精品解析：广东广州市真光中学2025--2026学年第二学期期中八年级数学练习卷

2025学年第二学期期中初二数学练习卷 注意事项： 1．本试卷共三大题25小题，共4页，满分150分．考试时间120分钟，不能使用计算器． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域，不准使用铅笔（除作图外）、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、单选题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于零，列不等式即可求解． 【详解】解：∵根据题意得：， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围的求法，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可去全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不为零；当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意 3. 在下列条件中：①；②；③都是锐角；④三个外角的度数之比是；⑤，其中能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，以及直角三角形的判定，解决本题的关键是可以根据不同条件判定直角三角形． 根据三角形内角和定理及直角三角形的判定条件，逐一分析各条件是否能使三角形有一个角为即可． 【详解】解：① ∵，且 ， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形； ② ∵ ，设 ， 则，即， ∴， ∴， ∴是直角三角形； ③ ∵和都是锐角，但不一定为 ，如等边三角形， ∴ 不能确定是直角三角形； ④ ∵ 三个外角度数之比为，外角和为， 设外角分别为， 则，即， ∴， ∴外角分别为， 对应内角为，，， ∴有一个内角为，是直角三角形； ⑤ ∵，设，则， ， 则， ∴，即 ， ∴不是直角三角形； 综上所述，能确定是直角三角形的有①②④，共3个． 故选：C． 4. 若菱形的边长为5，一条对角线长为6，则菱形的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理求出另一条对角线的长度，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】解：如图所示，在菱形中，对角线交于点O，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理求线段长，根据题意得，先在中，由勾股定理求出的长，后在中，由勾股定理即可求出的长即可得到答案．熟练运用勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：由题意得：， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， 故选：A． 6. 下列四个选项中，说法不正确的是（ ） A. 在匀速运动公式中，s是t的函数，v是常量 B. 入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为，反射角的角度为，那么是的函数 C. 在圆的周长公式中，2是常量，，r，C均为变量 D. 一种金属，其质量是体积的函数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数概念及常量与变量的判断，根据各选项的描述逐一分析即可． 【详解】解：A． 在匀速运动公式中，速度是固定值，为常量；路程随时间变化，故是的函数．说法正确． B． 根据反射定律，反射角恒等于入射角，即，每个对应唯一的，因此是的函数．说法正确． C． 在圆的周长公式中，半径和周长是变量，而2和均为固定常数，因此是常量而非变量．原说法错误． D． 金属质量由密度和体积决定，密度固定时，质量随体积变化，故质量是体积的函数．说法正确． 综上，不正确的选项为C． 故选：C 7. 下列说法正确的有（ ） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②平行四边形的对角互补． ③两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形； ④平行四边形的四个内角之比可以是． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定和性质，逐一判断每个说法的正误即可得到答案． 【详解】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理，故①正确； ②平行四边形的性质为对角相等，邻角互补，并非对角互补，故②错误； ③将两个全等三角形的一组相等边重合反向拼接，即可得到平行四边形，故③正确； ④平行四边形对角相等，邻角互补，若四个内角比为，满足对角占比相等，根据四边形内角和为，可计算得四个角分别为，，，，满足对角相等，邻角和为，符合平行四边形的性质，故④正确， 综上，正确的说法共有3个． 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系的特点，掌握菱形的性质，勾股定理是关键． 根据点的坐标得到，由勾股定理得到，结合菱形的性质即可求解． 【详解】解：顶点的坐标分别为， ∴，且， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴顶点的坐标为， 故选：B ． 9. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出四个直角三角形的面积，即可得到的值，根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后根据即可求解． 【详解】解：因为大正方形的面积是41，小正方形的面积是1， 所以一个小三角形的面积是，， 所以，即， 所以． 所以． 10. 如图，正方形的边长为定值，E是边上的动点（不与点C，D重合）， 交对角线于点F，交于点G，于点H．现给出下列结论：①； ②的周长为定值； ③的长度为定值， 则正确的是（　　） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ① 【答案】A 【解析】 【分析】连接，先证明得到，，再证明得到．①的结论正确；延长至点，使，连接，先证明得到，，再证明得到，即可得到的周长为定值；②的结论正确；连接，与交于点，证明得到为定值，③的结论正确 【详解】解：连接，如图， ∵是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∵四边形的内角和为， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴①的结论正确； 延长至点，使，则，连接，如图， ∵，， ∴． ∴，． ∵， ∵．即． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴的周长为定值； ∴②的结论正确； 连接，与交于点，如图， ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵正方形的边长为定值， ∴的长为定值． ∴③的结论正确； ∴正确的结论为①②③， 故选：A． 【点睛】本题是正方形的综合题，主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若正多边形的一个内角比它的一个外角大，则这个多边形的边数为______． 【答案】 5 【解析】 【分析】根据多边形内角与相邻外角互补列方程求出外角度数，再利用任意多边形外角和为即可求出边数． 【详解】解：设这个正多边形的一个内角为，则相邻外角为． 由多边形内角与相邻外角和为，得： 解得： 则外角为． 任意多边形的外角和为，正多边形各外角相等， 该多边形边数为． 12. 若与最简二次根式能合并，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念． 先将化简为，被开方数为，因此的被开方数也应为2，即可得出结果． 【详解】解：， ∴被开方数为2， ∵与最简二次根式能合并， 又∵是最简二次根式， ∴的被开方数与2相同， 即，解得， 故答案为：1． 13. 如图，数轴上的点A表示的数是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出数轴上表示1的点与点之间的距离即可得． 【详解】解：由图可知，数轴上表示1的点与点之间的距离为， ∵点在表示1的点的左边， ∴数轴上的点表示的数是． 14. 如图，在中，D是上一点，于点E，点F是的中点，若，则的长为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要利用等腰三角形的性质和三角形中位线定理来求解的长度．首先，根据等腰三角形的性质确定；然后，利用三角形中位线定理计算的长度． 【详解】 又 ∴是的中位线， 故答案为：5. 15. 如图，矩形的对角线相交于点，点为上的一点，连接，为的中点，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，中位线，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半．关键是根据矩形的性质得出解答．根据矩形的性质得出，进而利用三角形中位线得出，进而利用勾股定理得出，进而利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， 为的中点， 是的中位线， ， ，， ， ， 为的中点， ． 16. 如图，正方形中，点为上一动点，连接，过点作交边所在直线于点．点从点出发，沿方向移动，若移动的路径长为6，则的中点移动的路径长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出运动后的点位置，再根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：连接，交于点，连接，过点作垂足分别为，延长，交于， ∵正方形， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ， 则四边形为正方形， ， ， ， 在和中 ， ， ， ∵正方形， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∵正方形， 是中点， ， ， 在等腰三角形中， ， ， ∵是中点，是中点， ． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） ； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知实数，，在数轴上对应的点如图所示，化简 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，实数与数轴，二次根式的性质化简，完全平方公式的运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由数轴得，且，则，，，然后化简，再进行加减运算，即可作答． 【详解】解：根据实数，，在数轴上对应点的位置可得：，且， ∴，，， ∴原式． 19. 如图，在中，延长到点E，使得，连接，，若．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 先根据四边形是平行四边形，得到，，进而可得，证明 ，据此即可证明． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 20. 学校内有一块如图所示的三角形空地，计划开辟为生物园，测得米，米，米．如果沿修一条水渠且点在边上，水渠的造价为元米，当水渠的造价最低时，的长为多少米？最低造价是多少元？ 【答案】当水渠的造价最低时，的长为米，最低造价是元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键．当时，水渠的造价最低．由勾股定理的逆定理推知，所以结合面积法来求的长度，然后求其造价即可． 【详解】解：米，米，米． ， ， ， 当时，水渠的造价最低． 米 (元) 答：当水渠的造价最低时，的长为米，最低造价是元． 21. 周长为20cm的矩形，若它的一边长是xcm，面积是Scm2 （1）请用含x的式子表示S，并指出常量与变量； （2）当时，求S的值． 【答案】（1）；周长20cm是常量；一边xcm，面积S是变量 （2）24 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义来确定常量与变量；根据矩形的面积公式写出S与x之间的关系式； （2）代入数值求S的值． 【小问1详解】 解：， 周长20cm是常量；一边xcm，面积S是变量． 【小问2详解】 当时， ． 【点睛】此题考查了列函数解析式，函数的定义，正确理解题意是解题的关键． 22. 某校“综合与实践”小组开展了“哪种高度的物体能进电梯？”的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 哪种高度的物体能进电梯？ 成员 组长：组员： 工具 皮尺等 测量示意图 说明：电梯是旁开门，即所有门向一边开合，门一侧与电梯内部齐平．电梯门近似看成矩形. 测量数据 测量项目 数值 电梯内部的尺寸 长和宽，高. 电梯门的尺寸 问题解决 任务1 （1）根据以上测量结果，请你评估一块长为，宽为的玻璃（不计厚度）能否放入电梯； 任务2 （2）根据以上测量结果，请你评估一根长的木条（不计粗细）能否放入电梯． 【答案】（1）玻璃能放入电梯；（2）木条不能放入电梯 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）如图，连接，在中，利用勾股定理求得的值，据此即可判断； （2）如图，连接和，利用勾股定理求得的值，据此即可判断． 【详解】解：（1）如图，连接，由题意可知 为直角三角形，， ， ， ， 玻璃能放入电梯； （2）如图，连接和，由题可知和为直角三角形，， ，高， ， ， ， 木条不能放入电梯． 23. 如图，，平分，交于点． （1）动手操作：作的角平分线尺规作图，保留作图痕迹，交于点，交于点，连接； （2）探究求证：四边形是菱形； （3）应用练习：若，，求菱形的周长． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 （3）菱形的周长为 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作法作出的平分线，交于点，交于点，连接即可得到答案； （2）根据证明，得出，，再根据证明，得出，由对角线互相平分的四边形是平行四边形及有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形是菱形即可； （3）根据菱形的性质可得，然后在中，，由含的直角三角形性质和勾股定理求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：如图所示： 在和中 ， ， ，， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； 【小问3详解】 解：平行四边形是菱形，， ，， ， 在，， 在中，由勾股定理得，即，解得， ， 菱形的周长． 【点睛】本题考查了角平分线的作法、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识是解题的关键． 24. 阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离． 如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，， ． 由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为： （1）直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为_______； （2）在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，的最小值为_______； （3）应用平面内两点间的距离公式，代数式的最小值为_______； （4）应用拓展：如图，若点在上运动，，，，连接，，求的周长的最小值． 【答案】（1）5 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． （1）直接利用两点之间距离公式，把两点代入求解即可； （2）作点B关于x轴对称的点，连接，，直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值就是线段，求出的坐标，再利用两点之间距离公式求解即可； （3）代数式表示点到点和的距离之和，由两点之间线段最短可知点在以点和为端点的线段上时，其距离之和最小，再利用两点之间距离公式求解即可； （4）过A作，作B关于直线的对称点，连接，，由对称性可证的周长的最小值为，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解：作点B关于x轴对称的点，连接，， ， 当共线时取得最小值， 即直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值就是线段，如图， B关于x轴对称的点， 点的坐标为， ， ， 的最小值为； 【小问3详解】 解：代数式表示点到点和的距离之和， 由两点之间线段最短可知，点在以点和为端点的线段上时，其距离之和最小， 的最小值为：； 【小问4详解】 解：过A作，作B关于直线的对称点，连接，， B，关于直线对称， ，，， ， 的最小值为， 的周长的最小值为， ，，， ， ， 在中，， 的周长的最小值为． 25. 在边长为的正方形纸片中，点在边上，连接，将沿折叠，得到． （1）如图1，若点落在对角线上，求的长； （2）如图2，若的延长线与相交于点，猜想，，的数量关系，并证明； （3）如图3，点是的中点，连接，当的长最短时，求的长． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． (1)根据正方形的性质可知，当点落在对角线上时，由折叠的性质可知，，，，从而可知，根据折叠的性质可知； (2)连接交于点，延长交于点，可证，根据全等三角形的性质可知，根据正方形的对边平行可证，根据等角对等边可知，可证结论成立； (3)连接，在中，，，利用勾股定理可以求出，当点落在上时，的长最短，根据，可知. 【小问1详解】 解：在正方形中， ，，， ， 由折叠得，，，， ，， 是等腰直角三角形， ， ； 【小问2详解】 解：， 证明：如下图所示，连接交于点，延长交于点， 由折叠得，． ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如下图所示，连接，在中，，， ， ， ， 当点落在上时，的长最短， 此时， 由（2）知，， ， 当的长最短时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中初二数学练习卷 注意事项： 1．本试卷共三大题25小题，共4页，满分150分．考试时间120分钟，不能使用计算器． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域，不准使用铅笔（除作图外）、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、单选题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列条件中：①；②；③都是锐角；④三个外角的度数之比是；⑤，其中能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 4. 若菱形的边长为5，一条对角线长为6，则菱形的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 20 D. 24 5. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个选项中，说法不正确的是（ ） A. 在匀速运动公式中，s是t的函数，v是常量 B. 入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为，反射角的角度为，那么是的函数 C. 在圆的周长公式中，2是常量，，r，C均为变量 D. 一种金属，其质量是体积的函数 7. 下列说法正确的有（ ） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②平行四边形的对角互补． ③两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形； ④平行四边形的四个内角之比可以是． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 10. 如图，正方形的边长为定值，E是边上的动点（不与点C，D重合）， 交对角线于点F，交于点G，于点H．现给出下列结论：①； ②的周长为定值； ③的长度为定值， 则正确的是（　　） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ① 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若正多边形的一个内角比它的一个外角大，则这个多边形的边数为______． 12. 若与最简二次根式能合并，则的值为________． 13. 如图，数轴上的点A表示的数是________． 14. 如图，在中，D是上一点，于点E，点F是的中点，若，则的长为___________． 15. 如图，矩形的对角线相交于点，点为上的一点，连接，为的中点，若，则的长为_____． 16. 如图，正方形中，点为上一动点，连接，过点作交边所在直线于点．点从点出发，沿方向移动，若移动的路径长为6，则的中点移动的路径长为_____． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） ； （2）． 18. 已知实数，，在数轴上对应的点如图所示，化简 19. 如图，在中，延长到点E，使得，连接，，若．求证：． 20. 学校内有一块如图所示的三角形空地，计划开辟为生物园，测得米，米，米．如果沿修一条水渠且点在边上，水渠的造价为元米，当水渠的造价最低时，的长为多少米？最低造价是多少元？ 21. 周长为20cm的矩形，若它的一边长是xcm，面积是Scm2 （1）请用含x的式子表示S，并指出常量与变量； （2）当时，求S的值． 22. 某校“综合与实践”小组开展了“哪种高度的物体能进电梯？”的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 哪种高度的物体能进电梯？ 成员 组长：组员： 工具 皮尺等 测量示意图 说明：电梯是旁开门，即所有门向一边开合，门一侧与电梯内部齐平．电梯门近似看成矩形. 测量数据 测量项目 数值 电梯内部的尺寸 长和宽，高. 电梯门的尺寸 问题解决 任务1 （1）根据以上测量结果，请你评估一块长为，宽为的玻璃（不计厚度）能否放入电梯； 任务2 （2）根据以上测量结果，请你评估一根长的木条（不计粗细）能否放入电梯． 23. 如图，，平分，交于点． （1）动手操作：作的角平分线尺规作图，保留作图痕迹，交于点，交于点，连接； （2）探究求证：四边形是菱形； （3）应用练习：若，，求菱形的周长． 24. 阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离． 如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，， ． 由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为： （1）直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为_______； （2）在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，的最小值为_______； （3）应用平面内两点间的距离公式，代数式的最小值为_______； （4）应用拓展：如图，若点在上运动，，，，连接，，求的周长的最小值． 25. 在边长为的正方形纸片中，点在边上，连接，将沿折叠，得到． （1）如图1，若点落在对角线上，求的长； （2）如图2，若的延长线与相交于点，猜想，，的数量关系，并证明； （3）如图3，点是的中点，连接，当的长最短时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $