精品解析：上海市回民中学2025-2026学年第二学期高二数学期中测试卷

2025学年第二学期高二数学期中测试卷 一．填空题（本题供12小题，第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分，满分54分） 1. 曲线在处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解出，然后可求切线的点斜式方程，再将其转化为一般式方程即可. 【详解】因为，所以， 所以切线方程为，即为， 故答案为：. 2. 已知直线，，若 ，则 _____ 【答案】 【解析】 【分析】根据一般式直线方程的形式，根据平行关系，列式求解. 【详解】由条件可知，， ，得，或， 当时，两直线重合，不满足条件，当时，满足上面不等式，成立. 故答案为： 3. 已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离求出圆的半径，即可得出答案. 【详解】圆心到直线的距离. 由已知可得，圆的半径， 所以该圆的标准方程是． 故答案为：． 4. 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合双曲线方程，列式计算即可. 【详解】由双曲线方程可得，焦点坐标在轴上， 故可得虚轴长为，实轴长为， 又因为虚轴长是实轴长的2倍， 故可得，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查由之间的关系，求双曲线方程中参数值的问题，属基础题. 5. AB是平面上长度为4的一条线段，P是平面上一个动点，且，M是AB的中点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义写出P的轨迹方程，结合椭圆的性质判断的范围. 【详解】由题设，，则P的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆， 若，，则P的轨迹方程为. 所以的范围为，即. 故答案为： 6. 已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，利用三点共线即可求解. 【详解】设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知, 所以,要使最小，只需要最小即可， 由于在抛物线内，故当三点共线时，此时最小，故最小值为， 故答案为：2 7. 已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【解析】 【分析】先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 8. 已知，则______. 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】由解析式求出，代入即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 9. 已知点分别是椭圆的上、下顶点，点为椭圆的右顶点，若△为正三角形，则该椭圆的离心率为______________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，又，， 所以，所以， 所以，，所以. 10. 与双曲线有公共渐近线且过点的双曲线的方程为________ 【答案】 【解析】 【分析】设所求双曲线的方程为，将点的坐标代入所求双曲线的方程，求出的值，即可得出所求双曲线的方程. 【详解】设所求双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得， 故所求双曲线的方程为，即. 故答案为：. 11. 有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为______m. 【答案】3.8 【解析】 【分析】由题意，建立平面直角坐标系，明确点的坐标，求出抛物线方程，可得答案. 【详解】由题意，如图建系： 则，，，， 如图可设，抛物线方程为，将代入，可得，求得， 故抛物线方程为， 将代入抛物线方程，可得， . 故答案为：3.8. 12. 在直角坐标系中，为坐标原点，曲线的方程是，为上的任意一点．给出下面四个命题： ①曲线上的点关于轴，轴对称； ②曲线上两点间的最大距离为； ③的取值范围为； ④曲线围成的图形的面积小于． 则以上命题中正确的序号有______． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据对称性,最值及图像特征分别判断命题即可. 【详解】对于①,设在曲线的方程上,因为也在曲线的方程上, 也在曲线的方程上,所以曲线上的点关于轴，轴对称;故①正确 对于③,又因为曲线的方程是, 所以,即得, 得,所以,故③正确 对于④当时, 曲线的方程为, 曲线与轴交点与轴交点, 曲线上的点关于轴对称可以得到曲线的大致图像, 曲线围成的图形的面积大于,故④错误; 对于②, 如图及曲线的对称性可知, 曲线上两点间的最大距离为,故②错误; 故答案为:①③ 二．选择题（本题共4小题，第13题至第14题每题4分，第15题至第16题每题5分，满分18分） 13. 已知两条直线 ，“”是“直线”（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据求出，根据的取值进而验证即可求解. 【详解】当时，，解得， 所以，所以是直线的充分不必要条件. 14. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由求解. 【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆， 则， 解得：， 故选：B. 15. 已知曲线的一条切线为y＝x＋b，则b＝（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】求导后，令导数为1从而可求得切点，再把切点坐标代入直线方程即可求解. 【详解】曲线，. 令，解得，则. 所以直线y＝x＋b与曲线相切于点， 所以点在直线y＝x＋b上，则，解得. 故选：C. 16. 若点和点分别为椭圆的中心和右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为 A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设点，所以，由此可得 ，，所以的最小值为. 考点：向量数量积以及二次函数最值． 三．解答题（本题共5小题，满分78分） 17. 求下列函数的导数： （1）； （2）. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）由基本初等函数的导数公式及导数加减、乘法法则求导函数即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 18. 已知圆的方程为，过点作直线l交圆于A、B两点． （1）当直线l的斜率为1时，求弦AB的长； （2）当直线l的斜率变化时，求动弦AB的中点Q的轨迹方程． 【答案】（1） （2），其中. 【解析】 【分析】（1）由点斜式表示此时直线l的方程，利用弦长公式计算即可； （2）根据几何性质判定Q的轨迹即可. 【小问1详解】 直线l的斜率为1时，此时过P的直线可表示为：， 设圆心到的距离为d,圆的半径为r，则. 由题意可得r=3，，所以. 【小问2详解】 如图所示，根据垂径定理，易知AB中点Q与O的连线垂直于AB，即可得Q在以OP为直径的圆上，同时Q应在圆内，即圆弧. 设圆心为C，则，，则Q在上，与联立可得 故Q轨迹方程为，其中. 19. 已知位于正东方，且两地相距米，一炮弹在某处爆炸. 在处听到爆炸声的时间比处晚秒钟. （1）爆炸点应该在什么样的曲线上？并说明理由. （2）若在处观测到爆炸点位于处正北方向，试建立适当的直角坐标系，并确定爆炸点的坐标.（精确到米）（已知声音速度为米/秒） 【答案】（1）以为焦点且距较近的双曲线的一支上 （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义求得爆炸点所在曲线； （2）根据已知条件求得，从而求得曲线的方程，设代入方程解出即可. 【小问1详解】 由题意得：， 所以爆炸点离点比离点的距离更远， 所以爆炸点在以为焦点且距较近的双曲线的一支上. 【小问2详解】 以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系， 所以，即， 又，所以， 所以， 所以曲线方程为：， 又，设，代入方程得：， 解得（米），所以. 20. 已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点,，记点的坐标为． （1）若点和到抛物线准线的距离分别为和，求； （2）若斜率，求的面积； （3）若是等腰三角形且，求实数． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义求解即可； （2）由抛物线焦点弦的弦长和点到直线距离求解即可； （3）将抛物线方程与直线方程联立，用表示出中点的坐标，使即可. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，准线方程为. 由抛物线的定义，若点和到准线的距离分别为和，则，， ∴. 【小问2详解】 若斜率，则直线的方程为， 由消去，整理得，， ∵,，∴，， 由抛物线的定义，. 到直线即的距离为， ∴的面积. 【小问3详解】 直线的方程为，（易知） 由消去，整理得，， ∵,，∴，， ∴中点， 其中，，∴， ∵是等腰三角形且，∴， ∴，解得. ∴实数的值为或. 21. 历史上著名的卡西尼卵形线的探究具有代表性，卡西尼卵形线是表示到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹. （1）试求到两个定点 的距离之积为常数的动点的轨迹方程（不要求化简）； （2）探究该轨迹的对称性、顶点、范围（给出必要的探究过程）. 【答案】（1） （2）卡西尼卵形线关于坐标轴对称，关于原点中心对称；顶点为；范围为， 【解析】 【分析】（1）设点，利用两点间距离公式即可求解； （2）由（1）先化简方程得，利用代数法研究对称性，顶点和范围即可. 【小问1详解】 设点，根据题意得， 由，所以； 【小问2详解】 由（1）得， 化简整理得， 所以卡西尼卵形线方程为， 对称性：将点代入方程得，即， 所以卡西尼卵形线关于轴对称， 同理，将点代入方程得，即，所以卡西尼卵形线关于轴对称， 将点代入方程得，即，所以卡西尼卵形线关于原点中心对称， 综上所述，卡西尼卵形线关于坐标轴对称，关于原点中心对称； 令得，即，解得， 令得，化简得，解得，解得， 所以卡西尼卵形线的顶点为； 由有， 所以，即， 化简整理得，所以，解得， 所以， 又由， 令，所以， 所以，所以，解得， 所以， 综上所述，卡西尼卵形线的范围为，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高二数学期中测试卷 一．填空题（本题供12小题，第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分，满分54分） 1. 曲线在处的切线方程为______． 2. 已知直线，，若 ，则 _____ 3. 已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是______． 4. 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则________ 5. AB是平面上长度为4的一条线段，P是平面上一个动点，且，M是AB的中点，则的取值范围是______． 6. 已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为__________． 7. 已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 8. 已知，则______. 9. 已知点分别是椭圆的上、下顶点，点为椭圆的右顶点，若△为正三角形，则该椭圆的离心率为______________. 10. 与双曲线有公共渐近线且过点的双曲线的方程为________ 11. 有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为______m. 12. 在直角坐标系中，为坐标原点，曲线的方程是，为上的任意一点．给出下面四个命题： ①曲线上的点关于轴，轴对称； ②曲线上两点间的最大距离为； ③的取值范围为； ④曲线围成的图形的面积小于． 则以上命题中正确的序号有______． 二．选择题（本题共4小题，第13题至第14题每题4分，第15题至第16题每题5分，满分18分） 13. 已知两条直线 ，“”是“直线”（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 14. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 15. 已知曲线的一条切线为y＝x＋b，则b＝（ ） A. B. C. 0 D. 1 16. 若点和点分别为椭圆的中心和右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为 A. B. C. D. 1 三．解答题（本题共5小题，满分78分） 17. 求下列函数的导数： （1）； （2）. 18. 已知圆的方程为，过点作直线l交圆于A、B两点． （1）当直线l的斜率为1时，求弦AB的长； （2）当直线l的斜率变化时，求动弦AB的中点Q的轨迹方程． 19. 已知位于正东方，且两地相距米，一炮弹在某处爆炸. 在处听到爆炸声的时间比处晚秒钟. （1）爆炸点应该在什么样的曲线上？并说明理由. （2）若在处观测到爆炸点位于处正北方向，试建立适当的直角坐标系，并确定爆炸点的坐标.（精确到米）（已知声音速度为米/秒） 20. 已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点,，记点的坐标为． （1）若点和到抛物线准线的距离分别为和，求； （2）若斜率，求的面积； （3）若是等腰三角形且，求实数． 21. 历史上著名的卡西尼卵形线的探究具有代表性，卡西尼卵形线是表示到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹. （1）试求到两个定点 的距离之积为常数的动点的轨迹方程（不要求化简）； （2）探究该轨迹的对称性、顶点、范围（给出必要的探究过程）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $