精品解析：山西晋中市左权县思源实验学校2025—2026学年第二学期期中八年级数学试卷

2025—2026学年度第二学期期中 八年级数学 （满分120分，时间120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形，绕某个点旋转180度后能和自身互相重合的图形是中心对称图形，根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A选项是轴对称图形而不是中心对称图形； B选项既是轴对称图形也是中心对称图形； C选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形； D选项是中心对称图形而不是轴对称图形． 2. 在平面直角坐标系中，若点位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征． 根据平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征，横坐标为负，纵坐标为正，列出关于m和n的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限点的坐标特征，横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴ 即， 故选：B 3. 如图，在校运会的一项趣味竞赛中，三名同学分别站在的三个顶点处，争抢放置于三角形内部的凳子，最先坐到凳子者获胜．为保证比赛公平，要使凳子到三角形三个顶点的距离相等，凳子应放在三角形的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三条角平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等可得答案． 【详解】解：∵三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等， ∴为使比赛公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三条边的垂直平分线的交点． 故选：C． 4. 如图，平分，于点E，，，则的面积等于（    ） A. 28 B. 21 C. 14 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质．掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形面积公式，是解题的关键． 作，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作交的延长线于F， 平分，，， ， 的面积， 故选：C． 5. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤． 先分别解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组无解（两个解集无公共部分），建立关于的不等式求解即可． 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， 又∵不等式组无解， ∴， 解得． 故选：A． 6. 育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的应用． 根据总人数不变，结合42座客车的乘坐情况（少租一辆，有一辆没坐满但超过30人），列出关于x的不等关系，对应选项判断即可． 【详解】解：设租36座的车x辆， 由题意得， 故选：D． 7. 在如图的方格纸中，A，B，C是三个格点．在点A从右向左平移的过程中，点A，B，C围成的图形，不可能出现的是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据钝角三角形、直角三角形、等边三角形、等腰三角形的定义和性质，结合平移特点分析即可． 【详解】解：如图： 根据平移特点点A，B，C可以围成钝角三角形、直角三角形、等腰三角形，不能围成等边三角形． 8. 如图，在中，点、分别在边、上．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中应用三角形内角和定理有，结合可得，同理有，完成计算即可解答． 【详解】解：在中，，， ， 同理，， ． 9. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，下列结论错误的是（ ） A. 平分 B. 的周长等于 C. D. 点是线段的中点 【答案】D 【解析】 【分析】由在中，，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得与的度数，又由的垂直平分线是，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，继而求得的度数，则可知平分；可得的周长等于，又可求得的度数，求得，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：∵在中，， ， ∵的垂直平分线是， ， ， ， ∴平分，故A正确； ∴的周长为：，故B正确； ， ， ， ， ，故C正确； ∵， ， ， ∴点不是线段的中点，故D错误． 10. 如图，中的与轴重合，，将绕原点顺时针旋转后得到，将绕原点顺时针旋转得到，如此继续下去，连续旋转2026次得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定初始点的坐标，根据旋转性质求出的坐标；由每次旋转计算出旋转一周的次数，得到坐标循环周期；用总旋转次数除以周期，根据余数确定对应的坐标位置，从而选出正确选项． 【详解】解：∵中，，与轴重合， ∴初始点的坐标为． ∵将绕原点顺时针旋转得到，，将绕原点顺时针再旋转（累计旋转）得到，， ∴的坐标为． ∵每次旋转，旋转一周需要的次数为：，即周期为， ∵， ∴旋转次后，点的位置与旋转次后的位置相同，坐标为． 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=70°，则∠BOC=_________． 【答案】140°##140度 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线性质，OA=OB=OC．根据等腰三角形性质和三角形内角和定理，先求出∠OBC+∠OCB，再求∠BOC． 【详解】解：连接OA， ∵O是△ABC的三边垂直平分线的交点， ∴OA=OB=OC， ∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB． ∵∠BAC=70°， ∴∠OBA+∠OCA=70°，∠OBC+∠OCB=40°． ∴∠BOC=180°-40°=140°． 故答案为：140°． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线性质、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识点，渗透了整体求值的思想方法． 12. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线，直线分别与轴交于点与点则不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象即可解答． 【详解】解：观察函数图象得到不等式的解集为， 不等式的解集为； 所以不等式组的解集为． 13. 如图为万达影城的价目表，某社团20人去此影城看电影，打算用比赛奖金1000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买______盒爆米花． 【答案】4 【解析】 【分析】先确定电影票的固定花费，再根据饮料和爆米花的优惠方式，设出爆米花数量，结合总奖金限制列不等式，通过求解不等式得出爆米花的最大数量． 【详解】解：设可买盒爆米花， 由题意得，， 解得：， ∴x最大为4． 14. 以原点为旋转中心，将点逆时针旋转得到点，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作轴，垂足为，容易判断是等腰直角三角形，则，，结合旋转的性质可知，点在轴负半轴上，且，从而得到点的坐标． 【详解】解：如图，连接，作轴，垂足为， ∵，轴于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∵点由点绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴、、三点共线，即点在轴负半轴上， ∴点的坐标为． 15. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，此时点C恰好落在边上．若，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】由旋转性质得出，求出即可求出结论． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，， ， ， ∵在中，， ， ， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解不等式（组） （1）求不等式组：的所有整数解． （2）下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：第一步 去括号，得：第二步 移项，得：第三步 合并同类项，得：第四步 系数化为1，得：第五步 ①小星同学的解答过程从第 步开始出错；错误原因 ． ②请写出你认为正确的解答过程． 【答案】（1）整数解为 （2）①一；不等式两边同乘以公分母6后，化简错误； ②正确的解答过程： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【解析】 【分析】（1）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数解即可． （2）①根据小星的解题步骤分析即可； ②按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 其整数解为． 【小问2详解】 解：①小星同学的解答过程从第一步开始出错；不等式两边同乘以公分母6后，化简错误； ②略 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出向右平移5个单位长度后的； （2）将绕原点旋转，画出旋转后的； （3）在轴上确定点，使得平分，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 如图，点P即为所求，． 【解析】 【分析】（1）先确定点的位置，然后连线即可； （2）先确定点的位置，然后连线即可； （3）利用三线合一的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了平移作图，旋转作图，以及等腰三角形的性质，写出平面直角坐标系点的坐标，掌握旋转和平移的性质是解答本题的关键． 18. 如图，在中，点D、E在上，． （1）从①，②中，选择一个作为条件，另外一个作为结论，构成一个真命题，并证明； 条件： ， 结论： (填序号)． （2）在(1)的条件下，当时， 求的度数． 【答案】（1）解：条件：； 结论：； 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）将其中一个作为条件，另一个作为结论，证明相应三角形全等，即可证明； （2）首先证明是等边三角形，得到相应角度，再求出，利用等边对等角得出，，继而求得，进而可得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，命题的条件和结论以及证明． 19. 已知关于的不等式组恰有三个整数解， （1）求的取值范围． （2）化简； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，再根据不等式组恰好有三个整数解进行求解即可； （2）根据（1）所求可得，由此化简绝对值即可． 【小问1详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组前有三个整数解， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，化简绝对值，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 20. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 囊括上百种特色美食的昆一西食堂，为丰富菜品，计划采购甲、乙两种食材． 素材一 购买千克甲食材和千克乙食材共需元，购买千克甲食材和千克乙食材共需元． 素材二 食堂准备采购这两种食材共千克，乙食材的数量不少于甲食材数量的，且总花费不超过元． 请完成下列任务： 任务一 甲、乙两种食材每千克的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的采购方案． 【答案】 任务一：甲食材每千克元，乙食材每千克元；任务二：采购甲食材千克，乙食材千克，此时总费用最省，为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组与实际问题、一元一次不等式组、一次函数的性质，关键是熟练应用知识点解题； 任务一：根据题意列方程组即可； 任务二：根据题意列出不等式组，并列出总费用与甲食材数量之间的一次函数关系式，并讨论其最值． 【详解】任务一：解：设甲食材每千克的价格是元，乙食材每千克的价格是元， 由题意得：， 解得：， 答：甲食材每千克的价格是元，乙食材每千克的价格是元； 任务二：解：设采购甲食材需千克，总费用为：元， ， 解得：， ∵，， ∴随的增大而减小， 即：当时，最小，此时买甲食材千克，买乙食材千克， 答：采购甲食材千克，乙食材千克，此时总费用最省，为元． 21. 阅读理解题 先阅读理解下面的问题，再按要求完成下列问题 例：解不等式 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或② 解不等式组①，得 解不等式组②，得 所以不等式的解集为或 解不等式： 【答案】． 【解析】 【分析】先根据有理数的除法法则“两数相除，异号得负”可得两个一元一次不等式组，再求出两个不等式组的解集即可得． 【详解】由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”有①或②， 解不等式组①得：， 解不等式组②得：不等式组无解， 所以原不等式的解集为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据有理数的除法法则正确得出两个不等式组是解题关键． 22. 请回忆北师大版八年级上册数学教材的部分内容，该内容阐述了垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；并给出了证明的方法． （1）结合图①，用几何语言表示上述定理  几何语言：​ ∵     ∴ （ ） （2）如图②，在中，直线m、n分别是边的垂直平分线，直线m、n交于点O，过点O作于点H．求证：． （3）如图③，在中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．若，求的值是多少？ 【答案】（1） 解：几何语言：​于点，，点为上一点，    ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）； （2） 证明：如图，连接， 直线m是边的垂直平分线， ， 直线n是边的垂直平分线， ， ， ， ； （3）3 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用几何语言作答； （2）连接，利用线段的垂直平分线的性质推出，即可解答； （3）连接，证明是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ， 边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E， ， ， ， 是等边三角形． ， ， ． 23. 综合与探究 【问题背景】如图1，是等边外一点，，则． （1）小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转，请根据此思路完成这个证明； （2）【迁移应用】如图2，是等边内一点，且；求的度数； （3）【拓展提升】如图3，在等腰直角中，，，点在外部，且，若，则的面积是 （不必证明）．（提示：过作交的延长线于点，连接） 【答案】（1） 证明：如图1，将绕点逆时针旋转，得到，连接． 则，， 是等边三角形． ， 由旋转的性质得：， ， ， ， ． （2） （3）18 【解析】 【分析】（1）如图1，将绕点逆时针旋转，得到，连接．则，，证明是等边三角形．得出，由旋转的性质得：，则，勾股定理得出，结合，即可证明． （2）如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得：，，，，证明是等边三角形，得出，证明是直角三角形，即，即可解答． （3）如图3：过作交的延长线于点，连接，则，证明为等腰直角三角形，进而说明；再证可得，然后证明，最后运用三角形的面积公式即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得：，，，， 是等边三角形， ， ， ， 是直角三角形， 即， ． 【小问3详解】 解：如图3：过作交的延长线于点，连接， 则， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中 八年级数学 （满分120分，时间120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，若点位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在校运会的一项趣味竞赛中，三名同学分别站在的三个顶点处，争抢放置于三角形内部的凳子，最先坐到凳子者获胜．为保证比赛公平，要使凳子到三角形三个顶点的距离相等，凳子应放在三角形的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三条角平分线的交点 4. 如图，平分，于点E，，，则的面积等于（    ） A. 28 B. 21 C. 14 D. 7 5. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（ ） A. B. C. D. 7. 在如图的方格纸中，A，B，C是三个格点．在点A从右向左平移的过程中，点A，B，C围成的图形，不可能出现的是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 8. 如图，在中，点、分别在边、上．若，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，下列结论错误的是（ ） A. 平分 B. 的周长等于 C. D. 点是线段的中点 10. 如图，中的与轴重合，，将绕原点顺时针旋转后得到，将绕原点顺时针旋转得到，如此继续下去，连续旋转2026次得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=70°，则∠BOC=_________． 12. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线，直线分别与轴交于点与点则不等式组的解集为______． 13. 如图为万达影城的价目表，某社团20人去此影城看电影，打算用比赛奖金1000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买______盒爆米花． 14. 以原点为旋转中心，将点逆时针旋转得到点，则点的坐标为__________． 15. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，此时点C恰好落在边上．若，则________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解不等式（组） （1）求不等式组：的所有整数解． （2）下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：第一步 去括号，得：第二步 移项，得：第三步 合并同类项，得：第四步 系数化为1，得：第五步 ①小星同学的解答过程从第 步开始出错；错误原因 ． ②请写出你认为正确的解答过程． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出向右平移5个单位长度后的； （2）将绕原点旋转，画出旋转后的； （3）在轴上确定点，使得平分，并写出点的坐标． 18. 如图，在中，点D、E在上，． （1）从①，②中，选择一个作为条件，另外一个作为结论，构成一个真命题，并证明； 条件： ， 结论： (填序号)． （2）在(1)的条件下，当时， 求的度数． 19. 已知关于的不等式组恰有三个整数解， （1）求的取值范围． （2）化简； 20. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 囊括上百种特色美食的昆一西食堂，为丰富菜品，计划采购甲、乙两种食材． 素材一 购买千克甲食材和千克乙食材共需元，购买千克甲食材和千克乙食材共需元． 素材二 食堂准备采购这两种食材共千克，乙食材的数量不少于甲食材数量的，且总花费不超过元． 请完成下列任务： 任务一 甲、乙两种食材每千克的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的采购方案． 21. 阅读理解题 先阅读理解下面的问题，再按要求完成下列问题 例：解不等式 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或② 解不等式组①，得 解不等式组②，得 所以不等式的解集为或 解不等式： 22. 请回忆北师大版八年级上册数学教材的部分内容，该内容阐述了垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；并给出了证明的方法． （1）结合图①，用几何语言表示上述定理  几何语言：​ ∵     ∴ （ ） （2）如图②，在中，直线m、n分别是边的垂直平分线，直线m、n交于点O，过点O作于点H．求证：． （3）如图③，在中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．若，求的值是多少？ 23. 综合与探究 【问题背景】如图1，是等边外一点，，则． （1）小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转，请根据此思路完成这个证明； （2）【迁移应用】如图2，是等边内一点，且；求的度数； （3）【拓展提升】如图3，在等腰直角中，，，点在外部，且，若，则的面积是 （不必证明）．（提示：过作交的延长线于点，连接） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $