5.1.2 导数的概念及其几何意义（第一课时）导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学导学案聚焦“导数的概念及其几何意义”，核心涵盖导数定义、几何与物理意义及用定义求导。通过回顾物理速度、几何斜率的变化率问题，以“平均变化率逼近瞬时变化率”构建知识支架，衔接前后内容。 以任务驱动设计学习活动，“一差、二比、三极限”步骤化教学突破定义求导难点，结合原油温度、汽车速度等实际问题培养数学抽象与极限思想，习题分层设计提升应用意识，落实数学眼光、思维与语言的核心素养。

第五章 一元函数的导数及应用 5.1 导数的概念及其意义 一5.1.2 导数的概念及其几何意义 第1课时 【学习目标】 1. 理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数. 2. 能根据导数的定义，求简单函数在某一点处的导数. 3. 会解释导数在实际问题中（如原油温度、汽车速度）的瞬时变化率意义. 4. 感受导数在描述事物变化率中的作用，培养数学抽象与极限思想. 【学习重点】 1. 导数的定义及几何、物理意义. 2. 利用定义求函数在某点处的导数（“一差、二比、三极限”步骤）.. 【学习难点】 1. 对极限过程 的理解. 2. 将平均变化率与瞬时变化率统一为导数的思想. 学习任务一 从两类变化率问题抽象出导数定义 【合作探究】 1. 前两节课我们研究了哪两类变化率问题？它们是用什么共同的思想方法来解决的？ o物理学中：______速度 → ______速度 o几何学中：______斜率 → ______斜率 o共同方法：用“______变化率”逼近“______变化率”，即“无限逼近，取极限”. 1. 为了研究一般函数 在 处的瞬时变化率，我们可以先研究哪个范围内的变化率？ 1. 如果用 表示自变量的改变量（），那么从 到 函数值的改变量 如何表示？平均变化率如何表示？ · 平均变化率 当 无限趋近于 0 时，平均变化率的极限就是函数在 处的______变化率.这个极限在数学中叫什么？ 【自主梳理】 1. 平均变化率： · 对于函数 ，自变量从 变化到 时，函数值的平均变化率为 1. 瞬时变化率（导数）的定义： · 函数 在 处的瞬时变化率是 · 称它为函数 在 处的______，记作______或______. · 即 1. 导数与瞬时变化率的关系： · 导数和瞬时变化率是同一概念的______个名称. · 瞬时速度是位移函数的______；切线斜率是函数在切点处的______. 1. 导数的物理意义： 位移函数 在 处的导数 表示______. 速度函数 在 处的导数 表示______. 学习任务二 用定义求导数——“一差、二比、三极限” 【合作探究】 1. 根据导数的定义，求函数 在 处导数的步骤可以归纳为三步： o第一步：计算______ ______； o第二步：计算______ ______； o第三步：求______ . 1. 试用上述步骤求函数 在 处的导数. · （写出每一步的具体表达式） 1. 在例2中，原油温度 （单位：℃），求第2h与第6h时的瞬时变化率. o先求 和 ； 解释正负号的意义：导数为正表示_____，导数为负表示_____. 【自主梳理】 求导数的步骤（填空）： (1) 求函数的改变量： ______； (2) 求平均变化率： ______； (3) 取极限： ______. 学习任务三 导数在实际问题中的应用 【合作探究】 1. 一辆汽车的速度 （m/s），求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明其意义. · （提示：瞬时加速度是速度函数的导数） 1. 一质点沿直线运动，位移 （m），求它在 s 时的瞬时速度. 1. 函数 ，求： (1) 当自变量 由1变到1.1时，函数的平均变化率； (2) 函数在 处的导数. 【自主梳理】 1.切线方程的步骤： 求斜率 ； 2.由点斜式得切线方程：. 【自查自纠】 1. 函数在 处的导数 与 的取值有关. （ ） 2. 平均变化率是瞬时变化率的极限. （ ） 3. 瞬时速度就是位移函数在该时刻的导数. （ ） 4. 导数可以为负数，表示函数值在减少. （ ） 5. 求导数时， 只能取正值. （ ） 【典例】例：设函数 ，求 . 【习题巩固】 1. 函数 在 处的导数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知 ，则 时，（ ） A. 1 B. 2 C.  D. 3. 若一物体的运动方程为 （m），则它在 s 时的瞬时速度为（ ） A. 5 m/s B. 7 m/s C. 9 m/s D. 11 m/s 4. 对原油温度函数 ，下列判断正确的是（ ） A. 第2h附近温度在上升 B. 第6h附近温度在下降 C.  D. 5. （选做）用导数定义求函数 在 处的导数. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $