（边分别与轴或轴平行）上始终存在“4差分点”，则对于任意的，正方形都与图中射线有交点； 由于，则始终可以取到以下范围，，，此时当最小时，以和为中心的正方形刚好和射线有一个交点， 此时，以为中心的正方形的一条边与重合，，， 当时，点可运动到如图位置，此时，且在运动过程中，正方形始终与射线有交点， 根据图片数据，可知此时，即，所以当时，的最小值为； 当时，当与线段端点重合，图形与直线恰有一个交点时，的值最小，如图 ，，则，即， 综上，当时，的最小值为，当时，的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 首都师大附中2025－2026学年第二学期期中练习 初一数学 第一部分 选择题 一、选择题（共8小题，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的只有一个． 1. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图，已知在音符中，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，与关系描述正确的是（ ） A. 与互补 B. 与互余 C. D. 6. 在代数式中，当分别取，0，1，2时，对应代数式的值如下表，则的值为（ ） … 0 1 2 … … 1 3 5 … A. B. 6 C. 4 D. 7. 关于，下列说法错误的是（） A. 如图，利用两个边长为的正方形可以裁剪拼接成一个面积为的大正方形 B. 数轴上到原点距离小于的整数有三个 C. 存在两个互质的正整数、，使得 D. 的小数部分是 8. 在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“坐标距离”．已知点、．则下面说法正确的有（ ） ①两点的坐标距离为； ②两点坐标距离的最小值为； ③当两点的坐标距离为4时，两点的坐标距离为． A. ② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分 非选择题 二、填空题（共8小题，每小题2分） 9. 已知点在轴上．点的坐标为______． 10. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是_________． 11. 若，则的值为______． 12. 平面直角坐标系中，已知点，将点左右平移得到点，且三角形的面积为6，则点的坐标为_______． 13. 图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的大小为_______． 14. “今有四十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为．今有40只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，且恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．设所需大圈舍间，小圈舍间，则求得的结果有___________种． 15. 如图，正方形在平面直角坐标系中，已知点，若以为原点重新建立平面直角坐标系．则点在新坐标系中对应的坐标为_______（用含的代数式表示）． 16. 取整符号表示不超过实数的最大整数，如．若，则的值为______． 三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18题8分，第19题10分，第20-21题每题5分，第22-23题每题6分，第24题5分，第25-26题每题6分，第27题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 求的值： （1）； （2）． 19. 解方程组： （1）代入法解方程组； （2）选择合适的方法解方程组． 20. 如图，点为内部一点，点，点分别在射线，上．与相交于点，且，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴___________（ ）； ∵， ∴___________（ ）； ∴（ ）． 21. 在平面直角坐标系中，，，． （1）请画出三角形； （2）将三角形向上平移个单位，再向左平移个单位，画出平移后的三角形，并写出、、的坐标； （3）三角形的面积为_________． 22. 如图，在三角形中，，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若平分，，求的度数． 23. 已知与是正数的两个不同的平方根． （1）求的值； （2）若，求的立方根． 24. 如图，长方形的各边都与轴或轴平行，点的坐标分别为． （1）直接写出点的坐标； （2）一动点从点出发，沿长方形的边运动至点停止，运动速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒． ①当时，求点的坐标； ②当时，判断点是否停止运动，并说理由． 25. 对于关于的二元一次方程，将其一组解，记作． （1）当时，若点一定位于平面直角坐标系中二四象限的角平分线上，则_________； （2）已知是该方程的一组解．当为方程的一组解时，也总是方程的一组解，求与的值． 26. 已知，直线分别交、于点，，平分交于点．将线段沿方向平移得到线段（点的对应点为，点的对应点为）．直线与射线交于点，连接． （1）当点在线段上时． ①请在图1中补全图形，求的值； ②已知，求证：平分． （2）在直线平移的过程中，当时，直接写出的度数为_________． 27. 对于平面直角坐标系中的一点，若，则记；若，则记．定义点为“差分点”．例如：点，因为 ，，所以点为“2差分点”． （1）下列各点中是“2差分点”的有_________． ① ② ③ ④ （2）已知在轴的右侧，且点为“2差分点”． 当时，满足题意的点有_________个； 当时，满足题意的点可能有_________个． （3）已知一条线段两个端点坐标分别为，，其中实数小于．点和在这条线段上运动．分别以点和为中心，以为边长作两个正方形（边分别与轴或轴平行），这两个正方形组成图形．若图形上始终存在“4差分点”，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $