二次函数与几何图形综合题（与面积问题）归纳练2026年中考数学二轮复习备考

二次函数与几何图形综合题（与面积问题）归纳练2026年中考数学二轮复习备考 1．如图1，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点，，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)当点P的坐标为时，求的面积； (3)如图2，连接，当是以为直角边的直角三角形时，求点P的坐标． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)点是抛物线上的一个动点且位于上方． （）如图1，连接，，若的面积为3，求点的坐标； （）如图2，直线是抛物线的对称轴且与轴交于点，直线，分别与直线交于点，，求的值． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，并且与轴交于另一点（点在点的右侧），点是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，设点的横坐标为，请用含的代数式表示出的长度； (3)在（2）的条件下，当三角形的面积为6时，求点的坐标． 4．已知二次函数，其中． (1)当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点的坐标； (2)求证：二次函数的顶点在第三象限； (3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值． 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)找出图中与∠DAB相等的一个角，并证明； (3)若点P是第二象限内抛物线上的一点，当点P到直线AC的距离最大时，求点P的坐标． 6．抛物线与轴交于，两点，点是抛物线顶点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)如图1，抛物线上两点，，若，求的值； (3)如图2，点，如果不垂直于轴的直线与抛物线交于点，，满足．请分析直线是否过定点？若直线过定点；求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 7．如图，抛物线：交轴于点，，交轴于点，直线与抛物线的交点的横坐标为4． (1)求抛物线的表达式； (2)点和是抛物线上的两点，求的取值范围； (3)抛物线：（）的顶点为，与抛物线在轴右侧的交点为，连接交于点．当时，求的面积． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线，经过坐标原点O，与x轴正半轴相交于点A，直线与抛物线相交于点M，N（点M在点N的左侧），点M的坐标为，点N的横坐标为9，点P在线段上（不含点M，N），连接并延长，交抛物线于点B、设点P的横坐标为m． (1)求点N的纵坐标； (2)求抛物线的表达式； (3)连接，，当的面积等于的面积时，求m的值； (4)若，连接并延长，交抛物线于点C，作点B关于点P的对称点，点C关于点P的对称点，连接．当线段与线段有公共点时，请直接写出m的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于点，与轴交于点，（在的左侧），如图所示，若四边形是矩形． (1)直接写出点的坐标； (2)平移抛物线得到抛物线，使抛物线经过点与点． ①写出平移的方向和距离，并说明理由； ②证明：矩形在抛物线开口内的部分与它在抛物线开口内的部分面积相等． 10．如图，抛物线顶点D在x轴上，且经过和两点，抛物线与直线l交于A、B两点． (1)直接写出抛物线解析式和D点坐标； (2)如图1，若，且 求直线l解析式； (3)如图2，若，求证：直线经过定点，并求出定点坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，二次函数的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为，以为直径作半圆，圆心为D． (1)求二次函数的解析式； (2)求证：直线是的切线； (3)若直线与抛物线的对称轴交点为P，M是线段上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作交x轴与点N，连结，，设的长为t，的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交直线于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C． (1)如图1，若已知点A的横坐标为，求点B的横坐标； (2)如图2，连接、． ①当，且时，求k的值； ②试判断是否恒成立？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) (3)或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）求出直线的解析式，得到的长，再利用三角形面积公式即可求解；（3）分两种情况：①点为直角顶点，②点为直角顶点，分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点，将A，C两点的坐标分别代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设交y轴于点G， 点， ， 设直线的解析式为， 将点，点分别代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点， ， ， ． （3）解：是以为直角边的直角三角形， 分两种情况：①点B为直角顶点，②点C为直角顶点． ①过点B作交抛物线于点，交y轴于点E，连接，如图1. 抛物线，点， 点， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 点， 设直线的解析式为，将点B，E的坐标分别代入，得， 解得， 直线的解析式为， 联立，得， 解得或（不合题意，舍去）， 点； ②过点C作交抛物线于点，连接，如图2， ，， ， 设直线的解析式为，将点代入，得， 直线的解析式为， 联立，得 解得或（不合题意，舍去）， 点． 综上所述，点P的坐标为或． 2．(1) (2)（）点的坐标为或；（） 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而得到顶点坐标； （2）（）设点，利用待定系数法求出直线的表达式，过点作轴交于点，则，求出长，根据列方程求解即可； （）利用待定系数法求出直线、的表达式，进而得到点M、N的坐标，从而求出的值即可． 【详解】（1）解：把点，代入得： ， 解得， 该抛物线的表达式为， 该抛物线的顶点坐标为； （2）解：（）设点， 抛物线， 当时，， ， 设直线的表达式为， 将，代入得： ， 解得， 直线的表达式为， 如图，过点作轴交于点，则， ， ， 整理得：， 解得：或 当时，， 当时，， 点的坐标为或； （）设直线的表达式为， 将点，点代入得： 由得：， 即， ， 直线的表达式为， 当时，， ， ， 设直线的表达式为， 将，代入得： ， 由得：， 即， ， 直线的表达式为， 当时，， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，熟练掌握待定系数法求出解析式、二次函数的图象性质是解题的关键． 3．(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点A、B的坐标，然后代入二次函数解析式，求出b、c的值即可； （2）如图，设，则，然后根据求解即可； （3）根据列式求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，；当时，， ∴，， 代入抛物线，得 ， 解得， ∴ （2）解：设，， （3）解：如图，连接， ， 解得或， 故或． 4．(1) (2)见解析 (3)最大值为 【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可； （3）设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为，然后求出点B的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线上推出，过点作，垂足为，可以推出,由此即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 解得． 由，则符合题意， ∴， ∴． （2）解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴二次函数的顶点在第三象限． （3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为 当时，， ∴． 将代入， 解得． ∵在轴的负半轴上， ∴． ∴． 过点作，垂足为， ∵， ∴． 在中， , ∴当时，此时，面积有最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 5．(1)y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4） (2)∠ACB，证明见解析 (3)点P坐标为（，） 【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；依据配方法求出顶点坐标； （2）先证出△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，求出tan∠DAC，得∠DAC=∠OCB，即可求解； （3）设点P的坐标为（m，-m2-2m+3），当点P到直线AC的距离最大时，△PAC的面积最大，过点P作PH⊥x轴于点H，交AC于点E，求出直线AC的函数关系式，表示出点E的坐标，得S△PAC关于m的二次函数，利用二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把点B（1，0），点C（0，3）代入y＝ax2﹣2x+c， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴顶点D的坐标为（﹣1，4）； （2）解：图中与∠DAB相等的一个角是∠ACB， 令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴A点坐标为（﹣3，0）， ∴OA＝OC＝3， ∴∠CAO＝∠OCA＝45°， 在Rt△BOC中，tan∠OCB， ∵A点坐标为（﹣3，0），B点坐标（1，0），C点坐标为（0，3）， ∴AC＝3，DC，AD＝2， ∴AC2+DC2＝20，AD2＝20， ∴AC2+DC2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴tan∠DAC， ∴∠DAC＝∠OCB， ∴∠DAC+∠CAO＝∠BCO+∠OCA， 即∠DAB＝∠ACB； （3）解：设点P的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3）， 当点P到直线AC的距离最大时，△PAC的面积最大， 过点P作PH⊥x轴于点H，交AC于点E， 设直线AC的函数关系式为：y＝kx+b， 把点A（﹣3，0），C（0，3）代入， 得， 解得：， ∴直线AC的函数关系式为：y＝x+3， ∴点E的坐标为（m，m+3）， ∴S△PAC [﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）]×3 m2m （m）2， 又∵S△PAC ×P到直线AC的距离， 由二次函数性质，当m时，△PAC的面积最大，即点P到直线AC的距离最大， ∴点P坐标为（，）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求函数关系式，勾股定理，直角三角形的性质判定，锐角三角函数知识，解答本题关键是综合运用的能力． 6．(1)抛物线的解析式为， (2)或 (3)直线过定点 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再令得到，即可求出点的坐标； （2）过作轴交于点，过作轴交于点，则，，，求出直线的解析式为，得到，，进而得到，，，，最后根据列方程即可求解； （3）作于，作于，设直线的解析式为，，，联立，得到，进而得到，，，，，，由得到，即，进而得到，即可判定． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得，， ； （2）如图1，过作轴交于点，过作轴交于点， 抛物线的解析式为， ， 抛物线上有两点，， ，， 设直线的解析式为，将、代入得， 解得， 直线的解析式为， ， ， ， ， ，， ，，， ， 解得或； （3）直线过定点， 如图2，作于，作于， 设直线的解析式为，，， 联立，则，即， ，， ，，，， ， ， ， 即， ， 直线不垂直于轴， ， ，即， 直线的解析式为， 直线过定点． 【点睛】正确作出辅助线，掌握二次函数与几何图形的综合，根与系数的关系，二次函数与一次函数的综合． 7．(1) (2) (3) 【分析】（1）联立解析式列出方程求解； （2）根据抛物线解析式得出，然后利用二次函数的图像和性质求解； （3）连接，过点作交于点，过点作轴，分别过点作于点于点．过点作轴于点，过点作轴交于点，设与轴的交点为，利用全等三角形和相似三角形得出相关线段的长度，利用锐角三角函数求出相关点的坐标，得出直线和抛物线的解析式，然后求出顶点坐标，即可求出三角形的面积． 【详解】（1）解：∵直线与抛物线的交点的横坐标为4， ． ． ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵点和在抛物线上， ①， ② 得：． ， ∴当时，有最大值为． ； （3）解：如图，连接，过点作交于点，过点作轴，分别过点作于点于点．过点作轴于点，过点作轴交于点，设与轴的交点为． 抛物线， 令，则，即点的坐标为． 令，则，即点的坐标为． ∴， ． ． ． ． ，即． ∵， ∴直线的解析式是， 设点的坐标为， ． 解得． ． ． ． ． ， ． 令，则，即点的坐标为． 在中，， 又， ∴在中，． 设，则． ∴点的坐标为． ∵点在抛物线上， ． 解得（舍去）． ∴点的坐标为． 假设直线的表达式为，将和代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为． ， ∴抛物线． ∴顶点的坐标为． ∵点在抛物线上， ． 解得． ∴顶点的坐标为． 轴且点在直线上， ∴点的坐标为． ． 8．(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）先把点M的坐标代入直线解析式，求得n的值，再代入N的横坐标即可求得N的纵坐标； （2）利用待定系数法，代入点M、N的坐标即可解答； （3）根据题意可知，点P是的中点，然后根据点P的坐标和中点坐标公式表示出点B的坐标，再根据点B在抛物线上，代入点B的横坐标，表示出点B的纵坐标，再与根据中点坐标公式所求的点B的纵坐标建立方程解答即可； （4）先求得点A坐标，由题意可知当点的纵坐标异号时，满足题意，然后分别根据第（3）题的方法求得当点的纵坐标为0时，当点的纵坐标为0时，对应的m的值，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，把代入直线，得，则， ∴直线， 把点N的横坐标9代入直线，得， ∴点N的纵坐标为； （2）解：由（1）可知，点N的坐标为， 把点、代入抛物线， 得，解得， ∴抛物线的表达式为； （3）解：∵的面积等于的面积， ∴，即点P是的中点， ∵点P在直线上，且横坐标为m， ∴点P的纵坐标为，即， ∴点B的横坐标为，纵坐标为， 又∵点B在抛物线上， ∴当点B的横坐标为，纵坐标为， ∴， 解得， ∵点P在线段上（不含点M，N）， ∴， ∵ ∴或； （4）解：如图所示， 由（2）可知，抛物线，令，解得或8，即， 由题意可知，点在同一直线上，；点在同一直线上，， ∵线段与线段有公共点， ∴当点的纵坐标异号或其中一个为0时，满足题意， ∴①当点的纵坐标为0时，此时点与点O重合，即， 由（2）可知，此时或，如图所示， ②当点的纵坐标为0时，此时点与点A重合，即， ∵，， ∴点C的横坐标为，纵坐标为， 又∵点C在抛物线上， ∴当点C的横坐标为，纵坐标为， ∴， 解得， ∵， ∴此时，如图所示， ∴当或时，点的纵坐标小于0；当，点的纵坐标大于或等于0， 当时，点的纵坐标小于0；当时，点的纵坐标大于或等于0， 又∵， ∴当或时，线段与线段有公共点． 9．(1)点的坐标为 (2)①平移的方向为向左，平移的距离为1个单位长度，理由见解析②见解析 【分析】此题考查了二次函数和特殊四边形综合题，数形结合是解题的关键． （1）求出，，，根据四边形是矩形即可得到答案； （2）①根据二次函数的平移规律进行解答即可；②证明“曲边四边形”和“曲边四边形”关于对称，即可得到结论． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得，， ∵在的左侧， ∴，， 把代入，得， ∴； ∵四边形是矩形， ∴ ∴点的坐标为． （2）①平移的方向为向左，平移的距离为1个单位长度． 理由如下： 由可得． 所以将拋物线向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为，即． 对于，当时，；当时，． 所以抛物线经过，． ②对于抛物线：，当时，； 当时，，． 可得，，． 设抛物线与轴交于另一点， 令，解得，． 可得． 设是拋物线左侧图象上的任意一点， 则其关于的对称点在抛物线对称轴右侧图象上． 由（2）①得，向左平移1个单位长度得到在抛物线的右侧图象上． 因为与关于的对称， 即所在的这一侧图象上任意一点关于的对称点都在所在的这一侧图象上，反之亦然． 所以抛物线左侧图象与抛物线的右侧图象关于对称． 又和，和，和都关于对称， 所以“曲边四边形”和“曲边四边形”关于对称． 所以矩形在拋物线开口内的部分与它在抛物线开口内的部分面积相等． 10．(1)， (2)或 (3)证明见解析，定点坐标为 【分析】（1）设抛物线解析式，将和代入待定系数法求解析式，继而求得点的坐标； （2）过点作轴于点，设直线的解析式为，联立二次函数解析式得出，的横坐标为，则，，，根据以及已知条件列出方程，解方程即可求解； （3）过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，得出，设直线的解析式为，联立抛物线解析式，得出，设为方程的两根，且，则，由，得出，代入，得到，分情况讨论，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点D在x轴上，且经过和两点， 设抛物线解析式， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作轴于点， ∵， 设直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴的横坐标为， ∴，， ∵, ∴ ， ∵， ∴， 解得或， ∴或； （3）如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， ∴， 设为方程的两根，且， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 即， ， ∴或， 当时，过定点，与重合，不符合题意，故舍去， 当时，， ∴，过定点 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题的关键． 11．(1) (2)见解析 (3)（），S存在最大值，最大值为 【分析】（1）根据题意易得点A、B的坐标，然后把点A、B、E的坐标分别代入二次函数解析式，列出关于a、b、c的方程组，利用三元一次方程组来求得系数的值． （2）如图，过点D作于点G，构建相似三角形，根据它的对应边成比例得到，由此求得（圆的半径是1），则易证得结论． （3）利用待定系数法求得直线为：，则易求．然后由相似三角形的对应边成比例，线段间的和差关系得到，．所以由即可求得（），由抛物线的性质可以求得S的最值． 【详解】（1）解：∵四边形是边长为2的正方形， ∴，． ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：如图，过点D作于点G，则， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴， ∵是直径， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴在中，． ∵，， ∴， ∴，即， ∴． ∵的半径是1，且， ∴是的切线． （3）解：设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得，． ∴直线的解析式为． ∵抛物线为， ∴对称轴为 ∵直线与抛物线的对称轴交点为P， 把代入函数，得， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴． ∴． ∴， ， ． ∵（）． ∵抛物线（）的开口方向向下， ∴S存在最大值，当时，． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，正方形的性质，切线的判定，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 12．(1) (2)①；②恒成立，理由见解析 【分析】（1）先求解，直线为，可得，再进一步求解即可； （2）①求解，联立，整理得：，可得，，可得，再结合面积公式建立方程求解即可； ②由①可得：，，，，而，，可得，，再证明即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交直线于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的横坐标为， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， 解得：或， ∴； （2）解：①∵抛物线， 当时，， ∴， ∵， 整理得：， ∴，， ∴ ， ∵当，且时， ∴， ∴， 解得：（舍去）；经检验符合题意； ②恒成立，理由如下： 由①可得：，，，， 而，， ∵， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴； ∴． 【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，二次函数与面积问题，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，本题难度大，熟练的利用根与系数的关系解题是关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $