精品解析：重庆育才中学教共体2025--2026学年九年级下学期第一次自主作业数学试卷

重庆育才中学教共体初2026届初三（下）第一次自主作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数是（ ） A. B. 27 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数即可求解． 【详解】解：∵ ∴的倒数是． 2. 以下四种不同的传统纹样中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A，C，D的图形中，找不到这样一个点，把一个图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以三个图形都不是中心对称图形； 选项B中的图，可以找到一点，把一个图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以该图形是中心对称图形，符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，，故原选项计算错误； B、与不是同类项，不能合并同类项，故原选项计算错误； C、，故原选项计算错误； D、，计算正确； 故选：D ． 4. 下列命题正确的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 等腰三角形的高线、中线、角平分线重合 C. 两直线平行，内错角相等 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角、平行线的性质、等腰三角形的性质，垂线的性质，逐一分析各选项是否为真命题，结合几何基本概念进行判断． 【详解】解：A：相等的角不一定是对顶角，例如两角为同一角的补角时相等，但不是对顶角，故该选项不符合题意； B：等腰三角形底边上的高线、中线、顶角的角平分线重合，故该选项不符合题意； C：两直线平行，内错角相等，故该选项符合题意； D：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项不符合题意． 5. 如图，是的直径，点、在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是的直径，，再由三角形内角和定理求出的度数，结合即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，根据位似变换的性质计算，判断即可． 【详解】解：∵以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小， ∴点的对应点的坐标是，即为． 7. 如图，用黑白两种颜色的正五边形地砖按照一定规律拼成若干个蝴蝶图案，其中第①个图案有块白色地砖，第②个图案有块白色地砖，第③个图案有块白色地砖，…，按此规律，第⑩个图案中的白色地砖的数量是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意可知，后一个图案会比前一个图案多块白色地砖， ∴第个图案有块白色地砖， 当时，， ∴第⑩个图案有块白色地砖． 8. 为传承清明文化、缅怀先辈，某班以小组为单位，精心布置清明节主题黑板报．甲组单独布置需4小时，乙组单独布置需6小时，如果甲、乙两组合作了2小时后，因甲组另有任务，剩下的任务由乙组单独完成，若设乙单独完成剩下的任务还需要小时，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．工作效率 = 总工作量÷单独完成时间，因此把总的工作量看作“1”，甲的工作效率是，乙的工作效率是，根据“甲、乙两组合作了2小时后，剩下的任务由乙组单独完成，”列出方程并解答． 【详解】解：设乙单独完成剩下的任务还需要小时，由题意得 ， 故选：D ． 9. 如图，在正方形中，点在边上，点在边上，连接，，若，点是的中点，连接，与交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长至点P，使，连接，，延长交的延长线于点M，交于点N， 设，根据，可得，，，再证明，可得，从而得到，，然后根据，可得，从而得到，再证明，可得，，结合，可得，可证明，可得，设，则，，在中，利用勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点P，使，连接，，延长交的延长线于点M，交于点N， 在正方形中，，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 已知整式，其中n、为正整数，，…，，均为整数，若满足，，下列说法： ①当整式M是二次二项式时，关于x的方程（k为常数）有两个不同的实数根，则k的取值范围为； ②当时，满足条件的所有整式和为； ③当时，满足条件的整式M共有5个． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】对于①：先根据二次二项式的定义确定n的值，再结合和求出整式M的具体形式，再利用一元二次方程根的判别式结合方程有两个不同实数根的条件，推导k的取值范围； 对于②：当时，根据和，列举出所有满足条件的整数系数组合，得到所有符合的整式，再将这些整式相加验证结果； 对于③：根据，结合，再根据，通过枚举的方式分情况讨论n的可能取值，列举出所有满足条件的整式，统计个数即可． 【详解】解：验证①：∵整式M是二次二项式， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 的解为，，，， ∵整式M是二次二项式， ∴此时满足条件的解为， ∵关于x的方程有两个不同的实数根， ∴，， 解得，与不符，故①错误； 验证②：当时，，， ∴， ∵， ∴， 此时满足的解为，，，，， ∴整式， 相加得：，故②正确； 验证③：当时，，，不符合条件； 当时，，，， 此时满足的解为，， 当时，，，， 此时满足的解为，，， 当时，，，， 此时满足的解为， 当时，，，，此时不存在满足的解， ∴满足条件的整式M共有（个），故③错误． 综上所述，正确的结论个数有1个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 目前，我国森林总面积约为亩，其中数据用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，形式为，其中，为原数的位数减一． 【详解】解：． 12. 若为正整数，且满足，则___________． 【答案】7 【解析】 【分析】估算无理数的大小，确定其介于两个连续正整数之间，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 即， 因此． 13. 重庆东站某时刻同时开设了三个检票口前往北京，小明和小红各随机选择一个检票口检票，则恰好选到同一检票口的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用树状图法计算概率即可． 【详解】解：设三个检票口分别用字母A、B、C表示， 画树状图如下： 一共有9种等可能性的结果，其中两人恰好选到同一检票口的情况有3种， ∴两人恰好选到同一检票口的概率． 14. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由得，得，然后分当时，当时两种情况分析即可． 【详解】解：由得，， ∴， 由得，， ∴， 当时， ∴，解得：（不符合题意，舍去）； 当时， ∴，解得：， ∴． 15. 如图，在平行四边形中，顶点、、在上，与相切于点，连接对角线，在对角线上取点，满足，连接并延长交于点，连接，其中的半径为，，则线段的长度为___________，线段的长度为___________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】连接并延长交于点H，连接，过点作于点，过点作交延长线于点，延长交于点，连接、，延长交于点，先解求出，由圆半径为，则，在中，运用勾股定理建立方程求解半径即可；在中，由勾股定理求解，延长交于点，连接，然后证明，求出，则，由，得到，则可求，那么，，最后对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接并延长交于点H，连接，过点作于点，过点作交延长线于点，延长交于点，连接、，延长交于点， ∵与相切于点D， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵经过圆心， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵圆半径为， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴在中，， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定与性质等知识点，难度大，正确添加辅助线，熟练掌握各知识点是解题的关键． 16. 一个四位自然数（其中，，，均为整数，且，，，），若满足，则称为“亲和数”，如：四位数，∵，∴是“亲和数”； （1）已知某个“亲和数”的个位数字等于十位数字的倍，百位数字比千位数字大，则这个“亲和数”为______． （2）一个“亲和数”，将其千位数字与个位数字调换位置，得到一个新数，记，被整除，被除余2，则满足条件的的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设“亲和数”，由个位数字等于十位数字的倍，百位数字比千位数字大，则，，再结合即可求解；分别求出，，，又被除余，则被整除，所以，然后分当时，当时，当时，当时求解即可． 【详解】解：设“亲和数”， ∵个位数字等于十位数字的倍，百位数字比千位数字大， ∴，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴这个“亲和数”为； ∵一个“亲和数”，将其千位数字与个位数字调换位置，得到一个新数， ∴， ∴，， ∴ ， ∴ ， ∵被整除，，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， ∵被除余， ∴被整除， ∴ ， ∴当时，解得，不符合题意，舍去， 当时，解得， 此时，， ∴， ∴的值为； 当时，解得，不符合题意，舍去， 当时，解得，不符合题意，舍去， 综上可得：的值为． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】，，，0． 【解析】 【分析】分别解两个不等式，再求交集，再找符合条件的整数解． 【详解】解：解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以，原不等式组的解集为． 因此，满足原不等式组的所有整数解是，，，0． 18. 学习了等腰三角形和尺规作图后，小才进行了拓展性研究，他发现若一个三角形其中一个角的角平分线与这个角对边的中线重合，则这个三角形一定是等腰三角形，以下是他的探究过程，请完成其中的作图和推理填空： 如图，在中，是的角平分线，且是边的中线． （1）尺规作图：过点在下方作交的延长线于点（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 证明：是边的中线 ①___________ 在和中， ， 是的角平分线 ③___________ ． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③． 【解析】 【分析】（1）利用尺规，按照作一个角等于已知角的方法，以点为顶点、为一边，在下方作出，与延长线交于点，保留作图痕迹即可， （2）根据中线的定义直接得到．再根据（角边角）即可判定，进而由全等得，等量代换可得，再由等角对等边得到，最终推得． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 证明：是边的中线 在和中， ， 是的角平分线 ， ， ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 学校开展了“创造节”知识竞答活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞答成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞答成绩在组中的数据是：83，83，83，83，85，86，87，88． 八年级20名学生竞答成绩是：65，70，75，78，81，84，84，84，84，84，86，86，87，88，89，90，93，95，97，100． 七、八年级所抽取学生竞答成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 a 83 八年级 85 85 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________；___________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生“创造节”知识竞答的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于分的学生人数共是多少？ 【答案】（1），，． （2）我认为八年级学生“创造节”知识竞答的成绩较好，理由见解析 （3）估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于分的学生人数共人． 【解析】 【分析】（1）先求出七年级20名学生竞答在C、D组中的数据的人数，再利用中位数定义求出的值，利用众数定义求出的值，再求出七年级20名学生竞答成绩在A组中的数据的人数，即可求出的值； （2）根据平均数、中位数及众数分析即可得出结果； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级20名学生竞答成绩在C、D组中的数据有（人）， ∵七年级竞答成绩的中位数是数据从小到大排列后的第10和11个数据，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是83，85， ∴， ∵八年级20名学生竞答成绩中出现次数最多的是84，共计5次， ∴， 七年级20名学生竞答成绩在B组中的数据有8人， ∴七年级20名学生竞答成绩在A组中的数据有（人）， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：该校八年级学生“创造节”知识竞答的成绩较好，理由： 因为该校七、八年级学生”创造节”知识竞答成绩的平均数相同，但八年级竞答成绩的中位数大于七年级竞答成绩的中位数，且八年级竞答成绩的众数大于七年级竞答成绩的众数， 所以该校八年级学生”创造节”知识竞答成绩较好； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于分的学生人数共人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】先分别计算整式乘法与分式除法部分，将整式乘法展开合并同类项，分式除法转化为乘法后约分，再将两部分通分合并得到最简分式；最后代入a的求值结果计算最终数值． 【详解】解：原式 ， 原式． 21. 2026年春节，随着《飞驰人生3》电影爆火，某玩具公司生产了“拓升”与“咔搭”两款遥控玩具车，已知每个“拓升”遥控玩具车的售价比每个“咔搭”遥控玩具车的售价多40元．按售价购买3个“拓升”遥控车与4个“咔搭”遥控车共需要470元． （1）每个“拓升”遥控车和“咔搭”遥控车的售价分别是多少元？ （2）由于这两款遥控玩具车深受大家喜爱，所以玩具公司决定对这两款遥控玩具车进行降价促销，若降价后，每个“拓升”遥控玩具车的售价是每个“咔搭”遥控玩具车售价的1.5倍，且用900元购买“拓升”遥控玩具车的数量比用800元购买“咔搭”遥控车的数量少5个，求降价后每个“拓升”遥控车的售价为多少元？ 【答案】（1）每个“拓升”遥控车的售价是90元，每个“咔搭”遥控车的售价是50元． （2）降价后每个“拓升”遥控车售价为60元． 【解析】 【分析】（1）设每个“咔搭”遥控车的售价是元，则每个“拓升”遥控车的售价是元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）设降价后每个“咔搭”遥控车售价为元，则每个“拓升”遥控车的售价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：设每个“咔搭”遥控车的售价是元，则每个“拓升”遥控车的售价是元． 根据题意，得， 解方程，得， 则有， 答：每个“拓升”遥控车的售价是90元，每个“咔搭”遥控车的售价是50元． 【小问2详解】 解：设降价后每个“咔搭”遥控车售价为元，则每个“拓升”遥控车的售价是元， 根据题意，得 解方程，得：， 经检验，是方程的解． 则有， 答：降价后每个“拓升”遥控车售价为60元． 22. 如图1，在，，，点是对角线的中点，过点作交于点，若点以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，运动时间为（）秒，点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，连接、、，的面积为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1）， （2）图象见解析；性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）根据动点运动的位置，分两种情况，①当点P在上运动时，作，垂足为，利用矩形的性质和相似三角形的判定和性质，可求，从而求出，进而求出；②当点P在上运动时，延长交于点，利用“”得，从而，，进而；根据三角形同高，则面积之比是底之比，可求； （2）根据描点法画图即可，观察图象得出性质； （3）根据函数于不等式之间的关系，即可求解． 【小问1详解】 解：，； 理由如下，矩形， ， ，， ，，， 当点P在上运动时，则，即时， 如图1①，作，垂足为， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 当点P在上运动时，则，即时， 如图1②，延长交于点， 矩形，， ，， ，，， ， ， ， ， ， ； 由题可知，， 矩形， ， 和同高， 即； 【小问2详解】 解：如图所示，即为函数，的图象； 由图可知，函数的性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：当时，， 理由：由图可知，函数，的图象有一个交点，即当约为时，，当时，， 则当时，． 23. 春风有信，花开有期，某公园设置了如图所示、、、四个观景点，这四个观景点在同一平面内，点在点的正东方向，点在点的南偏东45°方向，且在点的南偏东60°方向，点在点的正西方向，且在点的南偏西30°方向，千米．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）若小张和小李分别从观景点、出发，小张以2千米/小时的速度从观景点步行到观景点，小李从观景点以4千米/小时的速度跑到观景点，在运动过程中，小张出发多少千米后恰好与小李相距千米？（结果保留一位小数） 【答案】（1）的长度为千米． （2）小张出发2.0千米后恰好与小李相距千米． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用等，熟练掌握相关知识点，利用辅助线构建直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点．则，解求出，即可解答； （2）设小时后，小张恰好与小李相距千米，此时，，由题意可知过点作于点，过点作于点．利用解直角三角形和线段的和差，表示出，再利用勾股定理建立方程，即可得解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点． 则 在中，， 由题可得， 在中，， 答：的长度为千米． 【小问2详解】 解：如答图，由题意，设小时后，小张恰好与小李相距千米，此时，， ， ， 过点作于点，过点作于点． 在中，， 在中， ， 在中， 解方程，得，（舍） 则 答：小张出发2.0千米后恰好与小李相距千米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点，连接、． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图1，若点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交直线于点，、为轴上的动点（点在点的下方）且，连接、．当最大时，此时点的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，难度较大，属中考压轴题． （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，直线的解析式，过点作平行于轴交抛物线于点，设，，，可得，再利用，求出，进而利用二次函数的最值求出当时，最小，最小值为4，此时，对于可利用三角形两边之差小于第三边求解，先利将点向下平移1个单位长度得，可得，即可得出，由此求出最大值为． （3）先求出平移后抛物线解析式为，再根据已知可得，然后根据点F在左侧时可得，由此求出直线的解析式为，进而联立解析式求出交点坐标，再根据对称求出另一种情况求解． 【小问1详解】 解：将，代入抛物线（） 得， 解得， 所以抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵，，抛物线与轴交点为， ∴直线的解析式为，直线的解析式， ， 设，， 延长交于点，则 ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ， ∴，即 当时，最大，最大值为4，此时， 将点向下平移1个单位长度得， 连接、，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴当点在线段与抛物线交点上时，最大值，最大值为， 则的最大值， 综上所述，，的最大值． 【小问3详解】 解：， ①抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向右平移1个单位，向下平移3个单位得到新抛物线， ∵ ∴平移后抛物线的表达式为： ∵，， ∴， ， ∴， 当在左侧时，如图： ∵轴， ∴， ∴ ， ∵直线的解析式为，， 直线的解析式为 与抛物线联立得 方程组， 解得：（不合题意，舍去），， ∴． 如图2，当在右侧时，如图， 取点关于（即）的对称点， 则直线解析式为：， 直线与抛物线联立得 方程组， 解得：，（在第四象限，不合题意，舍去，）， ∴． 25. 在中，，，点是平面内一点，连接，点为线段上一点． （1）如图1，若点在边上，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，，若、、三点共线，，求； （2）如图2，若点在边上，连接、，点为的中点，若．证明：； （3）如图3，点在外部，连接，，将沿所在直线翻折到，且始终满足、、三点共线，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，．当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得和都是等腰直角三角形，则．容易证明，则，，结合可计算出，由三角形内角和定理可计算出； （2）延长至点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，通过等量代换可得，从而证明是等腰直角三角形，则，．容易证明，则，．通过等量代换可得，进而可证明，则，命题得证； （3）先分析点的轨迹，作的外接圆，圆心为点，连接，由旋转的性质和等腰三角形的性质可推断，因此、、、四点共圆，则．再分析点的轨迹，将绕点逆时针旋转得到，作于点，作直线交的延长线于点，连接，，容易证明，从而计算出，，因此点在定直线上．根据线段公理可得，当时，取得最小值，作于点，连接，利用三角函数可计算出，，，最后使用三角形面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可知，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理，是等腰直角三角形，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵、、三点共线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，延长至点，使得，连接，过点作，交的延长线于点， 由（1）可得是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在直角中，， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，作的外接圆，圆心为点，连接，设与交于点， ∵， ∴为圆的直径，即点为的中点， ∵， ∴， 在直角中，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在圆上， ∴， 如图，将绕点逆时针旋转得到，作于点，作直线交的延长线于点，连接，， 由旋转的性质可知，，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴，即点为定点， ∴点在定直线上， ∵，即， 又∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值， 当时，如图，作于点，连接， ∵，， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质与勾股定理，掌握好“手拉手”模型，“倍长中线”模型和“瓜豆”原理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学教共体初2026届初三（下）第一次自主作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数是（ ） A. B. 27 C. D. 2. 以下四种不同的传统纹样中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题正确的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 等腰三角形的高线、中线、角平分线重合 C. 两直线平行，内错角相等 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5. 如图，是的直径，点、在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用黑白两种颜色的正五边形地砖按照一定规律拼成若干个蝴蝶图案，其中第①个图案有块白色地砖，第②个图案有块白色地砖，第③个图案有块白色地砖，…，按此规律，第⑩个图案中的白色地砖的数量是（ ）． A. B. C. D. 8. 为传承清明文化、缅怀先辈，某班以小组为单位，精心布置清明节主题黑板报．甲组单独布置需4小时，乙组单独布置需6小时，如果甲、乙两组合作了2小时后，因甲组另有任务，剩下的任务由乙组单独完成，若设乙单独完成剩下的任务还需要小时，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点在边上，点在边上，连接，，若，点是的中点，连接，与交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n、为正整数，，…，，均为整数，若满足，，下列说法： ①当整式M是二次二项式时，关于x的方程（k为常数）有两个不同的实数根，则k的取值范围为； ②当时，满足条件的所有整式和为； ③当时，满足条件的整式M共有5个． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 目前，我国森林总面积约为亩，其中数据用科学记数法表示为___________． 12. 若为正整数，且满足，则___________． 13. 重庆东站某时刻同时开设了三个检票口前往北京，小明和小红各随机选择一个检票口检票，则恰好选到同一检票口的概率为___________． 14. 若，，则______． 15. 如图，在平行四边形中，顶点、、在上，与相切于点，连接对角线，在对角线上取点，满足，连接并延长交于点，连接，其中的半径为，，则线段的长度为___________，线段的长度为___________． 16. 一个四位自然数（其中，，，均为整数，且，，，），若满足，则称为“亲和数”，如：四位数，∵，∴是“亲和数”； （1）已知某个“亲和数”的个位数字等于十位数字的倍，百位数字比千位数字大，则这个“亲和数”为______． （2）一个“亲和数”，将其千位数字与个位数字调换位置，得到一个新数，记，被整除，被除余2，则满足条件的的值为______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 学习了等腰三角形和尺规作图后，小才进行了拓展性研究，他发现若一个三角形其中一个角的角平分线与这个角对边的中线重合，则这个三角形一定是等腰三角形，以下是他的探究过程，请完成其中的作图和推理填空： 如图，在中，是的角平分线，且是边的中线． （1）尺规作图：过点在下方作交的延长线于点（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 证明：是边的中线 ①___________ 在和中， ， 是的角平分线 ③___________ ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 学校开展了“创造节”知识竞答活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞答成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞答成绩在组中的数据是：83，83，83，83，85，86，87，88． 八年级20名学生竞答成绩是：65，70，75，78，81，84，84，84，84，84，86，86，87，88，89，90，93，95，97，100． 七、八年级所抽取学生竞答成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 a 83 八年级 85 85 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________；___________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生“创造节”知识竞答的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于分的学生人数共是多少？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 2026年春节，随着《飞驰人生3》电影爆火，某玩具公司生产了“拓升”与“咔搭”两款遥控玩具车，已知每个“拓升”遥控玩具车的售价比每个“咔搭”遥控玩具车的售价多40元．按售价购买3个“拓升”遥控车与4个“咔搭”遥控车共需要470元． （1）每个“拓升”遥控车和“咔搭”遥控车的售价分别是多少元？ （2）由于这两款遥控玩具车深受大家喜爱，所以玩具公司决定对这两款遥控玩具车进行降价促销，若降价后，每个“拓升”遥控玩具车的售价是每个“咔搭”遥控玩具车售价的1.5倍，且用900元购买“拓升”遥控玩具车的数量比用800元购买“咔搭”遥控车的数量少5个，求降价后每个“拓升”遥控车的售价为多少元？ 22. 如图1，在，，，点是对角线的中点，过点作交于点，若点以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，运动时间为（）秒，点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，连接、、，的面积为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（保留一位小数，误差不超过） 23. 春风有信，花开有期，某公园设置了如图所示、、、四个观景点，这四个观景点在同一平面内，点在点的正东方向，点在点的南偏东45°方向，且在点的南偏东60°方向，点在点的正西方向，且在点的南偏西30°方向，千米．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）若小张和小李分别从观景点、出发，小张以2千米/小时的速度从观景点步行到观景点，小李从观景点以4千米/小时的速度跑到观景点，在运动过程中，小张出发多少千米后恰好与小李相距千米？（结果保留一位小数） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点，连接、． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图1，若点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交直线于点，、为轴上的动点（点在点的下方）且，连接、．当最大时，此时点的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，，点是平面内一点，连接，点为线段上一点． （1）如图1，若点在边上，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，，若、、三点共线，，求； （2）如图2，若点在边上，连接、，点为的中点，若．证明：； （3）如图3，点在外部，连接，，将沿所在直线翻折到，且始终满足、、三点共线，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，．当取最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $