精品解析：天津市和平区第二南开中学2025-2026学年七年级下学期期中测试

天津市和平区第二南开中学2025－2026学年度 七年级下期中测试 一、选择题（共12小题） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用算术平方根的定义求解即可． 【详解】∵， ∴的算术的平方根是． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义．解题时注意正数的算术平方根只有1个是解题的关键． 2. 若，则估计的值所在的范围是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先估算出的取值范围，再确定m的范围，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故选：A． 3. 下列各数，，，，，（相邻两个之间依次增加一个），其中是无理数的数共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的判断，算术平方根与立方根，根据无限不循环小数是无理数逐个判断即可得到答案． 【详解】解：，，，是有理数， ，，（相邻两个之间依次增加一个）是无理数，共3个， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据立方根，平方根，算术平方根，绝对值的化简解答即可．本题考查了立方根，平方根，算术平方根，绝对值的化简，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，本选项错误，不符合题意； B. ，本选项错误，不符合题意； C. ，本选项正确，符合题意； D. ，本选项错误，不符合题意； 故选：C． 5. 若点在轴上，则点在（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据轴上的点的横坐标为0，求出的值，进而得到点的坐标，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴点的坐标为：， ∴点在第二象限； 故选B． 6. 如图，直线，相交于点，过点作，平分．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线，角平分线定义，对顶角，关键是由垂直的定义，角平分线定义求出的度数．由垂直的定义得到，即可求出，由角平分线定义得到，求出，由对顶角的性质得到． 【详解】解：， ， ∵， ， ∵平分， ， ． 故选：． 7. 下列四个命题中，真命题的个数是（ ） ①在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面内直线垂直的性质，平行公理，平行线的性质，点到直线距离的定义，根据相关知识点逐一判断命题真假即可． 【详解】解：逐一判断四个命题： ①∵在同一平面内，只有过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题缺少“过一点”的条件， ∴①是假命题； ②∵只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，原命题缺少条件， ∴②是假命题； ③∵只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，原命题缺少条件， ∴③是假命题； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，符合定义， ∴④是真命题； 综上，真命题的个数为1． 8. 如图，是直角三角形，，点P是边上的一个动点，则的最小值是（ ） A. 2 B. 2.4 C. 3 D. 3.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，求直角三角形的面积，当垂直时，的最小值，根据即可求出答案． 【详解】解：当垂直时，的最小值， ， ， 即， ， 故选：B． 9. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？小伟同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，绳子对折后量长木，长木剩余尺，表明对折绳子长度比木长短尺，从而得到另一个方程找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设木长为尺，绳子长为尺， ∵屈绳量之，不足一尺， ∴对折绳子长度比木长短尺， 即， 故选：． 10. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A. 若点与点之间的距离是1，则x的值是 B. 若，则点一定在第四象限 C. 若点P到x轴和y轴的距离均为2，则符合条件的点P有4个 D. 已知点，点，则轴 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的核心概念，具体包含了点的坐标的意义（横坐标、纵坐标）；各象限内点的坐标特征（符号规律）；点到坐标轴的距离；平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征；根据平面直角坐标系中点的坐标特征，逐一判断各选项的正误． 【详解】A．∵点与点的纵坐标相同， ∴两点距离为， ∴或， ∴或，故A错误，不符合题意． B．∵， ∴， 点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点在第二象限，故B错误，不符合题意． C．∵点到轴距离为2，到轴距离为2 ∴， ∴点坐标为共4个，故C正确，符合题意． D．∵点和点的纵坐标相同， ∴平行于轴，故D错误，不符合题意． 故选：C． 11. 将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③若∠1＝45°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C，其中正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据余角的概念和同角的余角相等判断①；根据①的结论判断②；根据平行线的判定定理判断③；根据①的结论和平行线的性质定理判断④． 【详解】解：∵∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3， 故①正确； ∵∠CAD+∠2＝∠1+∠2+∠3+∠2＝90°+90°＝180°， 故②正确； ∵∠1＝45°， ∴∠3＝∠B＝45°， ∴BC∥AD． 故③正确； ∵∠2＝30°， ∴∠1＝∠E＝60°， ∴AC∥DE， ∴∠4＝∠C， 故④正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了余角的概念和同角的余角的性质，平行线的判定定理和性质定理，熟练掌握余角的概念和同角的余角的性质，平行线的性质定理和判定定理是解题的关键． 12. 已知直线，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（ ） ①如图1，若，，则； ②如图2，点在之间，当，，则； ③如图2，点在之间，当，，则； ④如图3，的角平分线交于，且，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质．①过点P作，则，根据平行线的性质即可求解；②过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；③过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；④过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，，可得，进而可得结论． 【详解】解：①过点P作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；①正确； ②点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，②正确； ③过点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴，即，③正确； ④过点P作，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ 过点N作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，④正确． 综上，正确的有4个， 故选：D． 二、填空题（共6小题） 13. 计算： _______；_______；_______． 【答案】 ①. 3 ②. ③. 【解析】 【分析】先化简被开方数，再进行开方运算即可得到结果． 【详解】解：； ； ． 14. 比较大小：_____．（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法比较两个数的大小，通过平方比较无理数的大小，进而得到答案． 【详解】解：计算两个数的差得， ，且， ， 则，即， ． 15. 已知点A的坐标为，线段平行于x轴且，则点B的坐标为 __． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，直线上的两点间的距离等于横坐标之差的绝对值，进行求解即可． 【详解】解：∵线段平行于x轴， ∴线段上所有点的纵坐标相等． ∵点A坐标为，且， ∴点B的坐标为或．即：或 故答案为：或． 16. 如图是公园里一处长方形游览区，长为60米，宽为24米，为方便游客观赏，公园修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为______米． 【答案】104 【解析】 【分析】根据图形可得图中虚线长可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，据此求解即可． 【详解】解：由图可得，图中虚线长的横向距离等于，纵向距离等于， ∴从出口A到出口��所走的路线长为（米）． 17. 如图，把一张对边互相平行的纸条，沿折叠，则以下结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有______． 【答案】①②③④⑤ 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据折痕是角平分线，结合平行线的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵折叠， ∴，；故⑤正确； ∵， ∴，，， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴，；故②④正确； ∵， ∴；故③正确； 故答案为：①②③④⑤ 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D、E均在格点上，，与相交于点 F． （1）请用无刻度的直尺，过点C画一条与平行的线段（点 P在格点上），不写画法； （2）请用无刻度的直尺，在线段上找一点M，使，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）_____________________． 【答案】（1）如图，线段即为所求； （2）如图，即为所求；把四边形向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到四边形，的对应点为，则与的交点为 【解析】 【分析】（1）取格点，连接，则可由沿到的方向平移得到，则； （2）如图，把四边形向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到四边形，的对应点为，与的交点为；从而可得答案； 【详解】（1）略 （2）把四边形向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到四边形， 的对应点为，与的交点为； 由平移的性质可得：， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的网格作图，同时考查了平移的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练的画图是解本题的关键． 三、解答题（共8小题） 19. 计算： （1）； （2）求的值：． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据实数的混合运算法则计算即可求解； （2）整理后，利用平方根的性质求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 整理得， 开方得， 解得或． 20. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 得， 解得， 将代入②，得， 解得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：原方程化简得， 得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 21. 已知2a＋1的平方根是±3，5a＋2b－2的算术平方根是4，求的值． 【答案】0 【解析】 【分析】由2a＋1的平方根是±3可得：2a+1=9，则a=4；由5a＋2b－2的算术平方根是4可得：5a+2b-2=16，则b=-1；然后将a、b的值代入中计算即可． 【详解】解：∵2a＋1的平方根是±3 ∴2a＋1=， 解得：a=4 ∵5a＋2b－2的算术平方根是4 ∴5a＋2b－2=，即：5×4+2b－2=16， 解得：b= -1 ． ∴===0． 【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根、代数式求值等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． 22. 如图，已知的三个顶点的坐标分别是，，，现将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到（点A对应点D，点B对应点O，点C对应点E）． （1）在图中画出； （2）若为内一点，则点P在内的对应点Q的坐标是______； （3）过点D作直线轴，在直线l上存在点M，使得，求出点M的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了平移变换，画平移图形，由平移方式确定点的坐标，三角形的面积等知识点，掌握平移变换的性质是解题的关键． （1）先由点和点O的坐标，确定平移的方式，再由平移方式得到点D和点E的坐标，据此即可作图； （2）根据平移方式即可求解； （3）先由割补法求出的面积，再由即可求出的面积，再由三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到，点B对应点O， ∴平移方式为向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度， ∴， 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：由题意得，向右平移了3个单位，向上平移了2个单位得到， ∴点Q的坐标为，即； 【小问3详解】 解：如图： ∵， ∴， ∵过点作直线轴， ∴， ∴， ∵， ∴或 即或． 23. 如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，得出，再根据平行线的判定方法进行求解即可； （2）由平行线的性质可得，根据，得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质求出结果即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. （1）如图①，点在上，．求证：； （2）如图②，，平分的延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数； （3）如图③，，的度数与（2）中求出的相同，平分平分，作，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2）100° （3） 【解析】 【分析】（1）延长交于点．利用同角的补角相等得到，利用平行线的判定得，由性质得，则有，即可判定平行； （2）作，则，结合角平分线得到，进一步得到，再次利用角平分线得到，则．设，有．结合已知有即可； （3）过点E作，设直线和射线相交于点G．由角平分线得和由平行得，，．由（2）可知，则．结合平行得，即可列出求解即可． 【详解】（1）证明：如答图①，延长交于点． ， ， ， ∴， ， ∴， ． （2）解：如答图②，作． ， ∴， ． 平分， ． ， ∴， ， ∴， ． 平分， ， ， ， ． 设， ． 比大60°， ， ，解得， 的度数为100°． （3）解：如答图③，过点E作，设直线和射线相交于点G． 平分，平分， ， ， ， ，，． 由（2）可知， ， ． ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查同角的补角相等、平行线的判定和性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，解题的关键是熟悉平行线的判定和性质以及角平分线的定义，熟练掌握辅助线是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，点，，，且满足，过点C作轴，D是上一动点． （1）求的面积； （2）如图1，若点C向左平移3个单位得到D点，则D点的坐标为_____，三角形与三角形的面积大小有什么关系_____（填“大于”，“小于”，“相等”或“不相等”）； （3）如图2，若，P是上的点，Q是射线上的点，射线平分，射线平分，，请你补全图形，并求的值． 【答案】（1）9 （2）；相等 （3）补全图形见解析；的值为或 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标、非负数的性质、平移的性质、平行线的性质、角平分线的定义及三角形面积计算； （1）利用绝对值、算术平方根的非负性求出、、的值，得到点、、的坐标，再以为底、为高，即可求出的面积； （2）根据平移的性质求出点的坐标，再结合轴，判断与等底等高，从而得出面积关系； （3）先补全图形，设，利用平行线的性质和角平分线的定义表示出相关角的度数，再结合，通过角度的和差关系求出，当点在上方时，，当点在下方时，，最后计算的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴． 【小问2详解】 解： 点向左平移个单位，横坐标减，纵坐标不变， ∴ ， 轴，点在直线上， 点C，D到的距离相等， ∴． 【小问3详解】 解：补全图形如下： 设，过点作轴， ∵轴， ∴，， ∴， 射线平分，射线平分， ，， ， ， 如图1所示，当射线与射线在直线同侧时， ， ∵轴， ∴， ， 如图2所示，当射线与射线在直线异侧时， ， ， 综上：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市和平区第二南开中学2025－2026学年度 七年级下期中测试 一、选择题（共12小题） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 5 2. 若，则估计的值所在的范围是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下列各数，，，，，（相邻两个之间依次增加一个），其中是无理数的数共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点在轴上，则点在（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，直线，相交于点，过点作，平分．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列四个命题中，真命题的个数是（ ） ①在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，是直角三角形，，点P是边上的一个动点，则的最小值是（ ） A. 2 B. 2.4 C. 3 D. 3.5 9. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？小伟同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A. 若点与点之间的距离是1，则x的值是 B. 若，则点一定在第四象限 C. 若点P到x轴和y轴的距离均为2，则符合条件的点P有4个 D. 已知点，点，则轴 11. 将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③若∠1＝45°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C，其中正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ③④ D. ①②③④ 12. 已知直线，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（ ） ①如图1，若，，则； ②如图2，点在之间，当，，则； ③如图2，点在之间，当，，则； ④如图3，的角平分线交于，且，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6小题） 13. 计算： _______；_______；_______． 14. 比较大小：_____．（填“”“”或“”）． 15. 已知点A的坐标为，线段平行于x轴且，则点B的坐标为 __． 16. 如图是公园里一处长方形游览区，长为60米，宽为24米，为方便游客观赏，公园修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为______米． 17. 如图，把一张对边互相平行的纸条，沿折叠，则以下结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D、E均在格点上，，与相交于点 F． （1）请用无刻度的直尺，过点C画一条与平行的线段（点 P在格点上），不写画法； （2）请用无刻度的直尺，在线段上找一点M，使，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）_____________________． 三、解答题（共8小题） 19. 计算： （1）； （2）求的值：． 20. 解下列方程组： （1） （2） 21. 已知2a＋1的平方根是±3，5a＋2b－2的算术平方根是4，求的值． 22. 如图，已知的三个顶点的坐标分别是，，，现将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到（点A对应点D，点B对应点O，点C对应点E）． （1）在图中画出； （2）若为内一点，则点P在内的对应点Q的坐标是______； （3）过点D作直线轴，在直线l上存在点M，使得，求出点M的坐标． 23. 如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. （1）如图①，点在上，．求证：； （2）如图②，，平分的延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数； （3）如图③，，的度数与（2）中求出的相同，平分平分，作，求的度数． 25. 在平面直角坐标系中，点，，，且满足，过点C作轴，D是上一动点． （1）求的面积； （2）如图1，若点C向左平移3个单位得到D点，则D点的坐标为_____，三角形与三角形的面积大小有什么关系_____（填“大于”，“小于”，“相等”或“不相等”）； （3）如图2，若，P是上的点，Q是射线上的点，射线平分，射线平分，，请你补全图形，并求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $