精品解析：河南开封市通许县2025—2026学年第二学期期中考试 八年级数学(华东师大版)

2025—2026学年第二学期期中考试 八年级数学（华师版） 一、选择题．（每题3分，共30分） 1. 下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值是（ ） A. B. C. 1 D. 5 3. 在平面直角坐标系中，若点位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（ ） A. B. C. D. 4. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中对角线和交于O，若，则边长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 定义一种新运算“”为：，则方程的解为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，平分，于点，交于点，交的延长线于点，若，，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 一次函数和在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 4 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 已知点和点关于轴对称，则的值为_____ ． 12. 玫瑰花的花粉直径约为0.000084米，数据0.000084用科学记数法表示为__________． 13. 如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，若点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为________． 14. 如图，在四边形中，，，，E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为______． 15. 如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y＝(k≠0)与△ABC有交点，则k的取值范围是____． 三、解答题．（共75分） 16. 计算与解方程． （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在中，E、F是对角线上的点，且．连接、、、． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，直接写出的度数为________． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 20. 我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则______，______； （2）请利用上述方法求“十字分式方程”的解： （3）若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 21. 【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍， 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的； 【问题解决】 问题一：求出A，B两种书架的单价； 问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案． 22. 【问题呈现】 如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，点落在边上的点处，连接．（点的对应点分别是点） 【初步发现】 （1）如图1，五边形的内角和的度数为__________°，外角和的度数为__________°； 【求知探究】 （2）求证：平分； 【拓展延伸】 （3）如图2，，，当三点在同一条直线上时，求的面积． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与交于点C． （1）点A的坐标，点B的坐标，点C的坐标； （2）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与，交于点M、N， ①若线段，请求出此时点N的坐标； ②当点M在点N的下方时，问y轴上是否存在点Q，使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期中考试 八年级数学（华师版） 一、选择题．（每题3分，共30分） 1. 下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据题意逐一分析各选项分母是否可能为零，若无论取何值分母均不为零，则符合题意，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，由于，则，无论取何实数，分母始终大于零，分式恒有意义，符合题意； 、分母为，当或时，分母为零，不符合题意； 故选：． 2. 变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值是（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】解：当时，． 3. 在平面直角坐标系中，若点位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征． 根据平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征，横坐标为负，纵坐标为正，列出关于m和n的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限点的坐标特征，横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴ 即， 故选：B 4. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的判断，解题关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式．根据最简分式的定义，即可求出答案． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 5. 在中对角线和交于O，若，则边长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形的对角线互相平分和三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 故选C． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系以及平行四边形的性质，关键是掌握“平行四边形的对角线互相平分”的性质． 6. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象与正比例函数图象的交点问题，反比例函数的中心对称性，反比例函数与不等式问题，熟练掌握反比例函数与不等式问题是解题的关键．先根据反比例函数的中心对称性求得点B的横坐标为1，再根据，结合图形，即可判断答案． 【详解】解：反比例函数是以点O为对称中心的中心对称图形， 点B与点A关于原点对称， 点A的横坐标为， 点B的横坐标为1， 由图象可知，当时，x的取值范围是或． 故选：D． 7. 定义一种新运算“”为：，则方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查新定义运算和解分式方程，根据新运算列出方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 去分母得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 故选：A． 8. 如图，在中，平分，于点，交于点，交的延长线于点，若，，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据性质，先证明，再证明，解答即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角的平分线，熟练掌握性质是解题的关键． 9. 一次函数和在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式得到其函数图象一定过定点，再根据中的k与的一次项系数相同，结合图象解答即可． 【详解】解：∵解析式， ∴的图象一定过定点， ∴排除C，D选项； 对于A、B，双曲线都经过第一、三象限，，对于直线，只有选项A满足，符合题意． 10. 如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形，根据运动轨迹可得的面积先增大，再减小，当点P运动到点时，的面积最大，此时的面积为，即可求得，再利用三角形中位线定理即可解答，得到当点P运动到点时，的面积最大是解题的关键． 【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中， 的面积先增大，再减小， 当点P运动到点时，的面积最大， 根据函数图象可得此时的面积为， 如图， ， 点D为边的中点，等腰直角三角形, ， 可得， 当点P运动到的中点时，如图， ， 点D为边的中点， ， 故选：A． 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 已知点和点关于轴对称，则的值为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，代数式求值，有理数的乘方运算，掌握关于轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，是解题的关键．根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：点和点关于轴对称， ，， ， ． 故答案为：． 12. 玫瑰花的花粉直径约为0.000084米，数据0.000084用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】数据0.000084用科学记数法表示为 故答案为： 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 13. 如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，若点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义求解即可； 【详解】解：点P在上，轴于点A，交于点B，且是，是， ，， ． 14. 如图，在四边形中，，，，E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为______． 【答案】2秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定方法、进行分类讨论是解题的关键． 由，则时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况讨论：①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则得：，解方程即可；②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则得：，解方程即可． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， ①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t， 则，， ∴，， ∵， ∴，解得； ②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t， 则，， ∴，， ∵， ∴，解得； 综上，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：2秒或秒． 15. 如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y＝(k≠0)与△ABC有交点，则k的取值范围是____． 【答案】1≤k≤4 【解析】 【详解】如图，设直线y=x与BC交于E点，分别过A. E两点作x轴的垂线，垂足为D， F，EF交AB于M， ∵A点的横坐标为1，A点在直线y=x上， ∴A(1,1)， 又∵AB=AC=2，AB∥x轴，AC∥y轴， ∴B(3,1)，C(1,3)，且△ABC为等腰直角三角形， BC的中点坐标为 )， 即为(2,2)， ∵点(2,2)满足直线y=x， ∴点(2,2)即为E点坐标，E点坐标为(2,2)， ∴k=OD×AD=1，或k=OF×EF=4， 当双曲线与△ABC有唯一交点时，1⩽k⩽4. 故答案为1⩽k⩽4. 三、解答题．（共75分） 16. 计算与解方程． （1） （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算零次幂、负整数指数幂、绝对值和有理数的乘方，再计算加减即可； （2）去分母得到整式方程，求得整式方程的解，再检验即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘，得， 解得． 检验，当时，， ∴是原分式方程的解． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 18. 如图，在中，E、F是对角线上的点，且．连接、、、． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，直接写出的度数为________． 【答案】（1） 证明：如图，连接，交于点O， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点O，由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）先由平行四边形的性质得到，进而得到，即，求出，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数交点问题的解法． （1）先将代入求出反比例函数解析式，再将代入，求出，将，代入，求解即可； （2）先求出，再利用求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、， ∴将代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入， 得：， ∴， 将，代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∴， ∴． 20. 我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则______，______； （2）请利用上述方法求“十字分式方程”的解： （3）若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义——“十字分式方程”．熟练掌握新定义，分解因数，拆数，完全平方公式变形，是解决问题的关键． （1）根据新定义计算，即可解答； （2）根据新定义计算，即可解答； （3）根据新定义可得，由可化为，代入即可解答． 【小问1详解】 解：∵为“十字分式方程”， ∴， ； 故答案为：． 【小问2详解】 ∵为“十字分式方程”， ∴， ∴， ∴或， ∴． 【小问3详解】 ∵“十字分式方程”的两个解分别为， ∴， ∴． 21. 【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍， 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的； 【问题解决】 问题一：求出A，B两种书架的单价； 问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案． 【答案】问题一：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元 问题二：，费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用． 问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元，利用数量总价单价，结合用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B种书架的单价），再将其代入中，即可求出A种书架的单价； 问题二：由购买总数量及购买A种书架的数量，可得出购买个B种书架，结合购买A种书架数量不少于B种书架数量的，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，利用总价单价数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元； 问题二：∵现需购进20个书架用于摆放书籍，且购买a个A种书架， ∴购买个B种书架， ∵购买A种书架数量不少于B种书架数量的， ， 解得：， ∵购买总费用为w元，A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元， ， 即， ， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，此时， 答：费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架． 22. 【问题呈现】 如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，点落在边上的点处，连接．（点的对应点分别是点） 【初步发现】 （1）如图1，五边形的内角和的度数为__________°，外角和的度数为__________°； 【求知探究】 （2）求证：平分； 【拓展延伸】 （3）如图2，，，当三点在同一条直线上时，求的面积． 【答案】（1）540，360； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴平分， （3） 【解析】 【分析】（1）由多边形内角和定理即可得出答案；由多边形的外角和定理即可得出五边形的外角和的度数； （2）根据平行四边形性质得，则，由旋转的性质得，进而得，由此得，据此即可得出结论； （3）过点C作于点H，由旋转性质得，，进而得，由B，E，F三点在同一条直线上得，进而得，由（2）可知，则，由此得，再根据等腰三角形性质得，继而由勾股定理得，然后由三角形面积公式即可求出的面积， 【详解】解：（1）由多边形内角和定理得：五边形的内角和的度数， ∵多边形的外角和等于， ∴五边形的外角和的度数为 故答案为：540，360； （2）略 （3）过点C作于点H，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵将绕点按顺时针方向旋转得到，，， ∴ ∴ ∵当三点在同一条直线上 ∴ ∴ 由（2）可知，， ∴， ∴， 则， 在中，，， ∴，， 在中，，， 则， ∴，， ∴的面积． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，多边形内角与外角，图形的旋转变换及其性质，理解平行四边形的性质，熟练掌握多边形内角和定理与外角和的性质，图形的旋转变换及其性质，等腰三角形，平行线的性质是解决问题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与交于点C． （1）点A的坐标，点B的坐标，点C的坐标； （2）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与，交于点M、N， ①若线段，请求出此时点N的坐标； ②当点M在点N的下方时，问y轴上是否存在点Q，使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2）①N的坐标为或；②Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据直线与坐标轴存在交点可求得点A、点B坐标，根据两直线的交于点C可联立方程求得点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求解； （2）①根据题意设点M、N的坐标，根据列方程求解即可；②分、 二种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：直线：与x轴、y轴分别交于点A、点B， 故把代入，得：， 把代入，得：， 与x轴、y轴分别交于点A、点B坐标分别为，， 直线与交于点C， 联立得方程组：，解得：， 故点； 【小问2详解】 ①设点M、N的坐标分别为、， 根据题意可得：， 解得：或， 所以点N的坐标为或； ②y轴上存在点Q，使为等腰直角三角形，理由如下: 设M、N、Q的坐标分别为、、，使是以为直角边的等腰直角三角形， 如图，当时， 则，即：， 解得：， ， 点坐标为， 如图，当时， 则，即：， 解得：， ， 点坐标为， 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，三角形面积等，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $