精品解析：重庆市渝北中学教育集团 2025-2026 学年下学期八年级半期质量监测数学试题

渝北中学教育集团2025-2026学年下期初2027届半期质量监测 数学试题 （全卷共三大题25小题，总分150分，考试时长120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写清楚． 2．请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 3．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂． 4．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 以下点在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数的长度围成的三角形中，不是直角三角形的一组是（ ） A. 1、2、 B. 2、3、4 C. 0.3、0.4、0.5 D. 6、8、10 4. 一个凸多边形的内角和等于外角和的倍，则这个多边形的边数是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 6. 如图，在四边形中，添加下列条件，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. 且 B. 且 C. 、互相平分 D. 、互相垂直 7. 下列命题中，假命题有（ ） ①两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④四条边相等的四边形是菱形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 4月2日，贵阳突降冰雹，政府部门立即开展救援物资配送．已知在配送物资过程中，物资车离分拣中心的距离和行驶时间之间的函数关系如下图所示，根据图中的信息，下列说法正确的是（ ） A. 物资车往返总路程为 B. 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度快于出发后第1个小时内的速度 C. 物资车中途卸货停留0.5小时 D. 物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 9. 如图，在正方形中，为边中点，为边上任意一点，且，连接、相交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有6个单项式；②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有7个；③满足条件的整式共有32个．其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题答案填写在答题卡中对应的横线上． 11. 函数的自变量x的取值范围是______． 12. 在中，，则_______． 13. 在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如下图所示，则该班学生成绩的下四分位数是__________分． 14. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在点正对面的容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为_______． 15. 如图，点是矩形的对角线上的一点，过点作，分别交、于、，连接、．若，，则_______（填“”、“”或“”）；图中阴影部分的面积和是_______． 16. 在边长为6的正方形中，，分别是边、上的点，连接．将四边形沿翻折，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接．若为中点，则_______；若为上任意一点，则的最小值是_______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18题每小题8分，其余各题每题10分，共86分），解题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 学习了三角形的中位线定理后，小渝和小北对该知识进行了拓展性研究．他们发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下： （1）用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点（只保留作图痕迹） （2）已知：在（1）的情况下，若，，，，求线段的长度，并找出线段、、的数量关系与位置关系． 证明：∵是中点，， ，， 在和中， ， ， ，， 在中，，， ，②__________． ③__________，， ，， ． 请你根据该探究过程总结线段、、的位置关系与数量关系如下： 连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④________________________． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，四边形中，，，平分， （1）求证：四边形是菱形； （2）连接与交于点，过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长． 21. 智能导航技术已广泛应用于出行领域，为市民提供了极大便利．渝北中学某数学兴趣组调查了春假期间家庭自驾出游使用甲、乙两款导航的情况，兴趣组邀请了300名使用者分别对甲、乙两款软件使用情况进行评分．成绩（用表示）均高于80分，分为五组：：；：；：；：；：）．从这300人中随机抽取了20人的评分结果，进行整理、分析和描述．下面给出了部分信息：抽取的使用者对甲款软件评分： 分数 82 88 90 94 98 100 人数 1 1 2 5 5 6 抽取的使用者对乙款软件评分在等级的数据：93，93，94，96，96，96． 抽取的使用者对乙款软件评分统计图 抽取的使用者对甲、乙两款软件评分统计表 类型 平均数 众数 中位数 方差 甲 a 98 乙 99 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，__________，__________，__________； （2）根据以上数据分析，你认为哪款更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）估计这300人中，对两款的评分成绩为等的人数分别是多少？ 22. 渝北中学提档升级工程中要维修一段4800米长的围墙，有甲、乙两个工程队可供选择，甲、乙的工作效率始终保持不变．已知甲队每天比乙队多修40米，甲队单独修完这条路所用天数是乙队的． （1）求甲、乙两队每天各修围墙多少米？ （2）若施工时发现，需要维修的围墙总长度为米．先由甲队单独施工6天，再由两队合作施工天完成任务，请直接列出与的函数解析式． （3）若需要维修的围墙总长度为4800米，施工方决定先由两队合作施工若干天，再由甲队单独施工完成，要求总工期不超过20天．求两队至少需要合作多少天？ 23. 为了改善市民的居住环境，两江新区力抓“宜居重庆”建设，修建了多个公园．如图，四边形是已建成的某个环湖公园的人行步道俯视图．经测量，点在点的正东方向，点在点的正北方向，米，点正好在点的东北方向，且在点的北偏东方向，米．（参考数据：，） （1）求步道的长度（结果保留根号）； （2）体育爱好者小王从跑到有两条路线，分别是与．其中和都是下坡，和都是上坡．若他下坡每米消耗热量千卡，上坡每米消耗热量千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？ 24. 阅读并回答下列问题： 【几何模型】 如图1，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小．方法：如图2，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图3，金海湾滨江公园有一条无障碍慢行步道，为其中一段笔直路段，其长为，在点正北方处有一村庄．在的正北方处有一村庄，计划在上建一露营地，使得露营地到村庄、村庄的距离和最小． （1）在图3中，若，请在中用含的代数式表示出__________；再在中用表示出__________；则用表示为__________．（直接表示，无需化简） （2）小渝和小北探究发现，在求露营地到两村庄距离之和的最小值时，可以利用上述几何模型中的方法来求解，则的最小值为__________． 【拓展应用】 （3）结合（1）和（2）的结论，请回答如下问题： ①求出函数的最小值． ②已知，求的最小值__________． 25. 已知平行四边形中，对角线、相交于点，． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，，点、在线段上，为等腰直角三角形且，连接，求证：． （3）如图3，若，，点是线段上的一个动点，连接，以线段为边在下方构造等边三角形，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渝北中学教育集团2025-2026学年下期初2027届半期质量监测 数学试题 （全卷共三大题25小题，总分150分，考试时长120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写清楚． 2．请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 3．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂． 4．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 以下点在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：把代入，，则不在函数图象上； 把代入，，则不在函数图象上； 把代入，，则不在函数图象上； 把代入，，则在函数图象上． 2. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件逐一判断选项，最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式； B、，被开方数含有分母，不是最简二次根式； C、，满足最简二次根式的两个判定条件，是最简二次根式； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 3. 以下列各组数的长度围成的三角形中，不是直角三角形的一组是（ ） A. 1、2、 B. 2、3、4 C. 0.3、0.4、0.5 D. 6、8、10 【答案】B 【解析】 【分析】若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，否则不是，逐个验证即可得到答案． 【详解】解：A选项，∵ ，， ∴ ，能围成直角三角形，不符合题意； B选项，∵ ，， ∴ ，不能围成直角三角形，符合题意； C选项，∵ ，， ∴ ，能围成直角三角形，不符合题意； D选项，∵ ，， ∴ ，能围成直角三角形，不符合题意． 4. 一个凸多边形的内角和等于外角和的倍，则这个多边形的边数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用任意多边形外角和为，边形内角和公式为，根据题目倍数关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 任意凸多边形的外角和恒为，边形内角和为， 根据题意得:， 化简得：， 移项计算得：， 解得：． 这个多边形的边数为． 5. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】C 【解析】 【分析】利用放缩法估算出的范围，再求出的范围． 【详解】解：∵，且， ∴， 即 ∴， 即， ∴估计的值在2和3之间． 6. 如图，在四边形中，添加下列条件，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. 且 B. 且 C. 、互相平分 D. 、互相垂直 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故A不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故B不符合题意； ∵、互相平分， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），故C不符合题意； 、互相垂直无法判定四边形是平行四边形，故D符合题意． 7. 下列命题中，假命题有（ ） ①两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④四条边相等的四边形是菱形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【详解】解：① ∵正方形的判定要求对角线相等且互相垂直平分，仅对角线相等且互相垂直的四边形不是正方形，∴①是假命题； ② 根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴②是真命题； ③ 根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，∴③是真命题； ④ 根据菱形的判定定理，四条边相等的四边形是菱形，∴④是真命题； 综上，假命题共有1个． 8. 4月2日，贵阳突降冰雹，政府部门立即开展救援物资配送．已知在配送物资过程中，物资车离分拣中心的距离和行驶时间之间的函数关系如下图所示，根据图中的信息，下列说法正确的是（ ） A. 物资车往返总路程为 B. 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度快于出发后第1个小时内的速度 C. 物资车中途卸货停留0.5小时 D. 物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 【答案】C 【解析】 【详解】解：物资车往返总路程为，故A错误； 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度为， 出发后第1个小时内的速度为， 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度慢于出发后第1个小时内的速度，故B错误； 物资车中途卸货停留0.5小时，故C正确； 物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度不变，故D错误． 9. 如图，在正方形中，为边中点，为边上任意一点，且，连接、相交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于，先证和全等，得，进而可证，设，则，由勾股定理得，由三角形的面积公式可得，进而可求出，然后证和全等，得，进而得，由此得，据此可得，根据余角性质得出，根据三角形外角的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：过点作于，如图所示： 四边形为正方形， ，， ∵， ∴， ∴，， 为的中点， ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 为的垂直平分线， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有6个单项式；②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有7个；③满足条件的整式共有32个．其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的相关概念，利用分类讨论思想，对的不同取值分别计算对应整式的个数和单项式个数，再逐一判断三个说法的正误． 【详解】解：∵ 为自然数，为正整数，其余系数为自然数，且，对分类讨论如下： 当时， ，得，共个整式，该整式是单项式． 当时，，即（），可取，共个整式，其中仅时为单项式，共个单项式． 当时，，即（），可得共个整式，仅时为单项式，共个单项式． 当时，，即（），可得共个整式，仅其余系数都为时为单项式，共个单项式． 当时，，即（），可得共个整式，共个单项式． 当时， ，得，其余系数都为，共个整式，该整式是单项式，共个单项式． 时， ，无符合条件的整式． 逐一判断说法： ① 单项式总数为 ，故①正确． ② 各对应整式个数为，不存在等于的情况，故②正确． ③ 满足条件的整式总数为，故③正确． 三个说法都正确，正确个数为． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题答案填写在答题卡中对应的横线上． 11. 函数的自变量x的取值范围是______． 【答案】x＞-1 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，x+1＞0， 解得x＞-1． 故答案为x＞-1． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： (1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； (2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； (3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 在中，，则_______． 【答案】##148度 【解析】 【分析】根据平行四边形对边平行、对角相等的性质，利用邻角互补列出方程，求出的度数，再求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13. 在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如下图所示，则该班学生成绩的下四分位数是__________分． 【答案】68 【解析】 【详解】解：由箱线图可知，下四分位数是68分． 14. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在点正对面的容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为_______． 【答案】17 【解析】 【分析】将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求出即可求解，利用轴对称找到蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径是解题的关键． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，如图， ∵高为，底面周长为， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与蜂蜜相对的点处， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵， ∴蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径是． 15. 如图，点是矩形的对角线上的一点，过点作，分别交、于、，连接、．若，，则_______（填“”、“”或“”）；图中阴影部分的面积和是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作于M，交于N，根据矩形的性质可得 即可求解． 【详解】解：作于M，交于N． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴ ∴， ∴ 16. 在边长为6的正方形中，，分别是边、上的点，连接．将四边形沿翻折，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接．若为中点，则_______；若为上任意一点，则的最小值是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据翻折的性质得出，若为中点，则，在中，根据勾股定理得出，解方程即可；为上任意一点，过D作交于P，连接，根据平行四边形的判定与性质可得出，证明，得出，证明，得出，延长至点Q，连接，，根据垂直平分的性质得出，则，故当D、E、Q三点共线时，取最小值，最小值为，然后在中，根据勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：∵正方形的边长为6， ∴，，， ∵翻折， ∴， 当为中点时，， 在中，， ∴， 解得； 过D作交于P，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴垂直平分，，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴， 延长至点Q，连接，，则垂直平分， ∴， ∴， ∴当D、E、Q三点共线时，取最小值，最小值为， 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18题每小题8分，其余各题每题10分，共86分），解题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 学习了三角形的中位线定理后，小渝和小北对该知识进行了拓展性研究．他们发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下： （1）用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点（只保留作图痕迹） （2）已知：在（1）的情况下，若，，，，求线段的长度，并找出线段、、的数量关系与位置关系． 证明：∵是中点，， ，， 在和中， ， ， ，， 在中，，， ，②__________． ③__________，， ，， ． 请你根据该探究过程总结线段、、的位置关系与数量关系如下： 连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④________________________． 【答案】（1）见解析 （2）；；；等于两底和的一半 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据已给推理过程结合全等三角形的性质与判定定理和三角形中位线定理证明即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵是中点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，，， ，． ，， ，， ． 连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于两底和的一半． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】首先化简分式，可得：原式，根据二次根式有意义的条件可知，把的值代入化简后的分式中计算求值． 【详解】解： ， 有意义， ， ， ， 原式． 20. 如图，四边形中，，，平分， （1）求证：四边形是菱形； （2）连接与交于点，过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）8 【解析】 【分析】（1）证明为平行四边形，进而证明邻边相等即可求解； （2）根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：在四边形中，，， ∴为平行四边形， ∵平分， ∴, ∴, ∴, ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵， ∴, ∵是的中点， ∴在中，, ∴, ∵, ∴． 21. 智能导航技术已广泛应用于出行领域，为市民提供了极大便利．渝北中学某数学兴趣组调查了春假期间家庭自驾出游使用甲、乙两款导航的情况，兴趣组邀请了300名使用者分别对甲、乙两款软件使用情况进行评分．成绩（用表示）均高于80分，分为五组：：；：；：；：；：）．从这300人中随机抽取了20人的评分结果，进行整理、分析和描述．下面给出了部分信息：抽取的使用者对甲款软件评分： 分数 82 88 90 94 98 100 人数 1 1 2 5 5 6 抽取的使用者对乙款软件评分在等级的数据：93，93，94，96，96，96． 抽取的使用者对乙款软件评分统计图 抽取的使用者对甲、乙两款软件评分统计表 类型 平均数 众数 中位数 方差 甲 a 98 乙 99 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，__________，__________，__________； （2）根据以上数据分析，你认为哪款更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）估计这300人中，对两款的评分成绩为等的人数分别是多少？ 【答案】（1）100；96；5 （2）甲款更好，理由见解析 （3）估计这300人中，对甲款的评分成绩为等的人数为165人，对乙款的评分成绩为等的人数为120人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值，求出乙款软件评分中D等级的人数占比即可得到m的值； （2）根据甲款的中位数和众数都比乙款的大可得结论； （3）用300分别乘以样本中对两款的评分成绩为等的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵使用者对甲款软件评分中，分数为100分的人数最多， ∴； ， 把使用者对乙款软件评分的20个分数按照从低到高的顺序排列，其中位数为第10个数据和第11个数据的平均数，则； 由题意得，，即； 【小问2详解】 解：甲款更好，理由如下： 从众数来看，甲款的众数比乙款的高，且甲款的中位数比乙款的高，故甲款得高分的数量多于乙款， ∴甲款更好； 【小问3详解】 解：人，人， 答：估计这300人中，对甲款的评分成绩为等的人数为165人，对乙款的评分成绩为等的人数为120人． 22. 渝北中学提档升级工程中要维修一段4800米长的围墙，有甲、乙两个工程队可供选择，甲、乙的工作效率始终保持不变．已知甲队每天比乙队多修40米，甲队单独修完这条路所用天数是乙队的． （1）求甲、乙两队每天各修围墙多少米？ （2）若施工时发现，需要维修的围墙总长度为米．先由甲队单独施工6天，再由两队合作施工天完成任务，请直接列出与的函数解析式． （3）若需要维修的围墙总长度为4800米，施工方决定先由两队合作施工若干天，再由甲队单独施工完成，要求总工期不超过20天．求两队至少需要合作多少天？ 【答案】（1）甲队每天修路200米，乙队每天修路160米 （2） （3）两队至少需要合作5天 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用及一元一次不等式的应用； （1）设乙队每天修围墙x米，则甲队每天修围墙米，根据题意列分式方程，求解并检验即可； （2）根据题意求解即可； （3）设两队需要合作t天，根据题意列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设乙队每天修围墙x米，则甲队每天修围墙米，由题意得 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（米）， 答：甲队每天修路200米，乙队每天修路160米； 【小问2详解】 解：由题意得：； 【小问3详解】 解：设两队需要合作t天，由题意得 解得， 答：两队至少需要合作5天． 23. 为了改善市民的居住环境，两江新区力抓“宜居重庆”建设，修建了多个公园．如图，四边形是已建成的某个环湖公园的人行步道俯视图．经测量，点在点的正东方向，点在点的正北方向，米，点正好在点的东北方向，且在点的北偏东方向，米．（参考数据：，） （1）求步道的长度（结果保留根号）； （2）体育爱好者小王从跑到有两条路线，分别是与．其中和都是下坡，和都是上坡．若他下坡每米消耗热量千卡，上坡每米消耗热量千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？ 【答案】（1）米 （2）选这条路线时，消耗的热量更多 【解析】 【分析】（1）过点C作，交的延长线于点E，过点B作于点F，求出，则可得到的长，进而求出的长，证明四边形是矩形，得到米；证明是等腰直角三角形，得到，据此利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再分别计算出两条路线消耗的热量，比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点C作，交的延长线于点E，过点B作于点F， ∴， 由题意得，， ∴， ∴米， ∴米， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米； ∵点正好在点的东北方向， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴米， ∴米， 答：步道的长度为米； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得米， ∴米， 这条路线消耗的热量为千卡， 这条路线消耗的热量为 千卡， ∵， ∴选这条路线时，消耗的热量更多． 24. 阅读并回答下列问题： 【几何模型】 如图1，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小．方法：如图2，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图3，金海湾滨江公园有一条无障碍慢行步道，为其中一段笔直路段，其长为，在点正北方处有一村庄．在的正北方处有一村庄，计划在上建一露营地，使得露营地到村庄、村庄的距离和最小． （1）在图3中，若，请在中用含的代数式表示出__________；再在中用表示出__________；则用表示为__________．（直接表示，无需化简） （2）小渝和小北探究发现，在求露营地到两村庄距离之和的最小值时，可以利用上述几何模型中的方法来求解，则的最小值为__________． 【拓展应用】 （3）结合（1）和（2）的结论，请回答如下问题： ①求出函数的最小值． ②已知，求的最小值__________． 【答案】（1）；； （2） （3）①20；② 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出即可得到答案； （2）作点B关于的对称点C，过点C作，交的延长线于点D，连接，由轴对称的性质可得，则当A、C、P三点共线时，有最小值，最小值为的值；证明四边形是矩形，得到，由勾股定理可得，则的最小值为； （3）①，，点P为上一点，且，则，可证明，再仿照（2）求出的最小值即可； ②，，点P为上一点，且，则，可证明，同理求出的最小值即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，作点B关于的对称点C，过点C作，交的延长线于点D，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当A、C、P三点共线时，有最小值，最小值为的值； ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：①如图所示，，，点P为上一点，且，则， 由勾股定理得， ， ∴； 如图所示，作点D关于的对称点E，过点E作，交的延长线于点F，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当A、E、P三点共线时，有最小值，最小值为的值； 同理可证明四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为17，即的最小值为17， ∴的最小值为； ②如图所示，，，点P为上一点，且，则， 由勾股定理得， ， ∴； 如图所示，作点D关于的对称点E，过点E作，交的延长线于点F，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当A、E、P三点共线时，有最小值，最小值为的值； 同理可证明四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为． 25. 已知平行四边形中，对角线、相交于点，． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，，点、在线段上，为等腰直角三角形且，连接，求证：． （3）如图3，若，，点是线段上的一个动点，连接，以线段为边在下方构造等边三角形，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质，三角形的全等、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）证明是等边三角形，进而得四边形是菱形，再根据菱形性质及勾股定理求解即可； （2）过点A作，垂足为H，证明和，再根据全等三角形的性质求解即可； （3）连接，证明，是等边三角形，四边形是菱形，，进而得出当点在线段上时，的值最小，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，过点A作，垂足为H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即当点在线段上时，的值最小， 如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $