精品解析：重庆市重庆育才中学教共体2025-2026学年九年级下学期第四次自主作业数学试卷

重庆育才中学教共体初2026届初三（下）第四次自主作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，倒数最小的是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】先根据倒数的定义求出各选项的倒数，再利用正分数比较大小的规则判断最小的倒数，分子相同的正分数，分母越大分数值越小． 【详解】解：∵乘积为1的两个数互为倒数， ∴四个选项的倒数分别为：，，，， ∵比较正分数大小，分子相同时，分母越大分数值越小， 又∵， ∴， ∴2026的倒数最小． 2. （新情境）神舟二十一号载人飞船于2025年10月31日发射，成功将三名中国航天员送入天宫空间站．某同学画了如图所示的天宫空间站（部分）示意图，对于该图形，下列说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形 B. 是中心对称图形，但不是轴对称图形 C. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意, 既是轴对称图形，又是中心对称图形， 故选：C． 3. 下列调查中，最适合抽样调查的是（ ） A. 了解神舟飞船发射前零部件的情况 B. 了解某班级学生的月考数学成绩 C. 订购校服时了解某班学生衣服的尺寸 D. 了解生产的一批鞭炮的质量 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查，正确掌握相关性质内容是解题的关键．抽样调查适用于总体数量大、具有破坏性或耗时的情况，而全面调查（普查）适用于总体数量小、需精确结果的情形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、神舟飞船零部件必须全部检查，否则隐患可能导致严重后果，需全面调查，故选项不符合题意； B、班级人数较少，直接统计所有学生成绩更准确，适合全面调查，故选项不符合题意； C、订购校服需每个学生的尺寸，否则无法保证合身，必须全面调查，故选项不符合题意； D、鞭炮质量检测具有破坏性（检测后无法销售），且数量庞大，适合通过抽样推断整体质量，故选项符合题意 故选:D． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法，积的乘方，合并同类项的运算法则分别计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意． 5. 若两个相似三角形对应边之比为，则这两个相似三角形对应边上的高之比为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似三角形对应线段的比等于相似比的性质即可直接求解． 【详解】解：∵相似三角形所有对应线段的比都等于相似比，对应边之比就是相似比， 已知两个相似三角形对应边之比为，即相似比为， ∴两个三角形对应边上的高之比等于相似比，为． 6. 已知，m为整数，且，则m的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法可得，则，再结合题意即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵m为整数，且， ∴， ∴， 故选：B． 7. 国庆节小明一家自驾车从贵阳到离家的昆明旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 下列说法不正确的是（ ） A. 该车的油箱容量为 B. 该车每行驶耗油 C. 当小明一家到达昆明时，油箱中剩余油 D. 油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，明确题意、正确从表格中获取信息是解题的关键．根据表格中信息逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、由表格知：行驶路程为时，油箱余油量为，故A正确，不符合题意； B、由表格信息可得该车每行驶耗油；故B正确，不符合题意； C、当 时，，故C正确，不符合题意． D、由表格知：该车每行驶耗油，则，故D错误，符合题意； 故选：D． 8. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，分别以，长为半径画弧交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，矩形的性质，解直角三角形等，应用扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．根据，，即可求得，则，得到，阴影部分的面积为面积加上扇形的面积减去扇形的面积即可． 【详解】解：连接， 依题意的 ，， ． ． ． ． 在矩形中， 阴影部分的面积为： 故选：A． 9. 如图，在正方形中，点在上，且，连接，点在上，点在上，连接交于点，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作，交于点P，连接，将绕点A顺时针旋转，得到．设正方形的边长为，根据勾股定理求出，证明得到，设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求得，再求出，证明四边形是平行四边形，得到，即可求解． 【详解】解：过点A作，交于点P，连接，将绕点A顺时针旋转，得到． 设正方形的边长为，即， ∵，， ∴，， ∵在正方形中，， ∴在中，， ∵旋转得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 设，则，， ∵在中，， ∴， 解得， 即， ∴在中，， ∵在正方形中，，又， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴． 10. 已知整式：，其中为正整数，，，…，，均为不等于0的整数．若，下列说法： ①满足条件的整式中只有2个一次二项式； ②当时，满足条件的整式中，有6个多项式使得成立； ③当时，所有满足条件的整式的和为0． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目给出的条件逐个判断三个说法的正误，利用整数性质分类列举计算即可． 【详解】解：①当是一次二项式时，，且，，均为非零整数， 由条件得 ， ∵非零整数的平方最小为，若任意一个系数绝对值，则平方，总和必大于， ∴，，共有个不同的一次二项式，故①错误． ②当时，得，且都为非零整数，满足， 若任意一个系数绝对值，则平方；若三个系数绝对值都为，平方和为，但三个奇数的和为奇数，不可能等于偶数， ∴只能有一个系数绝对值为，另两个系数绝对值为，平方和为，满足条件， 当绝对值为的系数是正数时，另两个系数为负数，共有种不同情况；当绝对值为的系数是负数时，另两个系数为正数，共有种不同情况， 一共个满足条件的多项式，故②正确． ③ 当时，若整式满足条件， 则整式的所有系数也都是非零整数，且，也满足条件， ∵，所有满足条件的整式可两两配对，因此所有满足条件的整式的和为，故③正确． 综上，正确的说法共个． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一个多边形的内角和与外角和的差为，则它是 _____边形． 【答案】九 【解析】 【分析】根据题意，可知多边形的内角和为，多边形的外角和是，再根据内角和外角和列出方程，求出边数即可． 【详解】解：设这是一个n边形，则 ， 解得． 答：它的边数是九边形． 故答案为：九． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和与外角和，根据外角和的度数以及内角和度数之间的关系列出方程是解出本题关键． 12. 一个不透明的零食袋里有 4 块包装相同的小饼干，其中 2 块巧克力味、 2 块牛奶味．先随机拿 1块吃掉，再拿 1 块，则两次都拿到牛奶味饼干的概率是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：记2 块巧克力味饼干为、，2 块牛奶味饼干为、， 列表可得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中两次都拿到牛奶味饼干的情况有种， ∴两次都拿到牛奶味饼干的概率为， 故答案为：． 13. 如图，、分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是______． 【答案】 ##度 【解析】 【分析】利用等腰三角形三线合一的性质求出，再结合等腰三角形两底角相等求出，最后根据角平分线的定义算出的度数． 【详解】解：∵，是的中线， ∴根据等腰三角形三线合一，可得平分， ∴ ∴等腰中，底角 ∵是角平分线，平分， ∴． 14. 若，，则的值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】先将所求代数式展开，再利用完全平方公式变形为含有和的形式，代入已知条件计算即可． 【详解】解： 将，代入得：原式． 15. 如图，是的外接圆，为直径，于，记与的交点为，的延长线与过点的切线交于点，若，，则______，______． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】过点A作于点H，连接，证明四边形是正方形，求出，解直角三角形求出，即可求出； 解直角三角形求出，，证明，求出，再证明，得到，代入即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点H，连接， 是的切线，点为切点， ，即， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， 解得：，则， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴． 16. 对于一个各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位数，若满足千位数字与百位数字之和比十位数字与个位数字之和小（为正整数），则称该数为“元数”．对“元数”，将千位数字与百位数字互换，个位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定：．若四位数是一个“5元数”，则的值为______．若是一个“2元数”，且被的各个数位上的数字之和除，余数是2，则满足条件的的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用“元数”定义可得，根据题意表示出，，再利用即可得到；设，则根据“2元数”定义可得，进而求得，根据能被的各个数位上的数字之和除，余数是2，得到为整数，结合各个数位上的数字互不相等且均不为0，且取最大，求出、、、的值，最后确定的值即可． 【详解】解：四位数是一个“5元数”， ， 解得：， ，， ， ； 设，则， 是一个“2元数”， ， ， 被的各个数位上的数字之和除，余数是2， 能被的各个数位上的数字之和整除 ， 为整数，即为整数， 各个数位上的数字互不相等且均不为0， ， 为100的因数， 符合条件的有或或， 若要最大，则取，且，， ， 若要最大，且各个数位上的数字互不相等且均不为0， 则，， 满足条件的的最大值为． 三、解答题（本大题共9小题，17、18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并写出所有整数解． （1）解不等式①，得____________； （2）解不等式②，得____________； （3）原不等式组的解集为____________； （4）原不等式组的所有整数解为____________． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组． （1）根据不等式的性质解不等式①； （2）根据不等式的性质解不等式②； （3）找这两个解集的公共部分，即为不等式组的解集； （4）在原不等式组的解集范围内找到所有整数解． 【小问1详解】 解：解不等式①：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：； 【小问2详解】 解：解不等式②：， 去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：； 【小问3详解】 解：∵原不等式组的解集为取两个不等式解集的公共部分：且， ∴原不等式组的解集为：； 【小问4详解】 解：∵原不等式组的解集为：， ∴原不等式组的解集范围内的所有整数解为：． 18. 小北在学习完直角三角形后，小北进行了如下思考：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，当两条射线互相垂直时，两交点与斜边中点所连线段有什么数量关系？请根据他的思考完成以下作图与填空． 已知：在中，，，为边上一点，为边中点． （1）尺规作图：过点作直线的垂线，交于点（只保留作图痕迹） （2）求证：． 证明：在中， ①______ 又，为中点 ②______ 又，为中点 又 ③______ 在和中， ． 小北在进一步研究中发现，只要等腰直角三角形满足此特征均有此结论，请你根据题意完成下面命题：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则两交点与斜边中点所连线段相等． 【答案】（1）见解析 （2），，，． 【解析】 【分析】（1）按照线段垂线的作图方法作图即可； （2）根据等腰直角三角的性质得到，证明，，即可证明，则据此得到结论． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 证明：在中， ， 又，为中点 ， ，为中点 又 在和中， ． 故答案为：，，，． 19. 某校为确保学生安全，开展了“远离溺水珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98； 八年级10名学生的竞赛成绩在等级中的数据为：89，83，89，82，86． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 87 86 52.4 八年级 87 89 62.4 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七，八年级共有850人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”（）的总共有多少人？ 【答案】（1），87，30． （2）七年级的成绩更好，理由见解析 （3）255人 【解析】 【分析】（1）八年级10名学生的竞赛成绩中，可求得A等级有2名，故中位数在B等级的5人中，根据中位数的定义可求得a的值；根据七年级10名学生的竞赛成绩以及众数的定义可得到b的值；八年级10名学生的竞赛成绩中，C等级有3名，由此可得m的值； （2）由于平均数相同，比较方差即可解答； （3）由样本中优秀人数的占比来估计总体中优秀人数的占比进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题可得：八年级10名学生的竞赛成绩中，可求得A等级有名，B等级中有5人， ∴八年级10名学生的竞赛成绩的中位数为：， ∵七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98； ∴87出现3次，次数最多，即众数， ∵八年级10名学生的竞赛成绩中，A等级有2名，B等级中有5人， ∴C等级有3名， ∴C等级所占的百分比为：， ∴． 故答案为：；87；30． 【小问2详解】 解：七年级的成绩更好，理由如下： ∵两个年级的平均数相同，而七年级的成绩的方差小于八年级的， ∴七年级的成绩更好． 【小问3详解】 解：由题可得：（人） 答：估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有255人． 20. 先化简，再求值：，其中为方程的解． 【答案】 【解析】 【分析】首先进行分式的混合运算，经过通分，因式分解，约分，再通分等一系列计算得出化简后的分式，根据为一元二次方程的解，代入得到，转化为，代入化简后的分式进行计算得到原式的值为，最后计算一元二次方程的解，检验分式的分母是否有意义即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ； ∵为方程的解， ∴， ∴， ∴将代入上式得：， 经检验，解方程，得：，， ，，，分式均有意义， ∴原式的值为． 21. 列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作了“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多分钟，制作对“花扣”和对“一字扣”共用分钟． （1）求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； （2）因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的倍，分钟制作的“花扣”对数是分钟制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 【答案】（1） 制作一对“花扣”需要分钟，制作一对“一字扣”需要分钟 （2） 分钟 【解析】 【分析】（）通过设制作一对“花扣”和“一字扣”的时间为未知数，根据两种盘扣的制作时间差、总用时这两个等量关系，列出二元一次方程组，求解方程组得到两种盘扣各自的制作时间； （）设升级后“一字扣”的制作时间为未知数，结合升级前的时间和时间增加的倍数关系，表示出升级后“花扣”的制作时间，再根据两种盘扣在固定时长内制作数量的比例关系列出分式方程，求解并检验后，得到升级后“一字扣”的制作时间． 【小问1详解】 解：设制作一对“花扣”需要分钟，制作一对“一字扣”需要分钟， 根据题意列方程组：， 解得， 答：制作一对“花扣”需要分钟，制作一对“一字扣”需要分钟． 【小问2详解】 解：设升级后制作一对“一字扣”需要分钟，则每对“一字扣”增加的时间为分钟，对应每对“花扣”增加的时间为分钟，升级后制作一对“花扣”的时间为： 根据题意列方程：， 化简得​， 解得， 经检验是原方程的解，符合实际意义， 答：升级后制作一对“一字扣”需分钟． 22. 如图，在中，，是边上的高，且，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，同时动点以每秒0.5个单位长度的速度从点出发，沿着运动，是射线上一动点，连接、、的面积是面积的一半，设点、的运动时间为，的面积为，点到的距离为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）； （2）函数图象见解析，函数的图象在时，有最大值6； （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，反比例函数解析式，一次函数的解析式，根据解析式画函数的图象等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）根据题意，利用勾股定理求出，得到，分别求出，即可求出，过点作于点H，由，即可得到的表达式；再分点P在上和点P在上，即可表示出的面积的表达式； （2）根据（1）中函数关系式，结合自变量的范围，即可画出函数图象，再由函数图象即可得到的性质； （3）根据函数图象， ，即为函数的图象在函数图象上方时，的取值范围，据此解答即可． 【小问1详解】 解：在中，，是边上的高，且， ，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作于点H， ∴， ∵， ∴，即； 当点P在上时， ∵，， ∴，即， ∴，即； 如图，当点P在上时，， 根据题意得：， 同理：，即， ∴，即； 综上，； 【小问2详解】 解：由（1）列表如下： 1 2 4 6 7 3 6 2 0 8 4 2 函数图象如图所示： 由函数图象得：函数的图象在时，有最大值6； 【小问3详解】 解：令，即，解得：或（舍去）； 令，即，解得：或（舍去）； 时，． 23. 期末考试完后，小金约小月周末去逛购物中心．如图，A，B，C，D在同一平面内，小金家B位于小月家A北偏西方向，购物中心D在小月家南偏西方向30千米处，地铁站C在购物中心D北偏西方向．由于之间的道路施工，小金只得先到位于家正西方向的地铁站C，再乘坐地铁前往购物中心D．（参考数据：） （1）求小金家B和购物中心D之间道路的长度（结果保留根号）； （2）小月得知小金要先前往地铁站坐地铁，便决定等小金进地铁站时再出发．当小金刚上地铁便立即给小月发信息，小月收到消息后立即从家中乘私家车沿方向行驶（接收信息时间忽略不计）．地铁开车后，由于小金乘坐的路段处于地下深处信号弱的地段和小金通讯设备的自身原因，导致远距离无法和小月通信，只有当小金和小月直线距离不超过千米时，通讯才能恢复．已知小金所乘坐的地铁和小月所乘坐的私家车同时沿各自路线出发，且地铁的平均速度是私家车平均速度的2倍，求小金乘坐地铁行走多远时，方可再次向小月发送信息（结果保留1位小数） 【答案】（1）千米 （2）千米 【解析】 【分析】（1）由方位角得到，，，在中通过解直角三角形求出即可解答； （2）设当小金乘坐的地铁到达点E，小月所乘坐的私家车到达点F时，两人的直线距离恰好为千米，通讯开始恢复．设此时小金小月乘坐私家车行走了x千米，即，则，根据路程速度时间三者关系得到小金乘坐地铁行走了千米，即．过点F作于点N，根据解直角三角形表示出，的长，再在中由勾股定理构造方程，求解即可． 【小问1详解】 解：小金家B位于小月家A北偏西方向，购物中心D在小月家南偏西方向30千米处， ∴，， 小月家A在购物中心D的北偏东方向， ∴， ∴在中，， ∴小金家B和购物中心D之间道路的长度为千米． 【小问2详解】 解：如图，设当小金乘坐的地铁到达点E，小月所乘坐的私家车到达点F时，两人的直线距离恰好为千米，通讯开始恢复． 设此时小金小月乘坐私家车行走了x千米，即，则， ∵地铁的平均速度是私家车平均速度的2倍， ∴在相同的时间内，小金乘坐地铁行走的路程是小月乘坐私家车行走的路程的2倍， ∴小金乘坐地铁行走了千米，即． ∵，， ∴在中，， ∴． 过点F作于点N， ∵， ∴在中，， ， ∴， ∵在中，， ∴， 整理得， 解得， 即，， 当时，小金乘坐地铁行走的路程为，不合题意； 当时，小金乘坐地铁行走的路程为（千米）． ∴小金乘坐地铁行走千米时，方可再次向小月发送信息． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，直线交x轴于点，点P为线段下方抛物线上的一点，过点P作轴交直线于点H，在直线上取点Q，连接，使得，点M，N为x轴上的动点（点M在左，点N在右），且，连接，，当取最大值时，求P的坐标及的最小值； （3）把原抛物线沿射线方向平移个单位长度，点F为新抛物线上一动点并在对称轴右侧，过点F作交新抛物线于点E，连接，，若．请直接写出所有符合条件的点F，并写出求解点F的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2），的最小值为 （3）点F的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据题意利用二次函数的交点式即可求得抛物线解析式； （2）通过构造辅助线证明，得到，进而推出，利用待定系数法求出直线的解析式，再设点H坐标为，点P坐标为，求出的表达式，此时为开口向下的二次函数，当时，有最大值，从而求出此时点P的坐标，再通过对称的性质即可得出最终结果； （3）先证得，再求出平移后的抛物线解析式，结合已知条件推导出，分点A在直线的上方与下方两种情况考虑，利用角度和差关系，等腰三角形的性质，平行线的性质等即可求得每种情况下点F的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于、两点，， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）知，， 令，则， ∴，即， ∵， ∴， 如图，过点Q作交于点E， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 将点C，D代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ∵点H在直线上，点P在抛物线上， 设点H坐标为，点P坐标为， ∴， ∴, ∵， ∴当时，有最大值， 将代入点P坐标， ∴，， ∴点P的坐标为， 如图，过点C向右平移的长度得到点，作点关于x轴的对称点，连接，与x轴交点为点， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵点与点关于x轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度， ∴平移后的抛物线表达式为， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵点F为新抛物线上一动点并在对称轴右侧， ∴点F的横坐标取值范围是， 此时分情况讨论： ①如图，当点A在直线的上方时，设与交点， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 将代入抛物线， 得， ∴； ②如图，当点A在直线的下方时， 延长，，交延长线于点，交延长线于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点B，C分别代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设直线的解析式为，点， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴，交x轴于点A， ∴， 将代入直线的解析式，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去），，（舍去） ∴， 综上所述，点F的坐标为或． 25. 在中，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，已知，，，求的长； （2）如图2，已知，点和点分别为和的中点，连接，求证：； （3）如图3，已知，，，在内部有一点，在直线上有一点，连接，，，求的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作，交的延长线于点，作于，可证得，从而，，由得，再结合勾股定理，即可得出结果； （2）作，交于，连接，并延长使，连接，，可证得四边形是平行四边形，从而，，进而，，从而，进而证得，从而，进一步得出结论； （3）分别在、、下方，以、、为边构造等边三角形，，，连接，，，证明，得到，则，当点和在线段上时最小，再证明，得到，，即，点的运动轨迹为过且与平行的直线，由垂线段最短可得，当时，最小据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图，作，交的延长线于点，作于， ∴， ∴， 由旋转可知， ， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，作，交于，连接，并延长使，连接，， ∴， ∵，则为等腰直角三角形， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：分别在、、下方，以、、为边构造等边三角形，，，连接，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点和在线段上时最小， 由旋转可知，，， ∴ ∵， ∴，， ∴、、三点共线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴点的运动轨迹为过且与平行的直线， ∴由垂线段最短可得，当时，最小， 过作于，过作交直线于，交直线于，在上取一点，使，连接，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∵中， ∴， 整理得 解得， ∴， ∴， ∴当与重合时，最小， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学教共体初2026届初三（下）第四次自主作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，倒数最小的是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 2. （新情境）神舟二十一号载人飞船于2025年10月31日发射，成功将三名中国航天员送入天宫空间站．某同学画了如图所示的天宫空间站（部分）示意图，对于该图形，下列说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形 B. 是中心对称图形，但不是轴对称图形 C. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 3. 下列调查中，最适合抽样调查的是（ ） A. 了解神舟飞船发射前零部件的情况 B. 了解某班级学生的月考数学成绩 C. 订购校服时了解某班学生衣服的尺寸 D. 了解生产的一批鞭炮的质量 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若两个相似三角形对应边之比为，则这两个相似三角形对应边上的高之比为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 已知，m为整数，且，则m的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 国庆节小明一家自驾车从贵阳到离家的昆明旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 下列说法不正确的是（ ） A. 该车的油箱容量为 B. 该车每行驶耗油 C. 当小明一家到达昆明时，油箱中剩余油 D. 油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 8. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，分别以，长为半径画弧交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点在上，且，连接，点在上，点在上，连接交于点，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 已知整式：，其中为正整数，，，…，，均为不等于0的整数．若，下列说法： ①满足条件的整式中只有2个一次二项式； ②当时，满足条件的整式中，有6个多项式使得成立； ③当时，所有满足条件的整式的和为0． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一个多边形的内角和与外角和的差为，则它是 _____边形． 12. 一个不透明的零食袋里有 4 块包装相同的小饼干，其中 2 块巧克力味、 2 块牛奶味．先随机拿 1块吃掉，再拿 1 块，则两次都拿到牛奶味饼干的概率是 ______． 13. 如图，、分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是______． 14. 若，，则的值为______． 15. 如图，是的外接圆，为直径，于，记与的交点为，的延长线与过点的切线交于点，若，，则______，______． 16. 对于一个各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位数，若满足千位数字与百位数字之和比十位数字与个位数字之和小（为正整数），则称该数为“元数”．对“元数”，将千位数字与百位数字互换，个位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定：．若四位数是一个“5元数”，则的值为______．若是一个“2元数”，且被的各个数位上的数字之和除，余数是2，则满足条件的的最大值为______． 三、解答题（本大题共9小题，17、18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并写出所有整数解． （1）解不等式①，得____________； （2）解不等式②，得____________； （3）原不等式组的解集为____________； （4）原不等式组的所有整数解为____________． 18. 小北在学习完直角三角形后，小北进行了如下思考：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，当两条射线互相垂直时，两交点与斜边中点所连线段有什么数量关系？请根据他的思考完成以下作图与填空． 已知：在中，，，为边上一点，为边中点． （1）尺规作图：过点作直线的垂线，交于点（只保留作图痕迹） （2）求证：． 证明：在中， ①______ 又，为中点 ②______ 又，为中点 又 ③______ 在和中， ． 小北在进一步研究中发现，只要等腰直角三角形满足此特征均有此结论，请你根据题意完成下面命题：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则两交点与斜边中点所连线段相等． 19. 某校为确保学生安全，开展了“远离溺水珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98； 八年级10名学生的竞赛成绩在等级中的数据为：89，83，89，82，86． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 87 86 52.4 八年级 87 89 62.4 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七，八年级共有850人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”（）的总共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中为方程的解． 21. 列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作了“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多分钟，制作对“花扣”和对“一字扣”共用分钟． （1）求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； （2）因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的倍，分钟制作的“花扣”对数是分钟制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 22. 如图，在中，，是边上的高，且，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，同时动点以每秒0.5个单位长度的速度从点出发，沿着运动，是射线上一动点，连接、、的面积是面积的一半，设点、的运动时间为，的面积为，点到的距离为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 期末考试完后，小金约小月周末去逛购物中心．如图，A，B，C，D在同一平面内，小金家B位于小月家A北偏西方向，购物中心D在小月家南偏西方向30千米处，地铁站C在购物中心D北偏西方向．由于之间的道路施工，小金只得先到位于家正西方向的地铁站C，再乘坐地铁前往购物中心D．（参考数据：） （1）求小金家B和购物中心D之间道路的长度（结果保留根号）； （2）小月得知小金要先前往地铁站坐地铁，便决定等小金进地铁站时再出发．当小金刚上地铁便立即给小月发信息，小月收到消息后立即从家中乘私家车沿方向行驶（接收信息时间忽略不计）．地铁开车后，由于小金乘坐的路段处于地下深处信号弱的地段和小金通讯设备的自身原因，导致远距离无法和小月通信，只有当小金和小月直线距离不超过千米时，通讯才能恢复．已知小金所乘坐的地铁和小月所乘坐的私家车同时沿各自路线出发，且地铁的平均速度是私家车平均速度的2倍，求小金乘坐地铁行走多远时，方可再次向小月发送信息（结果保留1位小数） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，直线交x轴于点，点P为线段下方抛物线上的一点，过点P作轴交直线于点H，在直线上取点Q，连接，使得，点M，N为x轴上的动点（点M在左，点N在右），且，连接，，当取最大值时，求P的坐标及的最小值； （3）把原抛物线沿射线方向平移个单位长度，点F为新抛物线上一动点并在对称轴右侧，过点F作交新抛物线于点E，连接，，若．请直接写出所有符合条件的点F，并写出求解点F的其中一种情况的过程． 25. 在中，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，已知，，，求的长； （2）如图2，已知，点和点分别为和的中点，连接，求证：； （3）如图3，已知，，，在内部有一点，在直线上有一点，连接，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $