第1～3章 期中综合模拟测试题 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第1~3章 期中综合模拟测试题 2025-2026学年北师大版数学7年级下册 一．选择题（共10小题） 1．下列事件是随机事件的是（　　） A．汽车的车窗玻璃破碎 B．从地面上抛掷一枚硬币，硬币一定会落下 C．从一副没有大小王的扑克牌中任意取出一张牌，这张牌一定是大王 D．今年十四岁的你，明年一定是十五岁 2．四月的长春，繁花盛开，春意满满，伊通河樱花岛成为一道迷人的风景线．已知每片樱花重约0.000018克，数据0.000018用科学记数法表示为（　　） A．1.8×10﹣6 B．1.8×10﹣5 C．18×10﹣6 D．0.18×10﹣5 3．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD．若CD∥BE，∠1＝28°，则∠2的度数是（　　） A．56° B．60° C．65° D．68° 4．下列计算正确的是（　　） A．（﹣3xy）•（﹣4yz）＝12xy2 B．（﹣3x）•（2x2﹣x）＝﹣6x3+3x2 C．（x﹣2）（x﹣6）＝x2﹣12 D．（x+2）2＝x2+4 5．如图，下列选项中，能判断AD∥BE的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠B＝∠4 C．∠D＝∠5 D．∠2＝∠E 6．下列说法正确的是（　　） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖 C．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得 D．一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率P（A）＝p 7．如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝20°，则∠2等于（　　） A．80° B．70° C．60° D．50° 8．观察下列图形，从图1到图2可表示的乘法公式为（　　） A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 9．如图，综合与实践课上，小青将长为4，宽为2的长方形硬纸片的四个角处各剪去边长为x的小正方形，再按折痕（虚线）折叠，可以制成有底无盖的长方体盒子．根据图中信息，该长方体盒子的容积可表示为（　　） A．4x3﹣12x2+8x B．4x2﹣12x+8 C．4x2+12x+8 D．4x3+12x2+8x 10．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 二．填空题（共6小题） 11．在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的小球，已知袋中有6个红球，且摸出红球的概率为，则袋中小球的个数为 　 　 ． 12．已知A＝3x，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成了B÷A，结果得2x2x+1，细心的小明同学计算正确，那么小明计算出B+A的值为 　 　 ． 13．如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点A，B分别落在A′，B′的位置，如果∠1＝48°，那么∠2的度数是 　 　 ． 14．将大小不同的两个正方形按图1、图2的方式摆放．若图1中阴影部分的面积是36，图2中阴影部分的面积是27，则大正方形的边长是 　 　 ． 15．在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上，∠C＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°．小明将△ADE从图中位置开始，绕点A按每秒5°的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第 　 　 秒时，边AB与边DE平行． 16．已知，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：∠AOB． 求作：直线BC，使BC∥AO． 18．先化简，再求值： （1）已知x2﹣x﹣2＝0，求代数式（x﹣3）（x+5）+（x﹣3）（x﹣1）的值． （2）[（x+y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）]÷（﹣2y），其中x＝1，y＝﹣2． 19．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在边AB上，点E、F在边AC上，∠AGF＝∠ABC＝70°，∠1+∠2＝180°． （1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由； （2）若DE⊥AC，∠CDE＝30°，求∠A的度数． 20．一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的3倍多10个．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是． （1）求袋中红球的个数； （2）求从袋中摸出一个球是白球的概率； （3）如果要将从袋中摸出一个球是红球的概率提高到，在保持小球总数不变的情况下需要把几个黄球改为红球？ 21．【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式（a+3）x﹣6y+5， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴a+3＝0，解a＝﹣3． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式mx﹣4x+3的值与x的取值无关，则m值为　 　 ． （2）已知A＝（2x+1）（x﹣2），B＝x（m﹣x），且A+2B的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 22．【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．试探究∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由． （2）【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 如图2，已知MN∥PQ，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，请你说明∠ABP+∠DCE＝∠CAB；（把下面的解答补充完整） 解：因为CD∥AB 所以∠CAB+　 　 ＝180°（ 　 　 ） 因为∠ECM+∠ECN＝180°（ 　 　 ） 又因为∠ECN＝∠CAB 所以∠　 　 ＝∠　 　 （ 　 　 ） 即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE 所以∠MCA＝∠DCE 由（1）知∠MCA+∠ABP＝∠CAB ∴∠ABP+∠DCE＝∠CAB （3）【拓展延伸】如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝68°，请直接写出∠AFB的度数为 　 　 ． 23．（1）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式x2+bx+c（b、c为常数）写成（x+h）2+k（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式x2+kx+4是一个完全平方式，那么常数k的值为 　 　 ； （2）配方：x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣　 　 ； 【知识运用】： （3）已知m2+2mn+2n2﹣8n+16＝0，则m＝　 　 ，n＝　 　 ； （4）求多项式：x2+y2﹣4x+6y+15的最小值． 第1~3章 期中综合模拟测试题 2025-2026学年北师大版数学7年级下册 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列事件是随机事件的是（　　） A．汽车的车窗玻璃破碎 B．从地面上抛掷一枚硬币，硬币一定会落下 C．从一副没有大小王的扑克牌中任意取出一张牌，这张牌一定是大王 D．今年十四岁的你，明年一定是十五岁 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：A、汽车的车窗玻璃破碎是随机事件，符合题意； B、从地面上抛掷一枚硬币，硬币一定会落下是必然事件，不符合题意； C、从一副没有大小王的扑克牌中任意取出一张牌，这张牌一定是大王是不可能事件，不符合题意； D、今年十四岁的你，明年一定是十五岁是必然事件，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2．四月的长春，繁花盛开，春意满满，伊通河樱花岛成为一道迷人的风景线．已知每片樱花重约0.000018克，数据0.000018用科学记数法表示为（　　） A．1.8×10﹣6 B．1.8×10﹣5 C．18×10﹣6 D．0.18×10﹣5 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂． 【解答】解：0.000018＝1.5×10﹣5， 故选：B． 【点评】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD．若CD∥BE，∠1＝28°，则∠2的度数是（　　） A．56° B．60° C．65° D．68° 【分析】由折叠的性质可得∠3＝∠1＝28°，从而求得∠4＝56°，再根据平行线的性质定理求出∠EBD＝180°﹣∠4＝124°，最后再根据平行线性质定理求出∠2即可． 【解答】解：如图，由折叠的性质，可得∠3＝∠1＝28°， ∴∠4＝∠1+∠3＝56°， ∵CD∥BE，AC∥BD， ∴∠EBD＝180°﹣∠4＝124°， 又∵CD∥BE， ∴∠2＝180°﹣∠EBD＝180°﹣124°＝56°． 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系． 4．下列计算正确的是（　　） A．（﹣3xy）•（﹣4yz）＝12xy2 B．（﹣3x）•（2x2﹣x）＝﹣6x3+3x2 C．（x﹣2）（x﹣6）＝x2﹣12 D．（x+2）2＝x2+4 【分析】根据整式的乘法法则，进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：A、（﹣3xy）•（﹣4yz）＝12xy2z，故A不符合题意； B、（﹣3x）•（2x2﹣x）＝﹣6x3+3x2，故B符合题意； C、（x﹣2）（x﹣6）＝x2﹣8x+12，故C不符合题意； D、（x+2）2＝x2+4x+4，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．如图，下列选项中，能判断AD∥BE的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠B＝∠4 C．∠D＝∠5 D．∠2＝∠E 【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，由此即可判断． 【解答】解：A、∠1＝∠3，能判定AB∥CD，故A不符合题意； B、∠B＝∠4，能判定AB∥CD，故B不符合题意； C、∠D＝∠5，不能判断AD∥BE，故C不符合题意； D、∠2＝∠E，能判定AD∥BE，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法． 6．下列说法正确的是（　　） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖 C．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得 D．一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率P（A）＝p 【分析】可根据定义必然事件、概率的意义、列举法的适用条件以及频率与概率的关系，逐一判断即可． 【解答】解：∵A选项：射击运动员射击一次，命中靶心不是必然事件，可能发生也可能不发生， ∴A错误，不符合题意； ∵B选项：彩票中奖概率1%并不意味着买100张一定中奖，因为每次购买独立，可能都不中奖， ∴B错误，不符合题意； ∵C选项：抛掷图钉时，针尖朝上和朝下不是等可能事件，无法用列举法求概率， ∴C错误，不符合题意； ∵D选项：在大量重复试验中，事件A发生的频率稳定于常数p，则P（A）＝p，符合概率的统计定义， ∴D正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查概率的基本概念，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7．如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝20°，则∠2等于（　　） A．80° B．70° C．60° D．50° 【分析】根据角的和差求出∠BAD＝110°，根据平行线的性质求解即可． 【解答】解：如图， ∵∠CAD＝90°，∠1＝20°， ∴∠BAD＝20°+90°＝110°， ∵a∥b， ∴∠BAD+∠2＝180°， ∴∠2＝70°， 故选：B． 【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． 8．观察下列图形，从图1到图2可表示的乘法公式为（　　） A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 【分析】用代数式表示图1、图2中两个梯形的面积和即可． 【解答】解：图1是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），用图2的方式拼接，可得图1中两个梯形的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 所以有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故选：A． 【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 9．如图，综合与实践课上，小青将长为4，宽为2的长方形硬纸片的四个角处各剪去边长为x的小正方形，再按折痕（虚线）折叠，可以制成有底无盖的长方体盒子．根据图中信息，该长方体盒子的容积可表示为（　　） A．4x3﹣12x2+8x B．4x2﹣12x+8 C．4x2+12x+8 D．4x3+12x2+8x 【分析】利用给出的条件将长方体的长宽高表示出来即可求解． 【解答】解：由题意可得：长：4﹣2x，宽：2﹣2x，高：x， ∴长方体盒子的体积为： （4﹣2x）（2﹣2x）x＝4x3﹣12x2+8x 故选：A． 【点评】本题考查列代数式，解题的关键是正确表示长方体的长宽高． 10．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【分析】过点H作HM∥AB，延长EF交CD于点N，由平行线的性质可得HM∥CD，则可求∠CGH＝30°，∠ENG＝90°，可得∠CGF＝50°，再利用三角形的内角和定理即可求∠EFG的度数． 【解答】解：过点H作HM∥AB，延长EF交CD于点N，如图所示： ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴AB∥HM∥CD，EN⊥CD， ∴∠EHM＝∠AEH＝20°，∠ENG＝90°，∠CGH＝∠GHM， ∴∠GHM＝∠EHG﹣∠EHM＝30°， ∴∠CGH＝30°， ∴∠CGF＝∠CGH+∠FGH＝50°， ∴∠NFG＝180°﹣∠ENG﹣∠CGF＝40°， ∴∠EFG＝180°﹣∠NFG＝140°． 故选：C． 【点评】本题主要考查平行线的性质，垂线以及三角形的内角和定理，解答的关键是作出正确的辅助线． 二．填空题（共6小题） 11．在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的小球，已知袋中有6个红球，且摸出红球的概率为，则袋中小球的个数为 　15　 ． 【分析】设袋中球的总数量为n个，利用概率公式列式求解即可． 【解答】解：设袋中球的总数量为n个． 由题意得，摸出红球的概率为． ∴n＝15． ∴袋中的球共有15个． 故答案为：15． 【点评】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率的定义是解决本题的关键． 12．已知A＝3x，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成了B÷A，结果得2x2x+1，细心的小明同学计算正确，那么小明计算出B+A的值为 　6x3﹣x2+6x ． 【分析】根据题意得出B÷A＝2x2x+1，即可求出多项式B，进而求出A+B． 【解答】解：∵B÷A＝2x2x+1，A＝3x， ∴B＝3x（2x2x+1）＝6x3﹣x2+3x， ∴B+A＝6x3﹣x2+3x+3x＝6x3﹣x2+6x， 故答案为：6x3﹣x2+6x． 【点评】本题考查了多项式的乘除以及多项式加减运算，得出多项式B是解题关键． 13．如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点A，B分别落在A′，B′的位置，如果∠1＝48°，那么∠2的度数是 　84°　 ． 【分析】首先根据折叠可得∠1＝∠EFB′＝48°，再求出∠B′FC的度数，然后根据平行线的性质可得∠2＝∠B′FC＝84°． 【解答】解：根据折叠可得∠1＝∠EFB′， ∵∠1＝48°， ∴∠EFB′＝48°， ∴∠B′FC＝180°﹣48°﹣48°＝84°， ∵AD∥BC， ∴∠2＝∠B′FC＝84°， 故答案为：84°． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等． 14．将大小不同的两个正方形按图1、图2的方式摆放．若图1中阴影部分的面积是36，图2中阴影部分的面积是27，则大正方形的边长是 　9　 ． 【分析】设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，根据题意列出方程，求得a，b的值即可求解． 【解答】解：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b， 则，， 即，ab＝54， ∴， ∴a＝6， ∴b＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了整式的乘法与图形的面积，根据题意列出方程是解题的关键． 15．在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上，∠C＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°．小明将△ADE从图中位置开始，绕点A按每秒5°的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第 　15或51　 秒时，边AB与边DE平行． 【分析】分两种情况：①DE在AB上方；②DE在AB下方，画出相应的图形，利用平行线的性质即可求得答案． 【解答】解；①当DE在AB上方， ∵∠C＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°， ∴∠BAC＝30°，∠E＝45°， ∵AB∥DE， ∴∠BAE＝∠E＝45°， ∴∠CAE＝∠BAC+∠BAE＝75°， ∴旋转时间为：（秒）； ②当DE在AB下方， ∵∠C＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°， ∴∠BAC＝30°，∠E＝45°， ∵AB∥DE， ∴∠BAE+∠E＝180°， ∴∠BAE＝180°﹣∠E＝135°， ∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝105°， ∴旋转角度为：360°﹣∠CAE＝255°， ∴旋转时间为：（秒）， 综上所述：在旋转过程中，第15或51秒时，边边AB与边DE平行， 故答案为：15或51． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是对DE的位置进行讨论，画出相应图形解答． 16．已知，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是　7　 ． 【分析】计算差值：求出a﹣b＝1，b﹣c＝﹣3，a﹣c＝﹣2；代数式变形：将a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca转化为；代入求值：代入差值的平方计算得结果为7． 【解答】解：因为， 所以a﹣b1， b﹣c3， a﹣c2， a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca （a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca） ＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式计算． 三．解答题（共7小题） 17．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：∠AOB． 求作：直线BC，使BC∥AO． 【分析】作OB延长线BD，在OB上方作∠CBD＝∠AOB，再延长CB即可． 【解答】解：如图所示，直线BC即为所求． 【点评】本题考查尺规基本作图—作一角等于已知角，平行线的判定定理．熟练掌握尺规基本作图—作一角等于已知角是解题的关键． 18．先化简，再求值： （1）已知x2﹣x﹣2＝0，求代数式（x﹣3）（x+5）+（x﹣3）（x﹣1）的值． （2）[（x+y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）]÷（﹣2y），其中x＝1，y＝﹣2． 【分析】（1）先结合多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，得2x2﹣2x﹣12，根据x2﹣x﹣2＝0，得x2﹣x＝2，再代入2（x2﹣x）﹣12计算，即可作答． （2）先结合完全平方公式，平方差公式的运算法则展开，再合并同类项，然后运用多项式除以单项式得，再把x＝1，y＝﹣2代入计算，即可作答． 【解答】解：（1）原式＝x2+5x﹣3x﹣15+x2﹣x﹣3x+3 ＝2x2﹣2x﹣12， ∵x2﹣x﹣2＝0， ∴x2﹣x＝2， 原式＝2（x2﹣x）﹣12＝2×2﹣12＝4﹣12＝﹣8． （2）原式＝[x2+2xy+y2﹣（x2﹣4y2）]÷（﹣2y） ＝（x2+2xy+y2﹣x2+4y2）÷（﹣2y） ＝（2xy+5y2）÷（﹣2y） ， ∵x＝1，y＝﹣2， ∴． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，多项式除以单项式，完全平方公式，平方差公式，化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 19．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在边AB上，点E、F在边AC上，∠AGF＝∠ABC＝70°，∠1+∠2＝180°． （1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由； （2）若DE⊥AC，∠CDE＝30°，求∠A的度数． 【分析】（1）依据FG∥CB，即可得出∠1＝∠3，再根据∠1+∠2＝180°，即可得到∠2+∠3＝180°，进而判定DE∥BF． （2）依据三角形内角和定理，依次求得∠C、∠A的度数． 【解答】解：（1）BF∥DE．理由： ∵∠AGF＝∠ABC＝70°， ∴FG∥CB， ∴∠1＝∠3， 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠2+∠3＝180° ∴DE∥BF； （2）∵DE⊥AC，∠CDE＝30°， ∴∠C＝90°﹣∠CDE＝60°， 又∵∠ABC＝70°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣70°﹣60°＝50°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理的运用，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 20．一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的3倍多10个．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是． （1）求袋中红球的个数； （2）求从袋中摸出一个球是白球的概率； （3）如果要将从袋中摸出一个球是红球的概率提高到，在保持小球总数不变的情况下需要把几个黄球改为红球？ 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可知袋中红球的个数为100，然后计算即可； （2）根据（1）中的结果和黄球个数是白球的3倍多10个，即可求得白球的个数，然后即可得到从袋中摸出一个球是白球的概率； （3）先计算出红球的个数，然后根据（1）中的结果，即可计算出在保持小球总数不变的情况下需要把几个黄球改为红球． 【解答】解：（1）10030（个）， 即袋中红球有30个； （2）设白球有x个，则黄球有（3x+10）个， x+（3x+10）+30＝100， 解得x＝15， 即白球有15个， ∴从袋中摸出一个球是白球的概率为0.15； （3）10070（个）， 70﹣30＝40（个）， ∴在保持小球总数不变的情况下需要把40个黄球改为红球． 【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． 21．【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式（a+3）x﹣6y+5， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴a+3＝0，解a＝﹣3． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式mx﹣4x+3的值与x的取值无关，则m值为　4　 ． （2）已知A＝（2x+1）（x﹣2），B＝x（m﹣x），且A+2B的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【分析】（1）把含有x的项提取公因式x，然后根据关于x的代数式mx﹣4x+3的值与x的取值无关，列出关于m的方程，解方程即可； （2）把已知条件中的A和B代入A+2B，根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后根据A+2B的值与x无关，列出关于m的方程，解方程即可； （3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），然后再求出S1﹣S2，最后根据S1﹣S2的值始终保持不变，得到关于a，b的等式即可． 【解答】解：（1）mx﹣4x+3＝（m﹣4）x+3， ∵mx﹣4x+3的值与x的取值无关， ∴m﹣4＝0， 解得：m＝4． 故答案为：4； （2）∵A＝（2x+1）（x﹣2），B＝x（m﹣x）， ∴A+2B＝2x2﹣3x﹣2+2mx﹣2x2 ＝（2m﹣3）x﹣2， ∵A+2B的值与x无关， ∴2m﹣3＝0， 即； （3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a）， ∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab， ∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变， ∴S1﹣S2取值与x无关， ∴a﹣2b＝0， ∴a＝2b． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，合并同类项，掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则是关键． 22．【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．试探究∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由． （2）【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 如图2，已知MN∥PQ，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，请你说明∠ABP+∠DCE＝∠CAB；（把下面的解答补充完整） 解：因为CD∥AB 所以∠CAB+　∠ACD ＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　 ） 因为∠ECM+∠ECN＝180°（ 　平角的定义　 ） 又因为∠ECN＝∠CAB 所以∠ACD ＝∠ECM （ 　等角的补角相等　 ） 即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE 所以∠MCA＝∠DCE 由（1）知∠MCA+∠ABP＝∠CAB ∴∠ABP+∠DCE＝∠CAB （3）【拓展延伸】如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝68°，请直接写出∠AFB的度数为 　124°　 ． 【分析】（1）过点E作EH∥AB，利用平行线的性质和判定可得结论； （2）利用平行线的性质、平角的定义及等角的补角相等填空即可； （3）先利用（1）的结论用∠ACG表示出∠ABF，再利用平行线的性质用∠ACG表示出∠FAB，最后利用三角形的内角和定理求出∠AFB． 【解答】解：（1）∠BED＝∠B+∠D． 理由：过点E作EH∥AB． ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EH． ∴∠B＝∠BEH，∠D＝∠HED． ∵∠BED＝∠BEH+∠DEH， ∴∠BED＝∠B+∠D． （2）解：因为CD∥AB， 所以∠CAB+∠ACD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 因为∠ECM+∠ECN＝180°（平角的定义）， 又因为∠ECN＝∠CAB， 所以∠ACD＝∠ECM（等角的补角相等）， 即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE． 所以∠MCA＝∠DCE． 由（1）知∠MCA+∠ABP＝∠CAB， ∴∠ABP+∠DCE＝∠CAB． 故答案为：∠ACD，两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；ACD，ECM；等角的补角相等； （3）∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN， ∴∠PBF＝∠ABF∠PBA，∠ACG＝∠NCG∠NCA． ∵MN∥PQ， 由（1）知∠CAB＝∠ABP+∠MCA，即∠ABP+MCA＝68°． ∵∠MCA＝180°﹣∠ACN＝180°﹣2∠ACG， ∴2∠ABF+180°﹣2∠ACG＝68°，即∠ABF+90°﹣∠ACG＝34°． ∴∠ABF＝∠ACG﹣56°． ∵AF∥CG， ∴∠FAC+∠ACG＝180°，即∠FAB+∠CAB+∠ACG＝180°． ∴∠FAB＝112°﹣∠ACG． ∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠FAB ＝180°﹣（∠ACG﹣56°）﹣（112°﹣∠ACG） ＝180°﹣∠ACG+56°﹣112°﹣∠ACG ＝124°． 故答案为：124°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质和判定、角平分线的性质、三角形的内角和定理及角的和差关系是解决本题的关键． 23．（1）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式x2+bx+c（b、c为常数）写成（x+h）2+k（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式x2+kx+4是一个完全平方式，那么常数k的值为 　±4　 ； （2）配方：x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣　10　 ； 【知识运用】： （3）已知m2+2mn+2n2﹣8n+16＝0，则m＝　﹣4　 ，n＝　4　 ； （4）求多项式：x2+y2﹣4x+6y+15的最小值． 【分析】（1）根据完全平方式的形式a2±2ab+b2求解即可； （2）利用配方法的步骤求解即可； （3）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解m、n值即可； （4）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解即可． 【解答】解：（1）∵多项式x2+kx+4是一个完全平方式， ∴x2+kx+4＝x2±2×2×x+22， ∴k＝±4， 故答案为：±4； （2）x2﹣4x﹣6＝x2﹣4x+4﹣4﹣6＝（x﹣2）2﹣10， 故答案为：10； （3）∵m2+2mn+2n2﹣8n+16＝0， ∴（m2+2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0， ∴（m+n）2+（n﹣4）2＝0， ∴， ∴， 故答案为：﹣4，4； （4）x2+y2﹣4x+6y+15， ＝（x2﹣4x+4）+（y2+6y+9）+2， ＝（x﹣2）2+（y+3）2+2， ∵（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0， ∴x2+y2﹣4x+6y+15的最小值为2． 【点评】本题考查完全平方式、配方法、平方式的非负性，理解题意，掌握配方法并灵活运用是解答的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/29 12:05:02；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $