上海市回民中学2025-2026学年第二学期高二数学期中测试卷

**基本信息** 高二数学期中卷以解析几何与导数为核心，通过隧道截面、爆炸点轨迹等真实情境及卡西尼卵形线历史素材，考查数学眼光观察现实、思维推理与语言表达能力，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|切线方程、直线与圆位置关系、双曲线虚轴长|基础概念与几何直观结合，如动线段中点轨迹范围| |选择题|4/18|充要条件判断、椭圆方程、切线问题|逻辑推理能力考查，如直线平行条件的充分必要性| |解答题|5/78|导数计算、圆的弦长与轨迹、抛物线综合、卡西尼卵形线探究|注重实际应用与数学史，如爆炸点双曲线轨迹建模、卵形线对称性探究，体现创新意识与应用意识|

2025学年第二学期高二数学期中测试卷 1． 填空题（本题供12小题，第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分，满分54分） 1. 曲线在点处的切线方程为____________. 2. 已知直线，若，则实数________. 3. 已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是___________. 4. 双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则的值为_________. 5. 是平面上长度为4的一条线段，是平面上一个动点，且，是的中点，则的取值范围是____________. 6. 已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为___________. 7. 已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 8. 已知，则______________. 9. 已知点分别是椭圆的上、下顶点，点为椭圆的右顶点，若△为正三角形，则该椭圆的离心率为______________. 10. 与双曲线有公共渐近线且过点的双曲线的方程为______________. 11. 有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示. 为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为m，若行车道总宽度为m，则车辆通过隧道时的限制高度为___________m. 12. 在直角坐标系中，为坐标原点，曲线的方程是，为上的任意一点，给出下面四个命题： ①曲线上的点关于轴，轴对称；②曲线上两点间的最大距离为；③的取值范围为；④曲线围成的图形的面积小于. 则以上命题中正确的序号有_____________. 2． 选择题（本题共4小题，第13题至第14题每题4分，第15题至第16题每题5分，满分18分） 13. 已知两条直线，“”是“直线”（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 14. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D.或 15. 已知曲线的一条切线为，则（ ） A. B. C. D. 16. 若点和点分别为椭圆的中点和右焦点，点为椭圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 三．解答题（本题共5小题，满分78分） 17. （本题满分10分）求下列函数的导数： （1）；（2）. 18. （本题满分16分）已知圆的方程为，过点作直线交圆于两点， （1） 当直线的斜率为时，求弦的长； （2） 当直线的斜率变化时，求动弦的中点的轨迹方程. 19. （本题满分16分） 已知位于正东方，且两地相距米，一炮弹在某处爆炸. 在处听到爆炸声的时间比处晚秒钟. （1） 爆炸点应该在什么样的曲线上？并说明理由. （2） 若在处观测到爆炸点位于处正北方向，试建立适当的直角坐标系，并确定爆炸点的坐标.（精确到米）（已知声音速度为米/秒） 20. （本题满分18分）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点，记点的坐标为. （1） 若点和到抛物线准线的距离分别为和，求； （2） 若斜率，求△的面积； （3） 若△是等腰三角形且，求实数. 21. （本题满分18分）历史上著名的卡西尼卵形线的探究具有代表性，卡西尼卵形线是表示到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹. （1） 试求到两个定点的距离之积为常数的动点的轨迹方程（不要求化简）； （2） 探究该轨迹的对称性、顶点、范围（给出必要的探究过程）. 学科网（北京）股份有限公司 $