广东深圳市南山区2025-2026学年第二学期九年级学业质量检测数学学科试卷

2025-2026学年第二学期 九年级学业质量检测数学学科试卷 2026年4月 说明：1.全卷共6页。 2.考试时间为90分钟，满分100分。 3.答题前，考生务必将姓名、班级、考号用B铅笔填涂在答题卡上，并用黑色签字笔填写相应信息。请考 生按要求在答题卷规定的位置上作答，答案须写在答题卡各题目指定区域相应位置上。不准使用涂改液。在草稿纸、 本试卷上答题一律无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。 第I卷（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1.科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展.以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中 心对称图形的是( 曾然 2.石墨烯是目前已知最薄的材料，其理论厚度仅为0.00000000034米，这个数用科学记数法表示为() A.3.4×109 B.0.34×109 C.3.4×1010 D.3.4×1010 3.在物理光学实验中，小明将一束激光从空气射入上、下表面平行的玻璃砖（如图），光线AB从空气射到玻璃砖 上表面点B并发生了折射，折射光线BC射到玻璃砖下表面C处，点D在AB的延长线上，若A=55°，∠ABE=I5°， 则∠DBC=() A.60° B.55 C.40° D.15° ◆频率 0.30 A空气 0.25 0.20 B E 0.15 D 玻璃砖 0.10 0.05 01234567次数/百次 (第3题图) (第4题图) 4.一个不透明袋子中有9个白球、6个黑球、4个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，将袋子中的球搅 匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，某一颜色的球出现的频率如图所示， 则该球的颜色最有可能是( A.白色 B.红色 C.黑色 D.黄色 5.若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为() A.<1 B.>1 C.m>-1 D.m<-1 2025-2026学年第一学期九年级期中考试数学学科试卷第1页共6页 6.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步 y=2x+9 行，若“…”.问：人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y,根据题意可列方程组为 y=3(x-2)'根据 已有信息，题中用“…”表示的缺失条件应补为() A.三人坐一辆车，有一车少坐2人B.三人坐一辆车，则2人需要步行 C.三人坐一辆车，则有两辆空车 D.三人坐一辆车，则还缺两辆车 。如图，在平面直角坐标系中，正方形BCD与正方形B2G是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为}， 点A,B,E在x轴上，若正方形BEFG的边长为9，则点C的坐标为() A.(3,3) B. c D.(4,3) 0 0 0 0 22>B 0 58 OA B E x N A (第7题图) (第8题图) 8。在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰 角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处.在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i=3:4(坡 度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)则大楼MN的高度是()米.（图中的点A,B,M,N,C均在同 一平面内，N,A,C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4，tan58°≈1.6，精确到整数) A.88 B.90 C.92 D.94 第Ⅱ卷（非选择题共76分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 9.若关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有一个根为x=-1,则m的值为_▲一一· 10.在平面直角坐标系xO中，P是平面内一点，且点P到x轴、y轴的距离分别为2,5，请写出一个符合条件的 点P的坐标一一▲一· 11.如图，在正五边形ABCDE内，以AB为边作等边△ABF,再以点A为圆心，AE长为半径画弧.若AB=3,则图 中阴影部分的面积是一一▲一一· D (第11题图) 2025-2026学年第一学期九年级期中考试数学学科试卷第2页共6页 12.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的边AB在x轴上、顶点D在y轴的正半轴上， 点C在第二象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为OE的中点.DE与BC交于点F.若 y=(k≠0)图像经过点C,且S公Er=多则k的值为▲一 D D B A (第12题图) (第13题图) I3.如图，在正方形ABCD中，E是AB边上的一点，点F在AD的延长线上，BE=DF,M为EF的中点，点N在 边AB上，∠AMN=45°.若AB=7,AM=5,则MN的长为▲ 三。解答题（共7小题，满分61分） 14.(本题5分)计算：()1-2si45°+V8-(π-2026)° 15.(本题6分)先化简，再求值： 3 x+2 1 ÷2-2x+出， 其中x=V3+1. x+2 16.(本题10分)今年是中国共产主义青年团成立104周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习.现 随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩进行整理（成绩得分用α表示），其中60≤a<70记为“较 差”，70≤a<80记为“一般”，80≤a<90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统 计图和频数分布直方图. 扇形统计图 频数分布直方图 较差 A频数 8% 优秀 25 23 20F 般 15 良好 10 8 46% 4 0 60708090100成绩 2025-2026学年第一学期九年级期中考试数学学科试卷第3页共6页 请根据统计图提供的信息，回答如下问题： (1)本次共抽取了 名学生的竞赛成绩，扇形统计图中，“一般”对应的圆心角的度数为 并将直方图补充完整： (2)已知90≤a≤100这组的具体成绩为93,94,99,91,100,94,96,98，则这8个数据的中位数是 (3)若该校共有1000人，估计该校学生对团史掌握程度达到良好及以上的人数： (4)本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史 知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率. 17.（本题8分)随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带 来了便利.某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒2公 顷农田，甲型机喷洒50公顷农田所用时间与乙型机喷洒60公顷农田所用时间相等.该农业公司共购进甲、乙两种型 号的无人机20架，其中甲型无人机4万元/架，乙型无人机5万元/架. 问题解决： (1)甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ (2)若公司要求这批无人机每小时至少喷洒230公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最 低？并求出最低成本。 18.(本题9分)如图，在等腰△ABC中，AH为底边BC上的高，∠ACB的角平分线交AH于点D,⊙O经过C D两点且圆心O在△ABC的腰AC上. (1)请画出⊙O(尺规作图，保留作图痕迹)； (2)求证：AH与⊙O相切： (3)当AB=12,c0sB=是时，求⊙0的半径. 3 B H 2025-2026学年第一学期九年级期中考试数学学科试卷第4页共6页 19.（本题12分)【综合与实践】 【情境导入】 周末，小深和同学们到深圳湾体育中心参观。场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试。工程师告诉大家， 喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果。广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一 棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压。 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，∠ABC=90°，AB=2米，BC=6米，坡面AC上有一棵小树MN(小树 粗细忽略不计，点M在斜坡上且与点C不重合，MN⊥BC),现在斜坡底C处安装一个喷水管CP,水流呈抛物线 状，恰好落在A处.技术人员以B为原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流 到B的水平距离×（米）与水流的高度y(米)的变化规律如表： x 0 1 3 4 44 2 19 5 19 2 8 8 【探究任务】 (1)根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为 ,并求出水流的函数解析式。 (2)若调试时，水流恰好经过树顶N点， ①为了美观，小树不能太高。请计算在现有水流轨迹下，这棵小树N的最大可能高度是多少？ ②若设计师希望从坡顶A处看，树底M和树顶N的视觉效果对称（即AM=AN),请求出此时树顶N的坐标。 ③在灯光测试中，需要在MN右侧（靠近C的一侧）再放置一棵与MN等高的小树DE(D在坡面上，树干垂直 Bc),且水流也能刚好经过树顶E。为保证两棵树不重叠，请直接写出第一棵树底M的横坐标m的取值范围。 N A M P B C 2025-2026学年第一学期九年级期中考试数学学科试卷第5页共6页 20.（本题11分)【综合探究】 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶 点旋转，来探究图形旋转的性质.己知三角形纸片ABC和BDE中，∠ACB=∠BDE=90°，BC=BD=6,AC=DE=8, 旋转角为a(0°<a<360). 【初步感知】 (1)如图1，连接AB,CD,将三角形纸片BDB绕点B旋转，求g的值： CD 【深入探究】 (2)如图2，在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线CF的延长线上时，延长ED交 AC于点G,求CG的长： 【拓展延伸】 (3)在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，试探究A,D,E三点，能否构成以AE为直角边的直角三角形.若能， 直接写出线段AD的长度；若不能，请说明理由， B 图1 图2 备用图 备用图 2025-2026学年第一学期九年级期中考试数学学科试卷第6页共6页 参考答案与评分建议 一。 选择题（共8小题，每小题3分，满分24分） 题号 1 2 4 5 > P 答案 0 D c B A C B c 二。填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 题号 1 2 3 4 5 答案 5 (-5,2)(答案不唯一) 6π -12 20W2 7 14.解：()1-2sin45°W8-(T-2026)0 =3-2x2+2√2-1 …4分 =3-√2+2W2-1 =2+W2.…5分 15.解：原式=3-(x+22.X2，…2分 x+2 (x-1)2 =1-x.x+2 ……3分 x+2(x-1)2 =1 …4分 1-x 当x=√3+1时，原式=，1一：1=3， …6分 1-√3-1-√33 16. (1)50,108，…2分 第1页（共7页） 频数分布直方图 人频数 25 23 20 15 15 10 8 5 0 607080 90100 成绩…3分 (2)95;…4分 1000×23+8=620 (3) 50 （人)， 答：估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为620人；…6分 (4)从3名女生，1名男生中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，列表如下： 男 女 女 女 男 (男，女) (男，女) (男，女) 女 (女，男) (女，女) (女，女) 女 (女，男) (女，女) (女，女) 女 (女，男) (女，女) (女，女) …8分 共有12种等可能的情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果，…9分 P(抽中2名女生)-6=1 …10分 122 17.解：(1)设甲型无人机每小时喷洒x公顷，则乙型每小时喷洒(x+2)公顷， 由题意列分式方程得， 50.60 …1分 8x+2 解得x=10,…2分 经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意，…3分 x+2=12（公顷)，…4分 第2页（共7页） 答：甲型无人机每小时喷洒10公顷，乙型无人机每小时喷洒12公顷； (2)设甲型无人机a台，则乙型无人机(20-a)台，总费用为1w万元， 由题意列一元一次不等式得，10at12(20-a)≥230， 解得a≤5，…5分 又由题意得，1=4叶5（20-a)=-什100，…6分 -1<0, ..的值随a的增大而减小， …7分 ∴.当a=5时，w最小值=-5+100=95（万元)， 此时乙型无人机=20-5=15（台）， 答：采购甲型无人机5台，乙型机15台时总费用最少，最少费用为95万元.…8分 18.(1)解： B H C …2分 如图所示，⊙0即为所求；…3分 (2)证明：连接OD .OD=OC, ∴.∠ODC=∠OCD, .CD平分∠ACB, ..∠ACD=∠BCD, ∴.∠ODC=∠DCB,…5分 ∴.OD∥BC, ,AH⊥BC, ..OD⊥AH, 第3页（共7页） .OD是⊙O的半径， AH与⊙O相切；…6分 (3)解：，AB=AC=12,AH⊥BC, ..BH=CH, .∠AHC=∠AHB=90°， co0s6B-号 “B班=B班=1 AB123 .CH=BH=4,…7分 :∠ADO=∠AHC=90°，∠DAO=∠HAC △AOD∽ACH,…8分 ∴00=40 CH AC :00=12-0D 412 OD=3,…9分 .⊙0的半径为3. 19.解：(1)顶点坐标为(2.5」…1分 2 设抛物线解析式为y=a(x-2)2,5 将点(0,2)代入得：4a+5=2, 2 解得a1 教抛物线解折式为y日（x-2)2号 、……3分 (2)①设直线AC的解析式为y=kx+b, 将4(0,2)，C(60)代入得b=2 (6k+b=0 解得{ (b=2 .直线AC的解析式为y= 3+2. …4分 设点N的损坐林为m0<≤6.则上N的级坐标为-号（r2)2号1(a令+2)。 2 第4页（共7页） …5分 18 “当x=10时，0N有最大值，最大值为25 8 m…6分 ②如图所示，过A作AH⊥MN于点H,连接AN, 设4=则H红2，M(,号+2》，点N的数坐标为-名（t-2)2+号点N的损业标为 N A M P B .AM=AN, ∴H为MN中点，即HM=HN 六骨（t-2)2+号-2=2-（号t2, 解得t号或0（合去.…8分 、2522 骨（t2)2号日停-2)号 9 “点N坐标为（传，22）： 3’9 …9分 ⑧2<m≤10 …12分 3 3 20.解：(1)，∠ACB=∠BDE=90°，BC=BD=6,AC=DE=8, ∴.AB=BE=10, 由旋转得：∠CBD=∠ABE, .BC=BD,AB=BE, ,∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA, △BCD∽△BAE,…2分 :A想=B距-10=5 …3分 CD BD 6 3 (2)如图2，延长CD交AE于H,连接BH交DE于M, 第5页（共7页） H M大 G C 图2 由(1)知：∠BAE=∠BCD, ,CF是中线，∠ACB=90°， ∴.CF=AF=BF=5, ∴.∠BCF=∠FBC, ∴∠FBC=∠BAE, .∠AFH=∠BFC, ..△AFH≌△BFC(AA), ..CF=FH, ∴.四边形ACBH是平行四边形， ,∠ACB=90°， .口ACBH是矩形，…5分 .∠AHB=90°，BH=AC=8, .AB=BE, ..AH=EH=BC=6, 设MH=x, ,∠EHB=∠HAC=90°，∠AEG=∠HEM, ∴.△AEG∽△HEM, :阻=H=1 AG AE 2 ∴.AG=2x, ,EH=BD=6,∠EMIH=∠BMD,∠EHM=∠BDM=90°， ∴.△EHM≌△BDM(AAS), ∴.BM=EM=8-x, 由勾股定理得：E=EH+M, .(8-x)2=62+x2, 第6页（共7页） ..x=7 CG=4C-4G=8-2X7=4.5;…7分 4 (3)AD的长是16W13或413. …11分（对一个给2分) 13 第7页（共7页）