精品解析：新疆乌鲁木齐市实验学校2025-2026学年高一年级第二学期期中考试数学试卷

乌鲁木齐市实验学校2025-2026学年高一年级第二学期期中考试数学试卷 (考试时长:120分钟 试卷满分:150分) 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的概念可得结果. 【详解】因为，则的虚部是， 故选：C. 2. 若点A在直线m上，直线m在平面内，则下列关系表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点线面的关系即可求解. 【详解】由点、线、面关系的表示方式知A、B、D错误，C正确. 故选:C. 3. 在中，则 A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理可知，，故选B. 4. 已知单位向量满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的条件结合向量数量积的运算律求出，然后再利用模长公式即可求解. 【详解】由题意可知， 所以. 5. 已知D，E分别是的边BC，AC上的中点，AD、BE交于点F，则　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用重心定理得到，再结合四边形法则转化为即可得解． 【详解】，E为中点，为重心，， ， 故选A． 【点睛】本题主要考查向量加法法则，重心定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6. 如图所示，为测量山高选择A和另一座山的山顶为测量观测点，从A点测得点的仰角点的仰角以及从点测得，若山高米，则山高等于（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】在中，可求得AC，根据正弦定理，在中，可求得AM，在中，即可求得答案. 【详解】因为在中，，， 所以， 在中，， 由正弦定理得：，即， 所以， 在中，， 所以（米） 故选：A 7. 如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量 对应的复数分别为 则 =（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，，则， 因此， 所以. 8. 如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三棱锥和三棱台的体积公式，分别求出相应多面体的体积，再计算体积之比． 【详解】设棱台的高为，，则， ， ， 又， ， ，故C正确． 故选：C． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示判断A，根据向量平行和数量积的坐标表示判断B，根据向量模长的坐标表示判断C，根据向量夹角的坐标表示判断D. 【详解】选项A，若，则，解得，故A项错误； 选项B，若，则，解得， 则，故B项正确； 选项C，若，则，所以，故C项正确； 选项D，，则，，， 所以，所以与的夹角不是，故D项错误， 故选：BC 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式，体积公式逐项计算可得结论. 【详解】对于A：圆柱的侧面积为，所以A选项正确． 对于B：圆锥的侧面积为，所以B选项正确． 对于C：圆锥的体积为，圆柱的体积为， 球的体积为，所以圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和，所以C选项正确． 对于D：球的表面积为，圆柱的表面积为， 圆锥的表面积为，所以圆锥的表面积最小，故D错误. 故选：ABC. 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限 B. 已知复数z满足，则 C. 是关于x的方程（m，n为实数）在复数集内的一个根，则实数n的值为26 D. 若复数z满足若，且，则的最小值为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：求出复数的代数形式即可判断；对于B：求出复数的代数形式，然后求模即可；对于C：求出另一个根，然后利用韦达定理求解；对于D：利用复数的几何意义，转化为圆外的点到圆上的点的距离最小值来求解. 【详解】对于A：，则，其在复平面对应的点为，在第四象限，A错误 对于B：， 所以，B正确. 对于C：因为是关于x的方程（m，n为实数）在复数集内的一个根，则另一个根为， 则，解得，C正确. 对于D：由得复数在复平面对应的点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆， 表示点到点的距离， 则最小值为，D正确； 故选：BCD. 第II卷 (非选择题 共92分) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 如图，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的周长为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的直观图，利用斜二测画法确定的特征，进而求出的周长. 【详解】依题意，在中，是边的中点，，， 因此，所以的周长为. 13. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据，，利用余弦定理求得，再利用三角形面积公式求解. 【详解】解：因为，， 所以， 解得， 所以， 故答案为： 14. 已知圆台的上、下底面的面积分别为、，侧面积是，则这个圆台的体积是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆台的上下底面积可计算出其上下底面的半径与周长，根据周长之比计算出展开图的扇形半径之比，根据扇环的面积求出母线l的长度，由两个半径、高、母线构成的直角梯形中求出圆台的高，代入圆台的体积公式即可得出答案． 【详解】依题意知圆台上底面半径为 ，下底面半径为，设圆台的高为h， 如图所示圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD，其小扇形弧长， 大扇形弧长， 由知道 ， 则圆台的侧面积， 所以，所以 ， 所以高 ， 所以圆台的体积 三、解答题，本大题共5小题，共计77分.解答应在答题卡的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知i为虚数单位，复数 （1）若z是实数，求m的值； （2）若z是纯虚数，求m的值； （3）若复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角，求m的取值范围. 【答案】（1）3或1 （2）5 （3）或，且. 【解析】 【分析】（1）由复数为实数，则虚部为零求解； （2）由复数为纯虚数，则实部为零，虚部不为零求解； （3）根据题意，由，且求解. 【小问1详解】 因为 是实数， 所以，解得或； 【小问2详解】 因为 是纯虚数， 所以，解得； 【小问3详解】 因为复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角， 所以，且， 解得或，且. 16. 如图，已知分别是正方体的棱的中点，. （1）证明：直线交于同一点； （2）作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 【答案】（1）证明：正方体中，如图连接， AI 因，则四边形是平行四边形，则， 因分别是的中点，则， 故，所以四点共面，因， 则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 故，即点在直线上，所以直线交于同一点. （2） 截面的周长为. 【解析】 【分析】（1）先证明，可推得相交于点，再证明即可； （2）依次连接，易证，可得四点共面，即得截面，求其各边长即得截面周长. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图所示，依次连接， 易证，故四点共面. 则即为所求截面. 而， 所以的周长为. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角； （2）若，求周长的最大值. 【答案】（1）； （2）6. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求解. （2）由（1）的结论，利用余弦定理及基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）及余弦定理，得，而， 则，即，又， 于是，整理得，解得， 则当且仅当，即时取等号， 所以，即周长的最大值为6. 18. 如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点. （1）用和表示； （2）以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； （3）设，求的取值范围. 【答案】（1） （2），，. （3） . 【解析】 【分析】（1）根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得； （2）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. （3）由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解. 【小问1详解】 依题意，， ， ； 【小问2详解】 以O为坐标原点，以OA、OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，，， 由，可得，又P是BC中点，可得， 又，因为A、C、D三点共线，所以，解得，所以， ∴，则. 【小问3详解】 由已知， 因P是线段BC上动点，则令， ， 又不共线，则有， ， ，在上递增， 所以， 故的取值范围是. 19. 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花. （1）求该烟花的体积； （2）工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，M在弧上，N在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（）. ①请用表示燃料的体积V； ②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间. 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据球，圆台，圆锥的体积公式运算即可； （2）①利用角度关系结合三角函数表示出矩形的边长，从而求出圆柱体的体积；②将体积代入关系式中并化简，解得：，然后结合复合函数和基本不等式将等式转化求解. 【小问1详解】 该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成， 又，，， 所以该烟花的体积. 【小问2详解】 ①由图可知：，， 在梯形中，由，，易知，故， 则， 所以； ②由①可知：， 即， 令，则，上式即为， 又令，，则， 当时，，当时，， 当时， ， 当且仅当，即，即时，等号成立，满足题意． 该烟花燃烧的最长时间为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问题目难度较大，将等式转化成，然后结合基本不等式二次转化成是本题的关键点和突破点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市实验学校2025-2026学年高一年级第二学期期中考试数学试卷 (考试时长:120分钟 试卷满分:150分) 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 若点A在直线m上，直线m在平面内，则下列关系表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，则 A. B. C. 或 D. 或 4. 已知单位向量满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 5. 已知D，E分别是的边BC，AC上的中点，AD、BE交于点F，则　　 A. B. C. D. 6. 如图所示，为测量山高选择A和另一座山的山顶为测量观测点，从A点测得点的仰角点的仰角以及从点测得，若山高米，则山高等于（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量 对应的复数分别为 则 =（ ） A. B. C. 5 D. 8. 如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限 B. 已知复数z满足，则 C. 是关于x的方程（m，n为实数）在复数集内的一个根，则实数n的值为26 D. 若复数z满足若，且，则的最小值为4 第II卷 (非选择题 共92分) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 如图，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的周长为_______. 13. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的面积为______. 14. 已知圆台的上、下底面的面积分别为、，侧面积是，则这个圆台的体积是_____. 三、解答题，本大题共5小题，共计77分.解答应在答题卡的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知i为虚数单位，复数 （1）若z是实数，求m的值； （2）若z是纯虚数，求m的值； （3）若复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角，求m的取值范围. 16. 如图，已知分别是正方体的棱的中点，. （1）证明：直线交于同一点； （2）作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角； （2）若，求周长的最大值. 18. 如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点. （1）用和表示； （2）以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； （3）设，求的取值范围. 19. 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花. （1）求该烟花的体积； （2）工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，M在弧上，N在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（）. ①请用表示燃料的体积V； ②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $