精品解析：山东菏泽市郓城县2025—2026学年度第二学期期中教学质量监测九年级数学试题

2025－2026学年度第二学期期中教学质量监测 九年级数学试题 （满分120分，时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 实数的倒数为（　　） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，， ∴实数的倒数为， 故选：D． 2. 下列是一组图片，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【点晴】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 如图是一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后的示意图，该立体图的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：俯视图为 ． 4. 据安徽省统计局发布的2023年前三季度核心数据显示：全省农林牧渔业总产值同比增长3.6%，夏粮早稻合计产量372.3亿斤，372.3亿斤用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将带“亿”单位的数转化为标准形式，再根据科学记数法规则确定a和n的值即可，科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：∵亿， ∴亿， 将化为符合的形式得， ∴亿． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则逐一判断选项． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，A错误； B、，B错误； C、与不是同类项，不能合并，C错误； D、，D正确． 6. 如图是楷书“欧柳颜赵”四大家的书法碑帖4张．若从中随机取两张，则抽取的两张字帖恰好是“柳体”和“颜体”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有种等可能性，其中，两张字帖恰好是“柳体”和“颜体”的有2种等可能性． 故两张字帖恰好是“柳体”和“颜体”的概率是， 7. 《九章算术》中记录这样一道数学问题：“今有五雀、六燕，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：今有5只雀和六只燕子，每只雀都一样重，每只燕也一样重，5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤，问一只雀和一只燕子分别重多少？设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确找出等量关系式解题关键． 设一只雀重斤，一只燕子重斤，根据“5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤”，可得二元一次方程组，即可选出答案． 【详解】解：设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为：， 故选：B． 8. 如图，以O为中心点的量角器与直角三角板摆放在一起，量角器与三角板有且只有一个公共点P．若三角板的直角顶点B落在量角器零刻度线所在直线上，且对应的读数为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线的定义和性质，角度的计算．正确的识图，确定三角形的边与量角器相切，是解题的关键． 量角器与三角板只有一个公共点，得到与圆量角器相切于点，得到，进而求出的度数，利用平角的定义，即可求出的度数． 【详解】解：∵量角器与三角板只有一个公共点， ∴与圆量角器相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 9. 如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据反比例函数的几何性质，可得，又，可得到，，，按此规律，可得． 【详解】解：连接，如图所示， ，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于x轴， ，根据反比例函数的几何性质可得， ， ， ，，，依此规律，可得． 10. 二次函数（是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 2 … 已知当时，对应的函数值．以下结论：①；②；③关于的方程的正实数根在1和之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知点坐标得到的值和与的关系，求出对称轴，再结合时得到的取值范围，逐个判断四个结论即可． 【详解】∵将 代入得 解得，， 抛物线对称轴为直线， ∵时，，代入得 ， 整理得 ， ∴， ∴； ∵，，，∴，故①错误； ∵是时的函数值， ， 是时的函数值， ， ∴ ， ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线对称轴为，时， 根据对称性，关于对称的点是， ∴时， 又∵时， ∴方程的正实数根在和之间，故③正确； 抛物线开口向下，点到对称轴距离越大，函数值越小． 若，则 ，即 ， 平方化简得，即当时，故④错误． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 【答案】 且 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，列出不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解不等式得且， 因此的取值范围为且． 12. 如图，将绕点逆时针旋转一定角度得到，使点的对应点落在上，与交于点．若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据等腰三角形的性质求出的度数，进而求出的度数，最后在中利用三角形内角和定理求出的度数，根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， 在中， 点落在上， 在中， 在中， 与是对顶角 13. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】由于关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 且． 14. 如图，反比例函数（）的图象经过A，B两点，连接，，过点B作轴，垂足为C，交于点D，若D为的中点，的面积是6，则k的值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象性质及k值的计算，运用的面积是6，设点坐标建立相关方程是解题的关键．设，由已知条件得到，，再根据建立关于k的方程，解方程即可求得k值． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过A点， ∴设， ∵D为的中点，， ∴， ∵轴，垂足为C，交于点D， ∴， ∵反比例函数（）的图象经过B点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：16． 15. 如图，在矩形中，，，E是射线上一点，F是射线上一点，且，连接，交于点G，连接，当的值最小时，的面积为__________． 【答案】##7.5## 【解析】 【分析】通过构造辅助线，先证得四边形、是矩形，再证得，结合已知条件求得，的值，进而得到的值，利用对称的性质得到，，当点，G，C三点共线时，得出有最小值，再证明，利用相似三角形的性质求得的值，最后利用三角形面积公式即可求得结果． 【详解】解：如图，过点G作，延长交于点M，过点G作， 则， 在矩形中，，， ∴四边形、是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， 作点B关于点P的对称点，连接， ∴，， ∴， ∵， ∴当点，G，C三点共线时，的值最小，此时最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）计算： （2）先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值． 【答案】（1）6 （2）， 【解析】 【分析】（1）先分别计算算术平方根，绝对值，零指数幂，再计算乘除法，然后进行加减运算即可得到结果． （2）先根据分式混合运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件，在给定范围内选出合适的的整数值，代入化简后的式子计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解 ： ，  ∵，． ∴且． 且为整数， ， ∴原式． 17. 已知：如图，在中，，． 求作：点，使得点在内，且． 下面是小华的解答过程，请补充完整： （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）; ①作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，与直线在内交于点．点就是所求作的点 （2）完成下面的证明 证明：连接． 点在线段的垂直平分线上， （  ）（填推理的依据）， ． ． ． ．  ，  ． ． 【答案】 （1）图形如图所示： （2）证明：连接，，． 点在线段的垂直平分线上， （线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）， ． ． ． ． ， ． ． 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）利用平行线的性质，等腰三角形的性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18. 今年端午节来临之际，某商场预测一品牌枣粽能够畅销．根据预测，每千克枣粽节前的进价比节后多2元，节前用2000元购进枣粽的数量与节后用1600元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节前每千克枣粽的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共准备购进枣粽500千克，且总费用不超过4800元，并按照节前每千克16元，节后每千克12元全部售出，那么该商场节前购进多少千克枣粽获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）该商场节前每千克枣粽的进价是10元 （2）该商场节前购进400千克枣粽获得利润最大，最大利润是2800元 【解析】 【分析】（1）根据节前用2000元购进枣粽的数量与节后用1600元购进的数量相等这一等量关系，列出分式方程求解即可； （2）根据总费用不超过4800元列出不等式得到节前购进数量的取值范围，再列出利润关于购进数量的一次函数，根据一次函数的增减性即可求出最大利润． 【小问1详解】 解：设该商场节后每千克枣粽的进价是元，则节前每千克枣粽的进价是元， 由题意得：  解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则节前进价为 （元）， 答：该商场节前每千克枣粽的进价是10元． 【小问2详解】 解：设该商场节前购进千克枣粽，则节后购进千克枣粽， 由题意得：    解得， 设总利润为元， 由题意得：    ，  随着的增大而增大，  当时，取得最大值，最大值为 （元）， 答：该商场节前购进400千克枣粽获得利润最大，最大利润是2800元． 19. 为普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，某市党校举行了党史知识竞赛，每个班级各选派15名学员参加了网上测试，现对测试成绩最好的甲、乙两班学生的分数进行整理分析如下： 甲班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下： 87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98． 乙班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下： 77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89． 表1 班级 甲 1 2 4 1 2 乙 0 3 3 6 2 1 甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图 表2 班级 平均数 众数 中位数 方差（精确到） 甲 86 87 乙 86 88 （1）按表1分数段整理两班测试成绩，表中________； （2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图； （3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表2所示，表中_______，________． （4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较差是________班； （5）本次测试，两班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．现从以上三人中随机抽调两人代表学校参加全市党史知识竞赛，利用树状图或表格求出恰好抽调甲班两人参加全市党史知识竞赛的概率． 【答案】（1）5 （2） 补全频数分布直方图如图： （3）88，86 （4）甲 （5） 【解析】 【分析】（1）用总人数减去其它组的测试成绩即可求得a的值； （2）根据（1）中数据补全直方图即可； （3）根据众数和中位数的定义取值即可； （4）从平均数及方差的数据分析即可； （5）画树状图列出所有等可能的结果，找出符合题意的情况数，再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得甲班共15名学员， ∴． 【小问2详解】 解：在分数段的人数是5， 【小问3详解】 解：乙班成绩中出现次，次数最多，故； 将甲班成绩从小到大排序：73，76，79，84，84，85，85，86，87，87，87，88，93，98，98， 第8个数为，故中位数为． 【小问4详解】 解：两班平均数相同，甲班方差更大（波动更大），中位数更小，因此整体水平较差的是甲班． 【小问5详解】 解：设甲班两位同学分别为，乙班学员为B， 画树状图如下： 共有6种等可能的情况出现，其中甲班两人的情况有2种， 故恰好抽调甲班两人参加全市党史知识竞赛的概率​． 20. 如图，在中，，为的角平分线，线段的垂直平分线与相交于点，以点为圆心，以长为半径画圆，交边于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，  是的垂直平分线，在上， ， ，  是的角平分线， ，  ， ∴，  ， ， ， 又是的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接， 根据是的垂直平分线，得出，则， 结合为的角平分线证明，证出，即可证明是的切线． （2）由题意得：， ，在中勾股定理求出​， 证明，求出．连接，证明， 得出​， 即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：， ，  在上，且圆心在上， 是的直径，  半径，，，  ， 在中： ​， ∵， ∴， ​， 即， 解得． 连接， 是直径， ， 又， ，  ​， 即​，  ． 21. 【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 （1）请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） （2）请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】（1）建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2） 解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； 【小问2详解】 略 22. 已知二次函数，其中a，b为常数． （1）当，时，求该函数的顶点坐标． （2）当，对称轴在之间时，函数的最小值为． ①求二次函数解析式； ②过点作与x轴平行的直线交该抛物线于B，C两点，当点B，C均位于y轴左侧，且点B为线段的中点时，求t的值． 【答案】（1）该函数的顶点坐标为 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）把，代入中求出二次函数解析式，再化为顶点式即可求解； （2）①把代入中，得，得对称轴为直线，且此时，则可得，再结合对称轴在之间，即可求出a的值，即可求解； ②由题意可得点B，C的纵坐标均为t，设B的横坐标为，C的横坐标为，由对称性求得，再利用点B为线段的中点，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入中， 得， 所以该函数的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①把代入中， 得， 所以对称轴为直线， 把代入中，得， ∵函数的最小值为，且二次项系数， ∴， 解得， 又因为对称轴在之间， 即 则， 故， ∴二次函数解析式为； ②由①知， ∴对称轴为直线， ∵点在y轴上，过点作与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， ∴点B，C的纵坐标均为t， 设B的横坐标为，C的横坐标为， ∵B，C关于直线对称， ∴， ∴， ∵点B为线段的中点， ∴，即， ∴， ∴， 将代入， 得， ∴． 23. 如图，正方形中，点、点分别是、上的两个动点，连接、，且，连接并延长，交的延长线于点． （1）若， ①求证：； ②求证：； （2）如图2，移动点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作，垂足为点，交于点，连接，求证：． 【答案】（1） ①证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴； ②证明：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形，． ∴， ∴， ∴； （2） 证明：如图，把绕点A逆时针旋转得到，则与重合，点的对应点为点， ，，， 三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 证明：如图，连接， 由（2）得， ， 垂直平分， ， ， ， 四点在以为直径的同一个圆上， ． 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质和可证明； ②根据可得，，再根据平行线的性质可得，进而证明为等腰直角三角形，即可求出，进而即可得到； （2）根据半角旋转模型，把逆时针旋转，则与重合，设对应的点为，即可证明，得到，再结合，可得，可得； （3）根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，可得是等腰直角三角形，可得A、D、E、N四点共圆，根据圆周角． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期期中教学质量监测 九年级数学试题 （满分120分，时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 实数的倒数为（　　） A. 6 B. C. D. 2. 下列是一组图片，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图是一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后的示意图，该立体图的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 据安徽省统计局发布的2023年前三季度核心数据显示：全省农林牧渔业总产值同比增长3.6%，夏粮早稻合计产量372.3亿斤，372.3亿斤用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是楷书“欧柳颜赵”四大家的书法碑帖4张．若从中随机取两张，则抽取的两张字帖恰好是“柳体”和“颜体”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中记录这样一道数学问题：“今有五雀、六燕，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：今有5只雀和六只燕子，每只雀都一样重，每只燕也一样重，5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤，问一只雀和一只燕子分别重多少？设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，以O为中心点的量角器与直角三角板摆放在一起，量角器与三角板有且只有一个公共点P．若三角板的直角顶点B落在量角器零刻度线所在直线上，且对应的读数为，则为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数（是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 2 … 已知当时，对应的函数值．以下结论：①；②；③关于的方程的正实数根在1和之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 12. 如图，将绕点逆时针旋转一定角度得到，使点的对应点落在上，与交于点．若，则的度数为__________． 13. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 14. 如图，反比例函数（）的图象经过A，B两点，连接，，过点B作轴，垂足为C，交于点D，若D为的中点，的面积是6，则k的值为______． 15. 如图，在矩形中，，，E是射线上一点，F是射线上一点，且，连接，交于点G，连接，当的值最小时，的面积为__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）计算： （2）先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值． 17. 已知：如图，在中，，． 求作：点，使得点在内，且． 下面是小华的解答过程，请补充完整： （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）; ①作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，与直线在内交于点．点就是所求作的点 （2）完成下面的证明 证明：连接． 点在线段的垂直平分线上， （  ）（填推理的依据）， ． ． ． ．  ，  ． ． 18. 今年端午节来临之际，某商场预测一品牌枣粽能够畅销．根据预测，每千克枣粽节前的进价比节后多2元，节前用2000元购进枣粽的数量与节后用1600元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节前每千克枣粽的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共准备购进枣粽500千克，且总费用不超过4800元，并按照节前每千克16元，节后每千克12元全部售出，那么该商场节前购进多少千克枣粽获得利润最大？最大利润是多少？ 19. 为普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，某市党校举行了党史知识竞赛，每个班级各选派15名学员参加了网上测试，现对测试成绩最好的甲、乙两班学生的分数进行整理分析如下： 甲班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下： 87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98． 乙班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下： 77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89． 表1 班级 甲 1 2 4 1 2 乙 0 3 3 6 2 1 甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图 表2 班级 平均数 众数 中位数 方差（精确到） 甲 86 87 乙 86 88 （1）按表1分数段整理两班测试成绩，表中________； （2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图； （3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表2所示，表中_______，________． （4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较差是________班； （5）本次测试，两班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．现从以上三人中随机抽调两人代表学校参加全市党史知识竞赛，利用树状图或表格求出恰好抽调甲班两人参加全市党史知识竞赛的概率． 20. 如图，在中，，为的角平分线，线段的垂直平分线与相交于点，以点为圆心，以长为半径画圆，交边于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 21. 【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 （1）请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） （2）请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 22. 已知二次函数，其中a，b为常数． （1）当，时，求该函数的顶点坐标． （2）当，对称轴在之间时，函数的最小值为． ①求二次函数解析式； ②过点作与x轴平行的直线交该抛物线于B，C两点，当点B，C均位于y轴左侧，且点B为线段的中点时，求t的值． 23. 如图，正方形中，点、点分别是、上的两个动点，连接、，且，连接并延长，交的延长线于点． （1）若， ①求证：； ②求证：； （2）如图2，移动点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作，垂足为点，交于点，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $