专题01 平行四边形重难点题型专训（3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题01 平行四边形重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 数图形中平行四边形的个数 题型二 证明四边形是平行四边形 题型三 判断能否构成平行四边形 题型四 添一个条件成为平行四边形 题型五 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型六 全等三角形拼平行四边形问题 题型七 利用平行四边形的判定与性质求解 题型八 利用平行四边形性质和判定证明 题型九 平行四边形性质和判定的应用 拓展训练一 平行四边形最值问题 拓展训练二 与平行四边形有关翻折问题 拓展训练三 平行四边形性质和判定的综合应用 知识点一：平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3.对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 【即时训练】 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，准确计算是解题的关键． 利用平行四边形的邻角互补性质，直接计算的度数． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ． 故选． 2．（24-25八年级下·全国·课前预习）两组对边分别 的四边形叫做平行四边形． 平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别 ；平行四边形的两组对角分别 ；平行四边形的对角线 ． 【答案】 平行 相等 相等 互相平分 【解析】略 知识点二：平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在“V”字形图形中，，，，，，若要求出这个图形的周长，则需添加的一个条件是（    ）    A．的长 B．的长 C．的长 D．与的和 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，先得到，，为平行四边形，然后根据对边相等得到图形的周长为解题即可． 【详解】解：延长，交，于点G，H，    ∵，， ∴四边形，，为平行四边形， ∴，， ∴图形的周长为， ∴需要知道的长即可， 故选：C． 2．（24-25八年级下·吉林白城·月考）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的角，则光线与纸板左上方所成的角∠2的度数是 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法是解题关键．根据两组对边平行的四边形是平行四边形可证得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】解：如图所示， 根据题意得，，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 知识点三：平行四边形的判定与性质 1.平行四边形的性质 2. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 3. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 2.平行四边形的判定 （1）与边有关的判定： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【即时训练】 1．（24-25八年级下·重庆忠县·期中）如图，在中，，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于，则平移的距离等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是平行四边形的判定与性质、平移的性质，解题关键是熟练掌握平移不改变图形的形状和大小． 根据平移性质可得四边形是平行四边形后，即可根据所给的条件求出平移距离． 【详解】解：将沿向右平移得到， 且， ∴四边形是平行四边形， 又四边形的面积等于，， 平移距离． 故选：． 2．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，平行四边形的面积为10，点P在对角线上，E、F分别在、上，且，，连接，图中阴影部分的面积为 ．    【答案】5 【分析】根据平行四边形的性质得到阴影部分的面积=原平行四边形的面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：如图，设交于点O，    ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】考查了平行四边形的判定与性质以及三角形面积，熟记平行四边形的对角线将其面积分为相等的四部分是解题的关键． 【经典例题一 数图形中平行四边形的个数】 【例1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 根据平行四边形的判定与性质分析判断即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵在中，分别是各边中点， ∴， ∴图中的平行四边形共有：，，，，，，，，共9个平行四边形， 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，已知两条对角线相交于点O，E，F，G，H分别为的中点，以图中的点（包括平行四边形的四个顶点）为顶点，最多可以画出 个平行四边形（平行四边形除外），它们分别是 ． 【答案】 3 平行四边形，平行四边形，平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定画出图形即可解答． 【详解】解：如图： 即平行四边形，平行四边形，平行四边形； 故答案为：3；平行四边形，平行四边形，平行四边形． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握根据两组对边分别平行的判定条件是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐一分析． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∵ ∴可以通过选择两条平行于的线段和两条平行于的线段来构成新的平行四边形 ∴图中的平行四边形有： 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 ∴共有个平行四边形． 故选：D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成 个平行四边形． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键； 根据平行四边形的定义数出具体有几个平行四边形． 【详解】解：根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得： 在四边形中，， ∴四边形是平行四边形 同理可得，四边形，四边形，四边形，均为平行四边形；一共4个； 故答案为：4． 3．（24-25八年级下·福建漳州·月考）如图，在中，，，分别是边，，的中点． (1)图中共有___________个平行四边形； (2)请写出其中一个平行四边形___________，并证明你的结论． 【答案】(1)3 (2)见解析 【分析】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理等知识，解题的关键是掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型． （1）利用三角形中位线定理求解； （2）根据平行四边形的判定判断即可． 【详解】（1）解：由图可得四边形、四边形、四边形是平行四边形，图中共有3个平行四边形； 故答案为：． （2）解：①四边形是平行四边形，证明如下： ∵，，分别是边，，的中点． ∴和是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ②四边形是平行四边形，证明如下： ∵，，分别是边，，的中点． ∴和是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ③四边形是平行四边形，证明如下： ∵，，分别是边，，的中点． ∴和是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【经典例题二 证明四边形是平行四边形】 【例1】 （24-25八年级下·上海·期末）探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的判定，根据作图可知，，即可得到答案. 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 故选：B 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是直线外一点，在上取两点，，连接．分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是 ．理由是 ． 【答案】 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】先根据分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，得出，再判断四边形是平行四边形的依据． 【详解】解：根据尺规作图的画法可得:， 四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是根据尺规作图得到两组对边分别相等，进而判定出四边形为平行四边形． 1．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）已知，连接，要作平行四边形，现有如下两套方案，下列判断正确的是（    ） 方案Ⅰ 方案Ⅱ 在上任取一点， 在上截取 在上任取一点，连接； 取的中点，连接，并延长，交于点 A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等即可判断Ⅰ可行，证明得出，同Ⅰ的方法即可判断四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：方案Ⅰ，根据作图可得， 又∵，即 ∴四边形是平行四边形， 方案Ⅱ，∵， ∴， ∵点是的中点 ∴ 在中， ∴， ∴ 又∵，即 ∴四边形是平行四边形， 故选：C． 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）阅读以下作图步骤： ①任意画两条相交直线、，记交点为； ②以点为中心，分别在直线、上截取与、与，使，； ③顺序连接所得的四点得到四边形． 根据以上作图，可以推断四边形的形状是 ．    【答案】平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形ABCD中，，，，，，．试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 【答案】四边形ABCD是平行四边形．理由见解析 【分析】根据垂直利用勾股定理即可求得的值，然后就可知道四边形的边长，即可判断四边形的形状； 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】，，，， ， 即， 解得， ∴，，， ，， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【经典例题三 判断能否构成平行四边形】 【例1】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据平行四边形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：A、当，时，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故不符合题意； B、当，时，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当，时，则有，所以，所以，同理可得，所以根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； D、当，时，无法判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选D． 【例2】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，将等腰三角形纸片沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形能拼成平行四边形的个数是 ． 【答案】3个 【分析】本题考查了平行四边形的判定．把相等的边靠在一起即可得到答案，有三种拼法． 【详解】解：有三种拼法，如图1、2、3， 故答案为：3个． 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，四边形的对角线相交点O，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．由平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、， ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意； B、， ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意； C、， ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意； D、， ，不可以判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，直线，，．若的面积是，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与面积公式，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与面积公式是解答本题的关键． 过点作于点，根据的面积是，得到，再根据题意证明四边形是平行四边形，求出四边形的面积即可． 【详解】解：过点作于点，如图： 的面积是， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的面积为：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，点，，分别在边，，上， ，，．求四边形的周长． 【答案】16 【分析】先证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质得到对边相等，再由已知条件得到，最后利用等量代换得到周长即可． 【详解】解：， ，四边形为平行四边形 ， 四边形的周长． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质及角的转化问题，熟练掌握并运用上述知识点是解题的关键． 【经典例题四 添一个条件成为平行四边形】 【例1】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，，不可得出四边形是平行四边形，故符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·北京丰台·期末）如图，已知四边形，对角线和相交于，已知，则添加一个条件 可得出四边形是平行四边形． 【答案】或或或（添加一个即可） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质即可求解，掌握平行四边形的判定的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴添加，则有四边形是平行四边形； ∵， ∴添加，则有四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∵， ∴添加， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∵， ∴添加， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：或或或（添加一个即可）． 1．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、，，根据一组对边平行，另一组对边相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、由可得，又，根据一组对边平行且相等能判断四边形是平行四边形，该选项符合题意； 、，，只能得到一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、，，根据一组对边及一组对角相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 故选：． 2．（2025·湖北恩施·一模）如图，在四边形中，，点在边上，_____．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再求证：四边形为平行四边形． 【答案】①或② 【分析】任选一组，后根据平行四边形的判定证明即可． 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：当选择时， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 当选择，时， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 故答案为：①或②． 3．（24-25八年级下·河南·期末）如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 【答案】(1)，答案不唯一 (2)见解析 【分析】（1）从对角线的角度思考，添加条件即可； （2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：从对角线的角度思考，可以添加， 故答案为：．不唯一 （2）证明：∵的对角线与相交于点O，     ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【经典例题五 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【例1】（2025九年级·全国·专题练习）以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】C 【分析】分别以△ABC的三边为对角线作出平行四边形即可得解. 【详解】如图，分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，共可以作出3个平行四边形. 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于以三角形的三边作为所作平行四边形的对角线. 【例2】（24-25八年级上·全国·单元测试）以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作 个不同的平行四边形． 【答案】3 【分析】连接三点，分别以三边作为平行四边形的对角线，作图即可得3个平行四边形． 【详解】解：如图， 以点，，能做三个平行四边形：，，． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 1．（2025·湖南娄底·模拟预测）在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为，则顶点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、C的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定D的位置． 【详解】解：由图可知，满足条件的点D坐标为 故答案为： 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定以及网格作图等知识，掌握正方形的判定是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的判定进行画图即可； （2）根据平行四边形的判定进行画图即可； （3）根据平行四边形的判定进行画图即可． 【详解】（1）解：如图：平行四边形即为所求． （2）解：如图：平行四边形即为所求． （3）解：如图：平行四边形即为所求． 【经典例题六 全等三角形拼平行四边形问题】 【例1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 【例2】（24-25八年级下·河南南阳·期末）将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个． 【答案】3 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 1．（2025·河北·模拟预测）如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法逐个分析即可． 【详解】A．加上，可证得时间△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四边形是平行四边形； B．加上，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形； C．加上，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形； D．加上，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形． 故选：C 【点睛】考核知识点：平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是关键． 2．（2025·青海·模拟预测）如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为 ． 【答案】． 【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）． 3．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【经典例题七 利用平行四边形的判定与性质求解】 【例1】 （24-25八年级下·河南新乡·期末）如图，的对角线相交于点，，．若，则四边形的周长为（    ） A．8 B．11 C．16 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由四边形是平行四边形得到，，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴周长为：， 故选：C． 【例2】（2026八年级下·全国·专题练习）如图所示，，则与线段相等的线段是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可解答． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即与线段相等的线段是． 故答案为：． 1．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在四边形中，，，点E为的中点，将分别平移到和的位置．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的平移变换及性质，平行四边形的判定和性质，首先证明四边形，四边形均为平行四边形，从而得，，进而得，据此可得出的长． 【详解】解：∵为的中点，， ∴ 根据平移的性质得：， 又∵， ∴四边形，四边形均为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 故选：C 2．（25-26八年级上·上海·月考）如图，中，，的周长为，则与的周长和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的对边相等及平行线判定相似三角形的性质是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，得到对应边相等，再结合平行线判定三角形相似，推导与的周长和与周长的关系． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，； ∵的周长为，的周长为， ∴与的周长和为 ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵平行四边形是平行四边形， ∴，， ∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴只需， ∵点从点到点需要，点从到需要， 分为以下情况： 当时，即点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； ②当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：； ③当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【经典例题八 利用平行四边形性质和判定证明】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质，结合平行四边形性质推导线段关系是解题的关键． 结合平行与垂直的已知条件，通过判定平行四边形、利用平行线间距离相等的性质，逐一分析每个选项的推导逻辑，判断结论是否一定成立，从而找出不一定成立的选项． 【详解】解：A、由题意可证得四边形是平行四边形，所以，故A选项成立，不符合题意． B、由两条平行线间的平行线段相等可知，故B选项成立，不符合题意． C、，， ； ， ∴四边形是平行四边形， ，故C选项成立，不符合题意． D、与的大小关系不确定，故D选项不一定成立，符合题意． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是 （填写序号）． 【答案】②（或③，或④） 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质． 若添加条件①，无法证明四边形是平行四边形．若添加条件②，连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证；若添加条件③，根据平行四边形的性质可证得，得到，，进而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；若添加条件④，可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证． 【详解】解：若添加条件①，无法证明四边形是平行四边形． 若添加条件②，可得四边形是平行四边形． 理由如下： 连接，交于点O ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件③，可得四边形是平行四边形． 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件④，可得四边形是平行四边形． 理由如下： 连接，交于点O ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，添加的条件可以是②或③或④． 故答案为：②（或③，或④） 1．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的对边平行、对角线互相平分和对边相等进行判断． 【详解】解：A、在中， ∵ ∴，所以A选项的结论正确； B、在中，所以B选项的结论正确； C、在中，，所以C选项的结论正确； D、在中，得不出，所以D选项的结论错误． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠DHE的度数为 ． 【答案】61° 【分析】根据平行四边形的性质和∠ADC=119°，可以得到∠ABC的度数，再根据BE⊥DC，DF⊥BC，即可得到∠BHF的度数，本题得以解决． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC=∠ABC， ∵∠ADC=119°， ∴∠ABC=119°， ∵BE⊥DC，DF⊥BC，CD∥AB， ∴∠BED=90°，∠HFB=90°，∠BED+∠EBA=180°， ∴∠EBA=90°， ∴∠HBF=29°， ∴∠BHF=61°， ∴∠DHE=61°， 故答案为：61°． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，E，F是对角线上两点且，连接，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由平行四边形的性质得，，则，而，即可根据证明，则． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【经典例题九 平行四边形性质和判定的应用】 【例1】（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】①正确，根据平行四边形的判定方法即可判断； ②错误，观察图象即可判断； ③错误，面积是变小了； ④正确，根据平行四边形性质即可判断． 【详解】解：∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ∵向右扭动框架， ∴BD的长度变大，故②错误； ∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了， ∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误； ∵平行四边形ABCD的四条边不变， ∴四边形ABCD的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题． 【例2】（24-25八年级下·广西南宁·期末）在四边形ABCD中，，，若，则 ． 【答案】140° 【分析】根据ABCD，AB=CD，可得四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得答案． 【详解】解：∵ABCD，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC ∵∠A=40°， ∴∠B=140°， 故答案为：140°． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是判定四边形ABCD为平行四边形． 1．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有 对． 【答案】5 【分析】本题考查了平行四边形的性质；平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形的面积等于三角形的面积．三角形的面积等于的面积，三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到5对四边形的面积分别相等． 【详解】解：为平行四边形，为对角线， 的面积等于的面积， 同理三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到的面积等于的面积， 四边形和的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等， 共5对， 故答案为：5． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表： 课题 测量篮球架篮板的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长 测量数据 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度． 【答案】篮球架篮板的高度为 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质的应用．根据垂直定义可得，从而可得，再根据同位角相等，两直线平行可得，从而可得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得，即可解答 【详解】解：，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 答：篮球架篮板的高度为． 【拓展训练一 平行四边形最值问题】 【例1】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 【答案】C 【分析】如图，作于点M，则平行四边形的面积，可得，即平行四边形的高的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法. 【详解】解：如图，作于点M， 则平行四边形的面积， ∵，， ∴，即平行四边形的高的最大值是8cm， ∴在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，故乙的说法正确； 在逆时针转动过程中，先逐渐变大，到与相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形的面积先变大，后变小；故甲的说法正确； 所以甲乙的说法都是正确的， 故选：C.    【点睛】本题考查了平行四边形的面积，正确理解题意、得出平行四边形高的变化情况是解题的关键. 【例2】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）在中，，则的面积最大值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了平行四边形．熟练掌握平行四边形性质，是解题的关键． 根据平行四边形邻边互相垂直时，对边之间的距离最大，解答． 【详解】解：∵中，， ∴当时， 的面积最大， 最大值为． 故答案为：15． 1．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，对角线，则面积的最大值为（    ） A．25 B．20 C．15 D．12 【答案】D 【分析】作DE⊥AB，根据平行四边形面积公式即可求出面积的最大值． 【详解】如图，作DE⊥AB， ∵S四边形ABCD=AB×DE， 故当BD与DE重合时，面积最大，为4×3=12 故选D． 【点睛】此题主要考查平行四边形的面积，解题的关键是根据题意作出辅助线进行分析求解． 2．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，已知点，，点在直线上，点为平面内一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，则长的最小值为 ．    【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，掌握其相关性质和分类讨论是解题的关键． 利用平行四边形的性质和判定求解即可． 【详解】如图， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， 当时，此时， 同理，， 当为对角线时，设中点为，当直线时，最小，即最小， 过点A，B作垂直直线，垂足分别为M，N， ∵，点，， ∴都是等腰直角三角形， ∴ ∴， 过点E作，并延长交于点F， ∵, ∴， 又, ∴四边形，是矩形， ∴， ∵, ∴， 又， ∴， ∴, ∴, ∴， ∴ 综上所述，的最小值为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期末）问题探究： （1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC上的点，且DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是 　 　． （2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 【答案】（1）；（2）存在，4+2；（3）不是，周长之和的最小值为15 【分析】（1）先求出平行四边形的面积，利用面积和差关系可得四边形的面积，则当有最小值时，四边形的面积有最大值，即可求解； （2）在中，由勾股定理可求的长，由线段的和差关系可求解； （3）如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，可证四边形是平行四边形，可，，则与的周长之和为，由直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】解：（1）过点作，交延长线于，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， ， ，， ，， 四边形的面积， ， ， ∴ 四边形的面积 ， 四边形的面积， 则当有最小值时，四边形的面积有最大值， ， ， ， ， ， 当时，四边形的面积， 故答案为； （2）存在， 设， ， ， ， 的周长， 当时，的周长的最小值为； （3）与的周长之和不是定值， 理由如下：如图3，过点作，交的延长线于，过点作于， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的周长之和不是定值， 当时，与的周长之和的最小值为15． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【拓展训练二 与平行四边形有关翻折问题】 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形中，，，沿直线将翻折，使点A落在点处，交于F，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及翻折变换，根据翻折变换以及平行四边形的性质找出是解题的关键．由平行四边形的性质可得出，进而得出，再根据翻折的性质以及三角形内角和即可求出，此题得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 由翻折可知：，． ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，在中，为边上一点，沿将四边形翻折得到四边形．若平分，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及折叠的性质，延长至点，通过平行关系求出，再利用互补得到，最后根据同旁内角互补即可求． 【详解】延长至点 沿将四边形翻折得到四边形 ， 是平行四边形， 和平行，和平行， 和平行 平分 和平行 故答案为：． 1．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，已知在中，是边上一点，将沿所在直线翻折，点正好落在边上的点处．若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质和平行四边形的性质，掌握利用折叠的边相等性质，将两个三角形的周长和转化为平行四边形的周长，再通过半周长与三角形周长的关系求边长是解题的关键． 利用折叠的性质得到对应边相等，再结合平行四边形的周长公式，通过两个三角形的周长和求出平行四边形的半周长，最后代入的周长计算的长度． 【详解】解：由折叠的性质可得， 的周长的周长的周长． 四边形为平行四边形， ， 的周长， ． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，平行四边形纸片中，折叠纸片使点落在上的点处，得折痕，再折叠纸片使点落在上的点，得折痕．    (1)请说明：； (2)请说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，根据平角的定义即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，求得，得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，推出四边形是平行四边形，于是得到结论． 【详解】（1）解：∵折叠纸片使点落在上的点处， ， 折叠纸片使点落在上的点， ， ， ， ． （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 由折叠的性质的，， ， ． 【点睛】本题主要考查了翻折变换折叠问题、平行四边形的判定和性质等知识点，正确的识别图形是解题的关键． 3．（24-25八年级下·山西太原·月考）问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是 ． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1）；（2）小虎的结论正确，见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据折叠的性质得到，再由平角的定义即可求解； （2）根据折叠的性质得出，再由平行四边形的判定和性质得出四边形为平行四边形，，即可证明； 【详解】（1）解：由折叠得： ∴故答案为： （2）小虎的结论正确，理由如下： ∵将沿着所在直线折叠，点C的对应点为， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【拓展训练三 平行四边形性质和判定的综合应用】 【例1】（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 【答案】B 【分析】根据平行四边形为中心对称图形，得到过对称中心的任意一条直线平分平行四边形的面积，进行判断即可． 【详解】解：∵平行四边形为中心对称图形， ∴过对称中心的任意一条直线平分四边形的面积， 甲方案：直线既平分的面积，也平分的面积，符合题意；正确； 乙方案：直线平分的面积，所以下面阴影部分的面积大于上面的阴影部分的面，不符合题意；错误； 丙方案：直线既平分的面积，也平分，所以直线上方和下方的阴影部分面积也相等，符合题意；正确． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握过平行四边形的中心的直线平分四边形的面积，是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 1．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图四边形ABCD是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图： 　 (1)在图1中作一条线段，将的面积平均分成两份； (2)在图2中过点E作一条直线，将的面积平均分成两份． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）做出平行四边形的一条对角线即可； （2）先确定对角线的交点O，然后再作过O、E的直线即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段AC（或BD）即为所示． （2）解：如图所示，直线OE即为所示． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质的应用，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键． 2．（2025·浙江金华·一模）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，，可得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得的长即可； （2）由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点，然后说明的长度为长支杆的一半即可． 【详解】（1）解：过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即在地面上影子的长为2米； 故答案为：2； （2）解：由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点， 当遮阳棚完全闭合后，每根杆的长度都一样，即的长度为长支杆的一半， ∵为长支杆的长度，为短支杆的长度．∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上.在图①、图②给定网格中按要求作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹. (1)在图①中确定一个格点D，连接、，使四边形是平行四边形. (2)先在图②中的线段上确定一点E，使最短，再在图②中确定一点F，连接、，使四边形为平行四边形. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据正方形网格的特点和平行四边形的判定确定出点D位置即可； （2）根据正方形网格的特点可作出CE⊥AB，此时最短，然后作CD∥AB，再根据正方形网格的特点作出点F，可得BE＝CF，即此时四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：点D位置如图所示： （2）解：点E、F位置如图所示： 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及正方形网格的特点，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． A基础训练 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握利用中点条件结合平行四边形性质，有序找出所有满足判定的四边形是解题的关键． 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，有序找出所有满足平行四边形判定的四边形，避免遗漏． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，分别是的中点 ∴ ， ， ， ∴ 根据平行四边形的判定定理，图中的平行四边形有： 四边形：已知条件； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：且； 四边形：且； 综上，图中共有个平行四边形． 故选：D． 2．（2025·广西南宁·二模）如图，在中，对角线，相交于点O．则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，故A、B、D正确； ∵，， ∴和不一定全等，故C错误， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 3．（2025八年级下·江苏·专题练习）如图所示，在四边形中，已知，添加下列一个条件，不能判断四边形成为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴四边形可以是等腰梯形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、等腰梯形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 4．（2025九年级上·广东佛山·模拟预测）如图，将纸片沿折叠，使得点D落在边上点F处，当时，与的关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理等知识，如图，连接，利用平行四边形的性质和三角形的外角的性质求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由翻折变换的性质可知，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5．（2025·浙江·一模）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【分析】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：   ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， 的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确 四边形的面积四边形的面积，故B选项正确 ∴A、B、D正确，C不正确； 故选：C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便． B 提高训练 6．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，对角线，相交于点，为上一点，连接．若，的周长比四边形的周长大3，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形周长的计算，熟练掌握平行四边形周长公式是解题的关键； 根据已知角度和边长得出AD的长，再根据周长的差列式子求得ED的长． 【详解】解：，， ． ， ． 四边形是平行四边形， ． 的周长比四边形的周长大3， ， ， ， ； 故答案为：． 7．（24-25八年级下·山东临沂·期中）在中，点D，E分别是上的点，且，点F是延长线上一点，连接．添加下列条件：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是 （填上所有符合要求的条件的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握常见的平行四边形的判定定理成为解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐项判定即可． 【详解】解：①∵， ∴四边形为平行四边形；故选项①符合题意； ②∵， ∴四边形为平行四边形；故选项②符合题意； ③由，不能判定四边形为平行四边形；故选项③不符合题意； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形；故选项④符合题意； 综上所述：能使四边形是平行四边形的是①②④． 故答案为：①②④． 8．（24-25八年级·四川广安·期中）如图，在四边形中，，，现在请你添加一个适当的条件： ，使得四边形为平行四边形（图中不再添加点和线）．    【答案】（不唯一） 【分析】连结，交于点O，然后根据平行四边形的判定和性质可以得到解答． 【详解】解：如图，连结，交于点O，    ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴ 若，则即 ∴四边形为平行四边形， 故答案为（不唯一）． 【点睛】本题考查平行四边形的应用，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． 9．（24-25八年级下·西藏·期中）如图，在四边形中，，，点P从点A出发，以3个单位/秒的速度沿运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿运动，当四边形为平行四边形时，运动的时间为 ． 【答案】3秒 【分析】根据平行四边形的性质可得，设运动时间为x秒，用x表示出和的长，然后可得关于x的方程，求出x的值即可． 【详解】解：如图， 当P在边上，，四边形为平行四边形， ∵， ∴， 设运动时间为x秒，则， 故， 解得：， 故答案为：3秒． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边互相平行且相等是解题的关键． 10．（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可. 【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． C 培优训练 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，交于点．过点作交于点，连接．若．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键； 根据平行四边形的性质得到边的相等关系以及平行关系，利用垂直平分线的性质得到，再根据角度和平行关系推导出的度数进而求得的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，已知四边形中，，，垂足分别为，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键； 根据垂直得到角相等，在直角三角形中根据HL判定全等，进而得到对边相等，从而证明四边形ABCD是平行四边形． 【详解】解；证明：，， ． 在和中， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，点，是对角线上的两点，请添加一个不同于“”的条件，使四边形是平行四边形，并写出证明的过程． 【答案】添加的条件为：；证明见解析 【分析】添加的条件为：，证明，得到，即可得证． 【详解】添加的条件为：． 证明：∵ ∴ ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴，， ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键． 14．（24-25八年级下·安徽六安·月考）如图，在7×6的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，点A在格点（小正方形的顶点）上，试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形． (1)以点A为顶点的平行四边形； (2)以点A为对角线交点的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作底长为3个单位，高为2个单位的平行四边形即可； （2）作对角线互相垂直，垂足点为A，且长分别为2与6个单位长的平行四边形即可． 【详解】（1）解：如图所示：平行四边形即为所求； （答案不唯一） ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）解：如图所示：平行四边形即为所求． （答案不唯一） ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与面积是解题关键． 15．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝10cm，BC＝15cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发以3cm/s的速度在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）． （1）设当P，Q两点同时出发t秒后，CQ的长为s，请写出s与t之间的函数关系式； （2）线段PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，t为何值时所截得的两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ 【答案】（1）当0≤t＜5时，s＝3t，当5≤t≤10时，s＝30﹣3t；（2）或或 【分析】（1）分点Q没有到达点B时和点Q到达点B后返回时两种情况讨论，即可求解； （2）分四种情况讨论，由平行四边形的性质可求解． 【详解】（1）∵点P从点A向点D以1cm/s的速度运动， ∴点P到达点D的时间t＝＝10（s）， ∵点Q从点C出发以3cm/s的速度在CB间往返运动， ∴点Q从点C出发到点B时，用时为15÷3=5（s）， 点Q从点B再返回C时共用时为30÷3=10（s）， ∴当0≤t＜5时，s＝3t， 当5≤t≤10时，s＝15+15﹣3t=30-3t； （2）当0≤t＜5时，若四边形PQCD是平行四边形，则PD＝CQ， ∴10﹣t＝3t， ∴t＝， 若四边形ABQP是平行四边形，则AP＝BQ， ∴t＝15﹣3t， ∴t＝， 当5≤t≤10时，若四边形PQCD是平行四边形，则PD＝CQ， ∴10﹣t＝30﹣3t， ∴t＝10（不合题意舍去）， 若四边形ABQP是平行四边形，则AP＝BQ， ∴t＝3t﹣15， ∴t＝， 综上所述：t的值为或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行四边形重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 数图形中平行四边形的个数 题型二 证明四边形是平行四边形 题型三 判断能否构成平行四边形 题型四 添一个条件成为平行四边形 题型五 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型六 全等三角形拼平行四边形问题 题型七 利用平行四边形的判定与性质求解 题型八 利用平行四边形性质和判定证明 题型九 平行四边形性质和判定的应用 拓展训练一 平行四边形最值问题 拓展训练二 与平行四边形有关翻折问题 拓展训练三 平行四边形性质和判定的综合应用 知识点一：平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3.对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 【即时训练】 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课前预习）两组对边分别 的四边形叫做平行四边形． 平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别 ；平行四边形的两组对角分别 ；平行四边形的对角线 ． 知识点二：平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在“V”字形图形中，，，，，，若要求出这个图形的周长，则需添加的一个条件是（    ）    A．的长 B．的长 C．的长 D．与的和 2．（24-25八年级下·吉林白城·月考）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的角，则光线与纸板左上方所成的角∠2的度数是 ． 知识点三：平行四边形的判定与性质 1.平行四边形的性质 2. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 3. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 2.平行四边形的判定 （1）与边有关的判定： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【即时训练】 1．（24-25八年级下·重庆忠县·期中）如图，在中，，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于，则平移的距离等于（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，平行四边形的面积为10，点P在对角线上，E、F分别在、上，且，，连接，图中阴影部分的面积为 ．    【经典例题一 数图形中平行四边形的个数】 【例1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 【例2】（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，已知两条对角线相交于点O，E，F，G，H分别为的中点，以图中的点（包括平行四边形的四个顶点）为顶点，最多可以画出 个平行四边形（平行四边形除外），它们分别是 ． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成 个平行四边形． 3．（24-25八年级下·福建漳州·月考）如图，在中，，，分别是边，，的中点． (1)图中共有___________个平行四边形； (2)请写出其中一个平行四边形___________，并证明你的结论． 【经典例题二 证明四边形是平行四边形】 【例1】 （24-25八年级下·上海·期末）探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是直线外一点，在上取两点，，连接．分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是 ．理由是 ． 1．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）已知，连接，要作平行四边形，现有如下两套方案，下列判断正确的是（    ） 方案Ⅰ 方案Ⅱ 在上任取一点， 在上截取 在上任取一点，连接； 取的中点，连接，并延长，交于点 A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）阅读以下作图步骤： ①任意画两条相交直线、，记交点为； ②以点为中心，分别在直线、上截取与、与，使，； ③顺序连接所得的四点得到四边形． 根据以上作图，可以推断四边形的形状是 ．    3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形ABCD中，，，，，，．试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 【经典例题三 判断能否构成平行四边形】 【例1】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，将等腰三角形纸片沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形能拼成平行四边形的个数是 ． 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，四边形的对角线相交点O，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，直线，，．若的面积是，则四边形的面积为 ． 3．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，点，，分别在边，，上， ，，．求四边形的周长． 【经典例题四 添一个条件成为平行四边形】 【例1】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·北京丰台·期末）如图，已知四边形，对角线和相交于，已知，则添加一个条件 可得出四边形是平行四边形． 1．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北恩施·一模）如图，在四边形中，，点在边上，_____．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再求证：四边形为平行四边形． 3．（24-25八年级下·河南·期末）如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 【经典例题五 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【例1】（2025九年级·全国·专题练习）以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【例2】（24-25八年级上·全国·单元测试）以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作 个不同的平行四边形． 1．（2025·湖南娄底·模拟预测）在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为，则顶点D的坐标为 ． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 【经典例题六 全等三角形拼平行四边形问题】 【例1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】（24-25八年级下·河南南阳·期末）将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个． 1．（2025·河北·模拟预测）如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 2．（2025·青海·模拟预测）如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为 ． 3．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【经典例题七 利用平行四边形的判定与性质求解】 【例1】 （24-25八年级下·河南新乡·期末）如图，的对角线相交于点，，．若，则四边形的周长为（    ） A．8 B．11 C．16 D．20 【例2】（2026八年级下·全国·专题练习）如图所示，，则与线段相等的线段是 ． 1．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在四边形中，，，点E为的中点，将分别平移到和的位置．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26八年级上·上海·月考）如图，中，，的周长为，则与的周长和为 ． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【经典例题八 利用平行四边形性质和判定证明】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是 （填写序号）． 1．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠DHE的度数为 ． 3．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，E，F是对角线上两点且，连接，． 求证：． 【经典例题九 平行四边形性质和判定的应用】 【例1】（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【例2】（24-25八年级下·广西南宁·期末）在四边形ABCD中，，，若，则 ． 1．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有 对． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表： 课题 测量篮球架篮板的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长 测量数据 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度． 【拓展训练一 平行四边形最值问题】 【例1】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 【例2】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）在中，，则的面积最大值为 ． 1．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，对角线，则面积的最大值为（    ） A．25 B．20 C．15 D．12 2．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，已知点，，点在直线上，点为平面内一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，则长的最小值为 ．    3．（24-25八年级下·陕西西安·期末）问题探究： （1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC上的点，且DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是 　 　． （2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 【拓展训练二 与平行四边形有关翻折问题】 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形中，，，沿直线将翻折，使点A落在点处，交于F，则（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，在中，为边上一点，沿将四边形翻折得到四边形．若平分，且，则的度数为 ． 1．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，已知在中，是边上一点，将沿所在直线翻折，点正好落在边上的点处．若的周长为，的周长为，求的长． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，平行四边形纸片中，折叠纸片使点落在上的点处，得折痕，再折叠纸片使点落在上的点，得折痕．    (1)请说明：； (2)请说明：． 3．（24-25八年级下·山西太原·月考）问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是 ． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 【拓展训练三 平行四边形性质和判定的综合应用】 【例1】（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 【例2】（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 1．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图四边形ABCD是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图： 　 (1)在图1中作一条线段，将的面积平均分成两份； (2)在图2中过点E作一条直线，将的面积平均分成两份． 2．（2025·浙江金华·一模）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上.在图①、图②给定网格中按要求作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹. (1)在图①中确定一个格点D，连接、，使四边形是平行四边形. (2)先在图②中的线段上确定一点E，使最短，再在图②中确定一点F，连接、，使四边形为平行四边形. A基础训练 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（2025·广西南宁·二模）如图，在中，对角线，相交于点O．则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2025八年级下·江苏·专题练习）如图所示，在四边形中，已知，添加下列一个条件，不能判断四边形成为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025九年级上·广东佛山·模拟预测）如图，将纸片沿折叠，使得点D落在边上点F处，当时，与的关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江·一模）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 B 提高训练 6．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，对角线，相交于点，为上一点，连接．若，的周长比四边形的周长大3，则的长为 ． 7．（24-25八年级下·山东临沂·期中）在中，点D，E分别是上的点，且，点F是延长线上一点，连接．添加下列条件：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是 （填上所有符合要求的条件的序号）． 8．（24-25八年级·四川广安·期中）如图，在四边形中，，，现在请你添加一个适当的条件： ，使得四边形为平行四边形（图中不再添加点和线）．    9．（24-25八年级下·西藏·期中）如图，在四边形中，，，点P从点A出发，以3个单位/秒的速度沿运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿运动，当四边形为平行四边形时，运动的时间为 ． 10．（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． C 培优训练 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，交于点．过点作交于点，连接．若．求的度数． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，已知四边形中，，，垂足分别为，，．求证：四边形是平行四边形． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，点，是对角线上的两点，请添加一个不同于“”的条件，使四边形是平行四边形，并写出证明的过程． 14．（24-25八年级下·安徽六安·月考）如图，在7×6的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，点A在格点（小正方形的顶点）上，试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形． (1)以点A为顶点的平行四边形； (2)以点A为对角线交点的平行四边形． 15．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝10cm，BC＝15cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发以3cm/s的速度在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）． （1）设当P，Q两点同时出发t秒后，CQ的长为s，请写出s与t之间的函数关系式； （2）线段PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，t为何值时所截得的两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ 学科网（北京）股份有限公司 $