精品解析：湖南衡阳县第一中学等校2025-2026学年高一下学期期中校内检测数学试卷

2026年上学期高一期中校内检测数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】， 则复数对应的点为，位于第三象限. 2. 在中，角A，B，C的对边分别为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， ， 由正弦定理得：， ． 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】 ， 又， ，解得． 4. 将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移变换求出解析式. 【详解】将函数图象向左平移个单位长度得到的函数图象. 故选：C． 5. ，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，即， 所以52，所以 6. 如图，由斜二测画法画的水平直观图是的等腰直角三角形，那么它在原平面图形中，顶点到的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直观图的，再由斜二测画法规则求出顶点到的距离即可. 【详解】在中，，，， 于是得，且原图中即为顶点到的距离， 由斜二测画法规则知，在原平面图形中，顶点到的距离是. 故选：D 7. 已知复数，当时，不等式恒成立，则实数t的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分离参数法去转化不等式恒成立，即可求得实数t的最大值. 【详解】因为，又，所以， 由时，不等式恒成立， 则恒成立，即恒成立， 令，因为时，单调递增， 所以，所以实数t的取值范围是． 故选：B 8. 已知的内角，，所对的边分别为，，，，，，若，（），若与相交于点，则当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出，当为线段的中点时，，即取最小值，结合已知条件将用表示，最后根据平面向量基本定理得解. 【详解】因为，，， 由余弦定理得：，所以. 因为，所以， 又因为，所以为正三角形. 则当为线段的中点时，，即取最小值， 此时； 又因为，，三点共线，所以， 由平面向量基本定理，得，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥 B. 棱柱的侧棱平行且相等 C. 圆台的母线长不一定相等 D. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面为球面 【答案】BD 【解析】 【详解】对A，因为正八面体每个面都是三角形，所以A错误； 对B，棱柱的侧棱平行且相等，所以B正确； 对C，圆台的母线长都相等，所以C错误； 对D，球面就是半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面，所以D正确. 10. 设，，，则下列说法正确的有（ ） A. 若且，则 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据复数运算性质即可判断；对BD，利用待定系数法即可判断；对C，举反例即可判断. 【详解】对A，因为，所以，即， 又因为，所以，所以，所以选项A正确； 对B，设， 则 ， ， 即，即复数乘法对结合律成立，所以选项B正确； 对C，若，则，所以，所以选项C错误； 对D，设， 则， ，所以.所以选项D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 在上单调递减 D. 若，则的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】求得函数定义域，结合奇函数定义可判断A，由函数定义域可判断B，通过时，，结合和的单调性即可判断C，由得到，再结合基本不等式即可判断D. 【详解】对A：，要使得函数有意义，则， 解得且， 所以的定义域关于原点对称，且， 从而是奇函数，A正确； 对B：当时，，由定义域可知无意义，故错误； 对C：当时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，故在上单调递减，C正确； 对D：当，且时， 即， 化简得， 则， 当且仅当，即或时取“=”， 的最大值为，D错误． 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角所对的边分别为，若，则的面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先应用余弦定理得出，再应用同角三角函数得出正弦值，最后应用面积公式计算求解. 【详解】由余弦定理得：，所以， 所以. 13. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再利用二倍角公式及商数关系化弦为切计算即可. 【详解】由，可知， ． 故答案为：. 14. 在中，三个内角所对的边分别为， ， ，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知利用余弦定理和基本不等式，可以求出的表达式，对进行化简，最后求出的取值范围． 【详解】因为，，由余弦定理得， 所以， 当且仅当时等号成立． ∴，又 ∴，又因为， 所以，即取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）已知，求的最小值； （2）求的最大值． 【答案】（1）7；（2） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式求解即可. （2）求出的范围，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， ， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最小值是7. （2）由题意知，即，解得， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最大值是； 16. 已知，，，复数（为虚数单位，）. （1）若复数为非零实数，求； （2）若复数为纯虚数，求在上的投影向量的坐标. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算得，从而且，即可得解； （2）根据纯虚数和投影向量的概念求解. 【小问1详解】 由题意得， 若复数为非零实数，则且，解得. 此时，则， 所以； 【小问2详解】 若复数为纯虚数，则且，解得， 此时，则， 所以在上的投影向量为. 17. 在中，角所对的边分别为，且 （1）求； （2）求内切圆的半径. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用余弦定理得出，再应用余弦定理得出； （2）应用同角三角函数关系得出，再应用面积公式结合内切圆半径的面积公式计算求解. 【小问1详解】 ， ， ，解得， 【小问2详解】 由（1）知，得， ， 设内切圆半径为，则， 则. 18. 在中，内角的对边分别是，记的面积为，且. （1）求角的大小； （2）若，，分别为的中线和角平分线. （i）若的面积为，求的长； （ii）求长的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式结合余弦定理即可得解； （2）（i）先根据三角形的面积公式求出，再利用余弦定理求出，再向量化求解即可； （ii）利用等面积法将用表示出来，再利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，进而可得出答案. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 又因为，所以； 【小问2详解】 （i）由，得， 由余弦定理得， 所以， 因为为的中线， 所以， 则， 所以； （ii）由余弦定理得， 所以， 因为为的角平分线，所以， 由，得， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以当时，取得最大值， 即长的最大值为. 19. 已知函数是上的奇函数，函数． （1）求实数的值； （2）若函数在上的最小值为，求实数的值； （3）设函数，若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）1 （2）1 （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据求出，再利用奇函数的定义检验； （2）先利用复合函数求出在上的值域，再结合一元二次函数求的最小值即可； （3）令，画出其函数图象，结合方程的根转化为一元二次方程的区间根问题求解. 【小问1详解】 函数是上的奇函数，所以， 所以，得； 检验：当时，， 所以实数的值为1； 【小问2详解】 由（1）可知， 令，则， 因为，所以， 因为在上单调递增，所以， 即当时，， 所以当时，有最小值，最小值是， 依题意，所以； 【小问3详解】 ， 方程有三个不同的实数解， 令，则方程化为． 作出的函数图象，其中是函数图象在上的渐近线， 所以有两个根，不妨设， 则或， ①设， 则，解得， ②设，所以，得，则方程化为， 解得，满足题意， 所以实数的取值范围为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高一期中校内检测数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在中，角A，B，C的对边分别为，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. ，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，由斜二测画法画的水平直观图是的等腰直角三角形，那么它在原平面图形中，顶点到的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 已知复数，当时，不等式恒成立，则实数t的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角，，所对的边分别为，，，，，，若，（），若与相交于点，则当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥 B. 棱柱的侧棱平行且相等 C. 圆台的母线长不一定相等 D. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面为球面 10. 设，，，则下列说法正确的有（ ） A. 若且，则 B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 在上单调递减 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角所对的边分别为，若，则的面积为__________. 13. 若，则__________． 14. 在中，三个内角所对的边分别为， ， ，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）已知，求的最小值； （2）求的最大值． 16. 已知，，，复数（为虚数单位，）. （1）若复数为非零实数，求； （2）若复数为纯虚数，求在上的投影向量的坐标. 17. 在中，角所对的边分别为，且 （1）求； （2）求内切圆的半径. 18. 在中，内角的对边分别是，记的面积为，且. （1）求角的大小； （2）若，，分别为的中线和角平分线. （i）若的面积为，求的长； （ii）求长的最大值. 19. 已知函数是上的奇函数，函数． （1）求实数的值； （2）若函数在上的最小值为，求实数的值； （3）设函数，若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $