河南安阳市第一中学2025-2026学年上学期练习（5）高一年级数学试题

**基本信息** 高一年级数学周测试卷，聚焦复数、立体几何、解三角形核心知识，通过军事训练情境题与分层设计，考查空间观念、运算推理能力及模型应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题/72分|复数共轭、集合关系、线面平行定义|基础概念与空间想象结合，如第8题平行四边形外点线面关系判断| |多选题|4题/24分|空间几何体体积、动态距离|正方体中心连线八面体（15题）考查体积与最小值，体现几何直观| |填空题|4题/24分|向量夹角、正四面体内切球|海军舰艇补给（20题）结合方位角建模，培养数学表达能力| |解答题|2题/30分|三棱锥表面积、面积最小化|人工湖面积最小化（22题）以实际问题为背景，考查运算推理与创新应用|

2025-2026学年上学期练习（5） 高一年级数学试题 一、单选题（每题6分，共12题） 1．已知为虚数单位， 则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．设，，，，则这些集合的关系是 A． B． C． D． 3．下列说法中，与“直线平面”等价的是 A．直线与平面内无数条直线不相交 B．直线与平面内的两条直线平行 C．直线与平面内的任意一条直线都不相交 D．直线上有两个点不在平面内 4．设是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为 A．1 B． C．2 D． 6．在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则 A． B． C． D． 7．已知为三条不同的直线，为三个不同的平面．若，，，，则 A．与相交 B．与相交 C．与平行 D．与相交 8．如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为与的交点，下列说法不正确的是 A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 9．如图，在平行六面体中，是线段上的一点，且，则三棱锥的体积与平行六面体的体积之比为 A． B． C． D． 10．中，，，是外接圆圆心，则的最大值为 A．3 B． C．4 D． 11．四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为 A．0 B． C． D． 12．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，则边c的最小值为 A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共4题） 13、下列说法中，正确的结论有 A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 B．若两条相交直线和另两条相交直线平行，则两组直线所成的锐角(或直角)相等 C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补 D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 14．若z为复数，则（   ） A．若，则为实数 B． C．若，则的最大值为 D．若，则在复平面内对应的点在第四象限 15．如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，为棱上一点，则下列四个结论中正确的是（    ） A．平面 B．八面体的体积为 C．的最小值为 D．点到平面的距离为 16．长方体中，，，点为线段上的动点，且不与点重合，为平面内一动点，将绕旋转，得到圆锥，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则圆锥被长方体所截得几何体的体积为 B．若，则存在点，使得直线平面 C．若圆锥表面积为，则圆锥体积最大值为 D．若，，则长方体内还可完全放入一个半径为的小球 三、填空题（每题6分，共4题） 17．已知向量，则向量与向量的夹角为__________ 18．已知正四面体中，，则正四面体内半径最大的球的表面积为 19．正方体的棱长为3，E，F是棱，上的中点，平面截正方体所得截面的周长为 20．海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则____________ 四、解答题（共2题，15分） 21．在正方体中，，E、F、G分别为、、中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面 22．公路一侧有一块空地，其中，，．市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中都在边上（不与重合，M在之间），且． (1)若M在距离A点处，求的长度； (2)为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积． 高一数学练习（5）答案 1、 1-4．BDCB 5-8．ACCD 9-12．DBBD 2、 13．BD 14．AC 15．ABC 16．AC 3、 17． 18． 19． 20． 四、21．解（1）在正方体中，，两两垂直， 由分别为的中点，得，， 等腰底边上的高， 所以三棱锥的表面积 . （2）连接，，连接， 由是正方形对边中点， 得四边形是矩形，则是的中点， 而是的中点，因此，而平面，平面， 所以平面. 22．解（1）在中，其中， ， 在中，，则. （2）， 在中，， 在中，， ， 因为，所以时面积最小，最小值为 11．因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，为正四棱锥，设底面中心为, 则四棱锥外接球球心及内切球球心都在上，设外接球球心为，半径为. 连接，则有.四棱锥的底面是边长为2的正方形， 在中，， 由得，，整理得，. 设内切球的半径为，中，，， 所以，所以四棱锥表面积为， 由，即， ∴，则的长为. 16．对于A，所求几何体体积为，故A正确； 对于B，连结， 在长方体中，，平面，平面，则平面， 因，则同理可证平面，又因，则平面平面， 又点在底面的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 故线段的轨迹为以为底面半径的圆锥的侧面，   假设存在点，使得平面，则有平面或平面，由图可知点的轨迹与线段不存在交点，故直线与平面的位置关系为相交，故假设不成立，则不存在点，使得平面，故B错误；对于C，设圆锥的底面半径为，高为，母线长， 则其表面积为，，可得， 则 当，即时，圆锥体积取得最大值，最大值为，故C正确； 对于D，此时圆锥即圆锥，记圆锥在正方形内与相交于点， 连，易知圆锥，长方体均关于平面对称，若取到完全能放入的最大球，则只需考虑球心在平面内的情况，取截面四边形，延长，交于点，显然为中点，故直角三角形中，，， 故，故直角三角形的内切圆半径为， 内切圆直径为，恰与梯形上下底同时相切， 则半径为的圆为梯形内能放入的最大圆， 此时半径为的小球与圆锥侧面上直线，长方体侧棱相切，且与长方体上下底面相切，但同时，长方体内完全放入的小球必不能与侧棱相切，故D错误 18．直线EF与分别交于G，H，连接AG，AH分别交，于点M，N， 则五边形为平面截正方体所得的截面， 因为E，F分别是，的中点， 所以易得， 所以， 因为，所以， 可得，同理可得， 所以五边形的周长为， 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年下学期练习（5） 高一年级数学答题卷 班级 姓名 考号 分数 二、填空题（每题6分,共24分） 17、________________ 18、________________ 19、________________ 20、________________ 三、解答题（共30分） 21、 22、 答题卷第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $