精品解析：山西怀仁大地高中学校等校2026届高三下学期二模数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知：集合，且集合， 所以. 2. 已知复数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 . 3. 若函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为1，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知：函数的最小正周期为2， 且，则，解得. 4. 已知向量，满足，，，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 因为，所以， 又因为，所以， 所以与的夹角的余弦值为. 5. 春节期间，某短视频平台推出了“预测助手”，用于预测观众是否会点赞某个视频.为了解预测效果，随机抽取部分短视频，统计助手的预测结果以及观众实际的点赞情况，所得数据如下表： 预测：不会点赞 预测：会点赞 实际：未点赞 120 30 实际：点赞 20 80 现从助手预测“会点赞”的短视频中随机抽取一个，则该短视频实际被观众点赞的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题表可知，预测助手预测“会点赞”的短视频数为， 其中观众实际点赞的视频数为80，所以所求的概率为. 6. 如图，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在同一个球的球面上，若该球的表面积为，圆柱的高为2，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 如图，过圆柱的轴作球的截面，设球的半径为，则，解得. 由题可知，则， 又， 所以圆锥的体积. 7. 已知偶函数在上单调递增，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合单调性和偶函数的性质求解即可. 【详解】 因为，所以，故， 又易知，即，所以. 因为偶函数在上单调递增，所以在上单调递减， 故. 8. 已知双曲线的实轴和虚轴的长度相等，的左、右顶点分别为，，为上位于第一象限内的一点，设，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出双曲线方程，再利用斜率公式及和角的正切求出点的纵坐标即可. 【详解】由双曲线的实轴和虚轴的长度相等，得，， 则，设，则，， ，由，得， 因此，则，又， 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 的极小值点为 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题可知，方程的根为（二重根）和， 可得，即， 所以，，，故A，B正确，C错误； 因为，所以， 令，得，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以极小值点为，故D正确. 10. 已知数列满足，，，是的前项和，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. 是等比数列 D. 的前项和小于1 【答案】AD 【解析】 【分析】根据递推关系可得是首项为，公比为的等比数列，再结合等比数列的定义以及前项和公式依次判断选项即可. 【详解】 对于A，由题可得，且， 故是首项为，公比为的等比数列，故A正确； 对于B，由A易得，于是， 又因为，所以，所以不是等比数列，故B错误； 对于C，由B可知，所以，显然不是等比数列，故C错误； 对于D，易知当时，，所以， 设，则，故D正确. 11. 在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由已知等式结合平方差公式和余弦定理求得角；再利用正弦定理结合锐角三角形条件求出边的取值范围，进而分析面积、周长的范围；最后利用重心性质与余弦定理，通过二次函数求最值得到的最小值，逐项判断选项. 【详解】对于A，由，可得，即， 由余弦定理可得， 又为锐角三角形，所以，A正确； 对于B，由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 则，所以，故， 因为，所以的取值范围为，B错误； 对于C，由余弦定理可得， 因为，所以，即， 所以周长，C正确； 对于D，设的中点为，因为是的重心，所以， 在中，由余弦定理可得， 故当时，取得最小值，此时的最小值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为________. 【答案】80 【解析】 【分析】二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】 的展开式的通项为， 令，可得，则，故的系数为80. 13. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，为坐标原点，设的平分线交于点，交于点，若，则________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线定义，由在抛物线上可得等于点到准线的距离．再结合，通过直角三角形求出角平分线与轴负方向所成的角，进而得到直线的方程，最后与抛物线方程联立求出点，即可求得． 【详解】由，得焦点，准线． 设，其中．因为三点共线，且在线段上，又，所以. 过点作，垂足为． 因为点在抛物线上，所以由抛物线定义得. 在直角三角形中，. 所以. 又因为，且三点共线，所以. 因为是的平分线，所以. 故直线与轴正方向所成的角为，其斜率为． 又直线过点，所以直线的方程为. 联立直线与抛物线的方程，得. 整理得. 解得或. 因为点位于第一象限，且在点的右上方，所以，从而. 于是. 14. 已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱，为棱的中点，设平面过点且满足，则截正四棱柱所得截面的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】以正四棱柱的顶点为坐标原点建立空间直角坐标系，根据平面所满足的垂直条件确定截面与棱的交点位置；再利用正四棱柱的对称性判断所得截面为菱形，分别求出菱形两条对角线的长度，最后由菱形面积公式求出截面面积。 【详解】 以为坐标原点，以直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题可得，，，，不妨设棱上一点，其中， 则，， 当，可得，解得，所以. 由题易知即为与平面的交线，且. 同理可得与平面的交线为，且， 由对称性可知截正四棱柱所得的截面为菱形，且此菱形的对角线长分别为，， 故截面面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这些芯片外观完全相同. （1）质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率； （2）自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为，求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） 2 3 4 5 . 【解析】 【分析】（1）用对立事件处理，即“至少抽到1个乙类芯片”的对立事件是“抽到的2个芯片均为甲类芯片”； （2）把6个芯片的检测顺序看作随机排列，停止时间由2个乙类芯片的位置决定：若前2个均为乙类则，若第2个乙类出现在第3位则，若第2个乙类出现在第4位或前4个均为甲类则，其余情况为.分别计数即可得到分布列，再由数学期望公式求出. 【小问1详解】 （1）设“至少抽到1个乙类芯片”为事件，则表示事件“抽取的两个芯片都是甲类芯片”， 则. 【小问2详解】 由题意知的所有可能取值为2，3，4，5. ，， ，， 所以的分布列为 2 3 4 5 . 16. 设数列的前项和为，已知，是公差为3的等差数列. （1）求的通项公式； （2）若，设数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2） 由（1）知， 所以， ，，所以. 【解析】 【分析】（1）先利用数列是等差数列，结合首项和公差求出，再得到的表达式．当时，由求出，最后检验也适合该公式； （2）由（1）中的通项公式化简，把拆成两个相邻分式之差，得到可以逐项相消的形式．对前项求和后可得，再由推出． 【小问1详解】 因为，所以， 又因为是公差为3的等差数列，所以， 即， 当时，， 又适合上式，所以的通项公式为. 【小问2详解】 略 17. 如图，四棱锥的底面是菱形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：，，是的中点， ，且. 在中，同理可得，. ， . 又平面， 平面. （2）. 【解析】 【分析】(1)分别证明，，利用线面垂直的判定定理即可证明结论； (2)设与相交于点.以为坐标原点，直线，分别为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，表示各点的坐标，求出平面的法向量，利向量夹角的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设与相交于点. 以为坐标原点，直线，分别为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，. 设. 则，可得， 则，，. 设平面的法向量为， 则，即，可取. 设直线与平面所成的角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若，证明：当时，； （3）若，设，且，证明：. 【答案】（1） 若，在上单调递增； 若，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：当时，. 令，则，. 由于 在单调递增，故在上单调递增. 又，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增. 故，即. 所以得证. （3）证明：当时，，在上单调递增，且. 因为，所以，所以. 只需证，即证. 由（2）知，， 所以. 又因为，所以， 由于,所以，即. 因此，从而得证. 【解析】 【分析】（1）根据导数分和两类讨论函数的单调性； （2）（i）构造，根据导数判断函数的单调性和最小值，进而进行证明； （ⅱ）利用函数的单调性，先证得，结合（2）的不等式放缩得到，结合推出，得得证； 【小问1详解】 . ①若，则恒成立，在上单调递增. ②若，令，得. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知圆，过点且不与轴重合的直线交圆于，两点，过点作的平行线，交直线于点. （1）求点的轨迹的方程. （2）设与交于，两点，为坐标原点. （i）若的面积为，求的方程； （ii）求的外接圆的面积的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）先把圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径；再利用以及，，三点共线、，，三点共线，得到 ．由相似三角形的对应边关系结合，推出，从而得到为定值，最后根据椭圆的定义写出点的轨迹方程，并注意排除直线与轴重合时对应的情形． （2）设直线的方程为，将其与（1）中椭圆方程联立，借助根与系数的关系表示交点，的纵坐标和、积．第（i）问用坐标面积公式把的面积化为关于的式子，再由面积条件求出，从而得到直线的方程；第（ii）问先用椭圆焦半径公式表示，，再用点到直线的距离和正弦定理表示外接圆半径，最后转化为一元函数求最小值． 【小问1详解】 圆的方程化为标准方程得，所以圆心，半径. 由，且点在直线上，点在直线上，所以. 又，由相似三角形的对应边关系可得. 所以，符合椭圆的定义， 故点在以，为焦点的椭圆上，且，， 所以的方程为. 【小问2详解】 设，，. （i）联立与的方程，得消去可得， 则，. ， 令，解得或（舍去）， 故，故的方程为. （ii）易知，， 所以，同理可得. 易知点到的距离为， 所以. 设的外接圆的半径为， 由正弦定理，有， 令，则，. 令，则， 因为，所以， 则在上单调递增. 从而当时，， 即此时取得最小值，， 所以的外接圆的面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为1，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 已知向量，满足，，，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 春节期间，某短视频平台推出了“预测助手”，用于预测观众是否会点赞某个视频.为了解预测效果，随机抽取部分短视频，统计助手的预测结果以及观众实际的点赞情况，所得数据如下表： 预测：不会点赞 预测：会点赞 实际：未点赞 120 30 实际：点赞 20 80 现从助手预测“会点赞”的短视频中随机抽取一个，则该短视频实际被观众点赞的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在同一个球的球面上，若该球的表面积为，圆柱的高为2，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知偶函数在上单调递增，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的实轴和虚轴的长度相等，的左、右顶点分别为，，为上位于第一象限内的一点，设，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 的极小值点为 10. 已知数列满足，，，是的前项和，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. 是等比数列 D. 的前项和小于1 11. 在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为________. 13. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，为坐标原点，设的平分线交于点，交于点，若，则________. 14. 已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱，为棱的中点，设平面过点且满足，则截正四棱柱所得截面的面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这些芯片外观完全相同. （1）质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率； （2）自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为，求的分布列与数学期望. 16. 设数列的前项和为，已知，是公差为3的等差数列. （1）求的通项公式； （2）若，设数列的前项和为，求证：. 17. 如图，四棱锥的底面是菱形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若，证明：当时，； （3）若，设，且，证明：. 19. 已知圆，过点且不与轴重合的直线交圆于，两点，过点作的平行线，交直线于点. （1）求点的轨迹的方程. （2）设与交于，两点，为坐标原点. （i）若的面积为，求的方程； （ii）求的外接圆的面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $