8.1平行四边形重难点题型（3个知识点+6种题型） 2025-2026学年苏科版数学八年级下册

8.1 平行四边形（3个知识点+6大题型） 【题型归纳】 题型一 利用平行四边形的性质求角度 1 题型二 利用平行四边形的性质求长度 2 题型三 平行四边形的性质与判定综合 3 题型四 平行四边形的存在性问题 4 题型五 平行四边形中的最值问题 5 题型六 平行四边形中的翻折问题 6 一、知识梳理 要点一、平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 要点二、平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 要点三、平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 二、题型精讲 题型一 利用平行四边形的性质求角度 例1.如图，中，，，由绕点B逆时针旋转所得，若点C在上，连接，则______． 【变式1】如图所示，以▱ABCD的边AB为边向内作等边△ABE，使AD＝AE，且点E在平行四边形内部，连接DE，CE，则∠CED的度数为（　　） A．150° B．145° C．135° D．120° 题型二 利用平行四边形的性质求长度 例2.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝5，BE＝24，则CD的长为（　　） A．8 B．13 C．16 D．18 【变式2-1】如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若， ，则的长为 ．    【变式2-2】如图，在中，，分别以，为腰向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，的延长线交于点F，则与线段相等的是（    ） A． B． C． D． 题型三 平行四边形的性质与判定综合 例3.如图，AD为△ABC的中线，点F为AD的中点，AE∥BC． （1）求证：四边形ADCE为平行四边形； （2）若∠BAC＝90°，AD＝5，AC＝6，求四边形ADCE的面积． 【变式3】如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长．    题型四 平行四边形的存在性问题 例4.已知的坐标分别是，，，在平面内找一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ． 【变式4-1】如图，平行四边形在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中，，，E是线段的中点． (1)求出C，D的坐标； (2)平面内是否存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，直线经过点B且交x轴正半轴于点C，已知． (1)点C的坐标是___________，直线的表达式是_________________． (2)若点G为线段上一点，且满足，点M为直线上一动点，在x轴上是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． (3)点E为线段中点，点D为y轴上一动点，以为直角边作等腰直角△EDF，当点F落在直线上时，求点D的坐标．    题型五 平行四边形中的最值问题 例5.如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连结，则的最小值为（    ）    A．22 B．24 C．25 D．26 【变式5-1】如图，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD＝60°，△ADO＝90°，BD＝12，P是AO上一动点，Q是OC上一动点（点P，Q不与端点重合），且AP＝OQ．连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值是_______． 【变式5-2】如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC+AQ的最小值为 　 　． 题型六 平行四边形中的翻折问题 例6.如图，在平行四边形中，．点M是边的中点，点N是边上的一个动点．将沿所在的直线翻折到，连接．则线段长度的最小值为（    ） A．5 B．7 C． D． 【变式6-1】（教材呈现）如图是八年级下册数学教材第117页的部分内容． 结合图①，补全证明过程． （应用）如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝3，BC＝4，则四边形ABFE的周长为　 　． （拓展）如图③，直线EF分别交▱ABCD的边AD、BC于点E、F，将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝，BC＝4，∠C＝45°，则EF的长为　 　． 【变式6-2】【模型建立】 (1)如图1，已知在中，点是边的中点，将沿翻折得到，连接，． ①求证：是直角三角形； ②延长，交于点，判断与的数量关系，并证明你的结论； (2)【拓展应用】如图2，已知在中，点是边的中点，点是边上一点，将沿翻折得到，连接，． ①判断与的位置关系，并证明你的结论； ②若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1 平行四边形（3个知识点+6大题型） 【题型归纳】 题型一 利用平行四边形的性质求角度 1 题型二 利用平行四边形的性质求长度 3 题型三 平行四边形的性质与判定综合 6 题型四 平行四边形的存在性问题 9 题型五 平行四边形中的最值问题 16 题型六 平行四边形中的翻折问题 19 一、知识梳理 要点一、平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 要点二、平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 要点三、平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 二、题型精讲 题型一 利用平行四边形的性质求角度 例1.如图，中，，，由绕点B逆时针旋转所得，若点C在上，连接，则______． 【答案】24 【分析】根据旋转的性质和等边对等角的性质证明和，即可得到四边形为平行四边形，最后根据平行四边形的性质得到，进而计算即可得到解答． 【详解】解：∵，由绕点B逆时针旋转所得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由绕点B逆时针旋转所得且， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边对等角的性质、平行线的判定和平行四边形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 【变式1】如图所示，以▱ABCD的边AB为边向内作等边△ABE，使AD＝AE，且点E在平行四边形内部，连接DE，CE，则∠CED的度数为（　　） A．150° B．145° C．135° D．120° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠BAD+∠ABC＝180°， ∵△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°， ∵AD＝AE， ∴AD＝AE＝BE＝BC， ∴∠ADE＝∠AED，∠BCE＝∠BEC， 设∠ADE＝∠AED＝x，∠BCE＝∠BEC＝y， ∴∠DAE＝180°﹣2x，∠CBE＝180°﹣2y， ∴∠BAD＝180°﹣2x+60°＝240°﹣2x，∠ABC＝240°﹣2y， ∴∠BAD+∠ABC＝240°﹣2x+240°﹣2y＝180°， ∴x+y＝150°， ∴∠CED＝360°﹣150°﹣60°＝150°， 故选：A． 题型二 利用平行四边形的性质求长度 例2.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝5，BE＝24，则CD的长为（　　） A．8 B．13 C．16 D．18 【分析】首先利用平行四边形的性质及角平分线的性质得到AB＝AE，然后利用等腰三角形的三线合一的性质得到BFBE，利用勾股定理求得AB，即可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵∠ABC的平分线交AD于点E， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∵AF⊥BE， ∴BE＝2BF， ∴BF＝12， ∴AB， ∴CD＝AB＝13， 故选：B． 【变式2-1】如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若， ，则的长为 ．    【答案】 【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到和的长，然后可以证明和全等，然后即可得到的长． 【详解】解;∵四边形是平行四边形， ，，， ∵，， ，， ， 是等边三角形，G为的中点， ，， 延长交于点H，      ∵， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题关键． 【变式2-2】如图，在中，，分别以，为腰向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，的延长线交于点F，则与线段相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，作交的延长线于H，连接，证明，四边形是平行四边形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作交CF的延长线于H，连接． ， ，， ， ， ， ，， ，， ∴，， 四边形是平行四边形， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 题型三 平行四边形的性质与判定综合 例3.如图，AD为△ABC的中线，点F为AD的中点，AE∥BC． （1）求证：四边形ADCE为平行四边形； （2）若∠BAC＝90°，AD＝5，AC＝6，求四边形ADCE的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）24． 【解答】（1）证明：∵AE∥BC， ∴∠EAF＝∠BDF， ∵F为AD的中点， ∴AF＝DF， 在△AEF与△BDF中， ， ∴△AEF≌△BDF（ASA）， ∴AE＝BD， ∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∴AE＝DC， ∴四边形ADCE是平行四边形； （2）解：由（1）可知，四边形ADCE是平行四边形，连接DE， ∵∠BAC＝90°，AD为△ABC的中线， ∴AD＝DC＝BD， ∴▱ADCE是菱形， ∴AD＝DC＝5，AC⊥DE， ∵AC＝6， ∴AO＝3， ∴DO＝， ∴DE＝8， ∴菱形ADCE的面积＝． 【变式3】如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可证得，则，结合，即可证得结论． （2）过点作，交于点，可求得，证明，进而可求得答案． 【详解】（1）∵是的中点， ∴． ∵， ∴，． 在和中 ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． （2）如图所示，过点作，交于点．    ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定及性质，能根据题意构建辅助线是解题的关键． 题型四 平行四边形的存在性问题 例4.已知的坐标分别是，，，在平面内找一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】先由点的坐标求出求出线段、的长度，再分情况进行求解，即可解得点的坐标． 【详解】解：当以点为顶点的四边形是平行四边形时，如下图，    ①当且时， ∵，，， ∴， ∴， ∴点坐标为或； ②且时， ∵，，， ∴点坐标为． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、平行四边形的性质等知识，熟练运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 【变式4-1】如图，平行四边形在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中，，，E是线段的中点． (1)求出C，D的坐标； (2)平面内是否存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，点N的坐标为或或 【分析】（1）根据平行四边形的性质可求得的长，从而求得点的坐标； （2）分为对角线，为对角线，为对角线三种情况讨论，利用中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ∴点C的坐标为，点D的坐标为； （2）理由如下： 是线段的中点， ∴点E的坐标为，即， 设点N的坐标为， 当为对角线时， ， 解得：， 的坐标为； 当为对角线时， ， 解得：， 的坐标为； 当为对角线时， ， 解得：， 的坐标为， 综上可知，点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质．讨论平行四边形存在性问题时，按对角线进行分类讨论，画出图形再计算． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，直线经过点B且交x轴正半轴于点C，已知．    (1)点C的坐标是______，直线的表达式是_____． (2)若点G为线段上一点，且满足，点M为直线上一动点，在x轴上是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． (3)点E为线段中点，点D为y轴上一动点，以为直角边作等腰直角△EDF，当点F落在直线上时，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，点坐标为或 (3)或 【分析】（1）由，，可得，待定系数法求表达式即可； （2）由，点G为线段上一点，可得，待定系数法求的表达式为；则的表达式为，联立，求，待定系数法求直线的表达式为，设，，由题意知， 分①当分别为对角线时，②当分别为对角线时，③当分别为对角线时，三种情况，根据中点坐标相同进行求解即可； （3）由题意知，，设，如图，分当在点上方，当在点下方两种情况求解；①当在点上方，如图，过作于，于，证明，则，代入，求的值，可得点坐标，②当在点下方，如图，同理①，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 将，代入得，， 解得， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，点G为线段上一点， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入得，， 解得，， ∴； ∴的表达式为， 联立， 解得， ∴， 设直线的表达式为， 将代入得，， 解得， ∴， 设，， ∵点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形， ∴分①当分别为对角线时，②当分别为对角线时，③当分别为对角线时，三种情况求解： ①当分别为对角线时，的中点坐标为， 的中点坐标为， ∴， 解得，，即； ②当分别为对角线时，的中点坐标为， 的中点坐标为， ∴， 解得， ∴； ③当分别为对角线时，的中点坐标为， 的中点坐标为， ∴，同①， 综上，存在，点坐标为或； （3）解：由题意知，，设， 如图，分当在点上方，当在点下方两种情况求解； ①当在点上方，如图，过作于，于，    ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴； ②当在点下方，如图， 同理①可得，∴， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，两直线的交点坐标，等腰三角形的性质．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． 题型五 平行四边形中的最值问题 例5.如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连结，则的最小值为（    ）    A．22 B．24 C．25 D．26 【答案】D 【分析】连接，可证四边形是平行四边形，故；在的延长线上截取，连接，则；由即可求解． 【详解】解：如图，连接    在矩形中， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ 则 在的延长线上截取，连接 则 ∵ ∴ 连接，则 ∵ ∴的最小值为 故选：D 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用．正确作出辅助线是解题关键． 【变式5-1】如图，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD＝60°，△ADO＝90°，BD＝12，P是AO上一动点，Q是OC上一动点（点P，Q不与端点重合），且AP＝OQ．连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值是_______． 【答案】12 【分析】由中心对称的性质可得BO＝DO＝6，AO＝OC，可证四边形ABCD是平行四边形，由直角三角形的性质可得AO＝2DO＝12，当AP＝OP时，DP+BQ的值最小，此时P为OA的中点，由直角三角形斜边上的中线性质得出DP、BQ，即可得出结果． 【详解】解：∵△AOD和△COB关于点O中心对称， ∴BO＝DO＝6，AO＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠AOD＝60°，∠ADO＝90°， ∴∠DAO＝30°， ∴AO＝2DO＝12， ∵AP＝OQ， ∴PQ＝AO＝12， 如图，作，使得DK＝PQ＝12，连接BK， ∴四边形DPQK为平行四边形， ∴DP=KQ，∠BDK=∠BOC=∠AOD=60°， 此时DP+BQ＝KQ+BQ＝BK的值最小， ∵DK=PQ=BD=12， ∴△BDK是等边三角形， ∴BK=DB=12， ∴DP+BQ的最小值为12． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式5-2】如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC+AQ的最小值为 　 　． 【分析】利用平行四边形知识，将PC+AQ的最小值转化为MP+CP的最小值，再用勾股定理求出MC的长度，即可求解． 【解答】解：过点A作AM∥PQ且AM＝PQ，连接MP， ∵AM∥PQ且AM＝PQ， ∴四边形AQPM是平行四边形， ∴AQ＝MP， PC+AQ的最小值转化为MP+CP的最小值， 当M、P、C三点共线时，MP+CP的最小， ∵AM∥PQ，AC⊥PQ， ∴AM⊥AC， 在Rt△MAC中，MC2． 故答案为：2． 题型六 平行四边形中的翻折问题 例6.如图，在平行四边形中，．点M是边的中点，点N是边上的一个动点．将沿所在的直线翻折到，连接．则线段长度的最小值为（    ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】由折叠可得，当 三点共线时，的长度最小，根据勾股定理分别求出的长度，即可求长度的最小值． 【详解】解：如图：连接，作， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴且， ∴， ∴； ∵M是中点， ∴， ∴， ∴； ∵折叠， ∴， ∴当 三点共线时，的长度最小， ∴此时， 故选：A． 【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理，平行四边形的性质，关键是构造直角三角形求的长度． 【变式6-1】（教材呈现）如图是八年级下册数学教材第117页的部分内容． 结合图①，补全证明过程． （应用）如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝3，BC＝4，则四边形ABFE的周长为　 　． （拓展）如图③，直线EF分别交▱ABCD的边AD、BC于点E、F，将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝，BC＝4，∠C＝45°，则EF的长为　 　． 【答案】【教材呈现】证明见解析；【应用】；【拓展】； 【分析】教材呈现：由“ASA”可证△AOE≌△COF，可得OE＝OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形AFCE是平行四边形，即可证平行四边形AFCE是菱形； 应用：过点F作FH⊥AD于H，由折叠的性质可得AF＝CF，∠AFE＝∠EFC，由勾股定理可求BF的长，EF的长，拓展：过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，由等腰直角三角形的性质可求AN＝BN＝2，由勾股定理可求AE＝AF＝，再利用勾股定理可求EF的长． 【解析】解：【教材呈现】∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠FCO， ∵EF垂直平分AC，∴AO＝CO，∠AOE＝∠COF＝90°，∴△AOE≌△COF（ASA）∴OE＝OF， 又∵AO＝CO，∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF⊥AC，∴平行四边形AFCE是菱形； 【应用】如图，过点F作FH⊥AD于H， ∵将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，∴AF＝CF，∠AFE＝∠EFC， ∵AF2＝BF2+AB2，∴（4﹣BF）2＝BF2+9，∴BF＝，∴AF＝CF＝， ∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE，∴AE＝AF＝， ∵∠B＝∠BAD＝∠AHF＝90°，∴四边形ABFH是矩形， ∴AB＝FH＝3，AH＝BF＝，∴EH＝，∴EF＝＝＝， ∴四边形ABFE的周长＝AB+BF+AE+EF＝3+++＝，故答案为：． 【拓展】如图，过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝45°，∴∠ABC＝135°，∴∠ABN＝45°， ∵AN⊥BC，∴∠ABN＝∠BAN＝45°，∴AN＝BN＝AB＝2， ∵将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，∴AF＝CF，∠AFE＝∠EFC， ∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE，∴AE＝AF， ∵AF2＝AN2+NF2，∴AF2＝4+（6﹣AF）2，∴AF＝，∴AE＝AF＝， ∵AN∥MF，AD∥BC，∴四边形ANFM是平行四边形， ∵AN⊥BC，∴四边形ANFM是矩形，∴AN＝MF＝2，∴AM＝＝＝， ∴ME＝AE﹣AM＝，∴EF＝＝＝，故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 【变式6-2】【模型建立】 (1)如图1，已知在中，点是边的中点，将沿翻折得到，连接，． ①求证：是直角三角形； ②延长，交于点，判断与的数量关系，并证明你的结论； (2)【拓展应用】如图2，已知在中，点是边的中点，点是边上一点，将沿翻折得到，连接，． ①判断与的位置关系，并证明你的结论； ②若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①证明见解析；②，证明见解析 (2)①，证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）①根据折叠的性质得到，根据线段中点的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到结论； ②如图1，延长，交于点，根据折叠的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，求得，推出，即可得到结论； （2）①由（1）知，，求得，根据三角形的内角和定理得到，根据平行线的判定定理得到； ②如图2，延长，交于，根据折叠的性质得到，，根据平行线的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到结论． 【详解】（1）①证明：将沿翻折得到， ， 点是边的中点， ， ， ， 是直角三角形； ②， 证明：如图1，延长，交于点， 将沿翻折得到， ，， ， 点是边的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）①， 证明：由（1）知，， ， 将沿翻折得到， ，， ， ， ， ， ； ②， 证明：如图2，延长，交于， ， 将沿翻折得到， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $