湖南衡阳县第一中学等校2025-2026学年高一下学期期中校内检测数学试卷

2026年上学期高一期中校内检测 数学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指 定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将 答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1,在复平面内，复数-)(2十卫对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在△ABC中，角A,BC的对边分别为a,6,B=晋，0sA=号=号，则a= A号 B.2 c D 88 3.已知向量a=(5,2),b=(1,入)，若a∥(a十b),则= A-昌 B司 c D.2 4.将函数y=si(+牙)的图象上的所有点向左平移苓个单位长度，则所得图象的解析式为 A.y=sin(x+) B.y=cos x C.y=sin x D.y=cos(x 2π 3 5.已知a=5,|b=3,且b⊥(a一b),则a+b= A.52 B.2√13 C.16 D.4 6.如图，△ABC由斜二测画法画的水平直观图是A'C=2的等腰直角三 角形A'BC',那么它在原平面图形中，顶点B到AC的距离是 B A.1 B.√2 C C.2 D.2√2 【高一数学第1页（共4页）】 已知复数之95“，当a≥1时，不等式2zP一十6≥0恒成立，则实数1的最大值是 A.45 B.46 C. 8.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=2F,b=6,c=4,若AD=子AC,A它= 入AB(0≤入≤1)，若BD与CE相交于点F,则当|AF取最小值时，A= A c D.青 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是 A.所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥 B.棱柱的侧棱平行且相等 C.圆台的母线长不一定相等 D.半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面为球面 10.设1，之2，之3∈C,则下列说法正确的有 A.若21·2=1·之3且21≠0，则之2=x3 B.（21·22)·23=21·（22·23） C.z号=12 D.好1=|1|2 11.已知函数f(x)=ln 2一小则 A.f(x)是奇函数 B.f(1-x)=f(1+x) C.f(x)在（一1,1）上单调递减 D.若m≠n,fm)=fm.则gnm元的最大值为号 65 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=3,c=√7，则△ABC的面积为 13.若sin0-2cos0=0,则+cos29= 1+sin 20 1.在△ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,bc,a=25,A=号，则十c的取值范围 为 【高一数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) )已知>3，求x+的最小值： (2)求√2x(4一x)的最大值. 16.(本小题满分15分) 已知：a=(m-6,1),b=(m一2,3)，c=（m+1,4m),复数之=a·b+a·ci(i为虚数单位， m∈R). (1)若复数之为非零实数，求(a十b)·(a一c); (2)若复数x为纯虚数，求a在b-c上的投影向量的坐标。 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=4√3，c=6,a=12cosB+6. (1)求cosC: (2)求△ABC内切圆的半径. 【高一数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分)》 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,记△ABC的面积为S,且4S=√5(b2一a2一c2). (1)求角B的大小； (2)若b=3,BD,BE分别为△ABC的中线和角平分线. ①若△ABC的面积为号求BD的长： (i)求BE长的最大值. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=2一k·2x是R上的奇函数，函数g(x)=[f(x)]十2f(x)十n. (1)求实数k的值； (2)若函数g(x)在[1，十∞)上的最小值为至，求实数n的值： (3)设函数h(x)=f(x)十2x-1,若关于x的方程[h(x)]一(2+3t)h(x)+2t+1=0有三 个不同的实数解，求实数t的取值范围. 【高一数学第4页（共4页）】 2026年上学期高一期中校内检测·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 2 3 5 6 7 8 答案 C B C A B D D 题号 9 10 11 答案 BD ABD AC 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.【答案】C 【解析11=D2+D-2士i21-正-3-日-边-3i十P-1一3，则复数1-2+卫对应的点 i(-i) 为（一1，一3），位于第三象限，故选C. 2.【答案】B 3 【解行因为mA=专所以血A-会周号-温合-立-=号6-号科=2放益 2 3.【答案】C 【解析a十b=(6,2+0,a/(a十)5(2+)=6×2，A=号，故选C 4.【答案】A 【解析】将函数y=sin(x+号)向左平移号个单位长度得到y=sin(x十)，故选A. 5.【答案】B 【解析】因为b⊥(a-b),所以b·(a-b)=0,即a·b=b=9,所以|a十b12=a+2a·b十b=25十18+9= 52,所以|a十b1=2√13，故选B. 6.【答案D 【解析】A'C=2,则A'B'=√2，因此点B到AC距离为2√2，故选D. 7.【答案】D 【解析)因为&105a=105a8十D=45a+2V5ai,又a≥1，所以1=10a, 2-i(2-i)(2+i) 由a≥1时，不等式2|z2-tx|十6≥0恒成立， 所以<2十日恒成立，即120a+品恒成立， 3 令f(a)=20a十 3一20 100 5 ,因为a≥1时，f(a)单调递增，所以f(a)m=f1)=103 5 所以实数t的取值范围是(-6○，13]，故选D, 103 8.【答案】C 【解折1因为a=2万，=6c=4:由余孩定理得：0sA-+4-6头8=合，则A=60因为Aò 2bc 2×6×4 -号AC,所以AD=4,又因为c=AB=4,所以△ABD为正三角形.则当F为线段BD的中点时，AF1BD, 即1取最小值，此时萨=合A店+合A市=A店+号×号A心=合A店+号AC,又因为E,F,C三点共 【高一数学参考答案第1页（共5页）】 1 2 tλ= t= 线，所以A疗=tA它+(1-t)AC=A言+(1-t)AC,由平面向量基本定理，得 3 ,解得 ,故 1 1一t= 3 4 选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.【答案】BD 【解析】对A,因为正八面体每个面都是三角形，所以A错误； 对B,棱柱的侧棱平行且相等，所以B正确； 对C,圆台的母线长都相等，所以C错误： 对D,球面就是半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面，所以D正确，综上，故选BD. 10.【答案】ABD 【解析】对A,因为1·2=·，所以·2一1·=0，即1·（2一)=0，又因为卡0，所以2一 =0,所以=，所以选项A正确； 对B,设≈1=a十bi,z2=c十di,=x十yi,a,b,c,d,x,y∈R,则(x1·2)·x3=[(ac-bd)十(ad+bc)i门(x十 yi)=(ac-bd)x-(ad+bc)y+[(ac-bd)y+(ad+bc)x]i,.(z2.z)=(a+bi)[cx-dy+(cy+dx)i]= a(cx-dy)-b(cy+dx)+[a(cy+dx)+b(cx-dy)]i=acx-ady-bcy-bdx+(acy+adx+bcx-bdy)i= (ac-bd)x-(ad十bc)y十[(ac-bd)y十(ad十bc)x]i,即(1·xg)·3=1·(2·),即复数乘法对结合律 成立，所以选项B正确： 对C,若1=1十i,则=(1十i)2=2i,2=|1十i2=2,所以号≠|12，所以选项C错误； 对D,设x=a+bi(a,b∈R),则|z号|=|(a+bi)21=a2-b2+2abi|=/(a2-6)+4a'6=√(a'+b)P= a2+62,12=la十bi2=(√a2+6)=a2+,所以1=1a12(或者因为|1=1·a=|1·|x =x),所以选项D正确.综上，故选ABD. 11.【答案】AC 【解析】x)=千一=引·要使得函数x有意义，则号 >0,解得x≠2且x≠一2，所 以了)的定义域关于原点对称，且(-0十)=n告引+n引=ln1=0,从而)是奇函数， A正确； f(1-x)≠f(1十x),B错误； 当x∈(-2,2)时，fx)=ln 引=n号号h2-)-h2+y=h2-在(-2,2让单闲递 减，y=ln(2+x)在(-2,2)上单调递增，所以f(x)在(-1,1)上单调递减，C正确； 当f(m)=f(),且m≠n时 2一1=2一即一1+2一1=0，化解得m=4m元 6 25 2W3 6=1= m= m=- ≤6mnm4,当且仅当n=3,即 3或 时取=”m元的最大值为子D钻误。 n=2√3 n=-2√3 故选AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.【答案】9 【解折1余孩定理得：mC=。∠-技=子所以血C=oC-√子=号所以 2ab 5ace=bsnc=×2X3×9-3 2=2 【高一数学参考答案第2页（共5页）】 18.【答案1号 1+cos 20 1+2cos28-1 2 cos20 【解析】由sin0-2os0=0,可知tan0=2,1干sin29=sim'9+2 sin cos9+co39=(sin9十c0s9= 2 2 (1+tan9)2= 14.【答案】(23,4] 【解析】因为a=2,A-号，由余弦定理得d=6十2-2bce0sA, 所以12=6+e2+c=(b叶e)-c≥(6叶e)-子(b+c)=子(b叶c), 当且仅当b=c=2时等号成立. ∴.(b+c)2≤16，又b+c>0, ∴.b+c≤4，又因为b十c>a=2√3， 所以2√3<b+c≤4，即6+c的取值范围为(2√3,4]. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.【答案】(1)7(2)2√2 【解析】(1)因为x>3,所以x-3>0, 1分 3=x-3+4 +4 3+3, 3分 -3+4+3≥2√-3)X 3十3=7，…………………………4分 当且仅当一3=气写时，即=5时取等号，…5分 所以x十生一的最小值是7生……………………………6分 (2)对于√/2x(4-x),2x(4-x)≥0， ……………7分 可得x(x一4)0，… 8分 解得0x4,………………… 9分 所以V2x(4-可=2/4-万≤2×+4-1=22， 2 …11分 当且仅当x=4一x,即x=2时取得等号，… 12分 所以√2(4一x)的最大值是2√2；…………………13分 16.【答案】(1)120(2)(0.1) 【解析】(1)x=(m-6)(-2)十3十[(m-6)(m十1)十4m]i=m2-8m+15十(m2-m-6)i, ……2分 若复数x为非零实数，则m2一m一6=0且m2一8m十15≠0，解得m=一2.…4分 此时a=(-8,1),b=(-4,3),c=(-1,-8),则a十b=(-12,4),a-c=(-7,9), 所以(a十b)。(a-C)=一12X(-7)十4X9=120:…………………7分 (2)若复数之为纯虚数，则m一8十15=0且m2一m一6≠0，解得m=5,…8分 此时a=(-1,10.b=(33).6=6,20).则b号c=3,3)-(3,10)=0,-7),…1分 a(b-ze)b-ze 所以a在b- 之c上的投影向量为： b-zel 7×(0,-1)=(0,1).…15分 7 17.【答案】1) 3 (2)4√2-2√6 【解析】(1).a=12cosB+6,b=4√3，c=6, 【高一数学参考答案第3页（共5页）】 cos B=teb 2ac 2,“a=12.0+c-b+6, 4分 2ac 十3648十6，解得=2，……… a cosC=a+6-c-23+(4VB)2-36= 2ab 3 7分 2×2×43 2油a知osC=号8nC-5 3 ……8分 .S△ABC= 2 binC=×2X45=42, 11分 设△ABC内切圆半径为，则2ar+号br十2cr=Sa,则 2S△M 8V2 =4√2-2√6. … a+b+c2+45+6 …15分 18【答案号29号 【解析】1D因为S=号acsin B,.所以2 acsin B=5(62-42-c心），. 1分 即sinB=一√3c0sB,所以tanB=一√3，………3分 又因为在△ABC中，BE(0,m,所以B=号x: …………5分 2因为5.子4nB-言Xac×9-号所以u=2 6分 在△ABC中，由余弦定理b=a2十c2-2 accos B,且b=3,得a2十c2十ac=9,a2十c2=7,…7分 因为AC的中点为D,则2BD=BC+BA, 两边同时平方得：4BD=(BC+BA)=BC+BA+2BC.BA=a2十2-ac=5,… 8分 所以ò：=号，所以BD=写 2 ……11分 (G因为BE为角平分线，不妨设∠ABC=2∠ABE=2∠CBE=20=三，则9=号 在△ABC中，S△ABE十S△CBE=S△ABC, 所以号BA·BE·sim0+号BC,BE·sin0=号BA·BC·sin20, 即BE·sing(a+c)=acsin20, 所以BE=a罕 …………………12分 由余弦定理：a2十c2十ac=9, 则a+e)-9=ar≤（安）广， 则a十c≤2√/5，当且仅当a=c=√3时，取等，… …14分 所以BE=a+-9=a+c)-9 a十c a+c' 显然当a十c=2,时，BE取最大值为 21 …………17分 19.【答案】(1)1 21(3)=-2或>0} 【解析】(1)函数f(x)=2x一k·2r是R上的奇函数，所以f(0)=0,……1分 所以f(0)=1一k=0,得k=1;…2分 检验：当k=1时，f(x)=2一2，f(-x)=2x一2=-f(x),所以实数k的值为1；…4分 【高一数学参考答案第4页（共5页）】 (2)由(1)可知f(x)=2x-2, 令2x=p,因为x∈[1，十0∞)，所以p∈[2，十o∞)，… 5分 Hp)=D合在[2，十o)上单调递增， 6分 所以H)=p-合∈[号，+eo), ……………7分 即当xe[1,+eo)时，fx)e[是，+∞)， 所以g（)=[/x]+2f)+n的最小值是gx)m=g(2)-头+. 8分 依题意g()=1十n三空，所以n=1店……9分 4 (3)方程[h(x)]2-(2十3t)h(x)十2t+1=0有三个不同的实数解， 即方程|2-1|2-(2十3t)|2-1|十(1十2t)=0有三个不同的实数解，…10分 令m=|2*-1|,则方程化为m2-(2+3t)m十(1十2t)=0, 作出m=|2一1的函数图象， fx)=2-/ y=m y=1 y=m …11分 所以m2一(2+3t)m十(1十2t)=0有两个根1，m2,一个根大于0小于1且一个根大于等于1，或者一个 根大于0小于1且一个根为0.……………12分 ①设0<m1<1≤2， 记F(m)=m2-(2十3t)m十(1十2t), 根据二次函数的图象与性质可得， F(0)=1+2t>0 F(1)=1-(2十3t)十1十2t=一t≤0，解得t>0;…………14分 △=(2+3t)2-4(1+2t)>0 ②设m=0,0<m:<1,所以1十24=0，=一号，即方程化为-受-0，解得m=0,m:=号满足题意， ………16分 所以实数：的取值范围为：=一之或>0}。 …………17分 【高一数学参考答案第5页（共5页）】