2.1 一元二次方程 教学设计 2025-2026学年九年级数学上册（湘教版 ）

2026年祁阳市优质教学资源评选活动 ---九年级上册第二章第一节《2.1一元二次方程》教学设计 课程基本信息 主备人 刘瑶 课型 新授课 学科 数学 年级 九年级 学段 初中 版本章节 湘教版第二章 教学目标 1.理解一元二次方程的概念。 2.掌握一元二次方程的一般形式（≠0），正确认识二次项系数、一次项系数及常数项。 3.能根据具体问题的数量关系，建立方程模型。 教学重难点 重点：一元二次方程的概念及一般形式。 难点：由实际问题向数学问题的转化过程；正确识别一般式中的“项”及“常数”。 学情分析 九年级学生已具备较强的抽象思维能力，且已掌握一元一次方程及因式分解等基础知识，和通过设未知数列方程解决实际问题的方法。但如何从具体实例中抽象出一元二次方程的特征（“一元”、“二次”、“整式”），并理解≠0这一核心条件，对学生而言仍是难点。 教学准备 多媒体课件。 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、回顾旧知 出示题目： 1.下列式子哪些是方程？ 1 ；②；③；④；⑤ 。 提问：方程的本质是什么？ 2.我们学过哪些方程？ 3.什么叫一元一次方程？方程的“元”和“次”是什么意思？ 思考问题并举手回答： 解：①不是，没有未知数；②不是，不是等式；③ 是；④是；⑤不是，不是等式。 答：含有未知数的等式叫方程. 答：一元一次方程、二元一次方程、分式方程。 答：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1次的整式方程叫一元一次方程。它的一般形式是：(，为常数， ≠ 0)。“元”指未知数，“次”指未知数的最高次数. 通过回顾方程的概念、分类和一元一次方程的概念及特征，为学习一元二次方程做铺垫。 二、探究新知 展示实际问题： 问题1 如图，已知一矩形的长为200cm，宽150cm。现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三。求挖去的圆的半径cm应满足的方程（其中π取3）。 分析:等量关系是矩形的面积-圆的面积=矩形的面积× 。 问题2 据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率应满足的方程。 分析:设汽车年平均增长率为.已知前年该市汽车拥有量为75万辆，则一年后汽车拥有量为万辆。 同样，第二年该市汽车拥有量又是前一年的万辆，即万辆。 [观察与思考] ①； ②。这两个方程都是不是一元一次方程？那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ [归纳总结] 如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程 。通常可写成如下的一般形式：（是已知数，≠0）。其中分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项。 指出方程①②的二次项系数、一次项系数和常数项。 [小试牛刀] 判断下列方程是否为一元二次方程：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ 。 小结：判断一个方程是否是一元二次方程，先经过整理后，再看是否符合三个要点：①方程是整式方程； ②只含有一个未知数；③可化为 （≠0）的形式。 独立思考，列方程： = ，整理得：。 ,整理得。 观察讨论，总结特点。 共同特点： （1）只含有一个未知数 （2）未知数的最高次数是2 （3）都是整式方程 共同回答： ①1；0；-2500。②25；50；-11。 小组合作，回答问题，并讨论判定方法。 利用现实生活中实例，教师引导学生对问题进行分析，列出方程并化简，从而引出本节课所学内容。 让学生经历合作探究过程，通过观察、发现、归纳，结合一元一次方程的概念和一般形式，得出一元二次方程的概念、一般形式和项及系数，培养学生抽象概括的能力。 通过练习，使学生理解一元二次方程的概念及特点，学会判断一元二次方程。 三、例题精讲 例1：下列方程是一元二次方程吗？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）；（2）。 教师讲解并板书。 解：（1）去括号得：；移项，合并同类项得：；这是一元二次方程，其中二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6。 （2） 去括号得：；移项，合并同类项得：；这是一元一次方程，不是一元二次方程。 注意：1.要将方程化成一般形式后再判断；2.确定系数时候注意系数符号。 化一元二次方程为一般形式的步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项。 例2:当满足什么条件时，方程是关于的一元一次方程；当满足什么条件时，上述方程才是关于的一元二次方程。 教师点评并展示答案。 例3:根据下列问题，列出关于的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式。 （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长； （2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长。 学生思考解题，教师巡视指导。 教师适当提示，请两名学生板演，其他学生在练习本上完成。 学生独立完成，举手答题。 通过例题，让学生掌握判定一元二次方程的做题步骤及注意事项，加强对一元二次方程的概念、一般形式和项及系数的理解和辨析。 教师提示学生根据一元一次方程和一元二次方程的特点解题，学会区分一元一次方程和一元二次方程的概念及一般形式，使学生理解并掌握一元二次方程的相关概念。 从实际问题出发，培养学生分析题意、找等量关系、列一元二次方程并化成一般形式的能力，体会方程建模的过程，掌握解决应用题的方法和技巧。 四、课堂练习 1.试比较下面两个方程的异同： 方 程 相同 点 不同点 概念 是否是整式方程 未知数个数 未知数的最高次数 2.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。 （1）；（2）；（3）；（4）。 3.已知关于的方程 （1）当为何值时,方程为一元二次方程？ （2）当为何值时,方程为一元一次方程？ 4.把长为 1 的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长。 [拓展提升] 若是关于的一元二次方程,求、的值。 学生自主完成练习。 经过练习与纠错过程，考查学生对一元二次方程概念、一般形式的理解和掌握情况，进一步巩固所学知识。 通过拓展提升，继续加强巩固学生的基础知识，发展学生思维，培养学生的知识综合运用能力。 课堂小结 引导学生回顾本节课的收获： 1.什么是一元二次方程？ 2.一元二次方程的一般形式是什么？应注意什么？ 3.我们是如何得到这些知识的？（建模思想、类比思想） 板书设计 1.一元二次方程的概念： 如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式： （、、是已知数，≠0）.其中，，分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项。 教学反思 — - 1 - — 学科网（北京）股份有限公司 $