广东广州市第八十六中学2025-2026学年第二学期期中考试数学试题

广州市第八十六中学 2025-2026学年度第二学期期中考试 数学试题 考试用时：120分钟卷面总分：150分本卷共4页 命题人：张科 审核人：高芊 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数点处的切线方程为，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 6 2. 在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的不同方法数共有（ ） A. B. C. D. 3. 一场文艺汇演中共有2个小品节目､2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（ ） A. 480种 B. 1200种 C. 2400种 D. 5040种 4. 若，，则（ ） A. B. 31 C. D. 32 5. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则的大致图像为（ ） A. B. C. D. 7. 某中学派6名教师到A，B，C，D，E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（ ） A. 360种 B. 336种 C. 216种 D. 120种 8. 进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为0，1信号数码进行发送与接收的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为；发送1时，接收方收到1（正确）的概率为，收到0（错误）的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三重传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三重传输是指每个信号重复发送3次.无论哪种方案，接收方收到的信号都需要译码.译码规则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数最多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.下列结论中正确的是（ ） A. 采用单次传输时，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B. 采用三重传输时，若发送数码0，则译码为0的概率为 C. 发送0，若，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率 D. 当时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关 二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则事件与相互独立 D. 若，则 10. 已知某围棋比赛的个人冠军决赛将在甲、乙两人之间展开，且在每一局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，赛程将采用“三局两胜制”或“五局三胜制”．记“甲获得冠军”为事件A，“乙获得冠军”为事件B，随机变量X表示决出冠军需进行的比赛局数，则下列结论正确的为（ ） A. B. 若采用“五局三胜制”，则 C. 采用“五局三胜制”比采用“三局两胜制”对乙获得冠军更有利 D. 若采用“五局三胜制”，则 11. 已知函数，则（ ） A. 曲线的图象与轴有交点 B. 当时，在处有极大值 C. 存在，使得是曲线的对称中心 D. 当时，若曲线与曲线在上有两个交点，则 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则______. 13. 将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有______不同的涂色方法. 14. 若实数、、、满足，则的最小值为__________ 四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知的二项展开式中各项的二项式系数和为64. （1）求二项展开式的中间项； （2）求展开式中的常数项. 16. 设，，，两个函数的图象如图所示. （1）判断，的图象与，之间的对应关系； （2）根据，的位置关系，写出一个关于和的不等式，并证明. 17. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； （3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 18. 某学校有4000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占m%，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验4000次．为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人的血样再分别化验一次．假设每人的血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立． （1）若，记每人血样化验的次数为X，求当k取何值时，X的数学期望最小，并求化验总次数； （2）若，设每人血样单独化验一次的费用为5元，k个人混合化验一次的费用为k＋4元．求当k取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并求化验总费用． 参考数据及公式：（）． 19. 已知函数，． （1）若，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若对任意，有恒成立，求整数的最小值． 广州市第八十六中学 2025-2026学年度第二学期期中考试 数学试题 考试用时：120分钟卷面总分：150分本卷共4页 命题人：张科 审核人：高芊 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】ABD 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 【12题答案】 【答案】0.8## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【15题答案】 【答案】（1） （2）24 【16题答案】 【答案】（1）函数，的图象依次是图中的，. （2），证明如下： 由（1）及图象知，， 设，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以. 【17题答案】 【答案】（1） （2），， 0 1 2 3 （3）会得到推广，因为. 【18题答案】 【答案】（1），506； （2）10，7200（元）. 【19题答案】 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）1 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $