精品解析：重庆育才中学教共体2025-2026学年九年级下学期数学试卷（6）

重庆育才中学教共体初三（下）数学试卷（6） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框图黑． 1. 的倒数为（ ） A. B. C. D. 2. 下列问题中，适合抽样调查的是（ ） A. 公司招聘员工，对应聘人员进行面试 B. 进入高铁站对旅客携带的物品进行安检 C. 了解一批笔芯的使用寿命 D. 调查你们班同学的视力情况 3. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A. 5、8、2 B. 2、5、4 C. 4、3、5 D. 8、14、7 4. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 将图1中的正方形剪开得到图2，图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，图3中共有7个正方形；将图3中的一个正方形剪开得到图4，图4中共有10个正方形…按照这样的规律，图6中共有正方形（　　） A. 15个 B. 16个 C. 17个 D. 18个 6. 已知反比例函数，下列说法正确的是（　　） A. 图像与两坐标轴相交 B. 图象位于第二、四象限 C. y随x的增大而增大 D. 图象经过点 7. 如图，在矩形中，，取的中点，以为圆心，为半径画半圆，再以为圆心，为半径画扇形，两条弧交于点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 某电池厂2025年1～5月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，E是边的中点，交边于点F，连接，平分交于点G．已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n，，，，…，，均为正整数，且．若对任意（i为整数），都有，且偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和，下列说法： ①满足条件的整式M中，n的最大值为4； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③所有满足条件的整式共有7个． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上 11. 若一个多边形的内角和与外角和共，则这个多边形的边数是______． 12. 近年来，我国民营企业蓬勃发展，截至2026年1月，我国民营企业数量约为5670万户，将5670万用科学记数法表示为_______． 13. 计算：（﹣）﹣2﹣2cos60°=_____． 14. 如图，直角三角形中，，，，D是边上一点，且，过点D作，交边于点E，则的周长是_______． 15. 如图所示，是的外接圆，是的直径，点M为劣弧上一点，作M点关于弦的对称点D，此时点D恰好为直径与边的交点，与相切，且与延长线交于点F．若，，则的长为_______，的长为_______． 16. 我们规定：一个各数位数字均不为零且互不相等的四位数，若满足，则称这个四位自然数为“百合数”．记，．例如：四位数5347，因为，所以5347是“百合数”；四位数4257，因为，所以4257不是“百合数”．按照这个规定，最小的“百合数”是________；一个“百合数”（其中，且s，t，p，q均为整数）．若是整数，则所有满足条件的N的值之和为________． 三、解答题（本大题共9小题，17、18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在中，D、E是的中点，连接． （1）在直线下方作，交边于点F，连接；（尺规作图，保留痕迹，不写作法） （2）在（1）问条件下，若，探索四边形是哪种特殊的平行四边形． 证明：∵D、E是的中点， ∴是的中位线， ∴且， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形 ． 19. 某校开展了关于“厨艺，电工，木工，园艺，编织”五大劳动课程知识竞赛．现从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级学生竞赛成绩在B组的数据为：83，84，85，86，86，88，89 八年级20名学生的竞赛成绩为：62，65，68，72，74，75，78，80，82，85，87，88，90，92，94，95，98，100，100，100 抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 99 八年级 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校七年级有学生1500人，八年级有学生1300人，请估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到90分及以上的学生人数共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中m是方程的根． 21. 一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时以后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地． （1）求原计划的行驶速度； （2）若该车返程时，因道路施工，实际总路程比去程增加了．汽车先以原计划速度行驶若干千米后，由于路况变差，剩余路程改为原计划速度的倍行驶．已知返程途中汽车因故障停留了15分钟，最终返程所用总时间比去程的实际用时多2小时，求返程时以原计划速度行驶的路程． 22. 如图1，在四边形中，，，，动点P从点A出发，沿折线运动，到达C点时停止运动，点P在线段上的运动速度为每秒个单位长度，在线段上的运动速度为每秒3个单位长度．动点Q从点B出发沿射线以每秒个单位长度运动，P、Q两点同时出发，同时停止．设点P、Q的运动时间为x秒（），的面积为，线段与点Q的运动路程之比为． （1）请分别直接写出，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出函数，的图像，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图像，若直线与y1有1个交点，请直接写出m的取值范围． 23. 如图，四边形是某小区步道，点A，B，C，D在同一平面内，点B在点A的南偏东方向，点D在点A的正东方向，点C在点B的正东方向，点A在点C的北偏西方向，且A、C两地相距300米．（参考数据： ， ， ） （1）求A、B两地的距离（结果保留根号）； （2）小昆从点B出发沿步行到终点A，同时小萱从点A出发，沿步行到终点D，小昆与小萱步行的速度之比为，当他们首次相距100米时，求此时小萱与点A的距离（结果保留整数）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接，其中． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是线段下方抛物线上的一动点，连接交线段于点E，过点B作直线交拋物线于点D，点F是x轴上的动点，连接．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中当取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点D向右平移一个单位长度得到点，点K为拋物线上的一动点并在拋物线的对称轴右侧，过点K作直线交抛物线于点Q．连接，若，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其中一种情况的过程． 25. 已知在中，，点E在线段上，点F在线段上，且E、F均不在线段端点处，连接，点D在线段的延长线上，连接交于点N． （1）如图1，若点N恰为中点，，，求的度数． （2）如图2，在内有一点Q，连接，，，若，且，．猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，延长至G，使，连接，若，在内有一点P，连接，，．当最小时，在线段上截取使得，将点H绕点D旋转，连接，点M为线段的中点，将点M绕点B顺时针旋转得到点，连接，当最大时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学教共体初三（下）数学试卷（6） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框图黑． 1. 的倒数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 乘积为1的两个数互为倒数， ∴ 的倒数是. 2. 下列问题中，适合抽样调查的是（ ） A. 公司招聘员工，对应聘人员进行面试 B. 进入高铁站对旅客携带的物品进行安检 C. 了解一批笔芯的使用寿命 D. 调查你们班同学的视力情况 【答案】C 【解析】 【分析】全面调查适用于范围较小、无破坏性、结果要求准确的调查，抽样调查适用于调查具有破坏性、范围过大等不适合全面调查的场景. 【详解】解：∵ 公司招聘员工，需要对应聘人员逐一面试考核，范围小且要求结果准确，适合全面调查，∴A不符合要求； ∵ 高铁站安检需要保障公共安全，必须对每位旅客携带的物品逐一检查，适合全面调查，∴B不符合要求； ∵ 了解一批笔芯的使用寿命，测试使用寿命会破坏笔芯，调查具有破坏性，无法开展全面调查，适合抽样调查，∴C符合要求； ∵ 调查班级同学的视力情况，班级人数少、范围小，适合全面调查，∴D不符合要求. 3. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A. 5、8、2 B. 2、5、4 C. 4、3、5 D. 8、14、7 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析． 【详解】A．2+5<8，不能组成三角形，故此选项符合题意； B．2+4＞5，能组成三角形，故此选项不符合题意； C．3+4＞5，，能组成三角形，故此选项不符合题意； D．8+7＞14，，能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 4. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了主视图，从几何体的正面观察即可． 【详解】解：几何体的主视图， 从正面看能得到： 故选：A． 5. 将图1中的正方形剪开得到图2，图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，图3中共有7个正方形；将图3中的一个正方形剪开得到图4，图4中共有10个正方形…按照这样的规律，图6中共有正方形（　　） A. 15个 B. 16个 C. 17个 D. 18个 【答案】B 【解析】 【分析】先观察图形的变化寻找规律，再利用规律解题即可． 【详解】解：图1中正方形的个数为， 图2中正方形的个数为， 图3中正方形的个数为， 图4中正方形的个数为， …… 依此类推，图6中共有正方形个． 6. 已知反比例函数，下列说法正确的是（　　） A. 图像与两坐标轴相交 B. 图象位于第二、四象限 C. y随x的增大而增大 D. 图象经过点 【答案】B 【解析】 【分析】根据k的符号判断反比例函数的图像位置和增减性，再结合反比例函数图像上点的坐标特征逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 反比例函数为， ， ∴反比例函数的图像位于第二、四象限，故B符合题意； ∵反比例函数中，， ∴图像不可能与坐标轴相交，故A不符合题意； ， ∴只有在每个象限内，y随x的增大而增大，故C不符合题意； 当时，， ∴图像不经过点，故D不符合题意． 7. 如图，在矩形中，，取的中点，以为圆心，为半径画半圆，再以为圆心，为半径画扇形，两条弧交于点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积，连接，证明三角形为等边三角形，再利用面积之差即可解答，熟知扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， 根据题意可得， 三角形为等边三角形， ，， ， ， ， 则阴影部分的面积为， 故选：B． 8. 某电池厂2025年1～5月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，从折线统计图获取数据列出一元二次方程即可． 【详解】解：设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，根据题意得 ． 9. 如图，在正方形中，E是边的中点，交边于点F，连接，平分交于点G．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用正方形的性质和相似三角形判定与性质求出  的长，进而利用勾股定理求出、的长；过点G作于点M，于点N，则，利用求出的长，在等腰直角三角形中求出的长． 【详解】解：四边形是正方形， 、， E是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 平分交于点G， ， 过点G作于点M，于点N， ， ， ， ， 解得， 在中，， 是等腰直角三角形， ． 10. 已知整式，其中n，，，，…，，均为正整数，且．若对任意（i为整数），都有，且偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和，下列说法： ①满足条件的整式M中，n的最大值为4； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③所有满足条件的整式共有7个． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】①要使n最大，则各项系数应尽可能小且满足条件，对于②，当时，根据条件确定所有可能的整式M，再求和；③，通过分析系数的取值情况，确定满足条件的整式个数． 【详解】解：①∵各项系数均为正整数，所以最小为1， 若，， ∵偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和，且， ∴偶数次项系数之和与奇数次项系数之和都为3． 若各项系数最小为1，要满足，可以构造出，这 所以n的最大值为5，①错误； ②当时，， ∵，偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和， ∴偶数次项系数之和与奇数次项系数之和均为3， 满足条件的整式有： ， 和为，②正确； ③当时，， ∵，偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和， ∴，此时，有1个； 当时，， ∵，偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和， ∴无法构造满足条件的整式； 当时，由②得：满足条件的整式，有4个； 当时，满足条件的整式有：，，有2个， 当时，满足条件的整式有：，有1个， ∴所有满足条件的整式共有个，③错误． 综上所述，正确的有1个． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上 11. 若一个多边形的内角和与外角和共，则这个多边形的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是，即可求得多边形的内角和的度数，依据多边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：多边形的内角和是：， 设多边形的边数是， 则， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．多边形的内角和，多边形的外角和等于． 12. 近年来，我国民营企业蓬勃发展，截至2026年1月，我国民营企业数量约为5670万户，将5670万用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将5670万表示为的形式，其中，为整数． 【详解】解：5670万． 13. 计算：（﹣）﹣2﹣2cos60°=_____． 【答案】3 【解析】 【分析】按顺序先进行负指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再进行减法运算即可. 【详解】（﹣）﹣2﹣2cos60° =4-2× =3， 故答案为3. 【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了负指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键. 14. 如图，直角三角形中，，，，D是边上一点，且，过点D作，交边于点E，则的周长是_______． 【答案】16 【解析】 【分析】由直角三角形的性质可得，由垂直的定义及平角的定义可得，再结合等腰三角形的性质可得，即可证明，再利用三角形的周长公式可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的周长为： ． 15. 如图所示，是的外接圆，是的直径，点M为劣弧上一点，作M点关于弦的对称点D，此时点D恰好为直径与边的交点，与相切，且与延长线交于点F．若，，则的长为_______，的长为_______． 【答案】 ①. 10 ②. ## 【解析】 【分析】连接，，，，，根据题意，证明，得到，再证明，，根据勾股定理得到，得到，从而得到，，，证明，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，，，， ， 设，则， 关于对称， 垂直平分， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， 与相切， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． 【点睛】解题核心是利用对称性得，通过两次三角形相似建立边的比例，结合勾股定理求；再利用切线性质证相似，用比例关系求． 16. 我们规定：一个各数位数字均不为零且互不相等的四位数，若满足，则称这个四位自然数为“百合数”．记，．例如：四位数5347，因为，所以5347是“百合数”；四位数4257，因为，所以4257不是“百合数”．按照这个规定，最小的“百合数”是________；一个“百合数”（其中，且s，t，p，q均为整数）．若是整数，则所有满足条件的N的值之和为________． 【答案】 ①. 1387 ②. 3962 【解析】 【分析】根据“百合数”的定义，要使“百合数”最小，则千位数取，结合题中给出的范例进行枚举后即可得出结果；由可得：，从而得出，，再将，代入并化简，同理代入并化简，紧接着得出“百合数”N的表达式，从而得出，，将上述式子代入并化简，要使为整数，此时分情况进行讨论，通过枚举验证满足要求的四位数，得出后即可求得最终结果． 【详解】解：由题意知，要使“百合数”最小，则千位数取， ∵，四位数且各数位数字均不为零且互不相等， ∴当时，则，此时不符合题意， 当时，则，此时符合题意， ∴最小的“百合数”是1387； 由可得：， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵“百合数”，其中，且s，t，p，q均为整数， ∴， ∴， ∴，，即， ∴， 要使为整数， 此时分情况讨论： ①当时，，此时，，， ∴满足要求； ②当时，，此时，，， ∴满足要求； ③当时，，不存在对应的t，p，q值，舍去； ④当时，，不存在对应的t，p，q值，舍去； ⑤当时，，不存在对应的t，p，q值，舍去； ⑥当时，，此时，，， ∴，由于t，q重复，故不满足要求， ∴满足条件的N的值之和为：． 三、解答题（本大题共9小题，17、18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）直接运用因式分解法求解即可； （2）先移项，再凑出公因式，然后运用提取公因式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 18. 如图，在中，D、E是的中点，连接． （1）在直线下方作，交边于点F，连接；（尺规作图，保留痕迹，不写作法） （2）在（1）问条件下，若，探索四边形是哪种特殊的平行四边形． 证明：∵D、E是的中点， ∴是的中位线， ∴且， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形 ． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）①，②，③，④ 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的步骤作图； （2）根据三角形的中位线得出线段之间的数量关系和位置关系，判定四边形是平行四边形，然后根据邻边相等即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某校开展了关于“厨艺，电工，木工，园艺，编织”五大劳动课程知识竞赛．现从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级学生竞赛成绩在B组的数据为：83，84，85，86，86，88，89 八年级20名学生的竞赛成绩为：62，65，68，72，74，75，78，80，82，85，87，88，90，92，94，95，98，100，100，100 抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 99 八年级 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校七年级有学生1500人，八年级有学生1300人，请估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到90分及以上的学生人数共有多少人？ 【答案】（1）85.5；100；30 （2） 解：八年级学生的知识竞赛成绩较好，理由如下： ∵两个年级成绩的平均数一样，但七年级成绩的中位数，众数均低于八年级， ∴八年级学生的知识竞赛成绩较好； （3）970人 【解析】 【分析】（1）求出七年级学生竞赛成绩在A组的百分比，可求出m的值，再根据中位数的定义可得a的值，根据众数的定义求出b的值，即可； （2）根据中位数的意义解答即可； （3）根据样本估计总体解答即可． 【小问1详解】 解：，即， ∴七年级学生竞赛成绩在A组的数据为， ∴把这20个数据从大到小排列，位于第10位和第11位的分别为86，85， ∴； ∵八年级20名学生的竞赛成绩中100分出现的次数最多， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：人， 即此次知识竞赛成绩达到90分及以上的学生人数共有970人． 20. 先化简，再求值：，其中m是方程的根． 【答案】； 【解析】 【分析】先分别化简原式中的整式部分和分式部分，再合并得到最简结果，利用方程根的定义得到与的关系，代入最简式计算即可得到最终结果． 【详解】解： ； 是方程的根， ， ， 将代入得，原式． 21. 一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时以后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地． （1）求原计划的行驶速度； （2）若该车返程时，因道路施工，实际总路程比去程增加了．汽车先以原计划速度行驶若干千米后，由于路况变差，剩余路程改为原计划速度的倍行驶．已知返程途中汽车因故障停留了15分钟，最终返程所用总时间比去程的实际用时多2小时，求返程时以原计划速度行驶的路程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设原计划行驶速度为，计划总时间为小时．实际行驶分两段：先匀速1小时，再以行驶剩余路程，根据“比计划提前”列方程，求解即可； （2）先算出去程实际时间为，返程总路程、降速后速度为．设以原速行驶的路程为，根据“返程含停留比去程多2小时”列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设原计划的行驶速度为，则原计划总行驶时间为小时， 由题意得，实际行驶中，第一小时行驶路程为，剩余路程为，提速后速度为， ∴实际总时间为小时，， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划的行驶速度为； 【小问2详解】 解：由题意得，去程实际总时间为，返程总路程为，降速后速度为，， 设返程时以原计划速度行驶的路程为， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：返程时以原计划速度行驶的路程为． 22. 如图1，在四边形中，，，，动点P从点A出发，沿折线运动，到达C点时停止运动，点P在线段上的运动速度为每秒个单位长度，在线段上的运动速度为每秒3个单位长度．动点Q从点B出发沿射线以每秒个单位长度运动，P、Q两点同时出发，同时停止．设点P、Q的运动时间为x秒（），的面积为，线段与点Q的运动路程之比为． （1）请分别直接写出，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出函数，的图像，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图像，若直线与y1有1个交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 解：根据题意画出函数图像如下： 该函数的性质为在时，y随x的增大而增大； 该函数的性质是双曲线在第一象限一支，且时，y随x的增大而减小； （3） 或 【解析】 【分析】（1）如图：过点A作于点E，由题意易得，然后分当点P在线段上时，当点P在线段上时，分别求得的面积为即可；先说明点Q最后停在线段上，然后再求即可； （2）根据（1）中函数解析式可进行画函数图像，再根据函数图像写出函数，的一条性质即可； （3）根据（2）中函数图像可进行求解． 【小问1详解】 解：如图：过点A作于点E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ①当点P在线段上，即时，由题意得：，则， 如图：过点P作于点F，延长交的延长线于点G， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的面积为 ； ②如图，当点P在线段上，即时， 由题意得： ， ∴； 综上所述：． ∵， ∴点Q最后停在线段上， 由题意可得：运动路程为， ∴，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图： 当经过点时，则，即； 当经过点时，则； 当经过点时，则，即； ∴要使与该函数图像有1个交点，则需满足 或． 23. 如图，四边形是某小区步道，点A，B，C，D在同一平面内，点B在点A的南偏东方向，点D在点A的正东方向，点C在点B的正东方向，点A在点C的北偏西方向，且A、C两地相距300米．（参考数据： ， ， ） （1）求A、B两地的距离（结果保留根号）； （2）小昆从点B出发沿步行到终点A，同时小萱从点A出发，沿步行到终点D，小昆与小萱步行的速度之比为，当他们首次相距100米时，求此时小萱与点A的距离（结果保留整数）． 【答案】（1）米 （2）当他们首次相距100米时，此时小萱与点的距离约为米 【解析】 【分析】（1）过点作于点，解直角三角形即可求得，； （2）设他们首次相距100米时，小昆在点，小萱在点，过点作于点，分别求得，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， 依题意，（米）， ∴（米）， ∴（米）； 【小问2详解】 解：如图，设他们首次相距100米时，小昆在点，小萱在点，过点作于点， ∴米， ∵小昆与小萱步行的速度之比为， ∴， 设米，则米，米， 在中，， ∴米，米， ∴米， 在中，， ∴， 整理得，， 解得：（不是第一次相距100米，舍去）， ∴（米）， 答：当他们首次相距100米时，此时小萱与点的距离约为米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接，其中． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是线段下方抛物线上的一动点，连接交线段于点E，过点B作直线交拋物线于点D，点F是x轴上的动点，连接．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中当取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点D向右平移一个单位长度得到点，点K为拋物线上的一动点并在拋物线的对称轴右侧，过点K作直线交抛物线于点Q．连接，若，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）先求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式为，直线的解析式为；通过相似三角形的判定与性质证得，从而得到，当最大时，的值最大；设，，表示出的长度，将的长度转化为二次函数求得当时，最大，即的值最大，此时，利用正弦的定义可得出，当点P，F，H三点共线时，且当时，的值最小，通过相似三角形的判定与性质得出相关线段的长度，从而求得结果； （3）先求出平移后的新抛物线解析式，再求出点的坐标，设点，求出直线的解析式为，联立新抛物线解析式求出点Q的坐标表达式；根据已知条件求出，由，得出， 此时分情况讨论：①当点Q在下方时；②当点Q在上方时，通过构造辅助线，利用正切的定义，平行线的性质，三角形外角的定义及勾股定理分别求出不同情况下点Q的横坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交点C， ∴，即， ∵， ∴，，即，， ∵抛物线与x轴交点A，B， 将点A，B代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将点A，C分别代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， ∵，且过点， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于点M，过点B作轴交延长线于点N， ∵，， ∴， ∴， ∵与点N的横坐标相同， ∴，， ∴， 当最大时，的值最大， 设，， ∴， 当时，最大，即的值最大，此时， 如图，过点F作交于点H，过点D作轴交点S， 联立，解得或， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴在中，，即， ∴， 当点P，F，H三点共线时，且当时，的值最小， 延长交于点T，当时， ∵，轴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∵与点T的横坐标相同，且点T在直线上， ∴，即， ∴． 【小问3详解】 解：∵抛物线沿方向平移个单位， ∴向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到， ∴， 由（2）知，， ∵点D向右平移一个单位长度得到点， ∴， 设点， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或， ∴或（与点K重合，不符合题意，舍去）， ∵，， ∴， ∵， ∴， 此时分情况讨论： ①当点Q在下方时： 如图，作点关于x轴的平行线，交的延长线于点H，交x轴于点R，过点H作轴于点G， ∴， ∵直线交x轴于点R， 令，则， ∴，即， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点Q的横坐标为； ②当点Q在上方时： 如图，过点Q作轴，与x轴交点L， ∵， ∴， 又∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点，Q，J三点共线，即轴， ∴， 联立，解得，（不合题意，舍去）， ∴点Q的横坐标为， 综上所述，点Q的横坐标为或． 25. 已知在中，，点E在线段上，点F在线段上，且E、F均不在线段端点处，连接，点D在线段的延长线上，连接交于点N． （1）如图1，若点N恰为中点，，，求的度数． （2）如图2，在内有一点Q，连接，，，若，且，．猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，延长至G，使，连接，若，在内有一点P，连接，，．当最小时，在线段上截取使得，将点H绕点D旋转，连接，点M为线段的中点，将点M绕点B顺时针旋转得到点，连接，当最大时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）， 证明如下： 如图，作交于，作且，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）作交于，则，证明，得出，结合题意得出，由三角形内角和定理求出，由等边对等角得出，最后由三角形外角的定义及性质求解即可； （2）作交于，作且，连接、，证明，再证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，证明四边形为平行四边形，得出，由平行线的性质可得，从而可得为等腰直角三角形，证明、、、四点共圆，得出，从而推出为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，，证明，得出，即可得证； （3）将绕点顺时针旋转并放大倍，得到，连接，，由旋转的性质可得，，，，由勾股定理得出，根据，得出当、、、在同一直线上时，的值最小为，作交的延长线于，则，证明，求出，，进而得出，，即的最小值为，求出，得出点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆上，取的中点为，得出点在以为圆心，为半径的圆上，由旋转的性质可得，，点在以为圆心，为半径的圆上，则，，作交的延长线于，交的延长线于，则，证明，得出，，进而求出，，当在的延长线时最大，为，证明，求出，最后由三角形面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图，作交于，则， ， ∴， ∵点N恰为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将绕点顺时针旋转并放大倍，得到，连接，， ， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， ∴， ∴当、、、在同一直线上时，的值最小为， 作交的延长线于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵当最小时，在线段上截取使得， ∴， ∴点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆上， 取的中点为， ∵点M为线段的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∵将点M绕点B顺时针旋转得到点， ∴由旋转的性质可得：，，点在以为圆心，为半径的圆上，则，， 作交的延长线于，交的延长线于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴当在的延长线时最大，为， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、四点共圆等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $